Theorem limccnpcntop 13438

Description: If the limit of F at B is C and G is continuous at C, then the limit of G o. F at B is G ( C ). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccnp.f	|- ( ph -> F : A --> D )
limccnp.d	|- ( ph -> D C_ CC )
limccnpcntop.k	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
limccnp.j	|- J = ( K ↾t D )
limccnp.c	|- ( ph -> C e. ( F lim CC B ) )
limccnp.b	|- ( ph -> G e. ( ( J CnP K ) ` C ) )

Assertion

Ref	Expression
limccnpcntop	|- ( ph -> ( G ` C ) e. ( ( G o. F ) lim CC B ) )

Proof of Theorem limccnpcntop

Dummy variables p z d e w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccnp.j	. . . . 5 |- J = ( K ↾t D )
2		limccnpcntop.k	. . . . . . 7 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3	2	cntoptopon 13326	. . . . . 6 |- K e. (TopOn ` CC )
4		limccnp.d	. . . . . 6 |- ( ph -> D C_ CC )
5		resttopon 12965	. . . . . 6 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( K ↾t D ) e. (TopOn ` D ) )
6	3, 4, 5	sylancr 412	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ↾t D ) e. (TopOn ` D ) )
7	1, 6	eqeltrid 2257	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` D ) )
8	3	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
9		limccnp.b	. . . 4 |- ( ph -> G e. ( ( J CnP K ) ` C ) )
10		cnpf2 13001	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` D ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ G e. ( ( J CnP K ) ` C ) ) -> G : D --> CC )
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1233	. . 3 |- ( ph -> G : D --> CC )
12	2	cntoptop 13327	. . . . 5 |- K e. Top
13	12	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> K e. Top )
14		cnprcl2k 13000	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` D ) /\ K e. Top /\ G e. ( ( J CnP K ) ` C ) ) -> C e. D )
15	7, 13, 9, 14	syl3anc 1233	. . 3 |- ( ph -> C e. D )
16	11, 15	ffvelrnd 5632	. 2 |- ( ph -> ( G ` C ) e. CC )
17		cnxmet 13325	. . . . . . . 8 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
18		eqid 2170	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) )
19		eqid 2170	. . . . . . . . 9 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) )
20	18, 2, 19	metrest 13300	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( K ↾t D ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) )
21	17, 4, 20	sylancr 412	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K ↾t D ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) )
22	1, 21	eqtrid 2215	. . . . . 6 |- ( ph -> J = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) )
23	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) )
24		xmetres2 13173	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) e. ( *Met ` D ) )
25	17, 4, 24	sylancr 412	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) e. ( *Met ` D ) )
26	17	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
27	22, 23, 25, 26, 15	metcnpd 13314	. . . . 5 |- ( ph -> ( G e. ( ( J CnP K ) ` C ) <-> ( G : D --> CC /\ A. e e. RR+ E. p e. RR+ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) ) )
28	9, 27	mpbid 146	. . . 4 |- ( ph -> ( G : D --> CC /\ A. e e. RR+ E. p e. RR+ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) )
29	28	simprd 113	. . 3 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. p e. RR+ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) )
30		simplll 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) -> ph )
31		simplr 525	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) -> p e. RR+ )
32		limccnp.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. ( F lim CC B ) )
33		limccnp.f	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : A --> D )
34	33, 4	fssd 5360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> CC )
35	33	fdmd 5354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom F = A )
36		limcrcl 13421	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. ( F lim CC B ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )
37	32, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )
38	37	simp2d 1005	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom F C_ CC )
39	35, 38	eqsstrrd 3184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ CC )
40	37	simp3d 1006	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
41	34, 39, 40	ellimc3ap 13424	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. p e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) ) ) )
42	32, 41	mpbid 146	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C e. CC /\ A. p e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) ) )
43	42	simprd 113	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. p e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) )
44	43	r19.21bi 2558	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) )
45	30, 31, 44	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) )
46		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( F ` z ) -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) = ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) )
47	46	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( F ` z ) -> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p <-> ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) < p ) )
48		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( F ` z ) -> ( G ` w ) = ( G ` ( F ` z ) ) )
49	48	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( F ` z ) -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) = ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) )
50	49	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( F ` z ) -> ( ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e <-> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) < e ) )
51	47, 50	imbi12d 233	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( F ` z ) -> ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) <-> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) < e ) ) )
52		simpllr 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) )
53	33	ad5antr 493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> F : A --> D )
54		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> z e. A )
55	53, 54	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. D )
56	51, 52, 55	rspcdva 2839	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) < e ) )
57	15	ad5antr 493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> C e. D )
58	57, 55	ovresd 5993	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) = ( C ( abs o. - ) ( F ` z ) ) )
59	42	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> C e. CC )
60	59	ad5antr 493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> C e. CC )
61	4	ad5antr 493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> D C_ CC )
62	61, 55	sseldd 3148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
63		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
64	63	cnmetdval 13323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. CC /\ ( F ` z ) e. CC ) -> ( C ( abs o. - ) ( F ` z ) ) = ( abs ` ( C - ( F ` z ) ) ) )
65	60, 62, 64	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( C ( abs o. - ) ( F ` z ) ) = ( abs ` ( C - ( F ` z ) ) ) )
66	60, 62	abssubd 11157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( abs ` ( C - ( F ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) )
67	58, 65, 66	3eqtrd 2207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) )
68	67	breq1d 3999	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ( F ` z ) ) < p <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) )
69	16	ad5antr 493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( G ` C ) e. CC )
70	11	ad5antr 493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> G : D --> CC )
71	70, 55	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( G ` ( F ` z ) ) e. CC )
72	63	cnmetdval 13323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G ` C ) e. CC /\ ( G ` ( F ` z ) ) e. CC ) -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( G ` C ) - ( G ` ( F ` z ) ) ) ) )
73	69, 71, 72	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( G ` C ) - ( G ` ( F ` z ) ) ) ) )
74		fvco3 5567	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : A --> D /\ z e. A ) -> ( ( G o. F ) ` z ) = ( G ` ( F ` z ) ) )
75	53, 54, 74	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( G o. F ) ` z ) = ( G ` ( F ` z ) ) )
76	75	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( G ` C ) - ( ( G o. F ) ` z ) ) = ( ( G ` C ) - ( G ` ( F ` z ) ) ) )
77	76	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( abs ` ( ( G ` C ) - ( ( G o. F ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( G ` C ) - ( G ` ( F ` z ) ) ) ) )
78	75, 71	eqeltrd 2247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( G o. F ) ` z ) e. CC )
79	69, 78	abssubd 11157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( abs ` ( ( G ` C ) - ( ( G o. F ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
80	73, 77, 79	3eqtr2d 2209	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
81	80	breq1d 3999	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` ( F ` z ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) )
82	56, 68, 81	3imtr3d 201	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) )
83	82	imim2d 54	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) -> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) ) )
84	83	ralimdva 2537	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) /\ d e. RR+ ) -> ( A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) -> A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) ) )
85	84	reximdva 2572	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) -> ( E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < p ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) ) )
86	45, 85	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ p e. RR+ ) /\ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) )
87	86	rexlimdva2 2590	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. p e. RR+ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) ) )
88	87	ralimdva 2537	. . 3 |- ( ph -> ( A. e e. RR+ E. p e. RR+ A. w e. D ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) w ) < p -> ( ( G ` C ) ( abs o. - ) ( G ` w ) ) < e ) -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) ) )
89	29, 88	mpd 13	. 2 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) )
90		fco 5363	. . . 4 |- ( ( G : D --> CC /\ F : A --> D ) -> ( G o. F ) : A --> CC )
91	11, 33, 90	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> ( G o. F ) : A --> CC )
92	91, 39, 40	ellimc3ap 13424	. 2 |- ( ph -> ( ( G ` C ) e. ( ( G o. F ) lim CC B ) <-> ( ( G ` C ) e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` z ) - ( G ` C ) ) ) < e ) ) ) )
93	16, 89, 92	mpbir2and 939	1 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( ( G o. F ) lim CC B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   X. cxp 4609   dom cdm 4611   |` cres 4613   o. ccom 4615   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   < clt 7954   - cmin 8090   # cap 8500   RR+crp 9610   abscabs 10961   ↾_t crest 12579   *Metcxmet 12774   MetOpencmopn 12779   Topctop 12789  TopOnctopon 12802   CnP ccnp 12980   lim CC climc 13417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-map 6628  df-pm 6629  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-rest 12581  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-cnp 12983  df-limced 13419

This theorem is referenced by:  dvcjbr  13466