Theorem cnplimcim 15658

Description: If a function is continuous at B, its limit at B equals the value of the function there. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnplimcim.k	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
cnplimcim.j	|- J = ( K ↾t A )

Assertion

Ref	Expression
cnplimcim	|- ( ( A C_ CC /\ B e. A ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` B ) -> ( F : A --> CC /\ ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) ) ) )

Proof of Theorem cnplimcim

Dummy variables d e z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnplimcim.j	. . . . . 6 |- J = ( K ↾t A )
2		cnplimcim.k	. . . . . . . 8 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3	2	cntoptopon 15523	. . . . . . 7 |- K e. (TopOn ` CC )
4		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ CC /\ B e. A ) -> A C_ CC )
5		resttopon 15162	. . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( K ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
6	3, 4, 5	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( A C_ CC /\ B e. A ) -> ( K ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
7	1, 6	eqeltrid 2321	. . . . 5 |- ( ( A C_ CC /\ B e. A ) -> J e. (TopOn ` A ) )
8		cnpf2 15198	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` A ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> F : A --> CC )
9	8	3expia 1232	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` A ) /\ K e. (TopOn ` CC ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` B ) -> F : A --> CC ) )
10	7, 3, 9	sylancl 413	. . . 4 |- ( ( A C_ CC /\ B e. A ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` B ) -> F : A --> CC ) )
11	10	imp 124	. . 3 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> F : A --> CC )
12		simplr 529	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> B e. A )
13	11, 12	ffvelcdmd 5818	. . . 4 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> ( F ` B ) e. CC )
14		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )
15		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F : A --> CC ) -> A C_ CC )
16		cnxmet 15522	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
17		eqid 2234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) )
18		eqid 2234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) )
19	17, 2, 18	metrest 15497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( K ↾t A ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
20	16, 19	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ CC -> ( K ↾t A ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
21	1, 20	eqtrid 2279	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ CC -> J = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
22	15, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F : A --> CC ) -> J = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
23	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F : A --> CC ) -> K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) )
24		xmetres2 15370	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
25	16, 15, 24	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F : A --> CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
26	16	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F : A --> CC ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
27		simplr 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F : A --> CC ) -> B e. A )
28	22, 23, 25, 26, 27	metcnpd 15511	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F : A --> CC ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` B ) <-> ( F : A --> CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( B ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) z ) < d -> ( ( F ` B ) ( abs o. - ) ( F ` z ) ) < e ) ) ) )
29	11, 28	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` B ) <-> ( F : A --> CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( B ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) z ) < d -> ( ( F ` B ) ( abs o. - ) ( F ` z ) ) < e ) ) ) )
30	14, 29	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> ( F : A --> CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( B ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) z ) < d -> ( ( F ` B ) ( abs o. - ) ( F ` z ) ) < e ) ) )
31	30	simprd 114	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( B ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) z ) < d -> ( ( F ` B ) ( abs o. - ) ( F ` z ) ) < e ) )
32	12	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> B e. A )
33		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> z e. A )
34	32, 33	ovresd 6203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( B ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) z ) = ( B ( abs o. - ) z ) )
35	15, 27	sseldd 3243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F : A --> CC ) -> B e. CC )
36	11, 35	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> B e. CC )
37	36	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> B e. CC )
38		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> A C_ CC )
39	38	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> A C_ CC )
40	39, 33	sseldd 3243	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> z e. CC )
41		eqid 2234	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
42	41	cnmetdval 15520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. CC /\ z e. CC ) -> ( B ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( B - z ) ) )
43	37, 40, 42	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( B ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( B - z ) ) )
44	37, 40	abssubd 11903	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( abs ` ( B - z ) ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
45	34, 43, 44	3eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( B ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) z ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
46	45	breq1d 4124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( B ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) z ) < d <-> ( abs ` ( z - B ) ) < d ) )
47	46	biimprd 158	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < d -> ( B ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) z ) < d ) )
48	47	adantld 278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( B ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) z ) < d ) )
49	13	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( F ` B ) e. CC )
50	11	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> F : A --> CC )
51	50, 33	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
52	41	cnmetdval 15520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` B ) e. CC /\ ( F ` z ) e. CC ) -> ( ( F ` B ) ( abs o. - ) ( F ` z ) ) = ( abs ` ( ( F ` B ) - ( F ` z ) ) ) )
53	49, 51, 52	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( F ` B ) ( abs o. - ) ( F ` z ) ) = ( abs ` ( ( F ` B ) - ( F ` z ) ) ) )
54	49, 51	abssubd 11903	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( abs ` ( ( F ` B ) - ( F ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) )
55	53, 54	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( F ` B ) ( abs o. - ) ( F ` z ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) )
56	55	breq1d 4124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( ( F ` B ) ( abs o. - ) ( F ` z ) ) < e <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < e ) )
57	56	biimpd 144	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( ( F ` B ) ( abs o. - ) ( F ` z ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < e ) )
58	48, 57	imim12d 74	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( ( B ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) z ) < d -> ( ( F ` B ) ( abs o. - ) ( F ` z ) ) < e ) -> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < e ) ) )
59	58	ralimdva 2611	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> ( A. z e. A ( ( B ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) z ) < d -> ( ( F ` B ) ( abs o. - ) ( F ` z ) ) < e ) -> A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < e ) ) )
60	59	reximdva 2646	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) -> ( E. d e. RR+ A. z e. A ( ( B ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) z ) < d -> ( ( F ` B ) ( abs o. - ) ( F ` z ) ) < e ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < e ) ) )
61	60	ralimdva 2611	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> ( A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( B ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) z ) < d -> ( ( F ` B ) ( abs o. - ) ( F ` z ) ) < e ) -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < e ) ) )
62	31, 61	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < e ) )
63	11, 38, 36	ellimc3ap 15652	. . . 4 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> ( ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) <-> ( ( F ` B ) e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < e ) ) ) )
64	13, 62, 63	mpbir2and 953	. . 3 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) )
65	11, 64	jca 306	. 2 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> ( F : A --> CC /\ ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) ) )
66	65	ex 115	1 |- ( ( A C_ CC /\ B e. A ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` B ) -> ( F : A --> CC /\ ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   C_ wss 3214   class class class wbr 4114   X. cxp 4752   |` cres 4756   o. ccom 4758   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   < clt 8324   - cmin 8460   # cap 8872   RR+crp 10004   abscabs 11707   ↾_t crest 13536   *Metcxmet 14810   MetOpencmopn 14815  TopOnctopon 15001   CnP ccnp 15177   lim CC climc 15645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-map 6897  df-pm 6898  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-xneg 10124  df-xadd 10125  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-rest 13538  df-topgen 13557  df-psmet 14817  df-xmet 14818  df-met 14819  df-bl 14820  df-mopn 14821  df-top 14989  df-topon 15002  df-bases 15034  df-cnp 15180  df-limced 15647

This theorem is referenced by:  cnplimccntop  15661  cnlimcim  15662