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Theorem limccnpcntop 13811
Description: If the limit of  F at  B is  C and  G is continuous at  C, then the limit of  G  o.  F at  B is  G ( C ). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp.f  |-  ( ph  ->  F : A --> D )
limccnp.d  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
limccnpcntop.k  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
limccnp.j  |-  J  =  ( Kt  D )
limccnp.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( F lim
CC  B ) )
limccnp.b  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 C ) )
Assertion
Ref Expression
limccnpcntop  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( ( G  o.  F ) lim
CC  B ) )

Proof of Theorem limccnpcntop
Dummy variables  p  z  d  e  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp.j . . . . 5  |-  J  =  ( Kt  D )
2 limccnpcntop.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
32cntoptopon 13699 . . . . . 6  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
4 limccnp.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
5 resttopon 13338 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  ( Kt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
63, 4, 5sylancr 414 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Kt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
71, 6eqeltrid 2264 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  D ) )
83a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
9 limccnp.b . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 C ) )
10 cnpf2 13374 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  D )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  G  e.  (
( J  CnP  K
) `  C )
)  ->  G : D
--> CC )
117, 8, 9, 10syl3anc 1238 . . 3  |-  ( ph  ->  G : D --> CC )
122cntoptop 13700 . . . . 5  |-  K  e. 
Top
1312a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
14 cnprcl2k 13373 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  D )  /\  K  e.  Top  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  C ) )  ->  C  e.  D )
157, 13, 9, 14syl3anc 1238 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
1611, 15ffvelcdmd 5648 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  CC )
17 cnxmet 13698 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
18 eqid 2177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )
19 eqid 2177 . . . . . . . . 9  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )
2018, 2, 19metrest 13673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( Kt  D )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
2117, 4, 20sylancr 414 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Kt  D )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
221, 21eqtrid 2222 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
232a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
) )
24 xmetres2 13546 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )  e.  ( *Met `  D ) )
2517, 4, 24sylancr 414 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )  e.  ( *Met `  D ) )
2617a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
2722, 23, 25, 26, 15metcnpd 13687 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  C )  <->  ( G : D --> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. p  e.  RR+  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
) ) )
289, 27mpbid 147 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G : D --> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. p  e.  RR+  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e ) ) )
2928simprd 114 . . 3  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. p  e.  RR+  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)
30 simplll 533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e ) )  ->  ph )
31 simplr 528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e ) )  ->  p  e.  RR+ )
32 limccnp.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ( F lim
CC  B ) )
33 limccnp.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : A --> D )
3433, 4fssd 5374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
3533fdmd 5368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
36 limcrcl 13794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
3732, 36syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
3837simp2d 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  CC )
3935, 38eqsstrrd 3192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
4037simp3d 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4134, 39, 40ellimc3ap 13797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. p  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
p ) ) ) )
4232, 41mpbid 147 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  /\ 
A. p  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
p ) ) )
4342simprd 114 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. p  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
p ) )
4443r19.21bi 2565 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  p
) )
4530, 31, 44syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  p ) )
46 oveq2 5877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  =  ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ( F `  z
) ) )
4746breq1d 4010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  <->  ( C
( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ( F `  z
) )  <  p
) )
48 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  ( G `  w )  =  ( G `  ( F `  z ) ) )
4948oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  =  ( ( G `
 C ) ( abs  o.  -  )
( G `  ( F `  z )
) ) )
5049breq1d 4010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e  <->  ( ( G `  C )
( abs  o.  -  )
( G `  ( F `  z )
) )  <  e
) )
5147, 50imbi12d 234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  -> 
( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )  <->  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) ( F `
 z ) )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 ( F `  z ) ) )  <  e ) ) )
52 simpllr 534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)
5333ad5antr 496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  F : A --> D )
54 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  A )
5553, 54ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  D )
5651, 52, 55rspcdva 2846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) ( F `
 z ) )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 ( F `  z ) ) )  <  e ) )
5715ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  C  e.  D )
5857, 55ovresd 6009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ( F `  z
) )  =  ( C ( abs  o.  -  ) ( F `
 z ) ) )
5942simpld 112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
6059ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  C  e.  CC )
614ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  D  C_  CC )
6261, 55sseldd 3156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
63 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
6463cnmetdval 13696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( F `  z )  e.  CC )  -> 
( C ( abs 
o.  -  ) ( F `  z )
)  =  ( abs `  ( C  -  ( F `  z )
) ) )
6560, 62, 64syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( C ( abs  o.  -  ) ( F `
 z ) )  =  ( abs `  ( C  -  ( F `  z ) ) ) )
6660, 62abssubd 11186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  -  ( F `  z ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C ) ) )
6758, 65, 663eqtrd 2214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ( F `  z
) )  =  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C ) ) )
6867breq1d 4010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) ( F `
 z ) )  <  p  <->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  p
) )
6916ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  C )  e.  CC )
7011ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  G : D --> CC )
7170, 55ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  ( F `  z ) )  e.  CC )
7263cnmetdval 13696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  C
)  e.  CC  /\  ( G `  ( F `
 z ) )  e.  CC )  -> 
( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  ( F `  z ) ) )  =  ( abs `  (
( G `  C
)  -  ( G `
 ( F `  z ) ) ) ) )
7369, 71, 72syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 ( F `  z ) ) )  =  ( abs `  (
( G `  C
)  -  ( G `
 ( F `  z ) ) ) ) )
74 fvco3 5583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A --> D  /\  z  e.  A )  ->  ( ( G  o.  F ) `  z
)  =  ( G `
 ( F `  z ) ) )
7553, 54, 74syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G  o.  F
) `  z )  =  ( G `  ( F `  z ) ) )
7675oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  C
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 z ) )  =  ( ( G `
 C )  -  ( G `  ( F `
 z ) ) ) )
7776fveq2d 5515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( G `
 C )  -  ( ( G  o.  F ) `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( G `  C
)  -  ( G `
 ( F `  z ) ) ) ) )
7875, 71eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G  o.  F
) `  z )  e.  CC )
7969, 78abssubd 11186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( G `
 C )  -  ( ( G  o.  F ) `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )
8073, 77, 793eqtr2d 2216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 ( F `  z ) ) )  =  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )
8180breq1d 4010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  ( F `  z ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `  z )  -  ( G `  C )
) )  <  e
) )
8256, 68, 813imtr3d 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  p  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  <  e ) )
8382imim2d 54 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  p )  ->  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `  z )  -  ( G `  C )
) )  <  e
) ) )
8483ralimdva 2544 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  -> 
( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  p )  ->  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  <  e ) ) )
8584reximdva 2579 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e ) )  ->  ( E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  p
)  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `  z )  -  ( G `  C )
) )  <  e
) ) )
8645, 85mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  <  e ) )
8786rexlimdva2 2597 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. p  e.  RR+  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  <  e ) ) )
8887ralimdva 2544 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. e  e.  RR+  E. p  e.  RR+  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e )  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `  z )  -  ( G `  C )
) )  <  e
) ) )
8929, 88mpd 13 . 2  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `
 z )  -  ( G `  C ) ) )  <  e
) )
90 fco 5377 . . . 4  |-  ( ( G : D --> CC  /\  F : A --> D )  ->  ( G  o.  F ) : A --> CC )
9111, 33, 90syl2anc 411 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : A --> CC )
9291, 39, 40ellimc3ap 13797 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G `  C )  e.  ( ( G  o.  F
) lim CC  B )  <->  ( ( G `  C
)  e.  CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `  z )  -  ( G `  C )
) )  <  e
) ) ) )
9316, 89, 92mpbir2and 944 1  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( ( G  o.  F ) lim
CC  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456    C_ wss 3129   class class class wbr 4000    X. cxp 4621   dom cdm 4623    |` cres 4625    o. ccom 4627   -->wf 5208   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7800    < clt 7982    - cmin 8118   # cap 8528   RR+crp 9640   abscabs 10990   ↾t crest 12636   *Metcxmet 13147   MetOpencmopn 13152   Topctop 13162  TopOnctopon 13175    CnP ccnp 13353   lim CC climc 13790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-map 6644  df-pm 6645  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-rest 12638  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-met 13156  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-cnp 13356  df-limced 13792
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