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Theorem cnplimclemr 14141
Description: Lemma for cnplimccntop 14142. The reverse direction. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 17-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cnplimccntop.k  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
cnplimc.j  |-  J  =  ( Kt  A )
cnplimclemr.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
cnplimclemr.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
cnplimclemr.b  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
cnplimclemr.l  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  e.  ( F lim
CC  B ) )
Assertion
Ref Expression
cnplimclemr  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 B ) )

Proof of Theorem cnplimclemr
Dummy variables  d  e  s  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnplimclemr.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
2 breq2 4008 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( e  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  s  <->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
) )  <  (
e  /  2 ) ) )
32imbi2d 230 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( e  / 
2 )  ->  (
( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  s )  <-> 
( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  ( e  /  2 ) ) ) )
43rexralbidv 2503 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( e  / 
2 )  ->  ( E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) )  <  s
)  <->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  ( e  /  2 ) ) ) )
5 cnplimclemr.l . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  e.  ( F lim
CC  B ) )
6 cnplimclemr.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
7 cnplimclemr.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
86, 7sseldd 3157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
91, 6, 8ellimc3ap 14133 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( ( F `  B )  e.  CC  /\ 
A. s  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) )  <  s
) ) ) )
105, 9mpbid 147 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F `  B )  e.  CC  /\ 
A. s  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) )  <  s
) ) )
1110simprd 114 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. s  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) )  <  s
) )
1211adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  A. s  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  s ) )
13 rphalfcl 9681 . . . . . . 7  |-  ( e  e.  RR+  ->  ( e  /  2 )  e.  RR+ )
1413adantl 277 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( e  /  2 )  e.  RR+ )
154, 12, 14rspcdva 2847 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
) )  <  (
e  /  2 ) ) )
161ad5antr 496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  ( e  /  2 ) ) )  /\  ( z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d
)  ->  F : A
--> CC )
17 simpllr 534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  ( e  /  2 ) ) )  /\  ( z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d
)  ->  z  e.  A )
1816, 17ffvelcdmd 5653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  ( e  /  2 ) ) )  /\  ( z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d
)  ->  ( F `  z )  e.  CC )
197ad5antr 496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  ( e  /  2 ) ) )  /\  ( z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d
)  ->  B  e.  A )
2016, 19ffvelcdmd 5653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  ( e  /  2 ) ) )  /\  ( z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d
)  ->  ( F `  B )  e.  CC )
21 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
2221cnmetdval 14032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  CC  /\  ( F `  B )  e.  CC )  -> 
( ( F `  z ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  B )
)  =  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
) ) )
2318, 20, 22syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  ( e  /  2 ) ) )  /\  ( z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d
)  ->  ( ( F `  z )
( abs  o.  -  )
( F `  B
) )  =  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) )
24 cnplimccntop.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
25 cnplimc.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( Kt  A )
266ad5antr 496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  ( e  /  2 ) ) )  /\  ( z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d
)  ->  A  C_  CC )
275ad5antr 496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  ( e  /  2 ) ) )  /\  ( z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d
)  ->  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B ) )
28 simp-5r 544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  ( e  /  2 ) ) )  /\  ( z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d
)  ->  e  e.  RR+ )
29 simp-4r 542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  ( e  /  2 ) ) )  /\  ( z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d
)  ->  d  e.  RR+ )
30 3simpc 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  ( e  /  2 ) ) )  /\  ( z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d
)  /\  z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d ) )
31 simp1lr 1061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  ( e  /  2 ) ) )  /\  ( z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d
)  /\  z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
) )  <  (
e  /  2 ) ) )
3230, 31mpd 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  ( e  /  2 ) ) )  /\  ( z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d
)  /\  z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  ( e  /  2 ) )
3317, 19ovresd 6015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  ( e  /  2 ) ) )  /\  ( z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d
)  ->  ( z
( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  =  ( z ( abs  o.  -  ) B ) )
3426, 17sseldd 3157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  ( e  /  2 ) ) )  /\  ( z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d
)  ->  z  e.  CC )
358ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  ( e  /  2 ) ) )  /\  ( z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d
)  ->  B  e.  CC )
3621cnmetdval 14032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( z ( abs 
o.  -  ) B
)  =  ( abs `  ( z  -  B
) ) )
3734, 35, 36syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  ( e  /  2 ) ) )  /\  ( z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d
)  ->  ( z
( abs  o.  -  ) B )  =  ( abs `  ( z  -  B ) ) )
3833, 37eqtrd 2210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  ( e  /  2 ) ) )  /\  ( z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d
)  ->  ( z
( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  =  ( abs `  ( z  -  B ) ) )
39 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  ( e  /  2 ) ) )  /\  ( z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d
)  ->  ( z
( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d
)
4038, 39eqbrtrrd 4028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  ( e  /  2 ) ) )  /\  ( z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d
)  ->  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)
4124, 25, 26, 16, 19, 27, 28, 29, 17, 32, 40cnplimclemle 14140 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  ( e  /  2 ) ) )  /\  ( z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
) )  <  e
)
4223, 41eqbrtrd 4026 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  ( e  /  2 ) ) )  /\  ( z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d
)  ->  ( ( F `  z )
( abs  o.  -  )
( F `  B
) )  <  e
)
4342exp31 364 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  ( ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
) )  <  (
e  /  2 ) )  ->  ( (
z ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d  ->  ( ( F `  z ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  B )
)  <  e )
) )
4443ralimdva 2544 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  <  ( e  /  2 ) )  ->  A. z  e.  A  ( ( z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d  -> 
( ( F `  z ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  B )
)  <  e )
) )
4544reximdva 2579 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) )  <  (
e  /  2 ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d  ->  ( ( F `  z ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  B )
)  <  e )
) )
4615, 45mpd 13 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d  ->  ( ( F `  z ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  B )
)  <  e )
)
4746ralrimiva 2550 . . 3  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d  ->  ( ( F `  z ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  B )
)  <  e )
)
48 cnxmet 14034 . . . . 5  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
49 xmetres2 13882 . . . . 5  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  A  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )  e.  ( *Met `  A ) )
5048, 6, 49sylancr 414 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )  e.  ( *Met `  A ) )
5148a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
52 eqid 2177 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) )
5352, 24metcnp2 14016 . . . 4  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )  e.  ( *Met `  A )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  B  e.  A )  ->  ( F  e.  ( (
( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) )  CnP 
K ) `  B
)  <->  ( F : A
--> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d  -> 
( ( F `  z ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  B )
)  <  e )
) ) )
5450, 51, 7, 53syl3anc 1238 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( ( MetOpen `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) )  CnP 
K ) `  B
)  <->  ( F : A
--> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) B )  <  d  -> 
( ( F `  z ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  B )
)  <  e )
) ) )
551, 47, 54mpbir2and 944 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) )  CnP 
K ) `  B
) )
56 eqid 2177 . . . . . . 7  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )
5756, 24, 52metrest 14009 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  A  C_  CC )  -> 
( Kt  A )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) ) )
5848, 6, 57sylancr 414 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Kt  A )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) ) )
5925, 58eqtrid 2222 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) ) )
6059oveq1d 5890 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J  CnP  K
)  =  ( (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) )  CnP  K ) )
6160fveq1d 5518 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( J  CnP  K ) `  B )  =  ( ( (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) )  CnP  K ) `
 B ) )
6255, 61eleqtrrd 2257 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456    C_ wss 3130   class class class wbr 4004    X. cxp 4625    |` cres 4629    o. ccom 4631   -->wf 5213   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   CCcc 7809    < clt 7992    - cmin 8128   # cap 8538    / cdiv 8629   2c2 8970   RR+crp 9653   abscabs 11006   ↾t crest 12688   *Metcxmet 13443   MetOpencmopn 13448    CnP ccnp 13689   lim CC climc 14126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-map 6650  df-pm 6651  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-cnp 13692  df-limced 14128
This theorem is referenced by:  cnplimccntop  14142  dvcnp2cntop  14166
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