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Theorem limccnp2lem 15223
Description: Lemma for limccnp2cntop 15224. This is most of the result, expressed in epsilon-delta form, with a large number of hypotheses so that lengthy expressions do not need to be repeated. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp2.r |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. X )
limccnp2.s |- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. Y )
limccnp2.x |- ( ph -> X C_ CC )
limccnp2.y |- ( ph -> Y C_ CC )
limccnp2cntop.k |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
limccnp2.j |- J = ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) )
limccnp2.c |- ( ph -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) )
limccnp2.d |- ( ph -> D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) )
limccnp2.h |- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )
limccnp2lem.nf |- F/ x ph
limccnp2lem.e |- ( ph -> E e. RR+ )
limccnp2lem.j |- ( ph -> L e. RR+ )
limccnp2lem.rs |- ( ph -> A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < E ) )
limccnp2lem.f |- ( ph -> F e. RR+ )
limccnp2lem.fj |- ( ph -> A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < F ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < L ) )
limccnp2lem.g |- ( ph -> G e. RR+ )
limccnp2lem.gj |- ( ph -> A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < G ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < L ) )
Assertion
Ref Expression
limccnp2lem |- ( ph -> E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E ) )
Distinct variable groups:   x, B   x, C   x, D   x, H   x, X   x, A   x, Y   A, d   B, d   C, d, r, s   D, d, r, s   E, d, r, s   F, d, x   G, d, x   H, d, r, s   L, r, s   R, d, r, s   S, d, s   X, r, s   Y, r, s
Allowed substitution hints:   ph( x, s, r, d)   A( s, r)   B( s, r)   R( x)   S( x, r)   E( x)   F( s, r)   G( s, r)   J( x, s, r, d)   K( x, s, r, d)   L( x, d)   X( d)   Y( d)
Proof of Theorem limccnp2lem
StepHypRef Expression
1 limccnp2lem.f . . 3 |- ( ph -> F e. RR+ )
2 limccnp2lem.g . . 3 |- ( ph -> G e. RR+ )
3 rpmincl 11624 . . 3 |- ( ( F e. RR+ /\ G e. RR+ ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) e. RR+ )
41, 2, 3syl2anc 411 . 2 |- ( ph -> inf ( { F , G } , RR , < ) e. RR+ )
5 limccnp2lem.nf . . 3 |- F/ x ph
6 limccnp2.j . . . . . . . . . . 11 |- J = ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) )
7 limccnp2cntop.k . . . . . . . . . . . . . 14 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
87cntoptopon 15079 . . . . . . . . . . . . 13 |- K e. (TopOn ` CC )
9 txtopon 14809 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ K e. (TopOn ` CC ) ) -> ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
108, 8, 9mp2an 426 . . . . . . . . . . . 12 |- ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
11 limccnp2.x . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X C_ CC )
12 limccnp2.y . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y C_ CC )
13 xpss12 4790 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X C_ CC /\ Y C_ CC ) -> ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) )
1411, 12, 13syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) )
15 resttopon 14718 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) /\ ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) ) -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
1610, 14, 15sylancr 414 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
176, 16eqeltrid 2293 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
188a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
19 limccnp2.h . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )
20 cnpf2 14754 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) ) -> H : ( X X. Y ) --> CC )
2117, 18, 19, 20syl3anc 1250 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> H : ( X X. Y ) --> CC )
2221ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> H : ( X X. Y ) --> CC )
237cntoptop 15080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- K e. Top
2423a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> K e. Top )
25 txtop 14807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. Top /\ K e. Top ) -> ( K tX K ) e. Top )
2623, 24, 25sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( K tX K ) e. Top )
27 cnex 8069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- CC e. _V
2827a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> CC e. _V )
2928, 11ssexd 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> X e. _V )
3028, 12ssexd 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Y e. _V )
31 xpexg 4797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( X X. Y ) e. _V )
3229, 30, 31syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( X X. Y ) e. _V )
33 resttop 14717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K tX K ) e. Top /\ ( X X. Y ) e. _V ) -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. Top )
3426, 32, 33syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. Top )
356, 34eqeltrid 2293 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> J e. Top )
36 toptopon2 14566 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
3735, 36sylib 122 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. J ) )
38 cnprcl2k 14753 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. Top /\ H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) ) -> <. C , D >. e. U. J )
3937, 24, 19, 38syl3anc 1250 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> <. C , D >. e. U. J )
40 toponuni 14562 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) -> ( X X. Y ) = U. J )
4117, 40syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X X. Y ) = U. J )
4239, 41eleqtrrd 2286 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> <. C , D >. e. ( X X. Y ) )
43 opelxp 4713 . . . . . . . . . . 11 |- ( <. C , D >. e. ( X X. Y ) <-> ( C e. X /\ D e. Y ) )
4442, 43sylib 122 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C e. X /\ D e. Y ) )
4544simpld 112 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. X )
4645ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> C e. X )
4744simprd 114 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. Y )
4847ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> D e. Y )
4922, 46, 48fovcdmd 6104 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( C H D ) e. CC )
50 simpl 109 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( ph /\ x e. A ) )
51 limccnp2.r . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. X )
5250, 51syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> R e. X )
53 limccnp2.s . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. Y )
5450, 53syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> S e. Y )
5522, 52, 54fovcdmd 6104 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( R H S ) e. CC )
56 eqid 2206 . . . . . . . 8 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
5756cnmetdval 15076 . . . . . . 7 |- ( ( ( C H D ) e. CC /\ ( R H S ) e. CC ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) = ( abs ` ( ( C H D ) - ( R H S ) ) ) )
5849, 55, 57syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) = ( abs ` ( ( C H D ) - ( R H S ) ) ) )
5949, 55abssubd 11579 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( ( C H D ) - ( R H S ) ) ) = ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) )
6058, 59eqtrd 2239 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) = ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) )
6152, 54jca 306 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( R e. X /\ S e. Y ) )
62 limccnp2lem.rs . . . . . . 7 |- ( ph -> A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < E ) )
6362ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < E ) )
6446, 52ovresd 6100 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) = ( C ( abs o. - ) R ) )
6511, 45sseldd 3198 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. CC )
6665ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> C e. CC )
6711ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> X C_ CC )
6867, 52sseldd 3198 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> R e. CC )
6956cnmetdval 15076 . . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. CC /\ R e. CC ) -> ( C ( abs o. - ) R ) = ( abs ` ( C - R ) ) )
7066, 68, 69syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( C ( abs o. - ) R ) = ( abs ` ( C - R ) ) )
7166, 68abssubd 11579 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( C - R ) ) = ( abs ` ( R - C ) ) )
7264, 70, 713eqtrd 2243 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) = ( abs ` ( R - C ) ) )
73 simprl 529 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> x # B )
7451ex 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( x e. A -> R e. X ) )
755, 74ralrimi 2578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. x e. A R e. X )
76 dmmptg 5189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. x e. A R e. X -> dom ( x e. A |-> R ) = A )
7775, 76syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> R ) = A )
78 limccnp2.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) )
79 limcrcl 15205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) -> ( ( x e. A |-> R ) : dom ( x e. A |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. A |-> R ) C_ CC /\ B e. CC ) )
8078, 79syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> R ) : dom ( x e. A |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. A |-> R ) C_ CC /\ B e. CC ) )
8180simp2d 1013 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> R ) C_ CC )
8277, 81eqsstrrd 3234 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A C_ CC )
8382ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> A C_ CC )
8450simprd 114 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> x e. A )
8583, 84sseldd 3198 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> x e. CC )
8680simp3d 1014 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. CC )
8786ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> B e. CC )
8885, 87subcld 8403 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( x - B ) e. CC )
8988abscld 11567 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( x - B ) ) e. RR )
901ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> F e. RR+ )
9190rpred 9838 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> F e. RR )
922ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> G e. RR+ )
9392rpred 9838 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> G e. RR )
94 mincl 11617 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. RR /\ G e. RR ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) e. RR )
9591, 93, 94syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) e. RR )
96 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) )
97 min1inf 11618 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. RR /\ G e. RR ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) <_ F )
9891, 93, 97syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) <_ F )
9989, 95, 91, 96, 98ltletrd 8516 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( x - B ) ) < F )
10073, 99jca 306 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < F ) )
101 limccnp2lem.fj . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < F ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < L ) )
102101r19.21bi 2595 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < F ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < L ) )
10350, 100, 102sylc 62 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < L )
10472, 103eqbrtrd 4073 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L )
10548, 54ovresd 6100 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) = ( D ( abs o. - ) S ) )
10612, 47sseldd 3198 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. CC )
107106ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> D e. CC )
10812ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> Y C_ CC )
109108, 54sseldd 3198 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> S e. CC )
11056cnmetdval 15076 . . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. CC /\ S e. CC ) -> ( D ( abs o. - ) S ) = ( abs ` ( D - S ) ) )
111107, 109, 110syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( D ( abs o. - ) S ) = ( abs ` ( D - S ) ) )
112107, 109abssubd 11579 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( D - S ) ) = ( abs ` ( S - D ) ) )
113105, 111, 1123eqtrd 2243 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) = ( abs ` ( S - D ) ) )
114 min2inf 11619 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. RR /\ G e. RR ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) <_ G )
11591, 93, 114syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> inf ( { F , G } , RR , < ) <_ G )
11689, 95, 93, 96, 115ltletrd 8516 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( x - B ) ) < G )
11773, 116jca 306 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < G ) )
118 limccnp2lem.gj . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < G ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < L ) )
119118r19.21bi 2595 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < G ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < L ) )
12050, 117, 119sylc 62 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( S - D ) ) < L )
121113, 120eqbrtrd 4073 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) < L )
122104, 121jca 306 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) < L ) )
123 oveq2 5965 . . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) = ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) )
124123breq1d 4061 . . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L <-> ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L ) )
125124anbi1d 465 . . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) <-> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) ) )
126 oveq1 5964 . . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( r H s ) = ( R H s ) )
127126oveq2d 5973 . . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) = ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H s ) ) )
128127breq1d 4061 . . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < E <-> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H s ) ) < E ) )
129125, 128imbi12d 234 . . . . . . 7 |- ( r = R -> ( ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < E ) <-> ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H s ) ) < E ) ) )
130 oveq2 5965 . . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) = ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) )
131130breq1d 4061 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L <-> ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) < L ) )
132131anbi2d 464 . . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) <-> ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) < L ) ) )
133 oveq2 5965 . . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( R H s ) = ( R H S ) )
134133oveq2d 5973 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H s ) ) = ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) )
135134breq1d 4061 . . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H s ) ) < E <-> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) < E ) )
136132, 135imbi12d 234 . . . . . . 7 |- ( s = S -> ( ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H s ) ) < E ) <-> ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) < E ) ) )
137129, 136rspc2v 2894 . . . . . 6 |- ( ( R e. X /\ S e. Y ) -> ( A. r e. X A. s e. Y ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) r ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) s ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( r H s ) ) < E ) -> ( ( ( C ( ( abs o. - ) |` ( X X. X ) ) R ) < L /\ ( D ( ( abs o. - ) |` ( Y X. Y ) ) S ) < L ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) < E ) ) )
13861, 63, 122, 137syl3c 63 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( ( C H D ) ( abs o. - ) ( R H S ) ) < E )
13960, 138eqbrtrrd 4075 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E )
140139exp31 364 . . 3 |- ( ph -> ( x e. A -> ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E ) ) )
1415, 140ralrimi 2578 . 2 |- ( ph -> A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E ) )
142 breq2 4055 . . . 4 |- ( d = inf ( { F , G } , RR , < ) -> ( ( abs ` ( x - B ) ) < d <-> ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) )
143142anbi2d 464 . . 3 |- ( d = inf ( { F , G } , RR , < ) -> ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) <-> ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) ) )
144143rspceaimv 2889 . 2 |- ( (inf ( { F , G } , RR , < ) e. RR+ /\ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < inf ( { F , G } , RR , < ) ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E ) ) -> E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E ) )
1454, 141, 144syl2anc 411 1 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. x e. A ( ( x # B /\ ( abs ` ( x - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( R H S ) - ( C H D ) ) ) < E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   F/wnf 1484   e. wcel 2177   A.wral 2485   E.wrex 2486   _Vcvv 2773   C_ wss 3170   {cpr 3639   <.cop 3641   U.cuni 3856   class class class wbr 4051   |-> cmpt 4113   X. cxp 4681   dom cdm 4683   |` cres 4685   o. ccom 4687   -->wf 5276   ` cfv 5280  (class class class)co 5957  infcinf 7100   CCcc 7943   RRcr 7944   < clt 8127   <_ cle 8128   - cmin 8263   # cap 8674   RR+crp 9795   abscabs 11383   ↾t crest 13146   MetOpencmopn 14378   Topctop 14544  TopOnctopon 14557   CnP ccnp 14733   tX ctx 14799   lim CC climc 15201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063  ax-arch 8064  ax-caucvg 8065
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-isom 5289  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-map 6750  df-pm 6751  df-sup 7101  df-inf 7102  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-q 9761  df-rp 9796  df-xneg 9914  df-xadd 9915  df-seqfrec 10615  df-exp 10706  df-cj 11228  df-re 11229  df-im 11230  df-rsqrt 11384  df-abs 11385  df-rest 13148  df-topgen 13167  df-psmet 14380  df-xmet 14381  df-met 14382  df-bl 14383  df-mopn 14384  df-top 14545  df-topon 14558  df-bases 14590  df-cnp 14736  df-tx 14800  df-limced 15203
This theorem is referenced by:  limccnp2cntop  15224
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