Theorem limccnpcntop 15398

Description: If the limit of F at B is C and G is continuous at C, then the limit of G o. F at B is G ( C ). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccnp.f	|- ( ph -> F : A --> D )
limccnp.d	|- ( ph -> D C_ CC )
limccnpcntop.k	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
limccnp.j	|- J = ( K ↾t D )
limccnp.c	|- ( ph -> C e. ( F lim CC B ) )
limccnp.b	|- ( ph -> G e. ( ( J CnP K ) ` C ) )

Assertion

Ref	Expression
limccnpcntop	|- ( ph -> ( G ` C ) e. ( ( G o. F ) lim CC B ) )

Proof of Theorem limccnpcntop

Dummy variables p z d e w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccnp.j	. . . . 5 |- J = ( K ↾t D )
2		limccnpcntop.k	. . . . . . 7 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3	2	cntoptopon 15255	. . . . . 6 |- K e. (TopOn ` CC )
4		limccnp.d	. . . . . 6 |- ( ph -> D C_ CC )
5		resttopon 14894	. . . . . 6 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( K ↾t D ) e. (TopOn ` D ) )
6	3, 4, 5	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ↾t D ) e. (TopOn ` D ) )
7	1, 6	eqeltrid 2318	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` D ) )
8	3	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
9		limccnp.b	. . . 4 |- ( ph -> G e. ( ( J CnP K ) ` C ) )
10		cnpf2 14930	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` D ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ G e. ( ( J CnP K ) ` C ) ) -> G : D --> CC )
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ph -> G : D --> CC )
12	2	cntoptop 15256	. . . . 5 |- K e. Top
13	12	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> K e. Top )
14		cnprcl2k 14929	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` D ) /\ K e. Top /\ G e. ( ( J CnP K ) ` C ) ) -> C e. D )
15	7, 13, 9, 14	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ph -> C e. D )
16	11, 15	ffvelcdmd 5783	. 2 |- ( ph -> ( G ` C ) e. CC )
17		cnxmet 15254	. . . . . . . 8 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
18		eqid 2231	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) )
19		eqid 2231	. . . . . . . . 9 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) )
20	18, 2, 19	metrest 15229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( K ↾t D ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) )
21	17, 4, 20	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K ↾t D ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) )
22	1, 21	eqtrid 2276	. . . . . 6 |- ( ph -> J = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) )
23	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) )
24		xmetres2 15102	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) e. ( *Met ` D ) )
25	17, 4, 24	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) e. ( *Met ` D ) )
26	17	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
27	22, 23, 25, 26, 15	metcnpd 15243	. . . . 5 |- ( ph -> ( G e. ( ( J CnP K ) ` C ) <-> ( G : D --> CC /\ A. e e. RR+ E. p e. RR+ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) ) )
28	9, 27	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> ( G : D --> CC /\ A. e e. RR+ E. p e. RR+ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) )
29	28	simprd 114	. . 3 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. p e. RR+ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) )
30		simplll 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) -> ph )
31		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) -> p e. RR+ )
32		limccnp.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. ( F lim CC B ) )
33		limccnp.f	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : A --> D )
34	33, 4	fssd 5495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> CC )
35	33	fdmd 5489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom F = A )
36		limcrcl 15381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. ( F lim CC B ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )
37	32, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )
38	37	simp2d 1036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom F C_ CC )
39	35, 38	eqsstrrd 3264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ CC )
40	37	simp3d 1037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
41	34, 39, 40	ellimc3ap 15384	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. p e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) ) ) )
42	32, 41	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C e. CC /\ A. p e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) ) )
43	42	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. p e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) )
44	43	r19.21bi 2620	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) )
45	30, 31, 44	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) )
46		oveq2 6025	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( F ` z ) -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) = ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) )
47	46	breq1d 4098	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( F ` z ) -> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p <-> ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) < p ) )
48		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( F ` z ) -> ( G ` w ) = ( G ` ( F ` z ) ) )
49	48	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( F ` z ) -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) = ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) )
50	49	breq1d 4098	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( F ` z ) -> ( ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e <-> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) < e ) )
51	47, 50	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( F ` z ) -> ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) <-> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) < e ) ) )
52		simpllr 536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) )
53	33	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> F : A --> D )
54		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> z e. A )
55	53, 54	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. D )
56	51, 52, 55	rspcdva 2915	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) < e ) )
57	15	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> C e. D )
58	57, 55	ovresd 6162	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) = ( C ( abs o. - ) ( F ` z ) ) )
59	42	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> C e. CC )
60	59	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> C e. CC )
61	4	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> D C_ CC )
62	61, 55	sseldd 3228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
63		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
64	63	cnmetdval 15252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. CC /\ ( F ` z ) e. CC ) -> ( C ( abs o. - ) ( F ` z ) ) = ( abs ` ( C - ( F ` z ) ) ) )
65	60, 62, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( C ( abs o. - ) ( F ` z ) ) = ( abs ` ( C - ( F ` z ) ) ) )
66	60, 62	abssubd 11753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( abs ` ( C - ( F ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) )
67	58, 65, 66	3eqtrd 2268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) )
68	67	breq1d 4098	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) < p <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) )
69	16	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( G ` C ) e. CC )
70	11	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> G : D --> CC )
71	70, 55	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( G ` ( F ` z ) ) e. CC )
72	63	cnmetdval 15252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G ` C ) e. CC /\ ( G ` ( F ` z ) ) e. CC ) -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( G ` C ) - ( G ` ( F ` z ) ) ) ) )
73	69, 71, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( G ` C ) - ( G ` ( F ` z ) ) ) ) )
74		fvco3 5717	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : A --> D /\ z e. A ) -> ( ( G o. F ) ` z ) = ( G ` ( F ` z ) ) )
75	53, 54, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( G o. F ) ` z ) = ( G ` ( F ` z ) ) )
76	75	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( G ` C ) - ( ( G o. F ) ` z ) ) = ( ( G ` C ) - ( G ` ( F ` z ) ) ) )
77	76	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( abs ` ( ( G ` C ) - ( ( G o. F ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( G ` C ) - ( G ` ( F ` z ) ) ) ) )
78	75, 71	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( G o. F ) ` z ) e. CC )
79	69, 78	abssubd 11753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( abs ` ( ( G ` C ) - ( ( G o. F ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
80	73, 77, 79	3eqtr2d 2270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
81	80	breq1d 4098	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) )
82	56, 68, 81	3imtr3d 202	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) )
83	82	imim2d 54	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) -> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) ) )
84	83	ralimdva 2599	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) -> ( A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) -> A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) ) )
85	84	reximdva 2634	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) -> ( E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) ) )
86	45, 85	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) )
87	86	rexlimdva2 2653	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. p e. RR+ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) ) )
88	87	ralimdva 2599	. . 3 |- ( ph -> ( A. e e. RR+ E. p e. RR+ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) ) )
89	29, 88	mpd 13	. 2 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) )
90		fco 5500	. . . 4 |- ( ( G : D --> CC /\ F : A --> D ) -> ( G o. F ) : A --> CC )
91	11, 33, 90	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( G o. F ) : A --> CC )
92	91, 39, 40	ellimc3ap 15384	. 2 |- ( ph -> ( ( G ` C ) e. ( ( G o. F ) lim CC B ) <-> ( ( G ` C ) e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) ) ) )
93	16, 89, 92	mpbir2and 952	1 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( ( G o. F ) lim CC B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   C_ wss 3200   class class class wbr 4088   X. cxp 4723   dom cdm 4725   |` cres 4727   o. ccom 4729   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   CCcc 8029   < clt 8213   - cmin 8349   # cap 8760   RR+crp 9887   abscabs 11557   ↾_t crest 13321   *Metcxmet 14549   MetOpencmopn 14554   Topctop 14720  TopOnctopon 14733   CnP ccnp 14909   lim CC climc 15377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-map 6818  df-pm 6819  df-sup 7182  df-inf 7183  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-xneg 10006  df-xadd 10007  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-rest 13323  df-topgen 13342  df-psmet 14556  df-xmet 14557  df-met 14558  df-bl 14559  df-mopn 14560  df-top 14721  df-topon 14734  df-bases 14766  df-cnp 14912  df-limced 15379

This theorem is referenced by:  dvcjbr  15431