Theorem ovresd 6158

Description: Lemma for converting metric theorems to metric space theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovresd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
ovresd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ovresd	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem ovresd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovresd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		ovresd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
3		ovres 6157	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   × cxp 4721   ↾ cres 4725  (class class class)co 6013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-res 4735  df-iota 5284  df-fv 5332  df-ov 6016

This theorem is referenced by:  psmetres2  15047  xmetres2  15093  xmssym  15183  xmstri2  15184  mstri2  15185  xmstri  15186  mstri  15187  xmstri3  15188  mstri3  15189  msrtri  15190  limcimolemlt  15378  cnplimcim  15381  cnplimclemr  15383  limccnpcntop  15389  limccnp2lem  15390