Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  limccnp2lem Unicode version

Theorem limccnp2lem 13005
 Description: Lemma for limccnp2cntop 13006. This is most of the result, expressed in epsilon-delta form, with a large number of hypotheses so that lengthy expressions do not need to be repeated. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp2.r
limccnp2.s
limccnp2.x
limccnp2.y
limccnp2cntop.k
limccnp2.j t
limccnp2.c lim
limccnp2.d lim
limccnp2.h
limccnp2lem.nf
limccnp2lem.e
limccnp2lem.j
limccnp2lem.rs
limccnp2lem.f
limccnp2lem.fj #
limccnp2lem.g
limccnp2lem.gj #
Assertion
Ref Expression
limccnp2lem #
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,)   (,)   ()   (,)   ()   (,)   (,)   (,,,)   (,,,)   (,)   ()   ()

Proof of Theorem limccnp2lem
StepHypRef Expression
1 limccnp2lem.f . . 3
2 limccnp2lem.g . . 3
3 rpmincl 11119 . . 3 inf
41, 2, 3syl2anc 409 . 2 inf
5 limccnp2lem.nf . . 3
6 limccnp2.j . . . . . . . . . . 11 t
7 limccnp2cntop.k . . . . . . . . . . . . . 14
87cntoptopon 12892 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
9 txtopon 12622 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn TopOn
108, 8, 9mp2an 423 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
11 limccnp2.x . . . . . . . . . . . . 13
12 limccnp2.y . . . . . . . . . . . . 13
13 xpss12 4690 . . . . . . . . . . . . 13
1411, 12, 13syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12
15 resttopon 12531 . . . . . . . . . . . 12 TopOn t TopOn
1610, 14, 15sylancr 411 . . . . . . . . . . 11 t TopOn
176, 16eqeltrid 2244 . . . . . . . . . 10 TopOn
188a1i 9 . . . . . . . . . 10 TopOn
19 limccnp2.h . . . . . . . . . 10
20 cnpf2 12567 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
2117, 18, 19, 20syl3anc 1220 . . . . . . . . 9
2221ad2antrr 480 . . . . . . . 8 # inf
237cntoptop 12893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2423a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
25 txtop 12620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2623, 24, 25sylancr 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16
27 cnex 7839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2827a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2928, 11ssexd 4104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3028, 12ssexd 4104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
31 xpexg 4697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3229, 30, 31syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16
33 resttop 12530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 t
3426, 32, 33syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . 15 t
356, 34eqeltrid 2244 . . . . . . . . . . . . . 14
36 toptopon2 12377 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
3735, 36sylib 121 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
38 cnprcl2k 12566 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
3937, 24, 19, 38syl3anc 1220 . . . . . . . . . . . 12
40 toponuni 12373 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
4117, 40syl 14 . . . . . . . . . . . 12
4239, 41eleqtrrd 2237 . . . . . . . . . . 11
43 opelxp 4613 . . . . . . . . . . 11
4442, 43sylib 121 . . . . . . . . . 10
4544simpld 111 . . . . . . . . 9
4645ad2antrr 480 . . . . . . . 8 # inf
4744simprd 113 . . . . . . . . 9
4847ad2antrr 480 . . . . . . . 8 # inf
4922, 46, 48fovrnd 5959 . . . . . . 7 # inf
50 simpl 108 . . . . . . . . 9 # inf
51 limccnp2.r . . . . . . . . 9
5250, 51syl 14 . . . . . . . 8 # inf
53 limccnp2.s . . . . . . . . 9
5450, 53syl 14 . . . . . . . 8 # inf
5522, 52, 54fovrnd 5959 . . . . . . 7 # inf
56 eqid 2157 . . . . . . . 8
5756cnmetdval 12889 . . . . . . 7
5849, 55, 57syl2anc 409 . . . . . 6 # inf
5949, 55abssubd 11075 . . . . . 6 # inf
6058, 59eqtrd 2190 . . . . 5 # inf
6152, 54jca 304 . . . . . 6 # inf
62 limccnp2lem.rs . . . . . . 7
6362ad2antrr 480 . . . . . 6 # inf
6446, 52ovresd 5955 . . . . . . . . 9 # inf
6511, 45sseldd 3129 . . . . . . . . . . 11
6665ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10 # inf
6711ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11 # inf
6867, 52sseldd 3129 . . . . . . . . . 10 # inf
6956cnmetdval 12889 . . . . . . . . . 10
7066, 68, 69syl2anc 409 . . . . . . . . 9 # inf
7166, 68abssubd 11075 . . . . . . . . 9 # inf
7264, 70, 713eqtrd 2194 . . . . . . . 8 # inf
73 simprl 521 . . . . . . . . . 10 # inf #
7451ex 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
755, 74ralrimi 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
76 dmmptg 5080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7775, 76syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16
78 limccnp2.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 lim
79 limcrcl 12987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 lim
8078, 79syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8180simp2d 995 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8277, 81eqsstrrd 3165 . . . . . . . . . . . . . . 15
8382ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 # inf
8450simprd 113 . . . . . . . . . . . . . 14 # inf
8583, 84sseldd 3129 . . . . . . . . . . . . 13 # inf
8680simp3d 996 . . . . . . . . . . . . . 14
8786ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . 13 # inf
8885, 87subcld 8169 . . . . . . . . . . . 12 # inf
8988abscld 11063 . . . . . . . . . . 11 # inf
901ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . 13 # inf
9190rpred 9585 . . . . . . . . . . . 12 # inf
922ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . 13 # inf
9392rpred 9585 . . . . . . . . . . . 12 # inf
94 mincl 11112 . . . . . . . . . . . 12 inf
9591, 93, 94syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 # inf inf
96 simprr 522 . . . . . . . . . . 11 # inf inf
97 min1inf 11113 . . . . . . . . . . . 12 inf
9891, 93, 97syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 # inf inf
9989, 95, 91, 96, 98ltletrd 8281 . . . . . . . . . 10 # inf
10073, 99jca 304 . . . . . . . . 9 # inf #
101 limccnp2lem.fj . . . . . . . . . 10 #
102101r19.21bi 2545 . . . . . . . . 9 #
10350, 100, 102sylc 62 . . . . . . . 8 # inf
10472, 103eqbrtrd 3986 . . . . . . 7 # inf
10548, 54ovresd 5955 . . . . . . . . 9 # inf
10612, 47sseldd 3129 . . . . . . . . . . 11
107106ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10 # inf
10812ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11 # inf
109108, 54sseldd 3129 . . . . . . . . . 10 # inf
11056cnmetdval 12889 . . . . . . . . . 10
111107, 109, 110syl2anc 409 . . . . . . . . 9 # inf
112107, 109abssubd 11075 . . . . . . . . 9 # inf
113105, 111, 1123eqtrd 2194 . . . . . . . 8 # inf
114 min2inf 11114 . . . . . . . . . . . 12 inf
11591, 93, 114syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 # inf inf
11689, 95, 93, 96, 115ltletrd 8281 . . . . . . . . . 10 # inf
11773, 116jca 304 . . . . . . . . 9 # inf #
118 limccnp2lem.gj . . . . . . . . . 10 #
119118r19.21bi 2545 . . . . . . . . 9 #
12050, 117, 119sylc 62 . . . . . . . 8 # inf
121113, 120eqbrtrd 3986 . . . . . . 7 # inf
122104, 121jca 304 . . . . . 6 # inf
123 oveq2 5826 . . . . . . . . . 10
124123breq1d 3975 . . . . . . . . 9
125124anbi1d 461 . . . . . . . 8
126 oveq1 5825 . . . . . . . . . 10
127126oveq2d 5834 . . . . . . . . 9
128127breq1d 3975 . . . . . . . 8
129125, 128imbi12d 233 . . . . . . 7
130 oveq2 5826 . . . . . . . . . 10
131130breq1d 3975 . . . . . . . . 9
132131anbi2d 460 . . . . . . . 8
133 oveq2 5826 . . . . . . . . . 10
134133oveq2d 5834 . . . . . . . . 9
135134breq1d 3975 . . . . . . . 8
136132, 135imbi12d 233 . . . . . . 7
137129, 136rspc2v 2829 . . . . . 6
13861, 63, 122, 137syl3c 63 . . . . 5 # inf
13960, 138eqbrtrrd 3988 . . . 4 # inf
140139exp31 362 . . 3 # inf
1415, 140ralrimi 2528 . 2 # inf
142 breq2 3969 . . . 4 inf inf
143142anbi2d 460 . . 3 inf # # inf
144143rspceaimv 2824 . 2 inf # inf #
1454, 141, 144syl2anc 409 1 #
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   w3a 963   wceq 1335  wnf 1440   wcel 2128  wral 2435  wrex 2436  cvv 2712   wss 3102  cpr 3561  cop 3563  cuni 3772   class class class wbr 3965   cmpt 4025   cxp 4581   cdm 4583   cres 4585   ccom 4587  wf 5163  cfv 5167  (class class class)co 5818  infcinf 6919  cc 7713  cr 7714   clt 7895   cle 7896   cmin 8029   # cap 8439  crp 9542  cabs 10879   ↾t crest 12311  cmopn 12345  ctop 12355  TopOnctopon 12368   ccnp 12546   ctx 12612   lim climc 12983 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-map 6588  df-pm 6589  df-sup 6920  df-inf 6921  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-xneg 9661  df-xadd 9662  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-rest 12313  df-topgen 12332  df-psmet 12347  df-xmet 12348  df-met 12349  df-bl 12350  df-mopn 12351  df-top 12356  df-topon 12369  df-bases 12401  df-cnp 12549  df-tx 12613  df-limced 12985 This theorem is referenced by:  limccnp2cntop  13006
 Copyright terms: Public domain W3C validator