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Theorem limccnpcntop 13695
Description: If the limit of  F at  B is  C and  G is continuous at  C, then the limit of  G  o.  F at  B is  G ( C ). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp.f  |-  ( ph  ->  F : A --> D )
limccnp.d  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
limccnpcntop.k  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
limccnp.j  |-  J  =  ( Kt  D )
limccnp.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( F lim
CC  B ) )
limccnp.b  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 C ) )
Assertion
Ref Expression
limccnpcntop  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( ( G  o.  F ) lim
CC  B ) )

Proof of Theorem limccnpcntop
Dummy variables  p  z  d  e  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp.j . . . . 5  |-  J  =  ( Kt  D )
2 limccnpcntop.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
32cntoptopon 13583 . . . . . 6  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
4 limccnp.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
5 resttopon 13222 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  ( Kt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
63, 4, 5sylancr 414 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Kt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
71, 6eqeltrid 2262 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  D ) )
83a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
9 limccnp.b . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 C ) )
10 cnpf2 13258 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  D )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  G  e.  (
( J  CnP  K
) `  C )
)  ->  G : D
--> CC )
117, 8, 9, 10syl3anc 1238 . . 3  |-  ( ph  ->  G : D --> CC )
122cntoptop 13584 . . . . 5  |-  K  e. 
Top
1312a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
14 cnprcl2k 13257 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  D )  /\  K  e.  Top  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  C ) )  ->  C  e.  D )
157, 13, 9, 14syl3anc 1238 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
1611, 15ffvelcdmd 5644 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  CC )
17 cnxmet 13582 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
18 eqid 2175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )
19 eqid 2175 . . . . . . . . 9  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )
2018, 2, 19metrest 13557 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( Kt  D )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
2117, 4, 20sylancr 414 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Kt  D )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
221, 21eqtrid 2220 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
232a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
) )
24 xmetres2 13430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )  e.  ( *Met `  D ) )
2517, 4, 24sylancr 414 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )  e.  ( *Met `  D ) )
2617a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
2722, 23, 25, 26, 15metcnpd 13571 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  C )  <->  ( G : D --> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. p  e.  RR+  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
) ) )
289, 27mpbid 147 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G : D --> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. p  e.  RR+  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e ) ) )
2928simprd 114 . . 3  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. p  e.  RR+  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)
30 simplll 533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e ) )  ->  ph )
31 simplr 528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e ) )  ->  p  e.  RR+ )
32 limccnp.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ( F lim
CC  B ) )
33 limccnp.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : A --> D )
3433, 4fssd 5370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
3533fdmd 5364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
36 limcrcl 13678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
3732, 36syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
3837simp2d 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  CC )
3935, 38eqsstrrd 3190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
4037simp3d 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4134, 39, 40ellimc3ap 13681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. p  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
p ) ) ) )
4232, 41mpbid 147 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  /\ 
A. p  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
p ) ) )
4342simprd 114 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. p  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
p ) )
4443r19.21bi 2563 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  p
) )
4530, 31, 44syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  p ) )
46 oveq2 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  =  ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ( F `  z
) ) )
4746breq1d 4008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  <->  ( C
( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ( F `  z
) )  <  p
) )
48 fveq2 5507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  ( G `  w )  =  ( G `  ( F `  z ) ) )
4948oveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  =  ( ( G `
 C ) ( abs  o.  -  )
( G `  ( F `  z )
) ) )
5049breq1d 4008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e  <->  ( ( G `  C )
( abs  o.  -  )
( G `  ( F `  z )
) )  <  e
) )
5147, 50imbi12d 234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  -> 
( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )  <->  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) ( F `
 z ) )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 ( F `  z ) ) )  <  e ) ) )
52 simpllr 534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)
5333ad5antr 496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  F : A --> D )
54 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  A )
5553, 54ffvelcdmd 5644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  D )
5651, 52, 55rspcdva 2844 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) ( F `
 z ) )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 ( F `  z ) ) )  <  e ) )
5715ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  C  e.  D )
5857, 55ovresd 6005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ( F `  z
) )  =  ( C ( abs  o.  -  ) ( F `
 z ) ) )
5942simpld 112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
6059ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  C  e.  CC )
614ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  D  C_  CC )
6261, 55sseldd 3154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
63 eqid 2175 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
6463cnmetdval 13580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( F `  z )  e.  CC )  -> 
( C ( abs 
o.  -  ) ( F `  z )
)  =  ( abs `  ( C  -  ( F `  z )
) ) )
6560, 62, 64syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( C ( abs  o.  -  ) ( F `
 z ) )  =  ( abs `  ( C  -  ( F `  z ) ) ) )
6660, 62abssubd 11168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  -  ( F `  z ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C ) ) )
6758, 65, 663eqtrd 2212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ( F `  z
) )  =  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C ) ) )
6867breq1d 4008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) ( F `
 z ) )  <  p  <->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  p
) )
6916ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  C )  e.  CC )
7011ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  G : D --> CC )
7170, 55ffvelcdmd 5644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  ( F `  z ) )  e.  CC )
7263cnmetdval 13580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  C
)  e.  CC  /\  ( G `  ( F `
 z ) )  e.  CC )  -> 
( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  ( F `  z ) ) )  =  ( abs `  (
( G `  C
)  -  ( G `
 ( F `  z ) ) ) ) )
7369, 71, 72syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 ( F `  z ) ) )  =  ( abs `  (
( G `  C
)  -  ( G `
 ( F `  z ) ) ) ) )
74 fvco3 5579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A --> D  /\  z  e.  A )  ->  ( ( G  o.  F ) `  z
)  =  ( G `
 ( F `  z ) ) )
7553, 54, 74syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G  o.  F
) `  z )  =  ( G `  ( F `  z ) ) )
7675oveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  C
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 z ) )  =  ( ( G `
 C )  -  ( G `  ( F `
 z ) ) ) )
7776fveq2d 5511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( G `
 C )  -  ( ( G  o.  F ) `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( G `  C
)  -  ( G `
 ( F `  z ) ) ) ) )
7875, 71eqeltrd 2252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G  o.  F
) `  z )  e.  CC )
7969, 78abssubd 11168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( G `
 C )  -  ( ( G  o.  F ) `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )
8073, 77, 793eqtr2d 2214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 ( F `  z ) ) )  =  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  z
)  -  ( G `
 C ) ) ) )
8180breq1d 4008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  ( F `  z ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `  z )  -  ( G `  C )
) )  <  e
) )
8256, 68, 813imtr3d 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  p  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  <  e ) )
8382imim2d 54 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  p )  ->  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `  z )  -  ( G `  C )
) )  <  e
) ) )
8483ralimdva 2542 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  -> 
( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )
)  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  p )  ->  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  <  e ) ) )
8584reximdva 2577 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e ) )  ->  ( E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  p
)  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `  z )  -  ( G `  C )
) )  <  e
) ) )
8645, 85mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  p  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  <  e ) )
8786rexlimdva2 2595 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. p  e.  RR+  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) w )  <  p  ->  ( ( G `  C ) ( abs 
o.  -  ) ( G `  w )
)  <  e )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  <  e ) ) )
8887ralimdva 2542 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. e  e.  RR+  E. p  e.  RR+  A. w  e.  D  ( ( C ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) w )  <  p  ->  (
( G `  C
) ( abs  o.  -  ) ( G `
 w ) )  <  e )  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `  z )  -  ( G `  C )
) )  <  e
) ) )
8929, 88mpd 13 . 2  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `
 z )  -  ( G `  C ) ) )  <  e
) )
90 fco 5373 . . . 4  |-  ( ( G : D --> CC  /\  F : A --> D )  ->  ( G  o.  F ) : A --> CC )
9111, 33, 90syl2anc 411 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : A --> CC )
9291, 39, 40ellimc3ap 13681 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G `  C )  e.  ( ( G  o.  F
) lim CC  B )  <->  ( ( G `  C
)  e.  CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `  z )  -  ( G `  C )
) )  <  e
) ) ) )
9316, 89, 92mpbir2and 944 1  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( ( G  o.  F ) lim
CC  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454    C_ wss 3127   class class class wbr 3998    X. cxp 4618   dom cdm 4620    |` cres 4622    o. ccom 4624   -->wf 5204   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   CCcc 7784    < clt 7966    - cmin 8102   # cap 8512   RR+crp 9622   abscabs 10972   ↾t crest 12608   *Metcxmet 13031   MetOpencmopn 13036   Topctop 13046  TopOnctopon 13059    CnP ccnp 13237   lim CC climc 13674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-map 6640  df-pm 6641  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-xneg 9741  df-xadd 9742  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974  df-rest 12610  df-topgen 12629  df-psmet 13038  df-xmet 13039  df-met 13040  df-bl 13041  df-mopn 13042  df-top 13047  df-topon 13060  df-bases 13092  df-cnp 13240  df-limced 13676
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