Theorem xmetres2 14364

Description: Restriction of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetres2	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( *Met ` R ) )

Proof of Theorem xmetres2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetrel 14328	. . . . 5 |- Rel *Met
2		relelfvdm 5569	. . . . 5 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
3	1, 2	mpan 424	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
4	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> X e. dom *Met )
5		simpr 110	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> R C_ X )
6	4, 5	ssexd 4161	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> R e. _V )
7		xmetf 14335	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
9		xpss12 4754	. . . 4 |- ( ( R C_ X /\ R C_ X ) -> ( R X. R ) C_ ( X X. X ) )
10	5, 9	sylancom 420	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( R X. R ) C_ ( X X. X ) )
11	8, 10	fssresd 5414	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) : ( R X. R ) --> RR* )
12		ovres 6040	. . . . 5 |- ( ( x e. R /\ y e. R ) -> ( x ( D |` ( R X. R ) ) y ) = ( x D y ) )
13	12	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> ( x ( D |` ( R X. R ) ) y ) = ( x D y ) )
14	13	eqeq1d 2198	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> ( ( x ( D |` ( R X. R ) ) y ) = 0 <-> ( x D y ) = 0 ) )
15		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
16		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> R C_ X )
17		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> x e. R )
18	16, 17	sseldd 3171	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> x e. X )
19		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> y e. R )
20	16, 19	sseldd 3171	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> y e. X )
21		xmeteq0 14344	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
22	15, 18, 20, 21	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
23	14, 22	bitrd 188	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> ( ( x ( D |` ( R X. R ) ) y ) = 0 <-> x = y ) )
24		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
25		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> R C_ X )
26		simpr3 1007	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> z e. R )
27	25, 26	sseldd 3171	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> z e. X )
28	18	3adantr3 1160	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> x e. X )
29	20	3adantr3 1160	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> y e. X )
30		xmettri2 14346	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( z e. X /\ x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
31	24, 27, 28, 29, 30	syl13anc 1251	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
32	13	3adantr3 1160	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> ( x ( D |` ( R X. R ) ) y ) = ( x D y ) )
33		simpr1 1005	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> x e. R )
34	26, 33	ovresd 6041	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> ( z ( D |` ( R X. R ) ) x ) = ( z D x ) )
35		simpr2 1006	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> y e. R )
36	26, 35	ovresd 6041	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> ( z ( D |` ( R X. R ) ) y ) = ( z D y ) )
37	34, 36	oveq12d 5918	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> ( ( z ( D |` ( R X. R ) ) x ) +e ( z ( D |` ( R X. R ) ) y ) ) = ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
38	31, 32, 37	3brtr4d 4053	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> ( x ( D |` ( R X. R ) ) y ) <_ ( ( z ( D |` ( R X. R ) ) x ) +e ( z ( D |` ( R X. R ) ) y ) ) )
39	6, 11, 23, 38	isxmetd 14332	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( *Met ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   C_ wss 3144   class class class wbr 4021   X. cxp 4645   dom cdm 4647   |` cres 4649   Rel wrel 4652   -->wf 5234   ` cfv 5238  (class class class)co 5900   0cc0 7846   RR*cxr 8026   <_ cle 8028   +ecxad 9806   *Metcxmet 13874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-fv 5246  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-map 6680  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-xmet 13882

This theorem is referenced by:  metres2  14366  xmetres  14367  xmetresbl  14425  metrest  14491  divcnap  14540  cncfmet  14564  limcimolemlt  14618  cnplimcim  14621  cnplimclemr  14623  limccnpcntop  14629  limccnp2cntop  14631