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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > cnplimcim | Unicode version |
Description: If a function is
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cnplimcim.k |
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cnplimcim.j |
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Ref | Expression |
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cnplimcim |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | cnplimcim.j |
. . . . . 6
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2 | cnplimcim.k |
. . . . . . . 8
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3 | 2 | cntoptopon 12515 |
. . . . . . 7
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4 | simpl 108 |
. . . . . . 7
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5 | resttopon 12177 |
. . . . . . 7
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6 | 3, 4, 5 | sylancr 408 |
. . . . . 6
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7 | 1, 6 | syl5eqel 2199 |
. . . . 5
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8 | cnpf2 12212 |
. . . . . 6
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9 | 8 | 3expia 1164 |
. . . . 5
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10 | 7, 3, 9 | sylancl 407 |
. . . 4
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11 | 10 | imp 123 |
. . 3
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12 | simplr 502 |
. . . . 5
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13 | 11, 12 | ffvelrnd 5508 |
. . . 4
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14 | simpr 109 |
. . . . . . 7
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15 | simpll 501 |
. . . . . . . . . 10
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16 | cnxmet 12514 |
. . . . . . . . . . . 12
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17 | eqid 2113 |
. . . . . . . . . . . . 13
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18 | eqid 2113 |
. . . . . . . . . . . . 13
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19 | 17, 2, 18 | metrest 12489 |
. . . . . . . . . . . 12
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20 | 16, 19 | mpan 418 |
. . . . . . . . . . 11
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21 | 1, 20 | syl5eq 2157 |
. . . . . . . . . 10
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22 | 15, 21 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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23 | 2 | a1i 9 |
. . . . . . . . 9
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24 | xmetres2 12362 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 16, 15, 24 | sylancr 408 |
. . . . . . . . 9
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26 | 16 | a1i 9 |
. . . . . . . . 9
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27 | simplr 502 |
. . . . . . . . 9
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28 | 22, 23, 25, 26, 27 | metcnpd 12503 |
. . . . . . . 8
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29 | 11, 28 | syldan 278 |
. . . . . . 7
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30 | 14, 29 | mpbid 146 |
. . . . . 6
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31 | 30 | simprd 113 |
. . . . 5
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32 | 12 | ad3antrrr 481 |
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33 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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34 | 32, 33 | ovresd 5863 |
. . . . . . . . . . . . 13
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35 | 15, 27 | sseldd 3062 |
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36 | 11, 35 | syldan 278 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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37 | 36 | ad3antrrr 481 |
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38 | simpll 501 |
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39 | 38 | ad3antrrr 481 |
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40 | 39, 33 | sseldd 3062 |
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41 | eqid 2113 |
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42 | 41 | cnmetdval 12512 |
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43 | 37, 40, 42 | syl2anc 406 |
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44 | 37, 40 | abssubd 10851 |
. . . . . . . . . . . . 13
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45 | 34, 43, 44 | 3eqtrd 2149 |
. . . . . . . . . . . 12
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46 | 45 | breq1d 3903 |
. . . . . . . . . . 11
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47 | 46 | biimprd 157 |
. . . . . . . . . 10
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48 | 47 | adantld 274 |
. . . . . . . . 9
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49 | 13 | ad3antrrr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
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50 | 11 | ad3antrrr 481 |
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51 | 50, 33 | ffvelrnd 5508 |
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52 | 41 | cnmetdval 12512 |
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53 | 49, 51, 52 | syl2anc 406 |
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54 | 49, 51 | abssubd 10851 |
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55 | 53, 54 | eqtrd 2145 |
. . . . . . . . . . 11
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56 | 55 | breq1d 3903 |
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57 | 56 | biimpd 143 |
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58 | 48, 57 | imim12d 74 |
. . . . . . . 8
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59 | 58 | ralimdva 2471 |
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60 | 59 | reximdva 2506 |
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61 | 60 | ralimdva 2471 |
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62 | 31, 61 | mpd 13 |
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63 | 11, 38, 36 | ellimc3ap 12580 |
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64 | 13, 62, 63 | mpbir2and 909 |
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65 | 11, 64 | jca 302 |
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66 | 65 | ex 114 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 586 ax-in2 587 ax-io 681 ax-5 1404 ax-7 1405 ax-gen 1406 ax-ie1 1450 ax-ie2 1451 ax-8 1463 ax-10 1464 ax-11 1465 ax-i12 1466 ax-bndl 1467 ax-4 1468 ax-13 1472 ax-14 1473 ax-17 1487 ax-i9 1491 ax-ial 1495 ax-i5r 1496 ax-ext 2095 ax-coll 4001 ax-sep 4004 ax-nul 4012 ax-pow 4056 ax-pr 4089 ax-un 4313 ax-setind 4410 ax-iinf 4460 ax-cnex 7630 ax-resscn 7631 ax-1cn 7632 ax-1re 7633 ax-icn 7634 ax-addcl 7635 ax-addrcl 7636 ax-mulcl 7637 ax-mulrcl 7638 ax-addcom 7639 ax-mulcom 7640 ax-addass 7641 ax-mulass 7642 ax-distr 7643 ax-i2m1 7644 ax-0lt1 7645 ax-1rid 7646 ax-0id 7647 ax-rnegex 7648 ax-precex 7649 ax-cnre 7650 ax-pre-ltirr 7651 ax-pre-ltwlin 7652 ax-pre-lttrn 7653 ax-pre-apti 7654 ax-pre-ltadd 7655 ax-pre-mulgt0 7656 ax-pre-mulext 7657 ax-arch 7658 ax-caucvg 7659 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 799 df-dc 803 df-3or 944 df-3an 945 df-tru 1315 df-fal 1318 df-nf 1418 df-sb 1717 df-eu 1976 df-mo 1977 df-clab 2100 df-cleq 2106 df-clel 2109 df-nfc 2242 df-ne 2281 df-nel 2376 df-ral 2393 df-rex 2394 df-reu 2395 df-rmo 2396 df-rab 2397 df-v 2657 df-sbc 2877 df-csb 2970 df-dif 3037 df-un 3039 df-in 3041 df-ss 3048 df-nul 3328 df-if 3439 df-pw 3476 df-sn 3497 df-pr 3498 df-op 3500 df-uni 3701 df-int 3736 df-iun 3779 df-br 3894 df-opab 3948 df-mpt 3949 df-tr 3985 df-id 4173 df-po 4176 df-iso 4177 df-iord 4246 df-on 4248 df-ilim 4249 df-suc 4251 df-iom 4463 df-xp 4503 df-rel 4504 df-cnv 4505 df-co 4506 df-dm 4507 df-rn 4508 df-res 4509 df-ima 4510 df-iota 5044 df-fun 5081 df-fn 5082 df-f 5083 df-f1 5084 df-fo 5085 df-f1o 5086 df-fv 5087 df-isom 5088 df-riota 5682 df-ov 5729 df-oprab 5730 df-mpo 5731 df-1st 5990 df-2nd 5991 df-recs 6154 df-frec 6240 df-map 6496 df-pm 6497 df-sup 6821 df-inf 6822 df-pnf 7720 df-mnf 7721 df-xr 7722 df-ltxr 7723 df-le 7724 df-sub 7852 df-neg 7853 df-reap 8249 df-ap 8256 df-div 8340 df-inn 8625 df-2 8683 df-3 8684 df-4 8685 df-n0 8876 df-z 8953 df-uz 9223 df-q 9308 df-rp 9338 df-xneg 9446 df-xadd 9447 df-seqfrec 10106 df-exp 10180 df-cj 10501 df-re 10502 df-im 10503 df-rsqrt 10656 df-abs 10657 df-rest 11959 df-topgen 11978 df-psmet 11993 df-xmet 11994 df-met 11995 df-bl 11996 df-mopn 11997 df-top 12002 df-topon 12015 df-bases 12047 df-cnp 12195 df-limced 12575 |
This theorem is referenced by: cnplimccntop 12589 cnlimcim 12590 |
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