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Theorem limccnp2lem 13812
Description: Lemma for limccnp2cntop 13813. This is most of the result, expressed in epsilon-delta form, with a large number of hypotheses so that lengthy expressions do not need to be repeated. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp2.r |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. X )
limccnp2.s |- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. Y )
limccnp2.x |- ( ph -> X C_ CC )
limccnp2.y |- ( ph -> Y C_ CC )
limccnp2cntop.k |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
limccnp2.j |- J = ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) )
limccnp2.c |- ( ph -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) )
limccnp2.d |- ( ph -> D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) )
limccnp2.h |- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )
limccnp2lem.nf |- F/ x ph
limccnp2lem.e |- ( ph -> E e. RR+ )
limccnp2lem.j |- ( ph -> L e. RR+ )
limccnp2lem.rs |- ( ph -> A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < E ) )
limccnp2lem.f |- ( ph -> F e. RR+ )
limccnp2lem.fj |- ( ph -> A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < F ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < L ) )
limccnp2lem.g |- ( ph -> G e. RR+ )
limccnp2lem.gj |- ( ph -> A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < G ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < L ) )
Assertion
Ref Expression
limccnp2lem |- ( ph -> E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E ) )
Distinct variable groups:   x, B   x, C   x, D   x, H   x, X   x, A   x, Y   A, d   B, d   C, d, r, s   D, d, r, s   E, d, r, s   F, d, x   G, d, x   H, d, r, s   L, r, s   R, d, r, s   S, d, s   X, r, s   Y, r, s
Allowed substitution hints:   ph( x, s, r, d)   A( s, r)   B( s, r)   R( x)   S( x, r)   E( x)   F( s, r)   G( s, r)   J( x, s, r, d)   K( x, s, r, d)   L( x, d)   X( d)   Y( d)
Proof of Theorem limccnp2lem
StepHypRef Expression
1 limccnp2lem.f . . 3 |- ( ph -> F e. RR+ )
2 limccnp2lem.g . . 3 |- ( ph -> G e. RR+ )
3 rpmincl 11230 . . 3 |- ( ( F e. RR+ /\ G e. RR+ ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) e. RR+ )
41, 2, 3syl2anc 411 . 2 |- ( ph -> inf ( { F , G } , RR , < ) e. RR+ )
5 limccnp2lem.nf . . 3 |- F/ x ph
6 limccnp2.j . . . . . . . . . . 11 |- J = ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) )
7 limccnp2cntop.k . . . . . . . . . . . . . 14 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
87cntoptopon 13699 . . . . . . . . . . . . 13 |- K e. (TopOn ` CC )
9 txtopon 13429 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ K e. (TopOn ` CC ) ) -> ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
108, 8, 9mp2an 426 . . . . . . . . . . . 12 |- ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
11 limccnp2.x . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X C_ CC )
12 limccnp2.y . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y C_ CC )
13 xpss12 4730 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X C_ CC /\ Y C_ CC ) -> ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) )
1411, 12, 13syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) )
15 resttopon 13338 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) /\ ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) ) -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
1610, 14, 15sylancr 414 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
176, 16eqeltrid 2264 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
188a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
19 limccnp2.h . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )
20 cnpf2 13374 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) ) -> H : ( X X. Y ) --> CC )
2117, 18, 19, 20syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> H : ( X X. Y ) --> CC )
2221ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> H : ( X X. Y ) --> CC )
237cntoptop 13700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- K e. Top
2423a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> K e. Top )
25 txtop 13427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. Top /\ K e. Top ) -> ( K tX K ) e. Top )
2623, 24, 25sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( K tX K ) e. Top )
27 cnex 7926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- CC e. _V
2827a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> CC e. _V )
2928, 11ssexd 4140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> X e. _V )
3028, 12ssexd 4140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Y e. _V )
31 xpexg 4737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( X X. Y ) e. _V )
3229, 30, 31syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( X X. Y ) e. _V )
33 resttop 13337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K tX K ) e. Top /\ ( X X. Y ) e. _V ) -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. Top )
3426, 32, 33syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. Top )
356, 34eqeltrid 2264 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> J e. Top )
36 toptopon2 13184 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
3735, 36sylib 122 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. J ) )
38 cnprcl2k 13373 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. Top /\ H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) ) -> <. C , D >. e. U. J )
3937, 24, 19, 38syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> <. C , D >. e. U. J )
40 toponuni 13180 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) -> ( X X. Y ) = U. J )
4117, 40syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X X. Y ) = U. J )
4239, 41eleqtrrd 2257 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> <. C , D >. e. ( X X. Y ) )
43 opelxp 4653 . . . . . . . . . . 11 |- ( <. C , D >. e. ( X X. Y ) <-> ( C e. X /\ D e. Y ) )
4442, 43sylib 122 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C e. X /\ D e. Y ) )
4544simpld 112 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. X )
4645ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> C e. X )
4744simprd 114 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. Y )
4847ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> D e. Y )
4922, 46, 48fovcdmd 6013 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( C H D ) e. CC )
50 simpl 109 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( ph /\ x e. A ) )
51 limccnp2.r . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. X )
5250, 51syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> R e. X )
53 limccnp2.s . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. Y )
5450, 53syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> S e. Y )
5522, 52, 54fovcdmd 6013 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( R H S ) e. CC )
56 eqid 2177 . . . . . . . 8 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
5756cnmetdval 13696 . . . . . . 7 |- ( ( ( C H D ) e. CC /\ ( R H S ) e. CC ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) = ( abs ` ( ( C H D ) - ( R H S ) ) ) )
5849, 55, 57syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) = ( abs ` ( ( C H D ) - ( R H S ) ) ) )
5949, 55abssubd 11186 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( ( C H D ) - ( R H S ) ) ) = ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) )
6058, 59eqtrd 2210 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) = ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) )
6152, 54jca 306 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( R e. X /\ S e. Y ) )
62 limccnp2lem.rs . . . . . . 7 |- ( ph -> A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < E ) )
6362ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < E ) )
6446, 52ovresd 6009 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) = ( C ( abs o. - ) R ) )
6511, 45sseldd 3156 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. CC )
6665ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> C e. CC )
6711ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> X C_ CC )
6867, 52sseldd 3156 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> R e. CC )
6956cnmetdval 13696 . . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. CC /\ R e. CC ) -> ( C ( abs o. - ) R ) = ( abs ` ( C - R ) ) )
7066, 68, 69syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( C ( abs o. - ) R ) = ( abs ` ( C - R ) ) )
7166, 68abssubd 11186 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( C - R ) ) = ( abs ` ( R - C ) ) )
7264, 70, 713eqtrd 2214 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) = ( abs ` ( R - C ) ) )
73 simprl 529 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> x # B )
7451ex 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( x e. A -> R e. X ) )
755, 74ralrimi 2548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. x e. A R e. X )
76 dmmptg 5122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. x e. A R e. X -> dom ( x e. A |-> R ) = A )
7775, 76syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> R ) = A )
78 limccnp2.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) )
79 limcrcl 13794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) -> ( ( x e. A |-> R ) : dom ( x e. A |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. A |-> R ) C_ CC /\ B e. CC ) )
8078, 79syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> R ) : dom ( x e. A |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. A |-> R ) C_ CC /\ B e. CC ) )
8180simp2d 1010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> R ) C_ CC )
8277, 81eqsstrrd 3192 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A C_ CC )
8382ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> A C_ CC )
8450simprd 114 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> x e. A )
8583, 84sseldd 3156 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> x e. CC )
8680simp3d 1011 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. CC )
8786ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> B e. CC )
8885, 87subcld 8258 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( x - B ) e. CC )
8988abscld 11174 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( x - B ) ) e. RR )
901ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> F e. RR+ )
9190rpred 9683 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> F e. RR )
922ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> G e. RR+ )
9392rpred 9683 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> G e. RR )
94 mincl 11223 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. RR /\ G e. RR ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) e. RR )
9591, 93, 94syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) e. RR )
96 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) )
97 min1inf 11224 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. RR /\ G e. RR ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) <_ F )
9891, 93, 97syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) <_ F )
9989, 95, 91, 96, 98ltletrd 8370 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( x - B ) ) < F )
10073, 99jca 306 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < F ) )
101 limccnp2lem.fj . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < F ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < L ) )
102101r19.21bi 2565 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < F ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < L ) )
10350, 100, 102sylc 62 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < L )
10472, 103eqbrtrd 4022 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L )
10548, 54ovresd 6009 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) = ( D ( abs o. - ) S ) )
10612, 47sseldd 3156 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. CC )
107106ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> D e. CC )
10812ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> Y C_ CC )
109108, 54sseldd 3156 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> S e. CC )
11056cnmetdval 13696 . . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. CC /\ S e. CC ) -> ( D ( abs o. - ) S ) = ( abs ` ( D - S ) ) )
111107, 109, 110syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( D ( abs o. - ) S ) = ( abs ` ( D - S ) ) )
112107, 109abssubd 11186 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( D - S ) ) = ( abs ` ( S - D ) ) )
113105, 111, 1123eqtrd 2214 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) = ( abs ` ( S - D ) ) )
114 min2inf 11225 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. RR /\ G e. RR ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) <_ G )
11591, 93, 114syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) <_ G )
11689, 95, 93, 96, 115ltletrd 8370 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( x - B ) ) < G )
11773, 116jca 306 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < G ) )
118 limccnp2lem.gj . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < G ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < L ) )
119118r19.21bi 2565 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < G ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < L ) )
12050, 117, 119sylc 62 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < L )
121113, 120eqbrtrd 4022 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) < L )
122104, 121jca 306 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) < L ) )
123 oveq2 5877 . . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) = ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) )
124123breq1d 4010 . . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L <-> ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L ) )
125124anbi1d 465 . . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) <-> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) ) )
126 oveq1 5876 . . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( r H s ) = ( R H s ) )
127126oveq2d 5885 . . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) = ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H s ) ) )
128127breq1d 4010 . . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < E <-> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H s ) ) < E ) )
129125, 128imbi12d 234 . . . . . . 7 |- ( r = R -> ( ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < E ) <-> ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H s ) ) < E ) ) )
130 oveq2 5877 . . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) = ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) )
131130breq1d 4010 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L <-> ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) < L ) )
132131anbi2d 464 . . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) <-> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) < L ) ) )
133 oveq2 5877 . . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( R H s ) = ( R H S ) )
134133oveq2d 5885 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H s ) ) = ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) )
135134breq1d 4010 . . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H s ) ) < E <-> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) < E ) )
136132, 135imbi12d 234 . . . . . . 7 |- ( s = S -> ( ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H s ) ) < E ) <-> ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) < E ) ) )
137129, 136rspc2v 2854 . . . . . 6 |- ( ( R e. X /\ S e. Y ) -> ( A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < E ) -> ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) < E ) ) )
13861, 63, 122, 137syl3c 63 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) < E )
13960, 138eqbrtrrd 4024 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E )
140139exp31 364 . . 3 |- ( ph -> ( x e. A -> ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E ) ) )
1415, 140ralrimi 2548 . 2 |- ( ph -> A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E ) )
142 breq2 4004 . . . 4 |- ( d = inf ( { F , G } , RR , < ) -> ( ( abs ` ( x - B ) ) < d <-> ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) )
143142anbi2d 464 . . 3 |- ( d = inf ( { F , G } , RR , < ) -> ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) <-> ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) )
144143rspceaimv 2849 . 2 |- ( (inf ( { F , G } , RR , < ) e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E ) ) -> E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E ) )
1454, 141, 144syl2anc 411 1 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   F/wnf 1460   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2737   C_ wss 3129   {cpr 3592   <.cop 3594   U.cuni 3807   class class class wbr 4000   |-> cmpt 4061   X. cxp 4621   dom cdm 4623   |` cres 4625   o. ccom 4627   -->wf 5208   ` cfv 5212  (class class class)co 5869  infcinf 6976   CCcc 7800   RRcr 7801   < clt 7982   <_ cle 7983   - cmin 8118   # cap 8528   RR+crp 9640   abscabs 10990   ↾t crest 12636   MetOpencmopn 13152   Topctop 13162  TopOnctopon 13175   CnP ccnp 13353   tX ctx 13419   lim CC climc 13790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-map 6644  df-pm 6645  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-rest 12638  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-met 13156  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-cnp 13356  df-tx 13420  df-limced 13792
This theorem is referenced by:  limccnp2cntop  13813
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