Theorem cnplimclemr 12846

Description: Lemma for cnplimccntop 12847. The reverse direction. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 17-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnplimccntop.k	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
cnplimc.j	|- J = ( K ↾t A )
cnplimclemr.a	|- ( ph -> A C_ CC )
cnplimclemr.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
cnplimclemr.b	|- ( ph -> B e. A )
cnplimclemr.l	|- ( ph -> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) )

Assertion

Ref	Expression
cnplimclemr	|- ( ph -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )

Proof of Theorem cnplimclemr

Dummy variables d e s z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnplimclemr.f	. . 3 |- ( ph -> F : A --> CC )
2		breq2 3941	. . . . . . . 8 |- ( s = ( e / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) )
3	2	imbi2d 229	. . . . . . 7 |- ( s = ( e / 2 ) -> ( ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) <-> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) )
4	3	rexralbidv 2464	. . . . . 6 |- ( s = ( e / 2 ) -> ( E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) <-> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) )
5		cnplimclemr.l	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) )
6		cnplimclemr.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ CC )
7		cnplimclemr.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. A )
8	6, 7	sseldd 3103	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. CC )
9	1, 6, 8	ellimc3ap 12838	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) <-> ( ( F ` B ) e. CC /\ A. s e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) ) ) )
10	5, 9	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ` B ) e. CC /\ A. s e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) ) )
11	10	simprd 113	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. s e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) )
12	11	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> A. s e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) )
13		rphalfcl 9498	. . . . . . 7 |- ( e e. RR+ -> ( e / 2 ) e. RR+ )
14	13	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( e / 2 ) e. RR+ )
15	4, 12, 14	rspcdva 2798	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) )
16	1	ad5antr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> F : A --> CC )
17		simpllr 524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> z e. A )
18	16, 17	ffvelrnd 5564	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( F ` z ) e. CC )
19	7	ad5antr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> B e. A )
20	16, 19	ffvelrnd 5564	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( F ` B ) e. CC )
21		eqid 2140	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
22	21	cnmetdval 12737	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` z ) e. CC /\ ( F ` B ) e. CC ) -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) )
23	18, 20, 22	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) )
24		cnplimccntop.k	. . . . . . . . . 10 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
25		cnplimc.j	. . . . . . . . . 10 |- J = ( K ↾t A )
26	6	ad5antr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> A C_ CC )
27	5	ad5antr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) )
28		simp-5r 534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> e e. RR+ )
29		simp-4r 532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> d e. RR+ )
30		3simpc 981	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) /\ z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) )
31		simp1lr 1046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) /\ z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) )
32	30, 31	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) /\ z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) )
33	17, 19	ovresd 5919	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) = ( z ( abs o. - ) B ) )
34	26, 17	sseldd 3103	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> z e. CC )
35	8	ad5antr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> B e. CC )
36	21	cnmetdval 12737	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. CC /\ B e. CC ) -> ( z ( abs o. - ) B ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
37	34, 35, 36	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( z ( abs o. - ) B ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
38	33, 37	eqtrd 2173	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
39		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d )
40	38, 39	eqbrtrrd 3960	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < d )
41	24, 25, 26, 16, 19, 27, 28, 29, 17, 32, 40	cnplimclemle 12845	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < e )
42	23, 41	eqbrtrd 3958	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e )
43	42	exp31 362	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) -> ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) ) )
44	43	ralimdva 2502	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> ( A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) -> A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) ) )
45	44	reximdva 2537	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) ) )
46	15, 45	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) )
47	46	ralrimiva 2508	. . 3 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) )
48		cnxmet 12739	. . . . 5 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
49		xmetres2 12587	. . . . 5 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
50	48, 6, 49	sylancr 411	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
51	48	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
52		eqid 2140	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) )
53	52, 24	metcnp2 12721	. . . 4 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ B e. A ) -> ( F e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP K ) ` B ) <-> ( F : A --> CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) ) ) )
54	50, 51, 7, 53	syl3anc 1217	. . 3 |- ( ph -> ( F e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP K ) ` B ) <-> ( F : A --> CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) ) ) )
55	1, 47, 54	mpbir2and 929	. 2 |- ( ph -> F e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP K ) ` B ) )
56		eqid 2140	. . . . . . 7 |- ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) )
57	56, 24, 52	metrest 12714	. . . . . 6 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( K ↾t A ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
58	48, 6, 57	sylancr 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ↾t A ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
59	25, 58	syl5eq 2185	. . . 4 |- ( ph -> J = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
60	59	oveq1d 5797	. . 3 |- ( ph -> ( J CnP K ) = ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP K ) )
61	60	fveq1d 5431	. 2 |- ( ph -> ( ( J CnP K ) ` B ) = ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP K ) ` B ) )
62	55, 61	eleqtrrd 2220	1 |- ( ph -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   C_ wss 3076   class class class wbr 3937   X. cxp 4545   |` cres 4549   o. ccom 4551   -->wf 5127   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   < clt 7824   - cmin 7957   # cap 8367   / cdiv 8456   2c2 8795   RR+crp 9470   abscabs 10801   ↾_t crest 12159   *Metcxmet 12188   MetOpencmopn 12193   CnP ccnp 12394   lim CC climc 12831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-map 6552  df-pm 6553  df-sup 6879  df-inf 6880  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-xneg 9589  df-xadd 9590  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-rest 12161  df-topgen 12180  df-psmet 12195  df-xmet 12196  df-met 12197  df-bl 12198  df-mopn 12199  df-top 12204  df-topon 12217  df-bases 12249  df-cnp 12397  df-limced 12833

This theorem is referenced by:  cnplimccntop  12847  dvcnp2cntop  12871