Theorem xmstri 15632

Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. Definition 14-1.1(d) of [Gleason] p. 223. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mscl.x	|- X = ( Base ` M )
mscl.d	|- D = ( dist ` M )

Assertion

Ref	Expression
xmstri	|- ( ( M e. *MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( A D C ) +e ( C D B ) ) )

Proof of Theorem xmstri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mscl.x	. . . 4 |- X = ( Base ` M )
2		mscl.d	. . . 4 |- D = ( dist ` M )
3	1, 2	xmsxmet2 15623	. . 3 |- ( M e. *MetSp -> ( D |` ( X X. X ) ) e. ( *Met ` X ) )
4		xmettri 15532	. . 3 |- ( ( ( D |` ( X X. X ) ) e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A ( D |` ( X X. X ) ) B ) <_ ( ( A ( D |` ( X X. X ) ) C ) +e ( C ( D |` ( X X. X ) ) B ) ) )
5	3, 4	sylan 283	. 2 |- ( ( M e. *MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A ( D |` ( X X. X ) ) B ) <_ ( ( A ( D |` ( X X. X ) ) C ) +e ( C ( D |` ( X X. X ) ) B ) ) )
6		simpr1 1034	. . 3 |- ( ( M e. *MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> A e. X )
7		simpr2 1035	. . 3 |- ( ( M e. *MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> B e. X )
8	6, 7	ovresd 6230	. 2 |- ( ( M e. *MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A ( D |` ( X X. X ) ) B ) = ( A D B ) )
9		simpr3 1036	. . . 4 |- ( ( M e. *MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> C e. X )
10	6, 9	ovresd 6230	. . 3 |- ( ( M e. *MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A ( D |` ( X X. X ) ) C ) = ( A D C ) )
11	9, 7	ovresd 6230	. . 3 |- ( ( M e. *MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( C ( D |` ( X X. X ) ) B ) = ( C D B ) )
12	10, 11	oveq12d 6103	. 2 |- ( ( M e. *MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A ( D |` ( X X. X ) ) C ) +e ( C ( D |` ( X X. X ) ) B ) ) = ( ( A D C ) +e ( C D B ) ) )
13	5, 8, 12	3brtr3d 4161	1 |- ( ( M e. *MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( A D C ) +e ( C D B ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   X. cxp 4772   |` cres 4776   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   <_ cle 8362   +ecxad 10183   Basecbs 13404   distcds 13492   *Metcxmet 14925   *MetSpcxms 15496

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-map 6924  df-sup 7325  df-inf 7326  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-xneg 10185  df-xadd 10186  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-tset 13502  df-rest 13647  df-topn 13648  df-topgen 13666  df-psmet 14932  df-xmet 14933  df-bl 14935  df-mopn 14936  df-top 15158  df-topon 15171  df-topsp 15191  df-bases 15203  df-xms 15499

This theorem is used by: (None)