ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mstri Unicode version

Theorem mstri 14430
Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. Definition 14-1.1(d) of [Gleason] p. 223. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mscl.x  |-  X  =  ( Base `  M
)
mscl.d  |-  D  =  ( dist `  M
)
Assertion
Ref Expression
mstri  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A D B )  <_  (
( A D C )  +  ( C D B ) ) )

Proof of Theorem mstri
StepHypRef Expression
1 mscl.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  M
)
2 mscl.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  M
)
31, 2msmet2 14421 . . 3  |-  ( M  e.  MetSp  ->  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  e.  ( Met `  X ) )
4 mettri 14330 . . 3  |-  ( ( ( D  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( Met `  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  <_  ( ( A ( D  |`  ( X  X.  X ) ) C )  +  ( C ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B ) ) )
53, 4sylan 283 . 2  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A
( D  |`  ( X  X.  X ) ) B )  <_  (
( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) C )  +  ( C ( D  |`  ( X  X.  X ) ) B ) ) )
6 simpr1 1005 . . 3  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  A  e.  X )
7 simpr2 1006 . . 3  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  B  e.  X )
86, 7ovresd 6037 . 2  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A
( D  |`  ( X  X.  X ) ) B )  =  ( A D B ) )
9 simpr3 1007 . . . 4  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  C  e.  X )
106, 9ovresd 6037 . . 3  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A
( D  |`  ( X  X.  X ) ) C )  =  ( A D C ) )
119, 7ovresd 6037 . . 3  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( C
( D  |`  ( X  X.  X ) ) B )  =  ( C D B ) )
1210, 11oveq12d 5914 . 2  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) C )  +  ( C ( D  |`  ( X  X.  X ) ) B ) )  =  ( ( A D C )  +  ( C D B ) ) )
135, 8, 123brtr3d 4049 1  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A D B )  <_  (
( A D C )  +  ( C D B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   class class class wbr 4018    X. cxp 4642    |` cres 4646   ` cfv 5235  (class class class)co 5896    + caddc 7844    <_ cle 8023   Basecbs 12512   distcds 12598   Metcmet 13850   MetSpcms 14294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-map 6676  df-sup 7013  df-inf 7014  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-5 9011  df-6 9012  df-7 9013  df-8 9014  df-9 9015  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-xneg 9802  df-xadd 9803  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-ndx 12515  df-slot 12516  df-base 12518  df-tset 12608  df-rest 12746  df-topn 12747  df-topgen 12765  df-psmet 13856  df-xmet 13857  df-met 13858  df-bl 13859  df-mopn 13860  df-top 13955  df-topon 13968  df-topsp 13988  df-bases 14000  df-xms 14296  df-ms 14297
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator