Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnplimclemr Unicode version

Theorem cnplimclemr 12998
 Description: Lemma for cnplimccntop 12999. The reverse direction. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 17-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cnplimccntop.k
cnplimc.j t
cnplimclemr.a
cnplimclemr.f
cnplimclemr.b
cnplimclemr.l lim
Assertion
Ref Expression
cnplimclemr

Proof of Theorem cnplimclemr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnplimclemr.f . . 3
2 breq2 3969 . . . . . . . 8
32imbi2d 229 . . . . . . 7 # #
43rexralbidv 2483 . . . . . 6 # #
5 cnplimclemr.l . . . . . . . . 9 lim
6 cnplimclemr.a . . . . . . . . . 10
7 cnplimclemr.b . . . . . . . . . . 11
86, 7sseldd 3129 . . . . . . . . . 10
91, 6, 8ellimc3ap 12990 . . . . . . . . 9 lim #
105, 9mpbid 146 . . . . . . . 8 #
1110simprd 113 . . . . . . 7 #
1211adantr 274 . . . . . 6 #
13 rphalfcl 9570 . . . . . . 7
1413adantl 275 . . . . . 6
154, 12, 14rspcdva 2821 . . . . 5 #
161ad5antr 488 . . . . . . . . . . 11 #
17 simpllr 524 . . . . . . . . . . 11 #
1816, 17ffvelrnd 5600 . . . . . . . . . 10 #
197ad5antr 488 . . . . . . . . . . 11 #
2016, 19ffvelrnd 5600 . . . . . . . . . 10 #
21 eqid 2157 . . . . . . . . . . 11
2221cnmetdval 12889 . . . . . . . . . 10
2318, 20, 22syl2anc 409 . . . . . . . . 9 #
24 cnplimccntop.k . . . . . . . . . 10
25 cnplimc.j . . . . . . . . . 10 t
266ad5antr 488 . . . . . . . . . 10 #
275ad5antr 488 . . . . . . . . . 10 # lim
28 simp-5r 534 . . . . . . . . . 10 #
29 simp-4r 532 . . . . . . . . . 10 #
30 3simpc 981 . . . . . . . . . . 11 # # #
31 simp1lr 1046 . . . . . . . . . . 11 # # #
3230, 31mpd 13 . . . . . . . . . 10 # #
3317, 19ovresd 5955 . . . . . . . . . . . 12 #
3426, 17sseldd 3129 . . . . . . . . . . . . 13 #
358ad5antr 488 . . . . . . . . . . . . 13 #
3621cnmetdval 12889 . . . . . . . . . . . . 13
3734, 35, 36syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 #
3833, 37eqtrd 2190 . . . . . . . . . . 11 #
39 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 #
4038, 39eqbrtrrd 3988 . . . . . . . . . 10 #
4124, 25, 26, 16, 19, 27, 28, 29, 17, 32, 40cnplimclemle 12997 . . . . . . . . 9 #
4223, 41eqbrtrd 3986 . . . . . . . 8 #
4342exp31 362 . . . . . . 7 #
4443ralimdva 2524 . . . . . 6 #
4544reximdva 2559 . . . . 5 #
4615, 45mpd 13 . . . 4
4746ralrimiva 2530 . . 3
48 cnxmet 12891 . . . . 5
49 xmetres2 12739 . . . . 5
5048, 6, 49sylancr 411 . . . 4
5148a1i 9 . . . 4
52 eqid 2157 . . . . 5
5352, 24metcnp2 12873 . . . 4
5450, 51, 7, 53syl3anc 1220 . . 3
551, 47, 54mpbir2and 929 . 2
56 eqid 2157 . . . . . . 7
5756, 24, 52metrest 12866 . . . . . 6 t
5848, 6, 57sylancr 411 . . . . 5 t
5925, 58syl5eq 2202 . . . 4
6059oveq1d 5833 . . 3
6160fveq1d 5467 . 2
6255, 61eleqtrrd 2237 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 963   wceq 1335   wcel 2128  wral 2435  wrex 2436   wss 3102   class class class wbr 3965   cxp 4581   cres 4585   ccom 4587  wf 5163  cfv 5167  (class class class)co 5818  cc 7713   clt 7895   cmin 8029   # cap 8439   cdiv 8528  c2 8867  crp 9542  cabs 10879   ↾t crest 12311  cxmet 12340  cmopn 12345   ccnp 12546   lim climc 12983 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-map 6588  df-pm 6589  df-sup 6920  df-inf 6921  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-xneg 9661  df-xadd 9662  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-rest 12313  df-topgen 12332  df-psmet 12347  df-xmet 12348  df-met 12349  df-bl 12350  df-mopn 12351  df-top 12356  df-topon 12369  df-bases 12401  df-cnp 12549  df-limced 12985 This theorem is referenced by:  cnplimccntop  12999  dvcnp2cntop  13023
 Copyright terms: Public domain W3C validator