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Theorem limccnp2lem 13285
Description: Lemma for limccnp2cntop 13286. This is most of the result, expressed in epsilon-delta form, with a large number of hypotheses so that lengthy expressions do not need to be repeated. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp2.r |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. X )
limccnp2.s |- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. Y )
limccnp2.x |- ( ph -> X C_ CC )
limccnp2.y |- ( ph -> Y C_ CC )
limccnp2cntop.k |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
limccnp2.j |- J = ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) )
limccnp2.c |- ( ph -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) )
limccnp2.d |- ( ph -> D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) )
limccnp2.h |- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )
limccnp2lem.nf |- F/ x ph
limccnp2lem.e |- ( ph -> E e. RR+ )
limccnp2lem.j |- ( ph -> L e. RR+ )
limccnp2lem.rs |- ( ph -> A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < E ) )
limccnp2lem.f |- ( ph -> F e. RR+ )
limccnp2lem.fj |- ( ph -> A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < F ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < L ) )
limccnp2lem.g |- ( ph -> G e. RR+ )
limccnp2lem.gj |- ( ph -> A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < G ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < L ) )
Assertion
Ref Expression
limccnp2lem |- ( ph -> E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E ) )
Distinct variable groups:   x, B   x, C   x, D   x, H   x, X   x, A   x, Y   A, d   B, d   C, d, r, s   D, d, r, s   E, d, r, s   F, d, x   G, d, x   H, d, r, s   L, r, s   R, d, r, s   S, d, s   X, r, s   Y, r, s
Allowed substitution hints:   ph( x, s, r, d)   A( s, r)   B( s, r)   R( x)   S( x, r)   E( x)   F( s, r)   G( s, r)   J( x, s, r, d)   K( x, s, r, d)   L( x, d)   X( d)   Y( d)
Proof of Theorem limccnp2lem
StepHypRef Expression
1 limccnp2lem.f . . 3 |- ( ph -> F e. RR+ )
2 limccnp2lem.g . . 3 |- ( ph -> G e. RR+ )
3 rpmincl 11179 . . 3 |- ( ( F e. RR+ /\ G e. RR+ ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) e. RR+ )
41, 2, 3syl2anc 409 . 2 |- ( ph -> inf ( { F , G } , RR , < ) e. RR+ )
5 limccnp2lem.nf . . 3 |- F/ x ph
6 limccnp2.j . . . . . . . . . . 11 |- J = ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) )
7 limccnp2cntop.k . . . . . . . . . . . . . 14 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
87cntoptopon 13172 . . . . . . . . . . . . 13 |- K e. (TopOn ` CC )
9 txtopon 12902 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ K e. (TopOn ` CC ) ) -> ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
108, 8, 9mp2an 423 . . . . . . . . . . . 12 |- ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
11 limccnp2.x . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X C_ CC )
12 limccnp2.y . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y C_ CC )
13 xpss12 4711 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X C_ CC /\ Y C_ CC ) -> ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) )
1411, 12, 13syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) )
15 resttopon 12811 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) /\ ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) ) -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
1610, 14, 15sylancr 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
176, 16eqeltrid 2253 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
188a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
19 limccnp2.h . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )
20 cnpf2 12847 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) ) -> H : ( X X. Y ) --> CC )
2117, 18, 19, 20syl3anc 1228 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> H : ( X X. Y ) --> CC )
2221ad2antrr 480 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> H : ( X X. Y ) --> CC )
237cntoptop 13173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- K e. Top
2423a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> K e. Top )
25 txtop 12900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. Top /\ K e. Top ) -> ( K tX K ) e. Top )
2623, 24, 25sylancr 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( K tX K ) e. Top )
27 cnex 7877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- CC e. _V
2827a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> CC e. _V )
2928, 11ssexd 4122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> X e. _V )
3028, 12ssexd 4122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Y e. _V )
31 xpexg 4718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( X X. Y ) e. _V )
3229, 30, 31syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( X X. Y ) e. _V )
33 resttop 12810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K tX K ) e. Top /\ ( X X. Y ) e. _V ) -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. Top )
3426, 32, 33syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. Top )
356, 34eqeltrid 2253 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> J e. Top )
36 toptopon2 12657 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
3735, 36sylib 121 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. J ) )
38 cnprcl2k 12846 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. Top /\ H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) ) -> <. C , D >. e. U. J )
3937, 24, 19, 38syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> <. C , D >. e. U. J )
40 toponuni 12653 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) -> ( X X. Y ) = U. J )
4117, 40syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X X. Y ) = U. J )
4239, 41eleqtrrd 2246 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> <. C , D >. e. ( X X. Y ) )
43 opelxp 4634 . . . . . . . . . . 11 |- ( <. C , D >. e. ( X X. Y ) <-> ( C e. X /\ D e. Y ) )
4442, 43sylib 121 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C e. X /\ D e. Y ) )
4544simpld 111 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. X )
4645ad2antrr 480 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> C e. X )
4744simprd 113 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. Y )
4847ad2antrr 480 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> D e. Y )
4922, 46, 48fovrnd 5986 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( C H D ) e. CC )
50 simpl 108 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( ph /\ x e. A ) )
51 limccnp2.r . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. X )
5250, 51syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> R e. X )
53 limccnp2.s . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. Y )
5450, 53syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> S e. Y )
5522, 52, 54fovrnd 5986 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( R H S ) e. CC )
56 eqid 2165 . . . . . . . 8 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
5756cnmetdval 13169 . . . . . . 7 |- ( ( ( C H D ) e. CC /\ ( R H S ) e. CC ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) = ( abs ` ( ( C H D ) - ( R H S ) ) ) )
5849, 55, 57syl2anc 409 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) = ( abs ` ( ( C H D ) - ( R H S ) ) ) )
5949, 55abssubd 11135 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( ( C H D ) - ( R H S ) ) ) = ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) )
6058, 59eqtrd 2198 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) = ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) )
6152, 54jca 304 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( R e. X /\ S e. Y ) )
62 limccnp2lem.rs . . . . . . 7 |- ( ph -> A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < E ) )
6362ad2antrr 480 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < E ) )
6446, 52ovresd 5982 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) = ( C ( abs o. - ) R ) )
6511, 45sseldd 3143 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. CC )
6665ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> C e. CC )
6711ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> X C_ CC )
6867, 52sseldd 3143 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> R e. CC )
6956cnmetdval 13169 . . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. CC /\ R e. CC ) -> ( C ( abs o. - ) R ) = ( abs ` ( C - R ) ) )
7066, 68, 69syl2anc 409 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( C ( abs o. - ) R ) = ( abs ` ( C - R ) ) )
7166, 68abssubd 11135 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( C - R ) ) = ( abs ` ( R - C ) ) )
7264, 70, 713eqtrd 2202 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) = ( abs ` ( R - C ) ) )
73 simprl 521 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> x # B )
7451ex 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( x e. A -> R e. X ) )
755, 74ralrimi 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. x e. A R e. X )
76 dmmptg 5101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. x e. A R e. X -> dom ( x e. A |-> R ) = A )
7775, 76syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> R ) = A )
78 limccnp2.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) )
79 limcrcl 13267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) -> ( ( x e. A |-> R ) : dom ( x e. A |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. A |-> R ) C_ CC /\ B e. CC ) )
8078, 79syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> R ) : dom ( x e. A |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. A |-> R ) C_ CC /\ B e. CC ) )
8180simp2d 1000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> R ) C_ CC )
8277, 81eqsstrrd 3179 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A C_ CC )
8382ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> A C_ CC )
8450simprd 113 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> x e. A )
8583, 84sseldd 3143 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> x e. CC )
8680simp3d 1001 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. CC )
8786ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> B e. CC )
8885, 87subcld 8209 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( x - B ) e. CC )
8988abscld 11123 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( x - B ) ) e. RR )
901ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> F e. RR+ )
9190rpred 9632 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> F e. RR )
922ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> G e. RR+ )
9392rpred 9632 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> G e. RR )
94 mincl 11172 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. RR /\ G e. RR ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) e. RR )
9591, 93, 94syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) e. RR )
96 simprr 522 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) )
97 min1inf 11173 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. RR /\ G e. RR ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) <_ F )
9891, 93, 97syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) <_ F )
9989, 95, 91, 96, 98ltletrd 8321 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( x - B ) ) < F )
10073, 99jca 304 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < F ) )
101 limccnp2lem.fj . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < F ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < L ) )
102101r19.21bi 2554 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < F ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < L ) )
10350, 100, 102sylc 62 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < L )
10472, 103eqbrtrd 4004 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L )
10548, 54ovresd 5982 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) = ( D ( abs o. - ) S ) )
10612, 47sseldd 3143 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. CC )
107106ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> D e. CC )
10812ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> Y C_ CC )
109108, 54sseldd 3143 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> S e. CC )
11056cnmetdval 13169 . . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. CC /\ S e. CC ) -> ( D ( abs o. - ) S ) = ( abs ` ( D - S ) ) )
111107, 109, 110syl2anc 409 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( D ( abs o. - ) S ) = ( abs ` ( D - S ) ) )
112107, 109abssubd 11135 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( D - S ) ) = ( abs ` ( S - D ) ) )
113105, 111, 1123eqtrd 2202 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) = ( abs ` ( S - D ) ) )
114 min2inf 11174 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. RR /\ G e. RR ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) <_ G )
11591, 93, 114syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) <_ G )
11689, 95, 93, 96, 115ltletrd 8321 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( x - B ) ) < G )
11773, 116jca 304 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < G ) )
118 limccnp2lem.gj . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < G ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < L ) )
119118r19.21bi 2554 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < G ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < L ) )
12050, 117, 119sylc 62 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < L )
121113, 120eqbrtrd 4004 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) < L )
122104, 121jca 304 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) < L ) )
123 oveq2 5850 . . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) = ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) )
124123breq1d 3992 . . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L <-> ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L ) )
125124anbi1d 461 . . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) <-> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) ) )
126 oveq1 5849 . . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( r H s ) = ( R H s ) )
127126oveq2d 5858 . . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) = ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H s ) ) )
128127breq1d 3992 . . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < E <-> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H s ) ) < E ) )
129125, 128imbi12d 233 . . . . . . 7 |- ( r = R -> ( ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < E ) <-> ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H s ) ) < E ) ) )
130 oveq2 5850 . . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) = ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) )
131130breq1d 3992 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L <-> ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) < L ) )
132131anbi2d 460 . . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) <-> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) < L ) ) )
133 oveq2 5850 . . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( R H s ) = ( R H S ) )
134133oveq2d 5858 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H s ) ) = ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) )
135134breq1d 3992 . . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H s ) ) < E <-> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) < E ) )
136132, 135imbi12d 233 . . . . . . 7 |- ( s = S -> ( ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H s ) ) < E ) <-> ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) < E ) ) )
137129, 136rspc2v 2843 . . . . . 6 |- ( ( R e. X /\ S e. Y ) -> ( A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < E ) -> ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) < E ) ) )
13861, 63, 122, 137syl3c 63 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) < E )
13960, 138eqbrtrrd 4006 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E )
140139exp31 362 . . 3 |- ( ph -> ( x e. A -> ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E ) ) )
1415, 140ralrimi 2537 . 2 |- ( ph -> A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E ) )
142 breq2 3986 . . . 4 |- ( d = inf ( { F , G } , RR , < ) -> ( ( abs ` ( x - B ) ) < d <-> ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) )
143142anbi2d 460 . . 3 |- ( d = inf ( { F , G } , RR , < ) -> ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) <-> ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) )
144143rspceaimv 2838 . 2 |- ( (inf ( { F , G } , RR , < ) e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E ) ) -> E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E ) )
1454, 141, 144syl2anc 409 1 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 968   = wceq 1343   F/wnf 1448   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   {cpr 3577   <.cop 3579   U.cuni 3789   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   X. cxp 4602   dom cdm 4604   |` cres 4606   o. ccom 4608   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842  infcinf 6948   CCcc 7751   RRcr 7752   < clt 7933   <_ cle 7934   - cmin 8069   # cap 8479   RR+crp 9589   abscabs 10939   ↾t crest 12556   MetOpencmopn 12625   Topctop 12635  TopOnctopon 12648   CnP ccnp 12826   tX ctx 12892   lim CC climc 13263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-map 6616  df-pm 6617  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-rest 12558  df-topgen 12577  df-psmet 12627  df-xmet 12628  df-met 12629  df-bl 12630  df-mopn 12631  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-cnp 12829  df-tx 12893  df-limced 13265
This theorem is referenced by:  limccnp2cntop  13286
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