Theorem cnplimclemr 15534

Description: Lemma for cnplimccntop 15535. The reverse direction. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 17-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnplimccntop.k	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
cnplimc.j	|- J = ( K ↾t A )
cnplimclemr.a	|- ( ph -> A C_ CC )
cnplimclemr.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
cnplimclemr.b	|- ( ph -> B e. A )
cnplimclemr.l	|- ( ph -> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) )

Assertion

Ref	Expression
cnplimclemr	|- ( ph -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )

Proof of Theorem cnplimclemr

Dummy variables d e s z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnplimclemr.f	. . 3 |- ( ph -> F : A --> CC )
2		breq2 4113	. . . . . . . 8 |- ( s = ( e / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) )
3	2	imbi2d 230	. . . . . . 7 |- ( s = ( e / 2 ) -> ( ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) <-> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) )
4	3	rexralbidv 2568	. . . . . 6 |- ( s = ( e / 2 ) -> ( E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) <-> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) )
5		cnplimclemr.l	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) )
6		cnplimclemr.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ CC )
7		cnplimclemr.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. A )
8	6, 7	sseldd 3239	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. CC )
9	1, 6, 8	ellimc3ap 15526	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) <-> ( ( F ` B ) e. CC /\ A. s e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) ) ) )
10	5, 9	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ` B ) e. CC /\ A. s e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) ) )
11	10	simprd 114	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. s e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) )
12	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> A. s e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) )
13		rphalfcl 10014	. . . . . . 7 |- ( e e. RR+ -> ( e / 2 ) e. RR+ )
14	13	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( e / 2 ) e. RR+ )
15	4, 12, 14	rspcdva 2926	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) )
16	1	ad5antr 496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> F : A --> CC )
17		simpllr 536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> z e. A )
18	16, 17	ffvelcdmd 5813	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( F ` z ) e. CC )
19	7	ad5antr 496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> B e. A )
20	16, 19	ffvelcdmd 5813	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( F ` B ) e. CC )
21		eqid 2232	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
22	21	cnmetdval 15394	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` z ) e. CC /\ ( F ` B ) e. CC ) -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) )
23	18, 20, 22	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) )
24		cnplimccntop.k	. . . . . . . . . 10 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
25		cnplimc.j	. . . . . . . . . 10 |- J = ( K ↾t A )
26	6	ad5antr 496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> A C_ CC )
27	5	ad5antr 496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) )
28		simp-5r 546	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> e e. RR+ )
29		simp-4r 544	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> d e. RR+ )
30		3simpc 1023	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) /\ z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) )
31		simp1lr 1088	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) /\ z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) )
32	30, 31	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) /\ z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) )
33	17, 19	ovresd 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) = ( z ( abs o. - ) B ) )
34	26, 17	sseldd 3239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> z e. CC )
35	8	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> B e. CC )
36	21	cnmetdval 15394	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. CC /\ B e. CC ) -> ( z ( abs o. - ) B ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
37	34, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( z ( abs o. - ) B ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
38	33, 37	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
39		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d )
40	38, 39	eqbrtrrd 4133	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < d )
41	24, 25, 26, 16, 19, 27, 28, 29, 17, 32, 40	cnplimclemle 15533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < e )
42	23, 41	eqbrtrd 4131	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e )
43	42	exp31 364	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) -> ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) ) )
44	43	ralimdva 2609	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> ( A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) -> A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) ) )
45	44	reximdva 2644	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) ) )
46	15, 45	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) )
47	46	ralrimiva 2615	. . 3 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) )
48		cnxmet 15396	. . . . 5 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
49		xmetres2 15244	. . . . 5 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
50	48, 6, 49	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
51	48	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
52		eqid 2232	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) )
53	52, 24	metcnp2 15378	. . . 4 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ B e. A ) -> ( F e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP K ) ` B ) <-> ( F : A --> CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) ) ) )
54	50, 51, 7, 53	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> ( F e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP K ) ` B ) <-> ( F : A --> CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) ) ) )
55	1, 47, 54	mpbir2and 953	. 2 |- ( ph -> F e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP K ) ` B ) )
56		eqid 2232	. . . . . . 7 |- ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) )
57	56, 24, 52	metrest 15371	. . . . . 6 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( K ↾t A ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
58	48, 6, 57	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ↾t A ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
59	25, 58	eqtrid 2277	. . . 4 |- ( ph -> J = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
60	59	oveq1d 6065	. . 3 |- ( ph -> ( J CnP K ) = ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP K ) )
61	60	fveq1d 5672	. 2 |- ( ph -> ( ( J CnP K ) ` B ) = ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP K ) ` B ) )
62	55, 61	eleqtrrd 2312	1 |- ( ph -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   C_ wss 3211   class class class wbr 4109   X. cxp 4747   |` cres 4751   o. ccom 4753   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   CCcc 8125   < clt 8308   - cmin 8444   # cap 8855   / cdiv 8946   2c2 9288   RR+crp 9986   abscabs 11682   ↾_t crest 13452   *Metcxmet 14684   MetOpencmopn 14689   CnP ccnp 15051   lim CC climc 15519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-map 6884  df-pm 6885  df-sup 7275  df-inf 7276  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-xneg 10105  df-xadd 10106  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-rest 13454  df-topgen 13473  df-psmet 14691  df-xmet 14692  df-met 14693  df-bl 14694  df-mopn 14695  df-top 14863  df-topon 14876  df-bases 14908  df-cnp 15054  df-limced 15521

This theorem is referenced by:  cnplimccntop  15535  dvcnp2cntop  15564