Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  limccnpcntop Unicode version

Theorem limccnpcntop 12872
 Description: If the limit of at is and is continuous at , then the limit of at is . (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp.f
limccnp.d
limccnpcntop.k
limccnp.j t
limccnp.c lim
limccnp.b
Assertion
Ref Expression
limccnpcntop lim

Proof of Theorem limccnpcntop
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp.j . . . . 5 t
2 limccnpcntop.k . . . . . . 7
32cntoptopon 12760 . . . . . 6 TopOn
4 limccnp.d . . . . . 6
5 resttopon 12399 . . . . . 6 TopOn t TopOn
63, 4, 5sylancr 411 . . . . 5 t TopOn
71, 6eqeltrid 2227 . . . 4 TopOn
83a1i 9 . . . 4 TopOn
9 limccnp.b . . . 4
10 cnpf2 12435 . . . 4 TopOn TopOn
117, 8, 9, 10syl3anc 1217 . . 3
122cntoptop 12761 . . . . 5
1312a1i 9 . . . 4
14 cnprcl2k 12434 . . . 4 TopOn
157, 13, 9, 14syl3anc 1217 . . 3
1611, 15ffvelrnd 5565 . 2
17 cnxmet 12759 . . . . . . . 8
18 eqid 2140 . . . . . . . . 9
19 eqid 2140 . . . . . . . . 9
2018, 2, 19metrest 12734 . . . . . . . 8 t
2117, 4, 20sylancr 411 . . . . . . 7 t
221, 21syl5eq 2185 . . . . . 6
232a1i 9 . . . . . 6
24 xmetres2 12607 . . . . . . 7
2517, 4, 24sylancr 411 . . . . . 6
2617a1i 9 . . . . . 6
2722, 23, 25, 26, 15metcnpd 12748 . . . . 5
289, 27mpbid 146 . . . 4
2928simprd 113 . . 3
30 simplll 523 . . . . . . 7
31 simplr 520 . . . . . . 7
32 limccnp.c . . . . . . . . . 10 lim
33 limccnp.f . . . . . . . . . . . 12
3433, 4fssd 5294 . . . . . . . . . . 11
3533fdmd 5288 . . . . . . . . . . . 12
36 limcrcl 12855 . . . . . . . . . . . . . 14 lim
3732, 36syl 14 . . . . . . . . . . . . 13
3837simp2d 995 . . . . . . . . . . . 12
3935, 38eqsstrrd 3140 . . . . . . . . . . 11
4037simp3d 996 . . . . . . . . . . 11
4134, 39, 40ellimc3ap 12858 . . . . . . . . . 10 lim #
4232, 41mpbid 146 . . . . . . . . 9 #
4342simprd 113 . . . . . . . 8 #
4443r19.21bi 2524 . . . . . . 7 #
4530, 31, 44syl2anc 409 . . . . . 6 #
46 oveq2 5791 . . . . . . . . . . . . 13
4746breq1d 3948 . . . . . . . . . . . 12
48 fveq2 5430 . . . . . . . . . . . . . 14
4948oveq2d 5799 . . . . . . . . . . . . 13
5049breq1d 3948 . . . . . . . . . . . 12
5147, 50imbi12d 233 . . . . . . . . . . 11
52 simpllr 524 . . . . . . . . . . 11
5333ad5antr 488 . . . . . . . . . . . 12
54 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12
5553, 54ffvelrnd 5565 . . . . . . . . . . 11
5651, 52, 55rspcdva 2799 . . . . . . . . . 10
5715ad5antr 488 . . . . . . . . . . . . 13
5857, 55ovresd 5920 . . . . . . . . . . . 12
5942simpld 111 . . . . . . . . . . . . . 14
6059ad5antr 488 . . . . . . . . . . . . 13
614ad5antr 488 . . . . . . . . . . . . . 14
6261, 55sseldd 3104 . . . . . . . . . . . . 13
63 eqid 2140 . . . . . . . . . . . . . 14
6463cnmetdval 12757 . . . . . . . . . . . . 13
6560, 62, 64syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12
6660, 62abssubd 11017 . . . . . . . . . . . 12
6758, 65, 663eqtrd 2177 . . . . . . . . . . 11
6867breq1d 3948 . . . . . . . . . 10
6916ad5antr 488 . . . . . . . . . . . . 13
7011ad5antr 488 . . . . . . . . . . . . . 14
7170, 55ffvelrnd 5565 . . . . . . . . . . . . 13
7263cnmetdval 12757 . . . . . . . . . . . . 13
7369, 71, 72syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12
74 fvco3 5501 . . . . . . . . . . . . . . 15
7553, 54, 74syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14
7675oveq2d 5799 . . . . . . . . . . . . 13
7776fveq2d 5434 . . . . . . . . . . . 12
7875, 71eqeltrd 2217 . . . . . . . . . . . . 13
7969, 78abssubd 11017 . . . . . . . . . . . 12
8073, 77, 793eqtr2d 2179 . . . . . . . . . . 11
8180breq1d 3948 . . . . . . . . . 10
8256, 68, 813imtr3d 201 . . . . . . . . 9
8382imim2d 54 . . . . . . . 8 # #
8483ralimdva 2503 . . . . . . 7 # #
8584reximdva 2538 . . . . . 6 # #
8645, 85mpd 13 . . . . 5 #
8786rexlimdva2 2556 . . . 4 #
8887ralimdva 2503 . . 3 #
8929, 88mpd 13 . 2 #
90 fco 5297 . . . 4
9111, 33, 90syl2anc 409 . . 3
9291, 39, 40ellimc3ap 12858 . 2 lim #
9316, 89, 92mpbir2and 929 1 lim
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   w3a 963   wceq 1332   wcel 1481  wral 2417  wrex 2418   wss 3077   class class class wbr 3938   cxp 4546   cdm 4548   cres 4550   ccom 4552  wf 5128  cfv 5132  (class class class)co 5783  cc 7662   clt 7844   cmin 7977   # cap 8387  crp 9490  cabs 10821   ↾t crest 12179  cxmet 12208  cmopn 12213  ctop 12223  TopOnctopon 12236   ccnp 12414   lim climc 12851 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782  ax-arch 7783  ax-caucvg 7784 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-isom 5141  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-frec 6297  df-map 6553  df-pm 6554  df-sup 6881  df-inf 6882  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477  df-inn 8765  df-2 8823  df-3 8824  df-4 8825  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-q 9459  df-rp 9491  df-xneg 9609  df-xadd 9610  df-seqfrec 10270  df-exp 10344  df-cj 10666  df-re 10667  df-im 10668  df-rsqrt 10822  df-abs 10823  df-rest 12181  df-topgen 12200  df-psmet 12215  df-xmet 12216  df-met 12217  df-bl 12218  df-mopn 12219  df-top 12224  df-topon 12237  df-bases 12269  df-cnp 12417  df-limced 12853 This theorem is referenced by:  dvcjbr  12900
 Copyright terms: Public domain W3C validator