Theorem sgrp1 13444

Description: The structure with one element and the only closed internal operation for a singleton is a semigroup. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
sgrp1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
sgrp1	|- ( I e. V -> M e. Smgrp )

Proof of Theorem sgrp1

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgrp1.m	. . 3 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }
2	1	mgm1 13403	. 2 |- ( I e. V -> M e. Mgm )
3		df-ov 6004	. . . . . . 7 |- ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. )
4		opexg 4314	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> <. I , I >. e. _V )
5	4	anidms 397	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> <. I , I >. e. _V )
6		fvsng 5835	. . . . . . . 8 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
7	5, 6	mpancom 422	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
8	3, 7	eqtrid 2274	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I )
9	8	oveq1d 6016	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
10	8	oveq2d 6017	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
11	9, 10	eqtr4d 2265	. . . 4 |- ( I e. V -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) )
12		oveq1 6008	. . . . . . . . 9 |- ( x = I -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) )
13	12	oveq1d 6016	. . . . . . . 8 |- ( x = I -> ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) )
14		oveq1 6008	. . . . . . . 8 |- ( x = I -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) )
15	13, 14	eqeq12d 2244	. . . . . . 7 |- ( x = I -> ( ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) ) )
16	15	2ralbidv 2554	. . . . . 6 |- ( x = I -> ( A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) ) )
17	16	ralsng 3706	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. x e. { I } A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) ) )
18		oveq2 6009	. . . . . . . . 9 |- ( y = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
19	18	oveq1d 6016	. . . . . . . 8 |- ( y = I -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) )
20		oveq1 6008	. . . . . . . . 9 |- ( y = I -> ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) )
21	20	oveq2d 6017	. . . . . . . 8 |- ( y = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) )
22	19, 21	eqeq12d 2244	. . . . . . 7 |- ( y = I -> ( ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) ) )
23	22	ralbidv 2530	. . . . . 6 |- ( y = I -> ( A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) ) )
24	23	ralsng 3706	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) ) )
25		oveq2 6009	. . . . . . 7 |- ( z = I -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
26		oveq2 6009	. . . . . . . 8 |- ( z = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
27	26	oveq2d 6017	. . . . . . 7 |- ( z = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) )
28	25, 27	eqeq12d 2244	. . . . . 6 |- ( z = I -> ( ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) ) )
29	28	ralsng 3706	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) ) )
30	17, 24, 29	3bitrd 214	. . . 4 |- ( I e. V -> ( A. x e. { I } A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) ) )
31	11, 30	mpbird 167	. . 3 |- ( I e. V -> A. x e. { I } A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) )
32		snexg 4268	. . . . 5 |- ( I e. V -> { I } e. _V )
33		elex 2811	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> I e. _V )
34		opexg 4314	. . . . . . 7 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. _V ) -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
35	5, 33, 34	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( I e. V -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
36		snexg 4268	. . . . . 6 |- ( <. <. I , I >. , I >. e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
37	35, 36	syl 14	. . . . 5 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
38	1	grpbaseg 13160	. . . . 5 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { I } = ( Base ` M ) )
39	32, 37, 38	syl2anc 411	. . . 4 |- ( I e. V -> { I } = ( Base ` M ) )
40	1	grpplusgg 13161	. . . . . . . . 9 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
41	32, 37, 40	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
42	41	oveqd 6018	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
43		eqidd 2230	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> z = z )
44	41, 42, 43	oveq123d 6022	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) )
45		eqidd 2230	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> x = x )
46	41	oveqd 6018	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( y ( +g ` M ) z ) )
47	41, 45, 46	oveq123d 6022	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) )
48	44, 47	eqeq12d 2244	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) )
49	39, 48	raleqbidv 2744	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) )
50	39, 49	raleqbidv 2744	. . . 4 |- ( I e. V -> ( A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. y e. ( Base ` M ) A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) )
51	39, 50	raleqbidv 2744	. . 3 |- ( I e. V -> ( A. x e. { I } A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) )
52	31, 51	mpbid 147	. 2 |- ( I e. V -> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) )
53		eqid 2229	. . 3 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
54		eqid 2229	. . 3 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
55	53, 54	issgrp 13436	. 2 |- ( M e. Smgrp <-> ( M e. Mgm /\ A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) )
56	2, 52, 55	sylanbrc 417	1 |- ( I e. V -> M e. Smgrp )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   {csn 3666   {cpr 3667   <.cop 3669   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   ndxcnx 13029   Basecbs 13032   +g cplusg 13110  Mgmcmgm 13387  Smgrpcsgrp 13434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-ov 6004  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186  df-inn 9111  df-2 9169  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-plusg 13123  df-mgm 13389  df-sgrp 13435

This theorem is referenced by:  mnd1  13488