Theorem limccnpcntop 15666

Description: If the limit of F at B is C and G is continuous at C, then the limit of G o. F at B is G ( C ). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccnp.f	|- ( ph -> F : A --> D )
limccnp.d	|- ( ph -> D C_ CC )
limccnpcntop.k	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
limccnp.j	|- J = ( K ↾t D )
limccnp.c	|- ( ph -> C e. ( F lim CC B ) )
limccnp.b	|- ( ph -> G e. ( ( J CnP K ) ` C ) )

Assertion

Ref	Expression
limccnpcntop	|- ( ph -> ( G ` C ) e. ( ( G o. F ) lim CC B ) )

Proof of Theorem limccnpcntop

Dummy variables p z d e w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccnp.j	. . . . 5 |- J = ( K ↾t D )
2		limccnpcntop.k	. . . . . . 7 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3	2	cntoptopon 15523	. . . . . 6 |- K e. (TopOn ` CC )
4		limccnp.d	. . . . . 6 |- ( ph -> D C_ CC )
5		resttopon 15162	. . . . . 6 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( K ↾t D ) e. (TopOn ` D ) )
6	3, 4, 5	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ↾t D ) e. (TopOn ` D ) )
7	1, 6	eqeltrid 2321	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` D ) )
8	3	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
9		limccnp.b	. . . 4 |- ( ph -> G e. ( ( J CnP K ) ` C ) )
10		cnpf2 15198	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` D ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ G e. ( ( J CnP K ) ` C ) ) -> G : D --> CC )
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> G : D --> CC )
12	2	cntoptop 15524	. . . . 5 |- K e. Top
13	12	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> K e. Top )
14		cnprcl2k 15197	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` D ) /\ K e. Top /\ G e. ( ( J CnP K ) ` C ) ) -> C e. D )
15	7, 13, 9, 14	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> C e. D )
16	11, 15	ffvelcdmd 5818	. 2 |- ( ph -> ( G ` C ) e. CC )
17		cnxmet 15522	. . . . . . . 8 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
18		eqid 2234	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) )
19		eqid 2234	. . . . . . . . 9 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) )
20	18, 2, 19	metrest 15497	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( K ↾t D ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) )
21	17, 4, 20	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K ↾t D ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) )
22	1, 21	eqtrid 2279	. . . . . 6 |- ( ph -> J = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) )
23	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) )
24		xmetres2 15370	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) e. ( *Met ` D ) )
25	17, 4, 24	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) e. ( *Met ` D ) )
26	17	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
27	22, 23, 25, 26, 15	metcnpd 15511	. . . . 5 |- ( ph -> ( G e. ( ( J CnP K ) ` C ) <-> ( G : D --> CC /\ A. e e. RR+ E. p e. RR+ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) ) )
28	9, 27	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> ( G : D --> CC /\ A. e e. RR+ E. p e. RR+ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) )
29	28	simprd 114	. . 3 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. p e. RR+ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) )
30		simplll 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) -> ph )
31		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) -> p e. RR+ )
32		limccnp.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. ( F lim CC B ) )
33		limccnp.f	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : A --> D )
34	33, 4	fssd 5527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> CC )
35	33	fdmd 5520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom F = A )
36		limcrcl 15649	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. ( F lim CC B ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )
37	32, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )
38	37	simp2d 1037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom F C_ CC )
39	35, 38	eqsstrrd 3279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ CC )
40	37	simp3d 1038	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
41	34, 39, 40	ellimc3ap 15652	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. p e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) ) ) )
42	32, 41	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C e. CC /\ A. p e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) ) )
43	42	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. p e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) )
44	43	r19.21bi 2632	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) )
45	30, 31, 44	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) )
46		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( F ` z ) -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) = ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) )
47	46	breq1d 4124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( F ` z ) -> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p <-> ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) < p ) )
48		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( F ` z ) -> ( G ` w ) = ( G ` ( F ` z ) ) )
49	48	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( F ` z ) -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) = ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) )
50	49	breq1d 4124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( F ` z ) -> ( ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e <-> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) < e ) )
51	47, 50	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( F ` z ) -> ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) <-> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) < e ) ) )
52		simpllr 536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) )
53	33	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> F : A --> D )
54		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> z e. A )
55	53, 54	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. D )
56	51, 52, 55	rspcdva 2928	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) < e ) )
57	15	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> C e. D )
58	57, 55	ovresd 6203	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) = ( C ( abs o. - ) ( F ` z ) ) )
59	42	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> C e. CC )
60	59	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> C e. CC )
61	4	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> D C_ CC )
62	61, 55	sseldd 3243	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
63		eqid 2234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
64	63	cnmetdval 15520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. CC /\ ( F ` z ) e. CC ) -> ( C ( abs o. - ) ( F ` z ) ) = ( abs ` ( C - ( F ` z ) ) ) )
65	60, 62, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( C ( abs o. - ) ( F ` z ) ) = ( abs ` ( C - ( F ` z ) ) ) )
66	60, 62	abssubd 11903	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( abs ` ( C - ( F ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) )
67	58, 65, 66	3eqtrd 2271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) )
68	67	breq1d 4124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) < p <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) )
69	16	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( G ` C ) e. CC )
70	11	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> G : D --> CC )
71	70, 55	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( G ` ( F ` z ) ) e. CC )
72	63	cnmetdval 15520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G ` C ) e. CC /\ ( G ` ( F ` z ) ) e. CC ) -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( G ` C ) - ( G ` ( F ` z ) ) ) ) )
73	69, 71, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( G ` C ) - ( G ` ( F ` z ) ) ) ) )
74		fvco3 5753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : A --> D /\ z e. A ) -> ( ( G o. F ) ` z ) = ( G ` ( F ` z ) ) )
75	53, 54, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( G o. F ) ` z ) = ( G ` ( F ` z ) ) )
76	75	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( G ` C ) - ( ( G o. F ) ` z ) ) = ( ( G ` C ) - ( G ` ( F ` z ) ) ) )
77	76	fveq2d 5679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( abs ` ( ( G ` C ) - ( ( G o. F ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( G ` C ) - ( G ` ( F ` z ) ) ) ) )
78	75, 71	eqeltrd 2311	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( G o. F ) ` z ) e. CC )
79	69, 78	abssubd 11903	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( abs ` ( ( G ` C ) - ( ( G o. F ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
80	73, 77, 79	3eqtr2d 2273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
81	80	breq1d 4124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) )
82	56, 68, 81	3imtr3d 202	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) )
83	82	imim2d 54	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) -> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) ) )
84	83	ralimdva 2611	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) -> ( A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) -> A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) ) )
85	84	reximdva 2646	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) -> ( E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) ) )
86	45, 85	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) )
87	86	rexlimdva2 2665	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. p e. RR+ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) ) )
88	87	ralimdva 2611	. . 3 |- ( ph -> ( A. e e. RR+ E. p e. RR+ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) ) )
89	29, 88	mpd 13	. 2 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) )
90		fco 5532	. . . 4 |- ( ( G : D --> CC /\ F : A --> D ) -> ( G o. F ) : A --> CC )
91	11, 33, 90	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( G o. F ) : A --> CC )
92	91, 39, 40	ellimc3ap 15652	. 2 |- ( ph -> ( ( G ` C ) e. ( ( G o. F ) lim CC B ) <-> ( ( G ` C ) e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) ) ) )
93	16, 89, 92	mpbir2and 953	1 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( ( G o. F ) lim CC B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   C_ wss 3214   class class class wbr 4114   X. cxp 4752   dom cdm 4754   |` cres 4756   o. ccom 4758   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   < clt 8324   - cmin 8460   # cap 8872   RR+crp 10004   abscabs 11707   ↾_t crest 13536   *Metcxmet 14810   MetOpencmopn 14815   Topctop 14988  TopOnctopon 15001   CnP ccnp 15177   lim CC climc 15645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-map 6897  df-pm 6898  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-xneg 10124  df-xadd 10125  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-rest 13538  df-topgen 13557  df-psmet 14817  df-xmet 14818  df-met 14819  df-bl 14820  df-mopn 14821  df-top 14989  df-topon 15002  df-bases 15034  df-cnp 15180  df-limced 15647

This theorem is referenced by:  dvcjbr  15699