Theorem cnplimclemr 15392

Description: Lemma for cnplimccntop 15393. The reverse direction. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 17-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnplimccntop.k	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
cnplimc.j	|- J = ( K ↾t A )
cnplimclemr.a	|- ( ph -> A C_ CC )
cnplimclemr.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
cnplimclemr.b	|- ( ph -> B e. A )
cnplimclemr.l	|- ( ph -> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) )

Assertion

Ref	Expression
cnplimclemr	|- ( ph -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )

Proof of Theorem cnplimclemr

Dummy variables d e s z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnplimclemr.f	. . 3 |- ( ph -> F : A --> CC )
2		breq2 4092	. . . . . . . 8 |- ( s = ( e / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) )
3	2	imbi2d 230	. . . . . . 7 |- ( s = ( e / 2 ) -> ( ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) <-> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) )
4	3	rexralbidv 2558	. . . . . 6 |- ( s = ( e / 2 ) -> ( E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) <-> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) )
5		cnplimclemr.l	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) )
6		cnplimclemr.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ CC )
7		cnplimclemr.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. A )
8	6, 7	sseldd 3228	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. CC )
9	1, 6, 8	ellimc3ap 15384	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) <-> ( ( F ` B ) e. CC /\ A. s e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) ) ) )
10	5, 9	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ` B ) e. CC /\ A. s e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) ) )
11	10	simprd 114	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. s e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) )
12	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> A. s e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) )
13		rphalfcl 9915	. . . . . . 7 |- ( e e. RR+ -> ( e / 2 ) e. RR+ )
14	13	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( e / 2 ) e. RR+ )
15	4, 12, 14	rspcdva 2915	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) )
16	1	ad5antr 496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> F : A --> CC )
17		simpllr 536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> z e. A )
18	16, 17	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( F ` z ) e. CC )
19	7	ad5antr 496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> B e. A )
20	16, 19	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( F ` B ) e. CC )
21		eqid 2231	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
22	21	cnmetdval 15252	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` z ) e. CC /\ ( F ` B ) e. CC ) -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) )
23	18, 20, 22	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) )
24		cnplimccntop.k	. . . . . . . . . 10 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
25		cnplimc.j	. . . . . . . . . 10 |- J = ( K ↾t A )
26	6	ad5antr 496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> A C_ CC )
27	5	ad5antr 496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) )
28		simp-5r 546	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> e e. RR+ )
29		simp-4r 544	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> d e. RR+ )
30		3simpc 1022	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) /\ z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) )
31		simp1lr 1087	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) /\ z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) )
32	30, 31	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) /\ z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) )
33	17, 19	ovresd 6162	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) = ( z ( abs o. - ) B ) )
34	26, 17	sseldd 3228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> z e. CC )
35	8	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> B e. CC )
36	21	cnmetdval 15252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. CC /\ B e. CC ) -> ( z ( abs o. - ) B ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
37	34, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( z ( abs o. - ) B ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
38	33, 37	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
39		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d )
40	38, 39	eqbrtrrd 4112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < d )
41	24, 25, 26, 16, 19, 27, 28, 29, 17, 32, 40	cnplimclemle 15391	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < e )
42	23, 41	eqbrtrd 4110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e )
43	42	exp31 364	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) -> ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) ) )
44	43	ralimdva 2599	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> ( A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) -> A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) ) )
45	44	reximdva 2634	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) ) )
46	15, 45	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) )
47	46	ralrimiva 2605	. . 3 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) )
48		cnxmet 15254	. . . . 5 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
49		xmetres2 15102	. . . . 5 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
50	48, 6, 49	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
51	48	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
52		eqid 2231	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) )
53	52, 24	metcnp2 15236	. . . 4 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ B e. A ) -> ( F e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP K ) ` B ) <-> ( F : A --> CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) ) ) )
54	50, 51, 7, 53	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ph -> ( F e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP K ) ` B ) <-> ( F : A --> CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) ) ) )
55	1, 47, 54	mpbir2and 952	. 2 |- ( ph -> F e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP K ) ` B ) )
56		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) )
57	56, 24, 52	metrest 15229	. . . . . 6 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( K ↾t A ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
58	48, 6, 57	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ↾t A ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
59	25, 58	eqtrid 2276	. . . 4 |- ( ph -> J = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
60	59	oveq1d 6032	. . 3 |- ( ph -> ( J CnP K ) = ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP K ) )
61	60	fveq1d 5641	. 2 |- ( ph -> ( ( J CnP K ) ` B ) = ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP K ) ` B ) )
62	55, 61	eleqtrrd 2311	1 |- ( ph -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   C_ wss 3200   class class class wbr 4088   X. cxp 4723   |` cres 4727   o. ccom 4729   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   CCcc 8029   < clt 8213   - cmin 8349   # cap 8760   / cdiv 8851   2c2 9193   RR+crp 9887   abscabs 11557   ↾_t crest 13321   *Metcxmet 14549   MetOpencmopn 14554   CnP ccnp 14909   lim CC climc 15377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-map 6818  df-pm 6819  df-sup 7182  df-inf 7183  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-xneg 10006  df-xadd 10007  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-rest 13323  df-topgen 13342  df-psmet 14556  df-xmet 14557  df-met 14558  df-bl 14559  df-mopn 14560  df-top 14721  df-topon 14734  df-bases 14766  df-cnp 14912  df-limced 15379

This theorem is referenced by:  cnplimccntop  15393  dvcnp2cntop  15422