ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sgrp1 Unicode version

Theorem sgrp1 12651
Description: The structure with one element and the only closed internal operation for a singleton is a semigroup. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
sgrp1.m  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. }
Assertion
Ref Expression
sgrp1  |-  ( I  e.  V  ->  M  e. Smgrp )

Proof of Theorem sgrp1
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sgrp1.m . . 3  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. }
21mgm1 12624 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  M  e. Mgm )
3 df-ov 5856 . . . . . . 7  |-  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )
4 opexg 4213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  I  e.  V )  -> 
<. I ,  I >.  e. 
_V )
54anidms 395 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  <. I ,  I >.  e.  _V )
6 fvsng 5692 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. I ,  I >.  e. 
_V  /\  I  e.  V )  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
75, 6mpancom 420 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
83, 7eqtrid 2215 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  I )
98oveq1d 5868 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) )
108oveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) )
119, 10eqtr4d 2206 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) ) )
12 oveq1 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  I  ->  (
x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) )
1312oveq1d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  I  ->  (
( x { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )
14 oveq1 5860 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  I  ->  (
x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) ) )
1513, 14eqeq12d 2185 . . . . . . 7  |-  ( x  =  I  ->  (
( ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
16152ralbidv 2494 . . . . . 6  |-  ( x  =  I  ->  ( A. y  e.  { I } A. z  e.  {
I }  ( ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. y  e.  { I } A. z  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
1716ralsng 3623 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. x  e.  { I } A. y  e.  {
I } A. z  e.  { I }  (
( x { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. y  e.  { I } A. z  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
18 oveq2 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
1918oveq1d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  I  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )
20 oveq1 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  I  ->  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )
2120oveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) ) )
2219, 21eqeq12d 2185 . . . . . . 7  |-  ( y  =  I  ->  (
( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
2322ralbidv 2470 . . . . . 6  |-  ( y  =  I  ->  ( A. z  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. z  e.  {
I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
2423ralsng 3623 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. y  e.  { I } A. z  e.  {
I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. z  e.  { I }  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
25 oveq2 5861 . . . . . . 7  |-  ( z  =  I  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) )
26 oveq2 5861 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
2726oveq2d 5869 . . . . . . 7  |-  ( z  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) ) )
2825, 27eqeq12d 2185 . . . . . 6  |-  ( z  =  I  ->  (
( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) ) ) )
2928ralsng 3623 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. z  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) ) ) )
3017, 24, 293bitrd 213 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. x  e.  { I } A. y  e.  {
I } A. z  e.  { I }  (
( x { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) ) ) )
3111, 30mpbird 166 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  A. x  e.  { I } A. y  e.  { I } A. z  e.  {
I }  ( ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) ) )
32 snexg 4170 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  { I }  e.  _V )
33 elex 2741 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  _V )
34 opexg 4213 . . . . . . 7  |-  ( (
<. I ,  I >.  e. 
_V  /\  I  e.  _V )  ->  <. <. I ,  I >. ,  I >.  e. 
_V )
355, 33, 34syl2anc 409 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  <. <. I ,  I >. ,  I >.  e. 
_V )
36 snexg 4170 . . . . . 6  |-  ( <. <. I ,  I >. ,  I >.  e.  _V  ->  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V )
3735, 36syl 14 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V )
381grpbaseg 12526 . . . . 5  |-  ( ( { I }  e.  _V  /\  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V )  ->  { I }  =  ( Base `  M )
)
3932, 37, 38syl2anc 409 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  { I }  =  ( Base `  M ) )
401grpplusgg 12527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { I }  e.  _V  /\  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V )  ->  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M ) )
4132, 37, 40syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M ) )
4241oveqd 5870 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  (
x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y )  =  ( x ( +g  `  M
) y ) )
43 eqidd 2171 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  z  =  z )
4441, 42, 43oveq123d 5874 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  (
( x { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) z ) )
45 eqidd 2171 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  x  =  x )
4641oveqd 5870 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( y ( +g  `  M
) z ) )
4741, 45, 46oveq123d 5874 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  (
x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) z ) ) )
4844, 47eqeq12d 2185 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  (
( ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) z )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) z ) ) ) )
4939, 48raleqbidv 2677 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. z  e.  { I }  ( ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. z  e.  (
Base `  M )
( ( x ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) z )  =  ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) z ) ) ) )
5039, 49raleqbidv 2677 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. y  e.  { I } A. z  e.  {
I }  ( ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  M
) A. z  e.  ( Base `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) z )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) z ) ) ) )
5139, 50raleqbidv 2677 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. x  e.  { I } A. y  e.  {
I } A. z  e.  { I }  (
( x { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  M
) A. y  e.  ( Base `  M
) A. z  e.  ( Base `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) z )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) z ) ) ) )
5231, 51mpbid 146 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  A. x  e.  ( Base `  M
) A. y  e.  ( Base `  M
) A. z  e.  ( Base `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) z )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) z ) ) )
53 eqid 2170 . . 3  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
54 eqid 2170 . . 3  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
5553, 54issgrp 12644 . 2  |-  ( M  e. Smgrp 
<->  ( M  e. Mgm  /\  A. x  e.  ( Base `  M ) A. y  e.  ( Base `  M
) A. z  e.  ( Base `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) z )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) z ) ) ) )
562, 52, 55sylanbrc 415 1  |-  ( I  e.  V  ->  M  e. Smgrp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730   {csn 3583   {cpr 3584   <.cop 3586   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   ndxcnx 12413   Basecbs 12416   +g cplusg 12480  Mgmcmgm 12608  Smgrpcsgrp 12642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-fv 5206  df-ov 5856  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-ltxr 7959  df-inn 8879  df-2 8937  df-ndx 12419  df-slot 12420  df-base 12422  df-plusg 12493  df-mgm 12610  df-sgrp 12643
This theorem is referenced by:  mnd1  12679
  Copyright terms: Public domain W3C validator