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Theorem cnplimcim 12586
Description: If a function is continuous at  B, its limit at  B equals the value of the function there. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cnplimcim.k  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
cnplimcim.j  |-  J  =  ( Kt  A )
Assertion
Ref Expression
cnplimcim  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  ->  ( F : A --> CC  /\  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B ) ) ) )

Proof of Theorem cnplimcim
Dummy variables  d  e  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnplimcim.j . . . . . 6  |-  J  =  ( Kt  A )
2 cnplimcim.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
32cntoptopon 12515 . . . . . . 7  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
4 simpl 108 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  ->  A  C_  CC )
5 resttopon 12177 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  A  C_  CC )  ->  ( Kt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
63, 4, 5sylancr 408 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  ->  ( Kt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
71, 6syl5eqel 2199 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  ->  J  e.  (TopOn `  A )
)
8 cnpf2 12212 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  A )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  F : A
--> CC )
983expia 1164 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  A )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  ->  F : A --> CC ) )
107, 3, 9sylancl 407 . . . 4  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  ->  F : A --> CC ) )
1110imp 123 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  F : A
--> CC )
12 simplr 502 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  B  e.  A )
1311, 12ffvelrnd 5508 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  ( F `  B )  e.  CC )
14 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )
15 simpll 501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  A  C_  CC )
16 cnxmet 12514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
17 eqid 2113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )
18 eqid 2113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) )
1917, 2, 18metrest 12489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  A  C_  CC )  -> 
( Kt  A )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) ) )
2016, 19mpan 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  CC  ->  ( Kt  A )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) ) )
211, 20syl5eq 2157 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  CC  ->  J  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) ) )
2215, 21syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  J  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) ) )
232a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) )
24 xmetres2 12362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  A  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )  e.  ( *Met `  A ) )
2516, 15, 24sylancr 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) )  e.  ( *Met `  A
) )
2616a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
27 simplr 502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  B  e.  A )
2822, 23, 25, 26, 27metcnpd 12503 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <->  ( F : A --> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( B ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) z )  <  d  ->  ( ( F `  B ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  z )
)  <  e )
) ) )
2911, 28syldan 278 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <-> 
( F : A --> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( B ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) z )  <  d  ->  (
( F `  B
) ( abs  o.  -  ) ( F `
 z ) )  <  e ) ) ) )
3014, 29mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  ( F : A --> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( B ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) z )  <  d  ->  ( ( F `  B ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  z )
)  <  e )
) )
3130simprd 113 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( B ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) z )  <  d  -> 
( ( F `  B ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  z )
)  <  e )
)
3212ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  B  e.  A )
33 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  A )
3432, 33ovresd 5863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( B ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) z )  =  ( B ( abs  o.  -  ) z ) )
3515, 27sseldd 3062 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  B  e.  CC )
3611, 35syldan 278 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  B  e.  CC )
3736ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  B  e.  CC )
38 simpll 501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  A  C_  CC )
3938ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  A  C_  CC )
4039, 33sseldd 3062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  CC )
41 eqid 2113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
4241cnmetdval 12512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( B ( abs 
o.  -  ) z
)  =  ( abs `  ( B  -  z
) ) )
4337, 40, 42syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( B ( abs  o.  -  ) z )  =  ( abs `  ( B  -  z )
) )
4437, 40abssubd 10851 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  -  z ) )  =  ( abs `  (
z  -  B ) ) )
4534, 43, 443eqtrd 2149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( B ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) z )  =  ( abs `  ( z  -  B ) ) )
4645breq1d 3903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( B ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) z )  <  d  <->  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
) )
4746biimprd 157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  d  -> 
( B ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) z )  <  d ) )
4847adantld 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( B ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) z )  <  d ) )
4913ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  CC )
5011ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  F : A --> CC )
5150, 33ffvelrnd 5508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
5241cnmetdval 12512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  CC  /\  ( F `  z )  e.  CC )  -> 
( ( F `  B ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  z )
)  =  ( abs `  ( ( F `  B )  -  ( F `  z )
) ) )
5349, 51, 52syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  B
) ( abs  o.  -  ) ( F `
 z ) )  =  ( abs `  (
( F `  B
)  -  ( F `
 z ) ) ) )
5449, 51abssubd 10851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 B )  -  ( F `  z ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) )
5553, 54eqtrd 2145 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  B
) ( abs  o.  -  ) ( F `
 z ) )  =  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) ) )
5655breq1d 3903 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( F `  B ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  z )
)  <  e  <->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
) )  <  e
) )
5756biimpd 143 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( F `  B ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  z )
)  <  e  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) )  <  e ) )
5848, 57imim12d 74 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( B ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) z )  <  d  -> 
( ( F `  B ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  z )
)  <  e )  ->  ( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  e ) ) )
5958ralimdva 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  A  ( ( B ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) z )  <  d  -> 
( ( F `  B ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  z )
)  <  e )  ->  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  e ) ) )
6059reximdva 2506 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( B ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) z )  <  d  ->  ( ( F `  B ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  z )
)  <  e )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  e ) ) )
6160ralimdva 2471 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  ( A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( B ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) z )  <  d  ->  ( ( F `  B ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  z )
)  <  e )  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) )  <  e
) ) )
6231, 61mpd 13 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  e ) )
6311, 38, 36ellimc3ap 12580 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  ( ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B
)  <->  ( ( F `
 B )  e.  CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  e ) ) ) )
6413, 62, 63mpbir2and 909 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B ) )
6511, 64jca 302 . 2  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  ( F : A --> CC  /\  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B
) ) )
6665ex 114 1  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  ->  ( F : A --> CC  /\  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1312    e. wcel 1461   A.wral 2388   E.wrex 2389    C_ wss 3035   class class class wbr 3893    X. cxp 4495    |` cres 4499    o. ccom 4501   -->wf 5075   ` cfv 5079  (class class class)co 5726   CCcc 7539    < clt 7718    - cmin 7850   # cap 8255   RR+crp 9337   abscabs 10655   ↾t crest 11957   *Metcxmet 11986   MetOpencmopn 11991  TopOnctopon 12014    CnP ccnp 12192   lim CC climc 12573
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657  ax-arch 7658  ax-caucvg 7659
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-isom 5088  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-recs 6154  df-frec 6240  df-map 6496  df-pm 6497  df-sup 6821  df-inf 6822  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-inn 8625  df-2 8683  df-3 8684  df-4 8685  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223  df-q 9308  df-rp 9338  df-xneg 9446  df-xadd 9447  df-seqfrec 10106  df-exp 10180  df-cj 10501  df-re 10502  df-im 10503  df-rsqrt 10656  df-abs 10657  df-rest 11959  df-topgen 11978  df-psmet 11993  df-xmet 11994  df-met 11995  df-bl 11996  df-mopn 11997  df-top 12002  df-topon 12015  df-bases 12047  df-cnp 12195  df-limced 12575
This theorem is referenced by:  cnplimccntop  12589  cnlimcim  12590
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