Theorem limccnpcntop 15540

Description: If the limit of F at B is C and G is continuous at C, then the limit of G o. F at B is G ( C ). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccnp.f	|- ( ph -> F : A --> D )
limccnp.d	|- ( ph -> D C_ CC )
limccnpcntop.k	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
limccnp.j	|- J = ( K ↾t D )
limccnp.c	|- ( ph -> C e. ( F lim CC B ) )
limccnp.b	|- ( ph -> G e. ( ( J CnP K ) ` C ) )

Assertion

Ref	Expression
limccnpcntop	|- ( ph -> ( G ` C ) e. ( ( G o. F ) lim CC B ) )

Proof of Theorem limccnpcntop

Dummy variables p z d e w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccnp.j	. . . . 5 |- J = ( K ↾t D )
2		limccnpcntop.k	. . . . . . 7 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3	2	cntoptopon 15397	. . . . . 6 |- K e. (TopOn ` CC )
4		limccnp.d	. . . . . 6 |- ( ph -> D C_ CC )
5		resttopon 15036	. . . . . 6 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( K ↾t D ) e. (TopOn ` D ) )
6	3, 4, 5	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ↾t D ) e. (TopOn ` D ) )
7	1, 6	eqeltrid 2319	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` D ) )
8	3	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
9		limccnp.b	. . . 4 |- ( ph -> G e. ( ( J CnP K ) ` C ) )
10		cnpf2 15072	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` D ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ G e. ( ( J CnP K ) ` C ) ) -> G : D --> CC )
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> G : D --> CC )
12	2	cntoptop 15398	. . . . 5 |- K e. Top
13	12	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> K e. Top )
14		cnprcl2k 15071	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` D ) /\ K e. Top /\ G e. ( ( J CnP K ) ` C ) ) -> C e. D )
15	7, 13, 9, 14	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> C e. D )
16	11, 15	ffvelcdmd 5813	. 2 |- ( ph -> ( G ` C ) e. CC )
17		cnxmet 15396	. . . . . . . 8 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
18		eqid 2232	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) )
19		eqid 2232	. . . . . . . . 9 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) )
20	18, 2, 19	metrest 15371	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( K ↾t D ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) )
21	17, 4, 20	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K ↾t D ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) )
22	1, 21	eqtrid 2277	. . . . . 6 |- ( ph -> J = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) )
23	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) )
24		xmetres2 15244	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) e. ( *Met ` D ) )
25	17, 4, 24	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) e. ( *Met ` D ) )
26	17	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
27	22, 23, 25, 26, 15	metcnpd 15385	. . . . 5 |- ( ph -> ( G e. ( ( J CnP K ) ` C ) <-> ( G : D --> CC /\ A. e e. RR+ E. p e. RR+ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) ) )
28	9, 27	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> ( G : D --> CC /\ A. e e. RR+ E. p e. RR+ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) )
29	28	simprd 114	. . 3 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. p e. RR+ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) )
30		simplll 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) -> ph )
31		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) -> p e. RR+ )
32		limccnp.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. ( F lim CC B ) )
33		limccnp.f	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : A --> D )
34	33, 4	fssd 5522	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> CC )
35	33	fdmd 5515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom F = A )
36		limcrcl 15523	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. ( F lim CC B ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )
37	32, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )
38	37	simp2d 1037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom F C_ CC )
39	35, 38	eqsstrrd 3275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ CC )
40	37	simp3d 1038	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
41	34, 39, 40	ellimc3ap 15526	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. p e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) ) ) )
42	32, 41	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C e. CC /\ A. p e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) ) )
43	42	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. p e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) )
44	43	r19.21bi 2630	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) )
45	30, 31, 44	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) )
46		oveq2 6058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( F ` z ) -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) = ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) )
47	46	breq1d 4119	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( F ` z ) -> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p <-> ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) < p ) )
48		fveq2 5670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( F ` z ) -> ( G ` w ) = ( G ` ( F ` z ) ) )
49	48	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( F ` z ) -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) = ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) )
50	49	breq1d 4119	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( F ` z ) -> ( ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e <-> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) < e ) )
51	47, 50	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( F ` z ) -> ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) <-> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) < e ) ) )
52		simpllr 536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) )
53	33	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> F : A --> D )
54		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> z e. A )
55	53, 54	ffvelcdmd 5813	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. D )
56	51, 52, 55	rspcdva 2926	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) < e ) )
57	15	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> C e. D )
58	57, 55	ovresd 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) = ( C ( abs o. - ) ( F ` z ) ) )
59	42	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> C e. CC )
60	59	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> C e. CC )
61	4	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> D C_ CC )
62	61, 55	sseldd 3239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
63		eqid 2232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
64	63	cnmetdval 15394	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. CC /\ ( F ` z ) e. CC ) -> ( C ( abs o. - ) ( F ` z ) ) = ( abs ` ( C - ( F ` z ) ) ) )
65	60, 62, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( C ( abs o. - ) ( F ` z ) ) = ( abs ` ( C - ( F ` z ) ) ) )
66	60, 62	abssubd 11878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( abs ` ( C - ( F ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) )
67	58, 65, 66	3eqtrd 2269	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) )
68	67	breq1d 4119	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) < p <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) )
69	16	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( G ` C ) e. CC )
70	11	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> G : D --> CC )
71	70, 55	ffvelcdmd 5813	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( G ` ( F ` z ) ) e. CC )
72	63	cnmetdval 15394	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G ` C ) e. CC /\ ( G ` ( F ` z ) ) e. CC ) -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( G ` C ) - ( G ` ( F ` z ) ) ) ) )
73	69, 71, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( G ` C ) - ( G ` ( F ` z ) ) ) ) )
74		fvco3 5748	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : A --> D /\ z e. A ) -> ( ( G o. F ) ` z ) = ( G ` ( F ` z ) ) )
75	53, 54, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( G o. F ) ` z ) = ( G ` ( F ` z ) ) )
76	75	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( G ` C ) - ( ( G o. F ) ` z ) ) = ( ( G ` C ) - ( G ` ( F ` z ) ) ) )
77	76	fveq2d 5674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( abs ` ( ( G ` C ) - ( ( G o. F ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( G ` C ) - ( G ` ( F ` z ) ) ) ) )
78	75, 71	eqeltrd 2309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( G o. F ) ` z ) e. CC )
79	69, 78	abssubd 11878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( abs ` ( ( G ` C ) - ( ( G o. F ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
80	73, 77, 79	3eqtr2d 2271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
81	80	breq1d 4119	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) )
82	56, 68, 81	3imtr3d 202	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) )
83	82	imim2d 54	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) -> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) ) )
84	83	ralimdva 2609	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) -> ( A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) -> A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) ) )
85	84	reximdva 2644	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) -> ( E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) ) )
86	45, 85	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) )
87	86	rexlimdva2 2663	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. p e. RR+ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) ) )
88	87	ralimdva 2609	. . 3 |- ( ph -> ( A. e e. RR+ E. p e. RR+ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) ) )
89	29, 88	mpd 13	. 2 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) )
90		fco 5527	. . . 4 |- ( ( G : D --> CC /\ F : A --> D ) -> ( G o. F ) : A --> CC )
91	11, 33, 90	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( G o. F ) : A --> CC )
92	91, 39, 40	ellimc3ap 15526	. 2 |- ( ph -> ( ( G ` C ) e. ( ( G o. F ) lim CC B ) <-> ( ( G ` C ) e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) ) ) )
93	16, 89, 92	mpbir2and 953	1 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( ( G o. F ) lim CC B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   C_ wss 3211   class class class wbr 4109   X. cxp 4747   dom cdm 4749   |` cres 4751   o. ccom 4753   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   CCcc 8125   < clt 8308   - cmin 8444   # cap 8855   RR+crp 9986   abscabs 11682   ↾_t crest 13452   *Metcxmet 14684   MetOpencmopn 14689   Topctop 14862  TopOnctopon 14875   CnP ccnp 15051   lim CC climc 15519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-map 6884  df-pm 6885  df-sup 7275  df-inf 7276  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-xneg 10105  df-xadd 10106  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-rest 13454  df-topgen 13473  df-psmet 14691  df-xmet 14692  df-met 14693  df-bl 14694  df-mopn 14695  df-top 14863  df-topon 14876  df-bases 14908  df-cnp 15054  df-limced 15521

This theorem is referenced by:  dvcjbr  15573