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Theorem limccnpcntop 14829
Description: If the limit of  F at  B is  C and  G is continuous at  C, then the limit of  G  o.  F at  B is  G ( C ). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp.f  |-  ( ph  ->  F : A --> D )
limccnp.d  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
limccnpcntop.k  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
limccnp.j  |-  J  =  ( Kt  D )
limccnp.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( F lim
CC  B ) )
limccnp.b  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 C ) )
Assertion
Ref Expression
limccnpcntop  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( ( G  o.  F ) lim
CC  B ) )

Proof of Theorem limccnpcntop
Dummy variables  p  z  d  e  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp.j . . . . 5  |-  J  =  ( Kt  D )
2 limccnpcntop.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
32cntoptopon 14700 . . . . . 6  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
4 limccnp.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
5 resttopon 14339 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  ( Kt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
63, 4, 5sylancr 414 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Kt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
71, 6eqeltrid 2280 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  D ) )
83a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
9 limccnp.b . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 C ) )
10 cnpf2 14375 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  D )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  G  e.  (
( J  CnP  K
) `  C )
)  ->  G : D
--> CC )
117, 8, 9, 10syl3anc 1249 . . 3  |-  ( ph  ->  G : D --> CC )
122cntoptop 14701 . . . . 5  |-  K  e. 
Top
1312a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
14 cnprcl2k 14374 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  D )  /\  K  e.  Top  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  C ) )  ->  C  e.  D )
157, 13, 9, 14syl3anc 1249 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
1611, 15ffvelcdmd 5694 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  CC )
17 cnxmet 14699 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
18 eqid 2193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )
19 eqid 2193 . . . . . . . . 9  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )
2018, 2, 19metrest 14674 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( Kt  D )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
2117, 4, 20sylancr 414 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Kt  D )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
221, 21eqtrid 2238 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
232a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
) )
24 xmetres2 14547 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )  e.  ( *Met `  D ) )
2517, 4, 24sylancr 414 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )  e.  ( *Met `  D ) )
2617a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
2722, 23, 25, 26, 15metcnpd 14688 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  C )  <->  ( G : D --> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. p  e.  RR+  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
) ) )
289, 27mpbid 147 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G : D --> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. p  e.  RR+  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e ) ) )
2928simprd 114 . . 3  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. p  e.  RR+  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)
30 simplll 533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e ) )  ->  ph )
31 simplr 528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e ) )  ->  p  e.  RR+ )
32 limccnp.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ( F lim
CC  B ) )
33 limccnp.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : A --> D )
3433, 4fssd 5416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
3533fdmd 5410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
36 limcrcl 14812 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
3732, 36syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
3837simp2d 1012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  CC )
3935, 38eqsstrrd 3216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
4037simp3d 1013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4134, 39, 40ellimc3ap 14815 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. p  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
p ) ) ) )
4232, 41mpbid 147 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  /\ 
A. p  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
p ) ) )
4342simprd 114 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. p  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
p ) )
4443r19.21bi 2582 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  p
) )
4530, 31, 44syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  p ) )
46 oveq2 5926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  =  ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ( F `  z
) ) )
4746breq1d 4039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  <->  ( C
( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ( F `  z
) )  <  p
) )
48 fveq2 5554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  ( G `  w )  =  ( G `  ( F `  z ) ) )
4948oveq2d 5934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  =  ( ( G `
 C ) ( abs  o.  -  )
( G `  ( F `  z )
) ) )
5049breq1d 4039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e  <->  ( ( G `  C )
( abs  o.  -  )
( G `  ( F `  z )
) )  <  e
) )
5147, 50imbi12d 234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  -> 
( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )  <->  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) ( F `
 z ) )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 ( F `  z ) ) )  <  e ) ) )
52 simpllr 534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)
5333ad5antr 496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  F : A --> D )
54 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  A )
5553, 54ffvelcdmd 5694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  D )
5651, 52, 55rspcdva 2869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) ( F `
 z ) )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 ( F `  z ) ) )  <  e ) )
5715ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  C  e.  D )
5857, 55ovresd 6059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ( F `  z
) )  =  ( C ( abs  o.  -  ) ( F `
 z ) ) )
5942simpld 112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
6059ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  C  e.  CC )
614ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  D  C_  CC )
6261, 55sseldd 3180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
63 eqid 2193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
6463cnmetdval 14697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( F `  z )  e.  CC )  -> 
( C ( abs 
o.  -  ) ( F `  z )
)  =  ( abs `  ( C  -  ( F `  z )
) ) )
6560, 62, 64syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( C ( abs  o.  -  ) ( F `
 z ) )  =  ( abs `  ( C  -  ( F `  z ) ) ) )
6660, 62abssubd 11337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  -  ( F `  z ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C ) ) )
6758, 65, 663eqtrd 2230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ( F `  z
) )  =  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C ) ) )
6867breq1d 4039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) ( F `
 z ) )  <  p  <->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  p
) )
6916ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  C )  e.  CC )
7011ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  G : D --> CC )
7170, 55ffvelcdmd 5694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  ( F `  z ) )  e.  CC )
7263cnmetdval 14697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  C
)  e.  CC  /\  ( G `  ( F `
 z ) )  e.  CC )  -> 
( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  ( F `  z ) ) )  =  ( abs `  (
( G `  C
)  -  ( G `
 ( F `  z ) ) ) ) )
7369, 71, 72syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 ( F `  z ) ) )  =  ( abs `  (
( G `  C
)  -  ( G `
 ( F `  z ) ) ) ) )
74 fvco3 5628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A --> D  /\  z  e.  A )  ->  ( ( G  o.  F ) `  z
)  =  ( G `
 ( F `  z ) ) )
7553, 54, 74syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G  o.  F
) `  z )  =  ( G `  ( F `  z ) ) )
7675oveq2d 5934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  C
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 z ) )  =  ( ( G `
 C )  -  ( G `  ( F `
 z ) ) ) )
7776fveq2d 5558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( G `
 C )  -  ( ( G  o.  F ) `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( G `  C
)  -  ( G `
 ( F `  z ) ) ) ) )
7875, 71eqeltrd 2270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G  o.  F
) `  z )  e.  CC )
7969, 78abssubd 11337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( G `
 C )  -  ( ( G  o.  F ) `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )
8073, 77, 793eqtr2d 2232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 ( F `  z ) ) )  =  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )
8180breq1d 4039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  ( F `  z ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `  z )  -  ( G `  C )
) )  <  e
) )
8256, 68, 813imtr3d 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  p  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  <  e ) )
8382imim2d 54 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  p )  ->  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `  z )  -  ( G `  C )
) )  <  e
) ) )
8483ralimdva 2561 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  -> 
( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  p )  ->  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  <  e ) ) )
8584reximdva 2596 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e ) )  ->  ( E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  p
)  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `  z )  -  ( G `  C )
) )  <  e
) ) )
8645, 85mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  <  e ) )
8786rexlimdva2 2614 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. p  e.  RR+  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  <  e ) ) )
8887ralimdva 2561 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. e  e.  RR+  E. p  e.  RR+  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e )  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `  z )  -  ( G `  C )
) )  <  e
) ) )
8929, 88mpd 13 . 2  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `
 z )  -  ( G `  C ) ) )  <  e
) )
90 fco 5419 . . . 4  |-  ( ( G : D --> CC  /\  F : A --> D )  ->  ( G  o.  F ) : A --> CC )
9111, 33, 90syl2anc 411 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : A --> CC )
9291, 39, 40ellimc3ap 14815 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G `  C )  e.  ( ( G  o.  F
) lim CC  B )  <->  ( ( G `  C
)  e.  CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `  z )  -  ( G `  C )
) )  <  e
) ) ) )
9316, 89, 92mpbir2and 946 1  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( ( G  o.  F ) lim
CC  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473    C_ wss 3153   class class class wbr 4029    X. cxp 4657   dom cdm 4659    |` cres 4661    o. ccom 4663   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870    < clt 8054    - cmin 8190   # cap 8600   RR+crp 9719   abscabs 11141   ↾t crest 12850   *Metcxmet 14032   MetOpencmopn 14037   Topctop 14165  TopOnctopon 14178    CnP ccnp 14354   lim CC climc 14808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-map 6704  df-pm 6705  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-xneg 9838  df-xadd 9839  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-rest 12852  df-topgen 12871  df-psmet 14039  df-xmet 14040  df-met 14041  df-bl 14042  df-mopn 14043  df-top 14166  df-topon 14179  df-bases 14211  df-cnp 14357  df-limced 14810
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