Theorem limccnp2lem 15902

Description: Lemma for limccnp2cntop 15903. This is most of the result, expressed in epsilon-delta form, with a large number of hypotheses so that lengthy expressions do not need to be repeated. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccnp2.r	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. X )
limccnp2.s	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. Y )
limccnp2.x	|- ( ph -> X C_ CC )
limccnp2.y	|- ( ph -> Y C_ CC )
limccnp2cntop.k	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
limccnp2.j	|- J = ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) )
limccnp2.c	|- ( ph -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) )
limccnp2.d	|- ( ph -> D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) )
limccnp2.h	|- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )
limccnp2lem.nf	|- F/ x ph
limccnp2lem.e	|- ( ph -> E e. RR+ )
limccnp2lem.j	|- ( ph -> L e. RR+ )
limccnp2lem.rs	|- ( ph -> A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < E ) )
limccnp2lem.f	|- ( ph -> F e. RR+ )
limccnp2lem.fj	|- ( ph -> A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < F ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < L ) )
limccnp2lem.g	|- ( ph -> G e. RR+ )
limccnp2lem.gj	|- ( ph -> A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < G ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < L ) )

Assertion

Ref	Expression
limccnp2lem	|- ( ph -> E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, C   x, D   x, H   x, X   x, A   x, Y   A, d   B, d   C, d, r, s   D, d, r, s   E, d, r, s   F, d, x   G, d, x   H, d, r, s   L, r, s   R, d, r, s   S, d, s   X, r, s   Y, r, s

Allowed substitution hints:   ph( x, s, r, d)   A( s, r)   B( s, r)   R( x)   S( x, r)   E( x)   F( s, r)   G( s, r)   J( x, s, r, d)   K( x, s, r, d)   L( x, d)   X( d)   Y( d)

Proof of Theorem limccnp2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccnp2lem.f	. . 3 |- ( ph -> F e. RR+ )
2		limccnp2lem.g	. . 3 |- ( ph -> G e. RR+ )
3		rpmincl 12028	. . 3 |- ( ( F e. RR+ /\ G e. RR+ ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) e. RR+ )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> inf ( { F , G } , RR , < ) e. RR+ )
5		limccnp2lem.nf	. . 3 |- F/ x ph
6		limccnp2.j	. . . . . . . . . . 11 |- J = ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) )
7		limccnp2cntop.k	. . . . . . . . . . . . . 14 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
8	7	cntoptopon 15758	. . . . . . . . . . . . 13 |- K e. (TopOn ` CC )
9		txtopon 15488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ K e. (TopOn ` CC ) ) -> ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
10	8, 8, 9	mp2an 430	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
11		limccnp2.x	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X C_ CC )
12		limccnp2.y	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y C_ CC )
13		xpss12 4884	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X C_ CC /\ Y C_ CC ) -> ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) )
14	11, 12, 13	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) )
15		resttopon 15397	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) /\ ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) ) -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
16	10, 14, 15	sylancr 418	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
17	6, 16	eqeltrid 2325	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
18	8	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
19		limccnp2.h	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )
20		cnpf2 15433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) ) -> H : ( X X. Y ) --> CC )
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> H : ( X X. Y ) --> CC )
22	21	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> H : ( X X. Y ) --> CC )
23	7	cntoptop 15759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- K e. Top
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> K e. Top )
25		txtop 15486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. Top /\ K e. Top ) -> ( K tX K ) e. Top )
26	23, 24, 25	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( K tX K ) e. Top )
27		cnex 8309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- CC e. _V
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> CC e. _V )
29	28, 11	ssexd 4275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> X e. _V )
30	28, 12	ssexd 4275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Y e. _V )
31		xpexg 4891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( X X. Y ) e. _V )
32	29, 30, 31	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( X X. Y ) e. _V )
33		resttop 15396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K tX K ) e. Top /\ ( X X. Y ) e. _V ) -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. Top )
34	26, 32, 33	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. Top )
35	6, 34	eqeltrid 2325	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> J e. Top )
36		toptopon2 15245	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
37	35, 36	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. J ) )
38		cnprcl2k 15432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. Top /\ H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) ) -> <. C , D >. e. U. J )
39	37, 24, 19, 38	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> <. C , D >. e. U. J )
40		toponuni 15241	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) -> ( X X. Y ) = U. J )
41	17, 40	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X X. Y ) = U. J )
42	39, 41	eleqtrrd 2318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> <. C , D >. e. ( X X. Y ) )
43		opelxp 4806	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. C , D >. e. ( X X. Y ) <-> ( C e. X /\ D e. Y ) )
44	42, 43	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C e. X /\ D e. Y ) )
45	44	simpld 112	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. X )
46	45	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> C e. X )
47	44	simprd 114	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. Y )
48	47	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> D e. Y )
49	22, 46, 48	fovcdmd 6237	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( C H D ) e. CC )
50		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( ph /\ x e. A ) )
51		limccnp2.r	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. X )
52	50, 51	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> R e. X )
53		limccnp2.s	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. Y )
54	50, 53	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> S e. Y )
55	22, 52, 54	fovcdmd 6237	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( R H S ) e. CC )
56		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
57	56	cnmetdval 15755	. . . . . . 7 |- ( ( ( C H D ) e. CC /\ ( R H S ) e. CC ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) = ( abs ` ( ( C H D ) - ( R H S ) ) ) )
58	49, 55, 57	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) = ( abs ` ( ( C H D ) - ( R H S ) ) ) )
59	49, 55	abssubd 11982	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( ( C H D ) - ( R H S ) ) ) = ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) )
60	58, 59	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) = ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) )
61	52, 54	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( R e. X /\ S e. Y ) )
62		limccnp2lem.rs	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < E ) )
63	62	ad2antrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < E ) )
64	46, 52	ovresd 6233	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) = ( C ( abs o. - ) R ) )
65	11, 45	sseldd 3249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. CC )
66	65	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> C e. CC )
67	11	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> X C_ CC )
68	67, 52	sseldd 3249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> R e. CC )
69	56	cnmetdval 15755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. CC /\ R e. CC ) -> ( C ( abs o. - ) R ) = ( abs ` ( C - R ) ) )
70	66, 68, 69	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( C ( abs o. - ) R ) = ( abs ` ( C - R ) ) )
71	66, 68	abssubd 11982	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( C - R ) ) = ( abs ` ( R - C ) ) )
72	64, 70, 71	3eqtrd 2275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) = ( abs ` ( R - C ) ) )
73		simprl 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> x # B )
74	51	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( x e. A -> R e. X ) )
75	5, 74	ralrimi 2621	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. x e. A R e. X )
76		dmmptg 5288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. x e. A R e. X -> dom ( x e. A |-> R ) = A )
77	75, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> R ) = A )
78		limccnp2.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) )
79		limcrcl 15884	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) -> ( ( x e. A |-> R ) : dom ( x e. A |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. A |-> R ) C_ CC /\ B e. CC ) )
80	78, 79	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> R ) : dom ( x e. A |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. A |-> R ) C_ CC /\ B e. CC ) )
81	80	simp2d 1041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> R ) C_ CC )
82	77, 81	eqsstrrd 3285	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A C_ CC )
83	82	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> A C_ CC )
84	50	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> x e. A )
85	83, 84	sseldd 3249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> x e. CC )
86	80	simp3d 1042	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. CC )
87	86	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> B e. CC )
88	85, 87	subcld 8644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( x - B ) e. CC )
89	88	abscld 11970	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( x - B ) ) e. RR )
90	1	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> F e. RR+ )
91	90	rpred 10114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> F e. RR )
92	2	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> G e. RR+ )
93	92	rpred 10114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> G e. RR )
94		mincl 12021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. RR /\ G e. RR ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) e. RR )
95	91, 93, 94	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) e. RR )
96		simprr 537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) )
97		min1inf 12022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. RR /\ G e. RR ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) <_ F )
98	91, 93, 97	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) <_ F )
99	89, 95, 91, 96, 98	ltletrd 8758	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( x - B ) ) < F )
100	73, 99	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < F ) )
101		limccnp2lem.fj	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < F ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < L ) )
102	101	r19.21bi 2638	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < F ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < L ) )
103	50, 100, 102	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < L )
104	72, 103	eqbrtrd 4153	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L )
105	48, 54	ovresd 6233	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) = ( D ( abs o. - ) S ) )
106	12, 47	sseldd 3249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. CC )
107	106	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> D e. CC )
108	12	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> Y C_ CC )
109	108, 54	sseldd 3249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> S e. CC )
110	56	cnmetdval 15755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. CC /\ S e. CC ) -> ( D ( abs o. - ) S ) = ( abs ` ( D - S ) ) )
111	107, 109, 110	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( D ( abs o. - ) S ) = ( abs ` ( D - S ) ) )
112	107, 109	abssubd 11982	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( D - S ) ) = ( abs ` ( S - D ) ) )
113	105, 111, 112	3eqtrd 2275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) = ( abs ` ( S - D ) ) )
114		min2inf 12023	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. RR /\ G e. RR ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) <_ G )
115	91, 93, 114	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) <_ G )
116	89, 95, 93, 96, 115	ltletrd 8758	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( x - B ) ) < G )
117	73, 116	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < G ) )
118		limccnp2lem.gj	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < G ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < L ) )
119	118	r19.21bi 2638	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < G ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < L ) )
120	50, 117, 119	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < L )
121	113, 120	eqbrtrd 4153	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) < L )
122	104, 121	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) < L ) )
123		oveq2 6096	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) = ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) )
124	123	breq1d 4141	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L <-> ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L ) )
125	124	anbi1d 469	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) <-> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) ) )
126		oveq1 6095	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( r H s ) = ( R H s ) )
127	126	oveq2d 6104	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) = ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H s ) ) )
128	127	breq1d 4141	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < E <-> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H s ) ) < E ) )
129	125, 128	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < E ) <-> ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H s ) ) < E ) ) )
130		oveq2 6096	. . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) = ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) )
131	130	breq1d 4141	. . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L <-> ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) < L ) )
132	131	anbi2d 468	. . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) <-> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) < L ) ) )
133		oveq2 6096	. . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( R H s ) = ( R H S ) )
134	133	oveq2d 6104	. . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H s ) ) = ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) )
135	134	breq1d 4141	. . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H s ) ) < E <-> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) < E ) )
136	132, 135	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H s ) ) < E ) <-> ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) < E ) ) )
137	129, 136	rspc2v 2943	. . . . . 6 |- ( ( R e. X /\ S e. Y ) -> ( A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < E ) -> ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) < E ) ) )
138	61, 63, 122, 137	syl3c 63	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) < E )
139	60, 138	eqbrtrrd 4155	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E )
140	139	exp31 364	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A -> ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E ) ) )
141	5, 140	ralrimi 2621	. 2 |- ( ph -> A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E ) )
142		breq2 4135	. . . 4 |- ( d = inf ( { F , G } , RR , < ) -> ( ( abs ` ( x - B ) ) < d <-> ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) )
143	142	anbi2d 468	. . 3 |- ( d = inf ( { F , G } , RR , < ) -> ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) <-> ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) )
144	143	rspceaimv 2938	. 2 |- ( (inf ( { F , G } , RR , < ) e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E ) ) -> E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E ) )
145	4, 141, 144	syl2anc 415	1 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   F/wnf 1513   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   {cpr 3710   <.cop 3712   U.cuni 3935   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   X. cxp 4774   dom cdm 4776   |` cres 4778   o. ccom 4780   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088  infcinf 7329   CCcc 8183   RRcr 8184   < clt 8366   <_ cle 8367   - cmin 8504   # cap 8917   RR+crp 10071   abscabs 11785   ↾_t crest 13652   MetOpencmopn 14987   Topctop 15223  TopOnctopon 15236   CnP ccnp 15412   tX ctx 15478   lim CC climc 15880

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-map 6928  df-pm 6929  df-sup 7330  df-inf 7331  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-xneg 10191  df-xadd 10192  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-rest 13654  df-topgen 13673  df-psmet 14989  df-xmet 14990  df-met 14991  df-bl 14992  df-mopn 14993  df-top 15224  df-topon 15237  df-bases 15269  df-cnp 15415  df-tx 15479  df-limced 15882

This theorem is used by:  limccnp2cntop  15903