Theorem cnplimclemr 15343

Description: Lemma for cnplimccntop 15344. The reverse direction. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 17-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnplimccntop.k	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
cnplimc.j	|- J = ( K ↾t A )
cnplimclemr.a	|- ( ph -> A C_ CC )
cnplimclemr.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
cnplimclemr.b	|- ( ph -> B e. A )
cnplimclemr.l	|- ( ph -> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) )

Assertion

Ref	Expression
cnplimclemr	|- ( ph -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )

Proof of Theorem cnplimclemr

Dummy variables d e s z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnplimclemr.f	. . 3 |- ( ph -> F : A --> CC )
2		breq2 4087	. . . . . . . 8 |- ( s = ( e / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) )
3	2	imbi2d 230	. . . . . . 7 |- ( s = ( e / 2 ) -> ( ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) <-> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) )
4	3	rexralbidv 2556	. . . . . 6 |- ( s = ( e / 2 ) -> ( E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) <-> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) )
5		cnplimclemr.l	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) )
6		cnplimclemr.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ CC )
7		cnplimclemr.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. A )
8	6, 7	sseldd 3225	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. CC )
9	1, 6, 8	ellimc3ap 15335	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) <-> ( ( F ` B ) e. CC /\ A. s e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) ) ) )
10	5, 9	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ` B ) e. CC /\ A. s e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) ) )
11	10	simprd 114	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. s e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) )
12	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> A. s e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) )
13		rphalfcl 9877	. . . . . . 7 |- ( e e. RR+ -> ( e / 2 ) e. RR+ )
14	13	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( e / 2 ) e. RR+ )
15	4, 12, 14	rspcdva 2912	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) )
16	1	ad5antr 496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> F : A --> CC )
17		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> z e. A )
18	16, 17	ffvelcdmd 5771	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( F ` z ) e. CC )
19	7	ad5antr 496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> B e. A )
20	16, 19	ffvelcdmd 5771	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( F ` B ) e. CC )
21		eqid 2229	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
22	21	cnmetdval 15203	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` z ) e. CC /\ ( F ` B ) e. CC ) -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) )
23	18, 20, 22	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) )
24		cnplimccntop.k	. . . . . . . . . 10 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
25		cnplimc.j	. . . . . . . . . 10 |- J = ( K ↾t A )
26	6	ad5antr 496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> A C_ CC )
27	5	ad5antr 496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) )
28		simp-5r 544	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> e e. RR+ )
29		simp-4r 542	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> d e. RR+ )
30		3simpc 1020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) /\ z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) )
31		simp1lr 1085	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) /\ z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) )
32	30, 31	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) /\ z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) )
33	17, 19	ovresd 6146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) = ( z ( abs o. - ) B ) )
34	26, 17	sseldd 3225	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> z e. CC )
35	8	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> B e. CC )
36	21	cnmetdval 15203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. CC /\ B e. CC ) -> ( z ( abs o. - ) B ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
37	34, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( z ( abs o. - ) B ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
38	33, 37	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
39		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d )
40	38, 39	eqbrtrrd 4107	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < d )
41	24, 25, 26, 16, 19, 27, 28, 29, 17, 32, 40	cnplimclemle 15342	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < e )
42	23, 41	eqbrtrd 4105	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e )
43	42	exp31 364	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) -> ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) ) )
44	43	ralimdva 2597	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> ( A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) -> A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) ) )
45	44	reximdva 2632	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) ) )
46	15, 45	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) )
47	46	ralrimiva 2603	. . 3 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) )
48		cnxmet 15205	. . . . 5 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
49		xmetres2 15053	. . . . 5 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
50	48, 6, 49	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
51	48	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
52		eqid 2229	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) )
53	52, 24	metcnp2 15187	. . . 4 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ B e. A ) -> ( F e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP K ) ` B ) <-> ( F : A --> CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) ) ) )
54	50, 51, 7, 53	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ph -> ( F e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP K ) ` B ) <-> ( F : A --> CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) ) ) )
55	1, 47, 54	mpbir2and 950	. 2 |- ( ph -> F e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP K ) ` B ) )
56		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) )
57	56, 24, 52	metrest 15180	. . . . . 6 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( K ↾t A ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
58	48, 6, 57	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ↾t A ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
59	25, 58	eqtrid 2274	. . . 4 |- ( ph -> J = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
60	59	oveq1d 6016	. . 3 |- ( ph -> ( J CnP K ) = ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP K ) )
61	60	fveq1d 5629	. 2 |- ( ph -> ( ( J CnP K ) ` B ) = ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP K ) ` B ) )
62	55, 61	eleqtrrd 2309	1 |- ( ph -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   X. cxp 4717   |` cres 4721   o. ccom 4723   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   CCcc 7997   < clt 8181   - cmin 8317   # cap 8728   / cdiv 8819   2c2 9161   RR+crp 9849   abscabs 11508   ↾_t crest 13272   *Metcxmet 14500   MetOpencmopn 14505   CnP ccnp 14860   lim CC climc 15328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-map 6797  df-pm 6798  df-sup 7151  df-inf 7152  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-xneg 9968  df-xadd 9969  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-rest 13274  df-topgen 13293  df-psmet 14507  df-xmet 14508  df-met 14509  df-bl 14510  df-mopn 14511  df-top 14672  df-topon 14685  df-bases 14717  df-cnp 14863  df-limced 15330

This theorem is referenced by:  cnplimccntop  15344  dvcnp2cntop  15373