ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sgrp1 Unicode version

Theorem sgrp1 12680
Description: The structure with one element and the only closed internal operation for a singleton is a semigroup. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
sgrp1.m  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. }
Assertion
Ref Expression
sgrp1  |-  ( I  e.  V  ->  M  e. Smgrp )

Proof of Theorem sgrp1
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sgrp1.m . . 3  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. }
21mgm1 12653 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  M  e. Mgm )
3 df-ov 5868 . . . . . . 7  |-  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )
4 opexg 4222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  I  e.  V )  -> 
<. I ,  I >.  e. 
_V )
54anidms 397 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  <. I ,  I >.  e.  _V )
6 fvsng 5704 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. I ,  I >.  e. 
_V  /\  I  e.  V )  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
75, 6mpancom 422 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
83, 7eqtrid 2220 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  I )
98oveq1d 5880 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) )
108oveq2d 5881 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) )
119, 10eqtr4d 2211 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) ) )
12 oveq1 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  I  ->  (
x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) )
1312oveq1d 5880 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  I  ->  (
( x { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )
14 oveq1 5872 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  I  ->  (
x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) ) )
1513, 14eqeq12d 2190 . . . . . . 7  |-  ( x  =  I  ->  (
( ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
16152ralbidv 2499 . . . . . 6  |-  ( x  =  I  ->  ( A. y  e.  { I } A. z  e.  {
I }  ( ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. y  e.  { I } A. z  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
1716ralsng 3629 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. x  e.  { I } A. y  e.  {
I } A. z  e.  { I }  (
( x { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. y  e.  { I } A. z  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
18 oveq2 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
1918oveq1d 5880 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  I  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )
20 oveq1 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  I  ->  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )
2120oveq2d 5881 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) ) )
2219, 21eqeq12d 2190 . . . . . . 7  |-  ( y  =  I  ->  (
( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
2322ralbidv 2475 . . . . . 6  |-  ( y  =  I  ->  ( A. z  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. z  e.  {
I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
2423ralsng 3629 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. y  e.  { I } A. z  e.  {
I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. z  e.  { I }  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
25 oveq2 5873 . . . . . . 7  |-  ( z  =  I  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) )
26 oveq2 5873 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
2726oveq2d 5881 . . . . . . 7  |-  ( z  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) ) )
2825, 27eqeq12d 2190 . . . . . 6  |-  ( z  =  I  ->  (
( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) ) ) )
2928ralsng 3629 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. z  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) ) ) )
3017, 24, 293bitrd 214 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. x  e.  { I } A. y  e.  {
I } A. z  e.  { I }  (
( x { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) ) ) )
3111, 30mpbird 167 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  A. x  e.  { I } A. y  e.  { I } A. z  e.  {
I }  ( ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) ) )
32 snexg 4179 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  { I }  e.  _V )
33 elex 2746 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  _V )
34 opexg 4222 . . . . . . 7  |-  ( (
<. I ,  I >.  e. 
_V  /\  I  e.  _V )  ->  <. <. I ,  I >. ,  I >.  e. 
_V )
355, 33, 34syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  <. <. I ,  I >. ,  I >.  e. 
_V )
36 snexg 4179 . . . . . 6  |-  ( <. <. I ,  I >. ,  I >.  e.  _V  ->  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V )
3735, 36syl 14 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V )
381grpbaseg 12537 . . . . 5  |-  ( ( { I }  e.  _V  /\  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V )  ->  { I }  =  ( Base `  M )
)
3932, 37, 38syl2anc 411 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  { I }  =  ( Base `  M ) )
401grpplusgg 12538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { I }  e.  _V  /\  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V )  ->  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M ) )
4132, 37, 40syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M ) )
4241oveqd 5882 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  (
x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y )  =  ( x ( +g  `  M
) y ) )
43 eqidd 2176 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  z  =  z )
4441, 42, 43oveq123d 5886 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  (
( x { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) z ) )
45 eqidd 2176 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  x  =  x )
4641oveqd 5882 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( y ( +g  `  M
) z ) )
4741, 45, 46oveq123d 5886 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  (
x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) z ) ) )
4844, 47eqeq12d 2190 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  (
( ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) z )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) z ) ) ) )
4939, 48raleqbidv 2682 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. z  e.  { I }  ( ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. z  e.  (
Base `  M )
( ( x ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) z )  =  ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) z ) ) ) )
5039, 49raleqbidv 2682 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. y  e.  { I } A. z  e.  {
I }  ( ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  M
) A. z  e.  ( Base `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) z )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) z ) ) ) )
5139, 50raleqbidv 2682 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. x  e.  { I } A. y  e.  {
I } A. z  e.  { I }  (
( x { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  M
) A. y  e.  ( Base `  M
) A. z  e.  ( Base `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) z )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) z ) ) ) )
5231, 51mpbid 147 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  A. x  e.  ( Base `  M
) A. y  e.  ( Base `  M
) A. z  e.  ( Base `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) z )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) z ) ) )
53 eqid 2175 . . 3  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
54 eqid 2175 . . 3  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
5553, 54issgrp 12673 . 2  |-  ( M  e. Smgrp 
<->  ( M  e. Mgm  /\  A. x  e.  ( Base `  M ) A. y  e.  ( Base `  M
) A. z  e.  ( Base `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) z )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) z ) ) ) )
562, 52, 55sylanbrc 417 1  |-  ( I  e.  V  ->  M  e. Smgrp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2146   A.wral 2453   _Vcvv 2735   {csn 3589   {cpr 3590   <.cop 3592   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   ndxcnx 12424   Basecbs 12427   +g cplusg 12491  Mgmcmgm 12637  Smgrpcsgrp 12671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltadd 7902
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-fv 5216  df-ov 5868  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-ltxr 7971  df-inn 8891  df-2 8949  df-ndx 12430  df-slot 12431  df-base 12433  df-plusg 12504  df-mgm 12639  df-sgrp 12672
This theorem is referenced by:  mnd1  12708
  Copyright terms: Public domain W3C validator