Theorem xmetres2 14966

Description: Restriction of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetres2	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( *Met ` R ) )

Proof of Theorem xmetres2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetrel 14930	. . . . 5 |- Rel *Met
2		relelfvdm 5631	. . . . 5 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
3	1, 2	mpan 424	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
4	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> X e. dom *Met )
5		simpr 110	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> R C_ X )
6	4, 5	ssexd 4200	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> R e. _V )
7		xmetf 14937	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
9		xpss12 4800	. . . 4 |- ( ( R C_ X /\ R C_ X ) -> ( R X. R ) C_ ( X X. X ) )
10	5, 9	sylancom 420	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( R X. R ) C_ ( X X. X ) )
11	8, 10	fssresd 5474	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) : ( R X. R ) --> RR* )
12		ovres 6109	. . . . 5 |- ( ( x e. R /\ y e. R ) -> ( x ( D |` ( R X. R ) ) y ) = ( x D y ) )
13	12	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> ( x ( D |` ( R X. R ) ) y ) = ( x D y ) )
14	13	eqeq1d 2216	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> ( ( x ( D |` ( R X. R ) ) y ) = 0 <-> ( x D y ) = 0 ) )
15		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
16		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> R C_ X )
17		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> x e. R )
18	16, 17	sseldd 3202	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> x e. X )
19		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> y e. R )
20	16, 19	sseldd 3202	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> y e. X )
21		xmeteq0 14946	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
22	15, 18, 20, 21	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
23	14, 22	bitrd 188	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> ( ( x ( D |` ( R X. R ) ) y ) = 0 <-> x = y ) )
24		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
25		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> R C_ X )
26		simpr3 1008	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> z e. R )
27	25, 26	sseldd 3202	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> z e. X )
28	18	3adantr3 1161	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> x e. X )
29	20	3adantr3 1161	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> y e. X )
30		xmettri2 14948	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( z e. X /\ x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
31	24, 27, 28, 29, 30	syl13anc 1252	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
32	13	3adantr3 1161	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> ( x ( D |` ( R X. R ) ) y ) = ( x D y ) )
33		simpr1 1006	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> x e. R )
34	26, 33	ovresd 6110	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> ( z ( D |` ( R X. R ) ) x ) = ( z D x ) )
35		simpr2 1007	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> y e. R )
36	26, 35	ovresd 6110	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> ( z ( D |` ( R X. R ) ) y ) = ( z D y ) )
37	34, 36	oveq12d 5985	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> ( ( z ( D |` ( R X. R ) ) x ) +e ( z ( D |` ( R X. R ) ) y ) ) = ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
38	31, 32, 37	3brtr4d 4091	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> ( x ( D |` ( R X. R ) ) y ) <_ ( ( z ( D |` ( R X. R ) ) x ) +e ( z ( D |` ( R X. R ) ) y ) ) )
39	6, 11, 23, 38	isxmetd 14934	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( *Met ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   C_ wss 3174   class class class wbr 4059   X. cxp 4691   dom cdm 4693   |` cres 4695   Rel wrel 4698   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   0cc0 7960   RR*cxr 8141   <_ cle 8143   +ecxad 9927   *Metcxmet 14413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-map 6760  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-xmet 14421

This theorem is referenced by:  metres2  14968  xmetres  14969  xmetresbl  15027  metrest  15093  divcnap  15152  cncfmet  15179  limcimolemlt  15251  cnplimcim  15254  cnplimclemr  15256  limccnpcntop  15262  limccnp2cntop  15264