Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnplimcim Unicode version

Theorem cnplimcim 12864
 Description: If a function is continuous at , its limit at equals the value of the function there. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cnplimcim.k
cnplimcim.j t
Assertion
Ref Expression
cnplimcim lim

Proof of Theorem cnplimcim
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnplimcim.j . . . . . 6 t
2 cnplimcim.k . . . . . . . 8
32cntoptopon 12760 . . . . . . 7 TopOn
4 simpl 108 . . . . . . 7
5 resttopon 12399 . . . . . . 7 TopOn t TopOn
63, 4, 5sylancr 411 . . . . . 6 t TopOn
71, 6eqeltrid 2227 . . . . 5 TopOn
8 cnpf2 12435 . . . . . 6 TopOn TopOn
983expia 1184 . . . . 5 TopOn TopOn
107, 3, 9sylancl 410 . . . 4
1110imp 123 . . 3
12 simplr 520 . . . . 5
1311, 12ffvelrnd 5565 . . . 4
14 simpr 109 . . . . . . 7
15 simpll 519 . . . . . . . . . 10
16 cnxmet 12759 . . . . . . . . . . . 12
17 eqid 2140 . . . . . . . . . . . . 13
18 eqid 2140 . . . . . . . . . . . . 13
1917, 2, 18metrest 12734 . . . . . . . . . . . 12 t
2016, 19mpan 421 . . . . . . . . . . 11 t
211, 20syl5eq 2185 . . . . . . . . . 10
2215, 21syl 14 . . . . . . . . 9
232a1i 9 . . . . . . . . 9
24 xmetres2 12607 . . . . . . . . . 10
2516, 15, 24sylancr 411 . . . . . . . . 9
2616a1i 9 . . . . . . . . 9
27 simplr 520 . . . . . . . . 9
2822, 23, 25, 26, 27metcnpd 12748 . . . . . . . 8
2911, 28syldan 280 . . . . . . 7
3014, 29mpbid 146 . . . . . 6
3130simprd 113 . . . . 5
3212ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . 14
33 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14
3432, 33ovresd 5920 . . . . . . . . . . . . 13
3515, 27sseldd 3104 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3611, 35syldan 280 . . . . . . . . . . . . . . 15
3736ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . 14
38 simpll 519 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3938ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039, 33sseldd 3104 . . . . . . . . . . . . . 14
41 eqid 2140 . . . . . . . . . . . . . . 15
4241cnmetdval 12757 . . . . . . . . . . . . . 14
4337, 40, 42syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13
4437, 40abssubd 11017 . . . . . . . . . . . . 13
4534, 43, 443eqtrd 2177 . . . . . . . . . . . 12
4645breq1d 3948 . . . . . . . . . . 11
4746biimprd 157 . . . . . . . . . 10
4847adantld 276 . . . . . . . . 9 #
4913ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . 13
5011ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . 14
5150, 33ffvelrnd 5565 . . . . . . . . . . . . 13
5241cnmetdval 12757 . . . . . . . . . . . . 13
5349, 51, 52syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12
5449, 51abssubd 11017 . . . . . . . . . . . 12
5553, 54eqtrd 2173 . . . . . . . . . . 11
5655breq1d 3948 . . . . . . . . . 10
5756biimpd 143 . . . . . . . . 9
5848, 57imim12d 74 . . . . . . . 8 #
5958ralimdva 2503 . . . . . . 7 #
6059reximdva 2538 . . . . . 6 #
6160ralimdva 2503 . . . . 5 #
6231, 61mpd 13 . . . 4 #
6311, 38, 36ellimc3ap 12858 . . . 4 lim #
6413, 62, 63mpbir2and 929 . . 3 lim
6511, 64jca 304 . 2 lim
6665ex 114 1 lim
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1332   wcel 1481  wral 2417  wrex 2418   wss 3077   class class class wbr 3938   cxp 4546   cres 4550   ccom 4552  wf 5128  cfv 5132  (class class class)co 5783  cc 7662   clt 7844   cmin 7977   # cap 8387  crp 9490  cabs 10821   ↾t crest 12179  cxmet 12208  cmopn 12213  TopOnctopon 12236   ccnp 12414   lim climc 12851 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782  ax-arch 7783  ax-caucvg 7784 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-isom 5141  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-frec 6297  df-map 6553  df-pm 6554  df-sup 6881  df-inf 6882  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477  df-inn 8765  df-2 8823  df-3 8824  df-4 8825  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-q 9459  df-rp 9491  df-xneg 9609  df-xadd 9610  df-seqfrec 10270  df-exp 10344  df-cj 10666  df-re 10667  df-im 10668  df-rsqrt 10822  df-abs 10823  df-rest 12181  df-topgen 12200  df-psmet 12215  df-xmet 12216  df-met 12217  df-bl 12218  df-mopn 12219  df-top 12224  df-topon 12237  df-bases 12269  df-cnp 12417  df-limced 12853 This theorem is referenced by:  cnplimccntop  12867  cnlimcim  12868
 Copyright terms: Public domain W3C validator