Theorem cnplimcim 14903

Description: If a function is continuous at B, its limit at B equals the value of the function there. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnplimcim.k	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
cnplimcim.j	|- J = ( K ↾t A )

Assertion

Ref	Expression
cnplimcim	|- ( ( A C_ CC /\ B e. A ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` B ) -> ( F : A --> CC /\ ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) ) ) )

Proof of Theorem cnplimcim

Dummy variables d e z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnplimcim.j	. . . . . 6 |- J = ( K ↾t A )
2		cnplimcim.k	. . . . . . . 8 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3	2	cntoptopon 14768	. . . . . . 7 |- K e. (TopOn ` CC )
4		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ CC /\ B e. A ) -> A C_ CC )
5		resttopon 14407	. . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( K ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
6	3, 4, 5	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( A C_ CC /\ B e. A ) -> ( K ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
7	1, 6	eqeltrid 2283	. . . . 5 |- ( ( A C_ CC /\ B e. A ) -> J e. (TopOn ` A ) )
8		cnpf2 14443	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` A ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> F : A --> CC )
9	8	3expia 1207	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` A ) /\ K e. (TopOn ` CC ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` B ) -> F : A --> CC ) )
10	7, 3, 9	sylancl 413	. . . 4 |- ( ( A C_ CC /\ B e. A ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` B ) -> F : A --> CC ) )
11	10	imp 124	. . 3 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> F : A --> CC )
12		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> B e. A )
13	11, 12	ffvelcdmd 5698	. . . 4 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> ( F ` B ) e. CC )
14		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )
15		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F : A --> CC ) -> A C_ CC )
16		cnxmet 14767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
17		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) )
18		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) )
19	17, 2, 18	metrest 14742	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( K ↾t A ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
20	16, 19	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ CC -> ( K ↾t A ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
21	1, 20	eqtrid 2241	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ CC -> J = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
22	15, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F : A --> CC ) -> J = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
23	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F : A --> CC ) -> K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) )
24		xmetres2 14615	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
25	16, 15, 24	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F : A --> CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
26	16	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F : A --> CC ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
27		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F : A --> CC ) -> B e. A )
28	22, 23, 25, 26, 27	metcnpd 14756	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F : A --> CC ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` B ) <-> ( F : A --> CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( B ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) z ) < d -> ( ( F ` B ) ( abs o. - ) ( F ` z ) ) < e ) ) ) )
29	11, 28	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` B ) <-> ( F : A --> CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( B ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) z ) < d -> ( ( F ` B ) ( abs o. - ) ( F ` z ) ) < e ) ) ) )
30	14, 29	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> ( F : A --> CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( B ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) z ) < d -> ( ( F ` B ) ( abs o. - ) ( F ` z ) ) < e ) ) )
31	30	simprd 114	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( B ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) z ) < d -> ( ( F ` B ) ( abs o. - ) ( F ` z ) ) < e ) )
32	12	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> B e. A )
33		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> z e. A )
34	32, 33	ovresd 6064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( B ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) z ) = ( B ( abs o. - ) z ) )
35	15, 27	sseldd 3184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F : A --> CC ) -> B e. CC )
36	11, 35	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> B e. CC )
37	36	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> B e. CC )
38		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> A C_ CC )
39	38	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> A C_ CC )
40	39, 33	sseldd 3184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> z e. CC )
41		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
42	41	cnmetdval 14765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. CC /\ z e. CC ) -> ( B ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( B - z ) ) )
43	37, 40, 42	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( B ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( B - z ) ) )
44	37, 40	abssubd 11358	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( abs ` ( B - z ) ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
45	34, 43, 44	3eqtrd 2233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( B ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) z ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
46	45	breq1d 4043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( B ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) z ) < d <-> ( abs ` ( z - B ) ) < d ) )
47	46	biimprd 158	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < d -> ( B ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) z ) < d ) )
48	47	adantld 278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( B ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) z ) < d ) )
49	13	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( F ` B ) e. CC )
50	11	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> F : A --> CC )
51	50, 33	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
52	41	cnmetdval 14765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` B ) e. CC /\ ( F ` z ) e. CC ) -> ( ( F ` B ) ( abs o. - ) ( F ` z ) ) = ( abs ` ( ( F ` B ) - ( F ` z ) ) ) )
53	49, 51, 52	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( F ` B ) ( abs o. - ) ( F ` z ) ) = ( abs ` ( ( F ` B ) - ( F ` z ) ) ) )
54	49, 51	abssubd 11358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( abs ` ( ( F ` B ) - ( F ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) )
55	53, 54	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( F ` B ) ( abs o. - ) ( F ` z ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) )
56	55	breq1d 4043	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( ( F ` B ) ( abs o. - ) ( F ` z ) ) < e <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < e ) )
57	56	biimpd 144	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( ( F ` B ) ( abs o. - ) ( F ` z ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < e ) )
58	48, 57	imim12d 74	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( ( B ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) z ) < d -> ( ( F ` B ) ( abs o. - ) ( F ` z ) ) < e ) -> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < e ) ) )
59	58	ralimdva 2564	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> ( A. z e. A ( ( B ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) z ) < d -> ( ( F ` B ) ( abs o. - ) ( F ` z ) ) < e ) -> A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < e ) ) )
60	59	reximdva 2599	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) /\ e e. RR+ ) -> ( E. d e. RR+ A. z e. A ( ( B ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) z ) < d -> ( ( F ` B ) ( abs o. - ) ( F ` z ) ) < e ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < e ) ) )
61	60	ralimdva 2564	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> ( A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( B ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) z ) < d -> ( ( F ` B ) ( abs o. - ) ( F ` z ) ) < e ) -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < e ) ) )
62	31, 61	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < e ) )
63	11, 38, 36	ellimc3ap 14897	. . . 4 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> ( ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) <-> ( ( F ` B ) e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < e ) ) ) )
64	13, 62, 63	mpbir2and 946	. . 3 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) )
65	11, 64	jca 306	. 2 |- ( ( ( A C_ CC /\ B e. A ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) -> ( F : A --> CC /\ ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) ) )
66	65	ex 115	1 |- ( ( A C_ CC /\ B e. A ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` B ) -> ( F : A --> CC /\ ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   C_ wss 3157   class class class wbr 4033   X. cxp 4661   |` cres 4665   o. ccom 4667   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   < clt 8061   - cmin 8197   # cap 8608   RR+crp 9728   abscabs 11162   ↾_t crest 12910   *Metcxmet 14092   MetOpencmopn 14097  TopOnctopon 14246   CnP ccnp 14422   lim CC climc 14890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-map 6709  df-pm 6710  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-xneg 9847  df-xadd 9848  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-rest 12912  df-topgen 12931  df-psmet 14099  df-xmet 14100  df-met 14101  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-top 14234  df-topon 14247  df-bases 14279  df-cnp 14425  df-limced 14892

This theorem is referenced by:  cnplimccntop  14906  cnlimcim  14907