Theorem cnplimclemr 14031

Description: Lemma for cnplimccntop 14032. The reverse direction. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 17-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnplimccntop.k	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
cnplimc.j	|- J = ( K ↾t A )
cnplimclemr.a	|- ( ph -> A C_ CC )
cnplimclemr.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
cnplimclemr.b	|- ( ph -> B e. A )
cnplimclemr.l	|- ( ph -> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) )

Assertion

Ref	Expression
cnplimclemr	|- ( ph -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )

Proof of Theorem cnplimclemr

Dummy variables d e s z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnplimclemr.f	. . 3 |- ( ph -> F : A --> CC )
2		breq2 4007	. . . . . . . 8 |- ( s = ( e / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) )
3	2	imbi2d 230	. . . . . . 7 |- ( s = ( e / 2 ) -> ( ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) <-> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) )
4	3	rexralbidv 2503	. . . . . 6 |- ( s = ( e / 2 ) -> ( E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) <-> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) )
5		cnplimclemr.l	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) )
6		cnplimclemr.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ CC )
7		cnplimclemr.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. A )
8	6, 7	sseldd 3156	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. CC )
9	1, 6, 8	ellimc3ap 14023	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) <-> ( ( F ` B ) e. CC /\ A. s e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) ) ) )
10	5, 9	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ` B ) e. CC /\ A. s e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) ) )
11	10	simprd 114	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. s e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) )
12	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> A. s e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < s ) )
13		rphalfcl 9679	. . . . . . 7 |- ( e e. RR+ -> ( e / 2 ) e. RR+ )
14	13	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( e / 2 ) e. RR+ )
15	4, 12, 14	rspcdva 2846	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) )
16	1	ad5antr 496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> F : A --> CC )
17		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> z e. A )
18	16, 17	ffvelcdmd 5652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( F ` z ) e. CC )
19	7	ad5antr 496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> B e. A )
20	16, 19	ffvelcdmd 5652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( F ` B ) e. CC )
21		eqid 2177	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
22	21	cnmetdval 13922	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` z ) e. CC /\ ( F ` B ) e. CC ) -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) )
23	18, 20, 22	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) )
24		cnplimccntop.k	. . . . . . . . . 10 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
25		cnplimc.j	. . . . . . . . . 10 |- J = ( K ↾t A )
26	6	ad5antr 496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> A C_ CC )
27	5	ad5antr 496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) )
28		simp-5r 544	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> e e. RR+ )
29		simp-4r 542	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> d e. RR+ )
30		3simpc 996	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) /\ z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) )
31		simp1lr 1061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) /\ z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) )
32	30, 31	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) /\ z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) )
33	17, 19	ovresd 6014	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) = ( z ( abs o. - ) B ) )
34	26, 17	sseldd 3156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> z e. CC )
35	8	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> B e. CC )
36	21	cnmetdval 13922	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. CC /\ B e. CC ) -> ( z ( abs o. - ) B ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
37	34, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( z ( abs o. - ) B ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
38	33, 37	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
39		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d )
40	38, 39	eqbrtrrd 4027	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < d )
41	24, 25, 26, 16, 19, 27, 28, 29, 17, 32, 40	cnplimclemle 14030	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < e )
42	23, 41	eqbrtrd 4025	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) ) /\ ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d ) -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e )
43	42	exp31 364	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) -> ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) ) )
44	43	ralimdva 2544	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> ( A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) -> A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) ) )
45	44	reximdva 2579	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) < ( e / 2 ) ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) ) )
46	15, 45	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) )
47	46	ralrimiva 2550	. . 3 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) )
48		cnxmet 13924	. . . . 5 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
49		xmetres2 13772	. . . . 5 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
50	48, 6, 49	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
51	48	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
52		eqid 2177	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) )
53	52, 24	metcnp2 13906	. . . 4 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ B e. A ) -> ( F e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP K ) ` B ) <-> ( F : A --> CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) ) ) )
54	50, 51, 7, 53	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ph -> ( F e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP K ) ` B ) <-> ( F : A --> CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) B ) < d -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) ( F ` B ) ) < e ) ) ) )
55	1, 47, 54	mpbir2and 944	. 2 |- ( ph -> F e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP K ) ` B ) )
56		eqid 2177	. . . . . . 7 |- ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) )
57	56, 24, 52	metrest 13899	. . . . . 6 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( K ↾t A ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
58	48, 6, 57	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ↾t A ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
59	25, 58	eqtrid 2222	. . . 4 |- ( ph -> J = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
60	59	oveq1d 5889	. . 3 |- ( ph -> ( J CnP K ) = ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP K ) )
61	60	fveq1d 5517	. 2 |- ( ph -> ( ( J CnP K ) ` B ) = ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP K ) ` B ) )
62	55, 61	eleqtrrd 2257	1 |- ( ph -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   C_ wss 3129   class class class wbr 4003   X. cxp 4624   |` cres 4628   o. ccom 4630   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   CCcc 7808   < clt 7990   - cmin 8126   # cap 8536   / cdiv 8627   2c2 8968   RR+crp 9651   abscabs 11001   ↾_t crest 12678   *Metcxmet 13331   MetOpencmopn 13336   CnP ccnp 13579   lim CC climc 14016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-map 6649  df-pm 6650  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-xneg 9770  df-xadd 9771  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-rest 12680  df-topgen 12699  df-psmet 13338  df-xmet 13339  df-met 13340  df-bl 13341  df-mopn 13342  df-top 13389  df-topon 13402  df-bases 13434  df-cnp 13582  df-limced 14018

This theorem is referenced by:  cnplimccntop  14032  dvcnp2cntop  14056