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Theorem limccnpcntop 14786
Description: If the limit of  F at  B is  C and  G is continuous at  C, then the limit of  G  o.  F at  B is  G ( C ). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp.f  |-  ( ph  ->  F : A --> D )
limccnp.d  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
limccnpcntop.k  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
limccnp.j  |-  J  =  ( Kt  D )
limccnp.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( F lim
CC  B ) )
limccnp.b  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 C ) )
Assertion
Ref Expression
limccnpcntop  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( ( G  o.  F ) lim
CC  B ) )

Proof of Theorem limccnpcntop
Dummy variables  p  z  d  e  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp.j . . . . 5  |-  J  =  ( Kt  D )
2 limccnpcntop.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
32cntoptopon 14657 . . . . . 6  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
4 limccnp.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
5 resttopon 14296 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  ( Kt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
63, 4, 5sylancr 414 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Kt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
71, 6eqeltrid 2276 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  D ) )
83a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
9 limccnp.b . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 C ) )
10 cnpf2 14332 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  D )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  G  e.  (
( J  CnP  K
) `  C )
)  ->  G : D
--> CC )
117, 8, 9, 10syl3anc 1249 . . 3  |-  ( ph  ->  G : D --> CC )
122cntoptop 14658 . . . . 5  |-  K  e. 
Top
1312a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
14 cnprcl2k 14331 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  D )  /\  K  e.  Top  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  C ) )  ->  C  e.  D )
157, 13, 9, 14syl3anc 1249 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
1611, 15ffvelcdmd 5682 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  CC )
17 cnxmet 14656 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
18 eqid 2189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )
19 eqid 2189 . . . . . . . . 9  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )
2018, 2, 19metrest 14631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( Kt  D )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
2117, 4, 20sylancr 414 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Kt  D )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
221, 21eqtrid 2234 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
232a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
) )
24 xmetres2 14504 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )  e.  ( *Met `  D ) )
2517, 4, 24sylancr 414 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )  e.  ( *Met `  D ) )
2617a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
2722, 23, 25, 26, 15metcnpd 14645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  C )  <->  ( G : D --> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. p  e.  RR+  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
) ) )
289, 27mpbid 147 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G : D --> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. p  e.  RR+  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e ) ) )
2928simprd 114 . . 3  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. p  e.  RR+  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)
30 simplll 533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e ) )  ->  ph )
31 simplr 528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e ) )  ->  p  e.  RR+ )
32 limccnp.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ( F lim
CC  B ) )
33 limccnp.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : A --> D )
3433, 4fssd 5404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
3533fdmd 5398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
36 limcrcl 14769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
3732, 36syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
3837simp2d 1012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  CC )
3935, 38eqsstrrd 3212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
4037simp3d 1013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4134, 39, 40ellimc3ap 14772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. p  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
p ) ) ) )
4232, 41mpbid 147 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  /\ 
A. p  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
p ) ) )
4342simprd 114 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. p  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
p ) )
4443r19.21bi 2578 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  p
) )
4530, 31, 44syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  p ) )
46 oveq2 5914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  =  ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ( F `  z
) ) )
4746breq1d 4035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  <->  ( C
( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ( F `  z
) )  <  p
) )
48 fveq2 5542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  ( G `  w )  =  ( G `  ( F `  z ) ) )
4948oveq2d 5922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  =  ( ( G `
 C ) ( abs  o.  -  )
( G `  ( F `  z )
) ) )
5049breq1d 4035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e  <->  ( ( G `  C )
( abs  o.  -  )
( G `  ( F `  z )
) )  <  e
) )
5147, 50imbi12d 234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  -> 
( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )  <->  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) ( F `
 z ) )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 ( F `  z ) ) )  <  e ) ) )
52 simpllr 534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)
5333ad5antr 496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  F : A --> D )
54 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  A )
5553, 54ffvelcdmd 5682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  D )
5651, 52, 55rspcdva 2865 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) ( F `
 z ) )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 ( F `  z ) ) )  <  e ) )
5715ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  C  e.  D )
5857, 55ovresd 6047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ( F `  z
) )  =  ( C ( abs  o.  -  ) ( F `
 z ) ) )
5942simpld 112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
6059ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  C  e.  CC )
614ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  D  C_  CC )
6261, 55sseldd 3176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
63 eqid 2189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
6463cnmetdval 14654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( F `  z )  e.  CC )  -> 
( C ( abs 
o.  -  ) ( F `  z )
)  =  ( abs `  ( C  -  ( F `  z )
) ) )
6560, 62, 64syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( C ( abs  o.  -  ) ( F `
 z ) )  =  ( abs `  ( C  -  ( F `  z ) ) ) )
6660, 62abssubd 11311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  -  ( F `  z ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C ) ) )
6758, 65, 663eqtrd 2226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ( F `  z
) )  =  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C ) ) )
6867breq1d 4035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) ( F `
 z ) )  <  p  <->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  p
) )
6916ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  C )  e.  CC )
7011ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  G : D --> CC )
7170, 55ffvelcdmd 5682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  ( F `  z ) )  e.  CC )
7263cnmetdval 14654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  C
)  e.  CC  /\  ( G `  ( F `
 z ) )  e.  CC )  -> 
( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  ( F `  z ) ) )  =  ( abs `  (
( G `  C
)  -  ( G `
 ( F `  z ) ) ) ) )
7369, 71, 72syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 ( F `  z ) ) )  =  ( abs `  (
( G `  C
)  -  ( G `
 ( F `  z ) ) ) ) )
74 fvco3 5616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A --> D  /\  z  e.  A )  ->  ( ( G  o.  F ) `  z
)  =  ( G `
 ( F `  z ) ) )
7553, 54, 74syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G  o.  F
) `  z )  =  ( G `  ( F `  z ) ) )
7675oveq2d 5922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  C
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 z ) )  =  ( ( G `
 C )  -  ( G `  ( F `
 z ) ) ) )
7776fveq2d 5546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( G `
 C )  -  ( ( G  o.  F ) `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( G `  C
)  -  ( G `
 ( F `  z ) ) ) ) )
7875, 71eqeltrd 2266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G  o.  F
) `  z )  e.  CC )
7969, 78abssubd 11311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( G `
 C )  -  ( ( G  o.  F ) `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )
8073, 77, 793eqtr2d 2228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 ( F `  z ) ) )  =  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )
8180breq1d 4035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  ( F `  z ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `  z )  -  ( G `  C )
) )  <  e
) )
8256, 68, 813imtr3d 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  p  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  <  e ) )
8382imim2d 54 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  p )  ->  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `  z )  -  ( G `  C )
) )  <  e
) ) )
8483ralimdva 2557 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  -> 
( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  p )  ->  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  <  e ) ) )
8584reximdva 2592 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e ) )  ->  ( E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  p
)  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `  z )  -  ( G `  C )
) )  <  e
) ) )
8645, 85mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  <  e ) )
8786rexlimdva2 2610 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. p  e.  RR+  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  <  e ) ) )
8887ralimdva 2557 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. e  e.  RR+  E. p  e.  RR+  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e )  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `  z )  -  ( G `  C )
) )  <  e
) ) )
8929, 88mpd 13 . 2  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `
 z )  -  ( G `  C ) ) )  <  e
) )
90 fco 5407 . . . 4  |-  ( ( G : D --> CC  /\  F : A --> D )  ->  ( G  o.  F ) : A --> CC )
9111, 33, 90syl2anc 411 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : A --> CC )
9291, 39, 40ellimc3ap 14772 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G `  C )  e.  ( ( G  o.  F
) lim CC  B )  <->  ( ( G `  C
)  e.  CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `  z )  -  ( G `  C )
) )  <  e
) ) ) )
9316, 89, 92mpbir2and 946 1  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( ( G  o.  F ) lim
CC  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469    C_ wss 3149   class class class wbr 4025    X. cxp 4649   dom cdm 4651    |` cres 4653    o. ccom 4655   -->wf 5238   ` cfv 5242  (class class class)co 5906   CCcc 7856    < clt 8040    - cmin 8176   # cap 8586   RR+crp 9705   abscabs 11115   ↾t crest 12824   *Metcxmet 13996   MetOpencmopn 14001   Topctop 14122  TopOnctopon 14135    CnP ccnp 14311   lim CC climc 14765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4140  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-iinf 4612  ax-cnex 7949  ax-resscn 7950  ax-1cn 7951  ax-1re 7952  ax-icn 7953  ax-addcl 7954  ax-addrcl 7955  ax-mulcl 7956  ax-mulrcl 7957  ax-addcom 7958  ax-mulcom 7959  ax-addass 7960  ax-mulass 7961  ax-distr 7962  ax-i2m1 7963  ax-0lt1 7964  ax-1rid 7965  ax-0id 7966  ax-rnegex 7967  ax-precex 7968  ax-cnre 7969  ax-pre-ltirr 7970  ax-pre-ltwlin 7971  ax-pre-lttrn 7972  ax-pre-apti 7973  ax-pre-ltadd 7974  ax-pre-mulgt0 7975  ax-pre-mulext 7976  ax-arch 7977  ax-caucvg 7978
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-nul 3443  df-if 3554  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-iun 3910  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-tr 4124  df-id 4318  df-po 4321  df-iso 4322  df-iord 4391  df-on 4393  df-ilim 4394  df-suc 4396  df-iom 4615  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-f1 5247  df-fo 5248  df-f1o 5249  df-fv 5250  df-isom 5251  df-riota 5861  df-ov 5909  df-oprab 5910  df-mpo 5911  df-1st 6180  df-2nd 6181  df-recs 6345  df-frec 6431  df-map 6691  df-pm 6692  df-sup 7029  df-inf 7030  df-pnf 8042  df-mnf 8043  df-xr 8044  df-ltxr 8045  df-le 8046  df-sub 8178  df-neg 8179  df-reap 8580  df-ap 8587  df-div 8678  df-inn 8969  df-2 9027  df-3 9028  df-4 9029  df-n0 9227  df-z 9304  df-uz 9579  df-q 9671  df-rp 9706  df-xneg 9824  df-xadd 9825  df-seqfrec 10505  df-exp 10584  df-cj 10960  df-re 10961  df-im 10962  df-rsqrt 11116  df-abs 11117  df-rest 12826  df-topgen 12845  df-psmet 14003  df-xmet 14004  df-met 14005  df-bl 14006  df-mopn 14007  df-top 14123  df-topon 14136  df-bases 14168  df-cnp 14314  df-limced 14767
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