Theorem sgrp1 12997

Description: The structure with one element and the only closed internal operation for a singleton is a semigroup. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
sgrp1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
sgrp1	|- ( I e. V -> M e. Smgrp )

Proof of Theorem sgrp1

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgrp1.m	. . 3 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }
2	1	mgm1 12956	. 2 |- ( I e. V -> M e. Mgm )
3		df-ov 5922	. . . . . . 7 |- ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. )
4		opexg 4258	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> <. I , I >. e. _V )
5	4	anidms 397	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> <. I , I >. e. _V )
6		fvsng 5755	. . . . . . . 8 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
7	5, 6	mpancom 422	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
8	3, 7	eqtrid 2238	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I )
9	8	oveq1d 5934	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
10	8	oveq2d 5935	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
11	9, 10	eqtr4d 2229	. . . 4 |- ( I e. V -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) )
12		oveq1 5926	. . . . . . . . 9 |- ( x = I -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) )
13	12	oveq1d 5934	. . . . . . . 8 |- ( x = I -> ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) )
14		oveq1 5926	. . . . . . . 8 |- ( x = I -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) )
15	13, 14	eqeq12d 2208	. . . . . . 7 |- ( x = I -> ( ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) ) )
16	15	2ralbidv 2518	. . . . . 6 |- ( x = I -> ( A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) ) )
17	16	ralsng 3659	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. x e. { I } A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) ) )
18		oveq2 5927	. . . . . . . . 9 |- ( y = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
19	18	oveq1d 5934	. . . . . . . 8 |- ( y = I -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) )
20		oveq1 5926	. . . . . . . . 9 |- ( y = I -> ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) )
21	20	oveq2d 5935	. . . . . . . 8 |- ( y = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) )
22	19, 21	eqeq12d 2208	. . . . . . 7 |- ( y = I -> ( ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) ) )
23	22	ralbidv 2494	. . . . . 6 |- ( y = I -> ( A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) ) )
24	23	ralsng 3659	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) ) )
25		oveq2 5927	. . . . . . 7 |- ( z = I -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
26		oveq2 5927	. . . . . . . 8 |- ( z = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
27	26	oveq2d 5935	. . . . . . 7 |- ( z = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) )
28	25, 27	eqeq12d 2208	. . . . . 6 |- ( z = I -> ( ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) ) )
29	28	ralsng 3659	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) ) )
30	17, 24, 29	3bitrd 214	. . . 4 |- ( I e. V -> ( A. x e. { I } A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) ) )
31	11, 30	mpbird 167	. . 3 |- ( I e. V -> A. x e. { I } A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) )
32		snexg 4214	. . . . 5 |- ( I e. V -> { I } e. _V )
33		elex 2771	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> I e. _V )
34		opexg 4258	. . . . . . 7 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. _V ) -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
35	5, 33, 34	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( I e. V -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
36		snexg 4214	. . . . . 6 |- ( <. <. I , I >. , I >. e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
37	35, 36	syl 14	. . . . 5 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
38	1	grpbaseg 12747	. . . . 5 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { I } = ( Base ` M ) )
39	32, 37, 38	syl2anc 411	. . . 4 |- ( I e. V -> { I } = ( Base ` M ) )
40	1	grpplusgg 12748	. . . . . . . . 9 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
41	32, 37, 40	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
42	41	oveqd 5936	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
43		eqidd 2194	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> z = z )
44	41, 42, 43	oveq123d 5940	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) )
45		eqidd 2194	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> x = x )
46	41	oveqd 5936	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( y ( +g ` M ) z ) )
47	41, 45, 46	oveq123d 5940	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) )
48	44, 47	eqeq12d 2208	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) )
49	39, 48	raleqbidv 2706	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) )
50	39, 49	raleqbidv 2706	. . . 4 |- ( I e. V -> ( A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. y e. ( Base ` M ) A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) )
51	39, 50	raleqbidv 2706	. . 3 |- ( I e. V -> ( A. x e. { I } A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) )
52	31, 51	mpbid 147	. 2 |- ( I e. V -> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) )
53		eqid 2193	. . 3 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
54		eqid 2193	. . 3 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
55	53, 54	issgrp 12989	. 2 |- ( M e. Smgrp <-> ( M e. Mgm /\ A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) )
56	2, 52, 55	sylanbrc 417	1 |- ( I e. V -> M e. Smgrp )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   {csn 3619   {cpr 3620   <.cop 3622   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   ndxcnx 12618   Basecbs 12621   +g cplusg 12698  Mgmcmgm 12940  Smgrpcsgrp 12987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-ov 5922  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-mgm 12942  df-sgrp 12988

This theorem is referenced by:  mnd1  13030