Theorem sgrp1 13674

Description: The structure with one element and the only closed internal operation for a singleton is a semigroup. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
sgrp1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
sgrp1	|- ( I e. V -> M e. Smgrp )

Proof of Theorem sgrp1

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgrp1.m	. . 3 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }
2	1	mgm1 13633	. 2 |- ( I e. V -> M e. Mgm )
3		df-ov 6061	. . . . . . 7 |- ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. )
4		opexg 4349	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> <. I , I >. e. _V )
5	4	anidms 397	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> <. I , I >. e. _V )
6		fvsng 5885	. . . . . . . 8 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
7	5, 6	mpancom 422	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
8	3, 7	eqtrid 2279	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I )
9	8	oveq1d 6073	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
10	8	oveq2d 6074	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
11	9, 10	eqtr4d 2270	. . . 4 |- ( I e. V -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) )
12		oveq1 6065	. . . . . . . . 9 |- ( x = I -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) )
13	12	oveq1d 6073	. . . . . . . 8 |- ( x = I -> ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) )
14		oveq1 6065	. . . . . . . 8 |- ( x = I -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) )
15	13, 14	eqeq12d 2249	. . . . . . 7 |- ( x = I -> ( ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) ) )
16	15	2ralbidv 2568	. . . . . 6 |- ( x = I -> ( A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) ) )
17	16	ralsng 3734	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. x e. { I } A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) ) )
18		oveq2 6066	. . . . . . . . 9 |- ( y = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
19	18	oveq1d 6073	. . . . . . . 8 |- ( y = I -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) )
20		oveq1 6065	. . . . . . . . 9 |- ( y = I -> ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) )
21	20	oveq2d 6074	. . . . . . . 8 |- ( y = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) )
22	19, 21	eqeq12d 2249	. . . . . . 7 |- ( y = I -> ( ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) ) )
23	22	ralbidv 2544	. . . . . 6 |- ( y = I -> ( A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) ) )
24	23	ralsng 3734	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) ) )
25		oveq2 6066	. . . . . . 7 |- ( z = I -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
26		oveq2 6066	. . . . . . . 8 |- ( z = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
27	26	oveq2d 6074	. . . . . . 7 |- ( z = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) )
28	25, 27	eqeq12d 2249	. . . . . 6 |- ( z = I -> ( ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) ) )
29	28	ralsng 3734	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) ) )
30	17, 24, 29	3bitrd 214	. . . 4 |- ( I e. V -> ( A. x e. { I } A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) ) )
31	11, 30	mpbird 167	. . 3 |- ( I e. V -> A. x e. { I } A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) )
32		snexg 4302	. . . . 5 |- ( I e. V -> { I } e. _V )
33		elex 2827	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> I e. _V )
34		opexg 4349	. . . . . . 7 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. _V ) -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
35	5, 33, 34	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( I e. V -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
36		snexg 4302	. . . . . 6 |- ( <. <. I , I >. , I >. e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
37	35, 36	syl 14	. . . . 5 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
38	1	grpbaseg 13424	. . . . 5 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { I } = ( Base ` M ) )
39	32, 37, 38	syl2anc 411	. . . 4 |- ( I e. V -> { I } = ( Base ` M ) )
40	1	grpplusgg 13425	. . . . . . . . 9 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
41	32, 37, 40	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
42	41	oveqd 6075	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
43		eqidd 2235	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> z = z )
44	41, 42, 43	oveq123d 6079	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) )
45		eqidd 2235	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> x = x )
46	41	oveqd 6075	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( y ( +g ` M ) z ) )
47	41, 45, 46	oveq123d 6079	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) )
48	44, 47	eqeq12d 2249	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) )
49	39, 48	raleqbidv 2759	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) )
50	39, 49	raleqbidv 2759	. . . 4 |- ( I e. V -> ( A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. y e. ( Base ` M ) A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) )
51	39, 50	raleqbidv 2759	. . 3 |- ( I e. V -> ( A. x e. { I } A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) )
52	31, 51	mpbid 147	. 2 |- ( I e. V -> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) )
53		eqid 2234	. . 3 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
54		eqid 2234	. . 3 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
55	53, 54	issgrp 13666	. 2 |- ( M e. Smgrp <-> ( M e. Mgm /\ A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) )
56	2, 52, 55	sylanbrc 417	1 |- ( I e. V -> M e. Smgrp )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   _Vcvv 2815   {csn 3694   {cpr 3695   <.cop 3697   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   ndxcnx 13293   Basecbs 13296   +g cplusg 13374  Mgmcmgm 13617  Smgrpcsgrp 13664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-ov 6061  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-mgm 13619  df-sgrp 13665

This theorem is referenced by:  mnd1  13710