ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sgrp1 Unicode version

Theorem sgrp1 12708
Description: The structure with one element and the only closed internal operation for a singleton is a semigroup. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
sgrp1.m  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. }
Assertion
Ref Expression
sgrp1  |-  ( I  e.  V  ->  M  e. Smgrp )

Proof of Theorem sgrp1
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sgrp1.m . . 3  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. }
21mgm1 12681 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  M  e. Mgm )
3 df-ov 5872 . . . . . . 7  |-  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )
4 opexg 4225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  I  e.  V )  -> 
<. I ,  I >.  e. 
_V )
54anidms 397 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  <. I ,  I >.  e.  _V )
6 fvsng 5708 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. I ,  I >.  e. 
_V  /\  I  e.  V )  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
75, 6mpancom 422 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
83, 7eqtrid 2222 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  I )
98oveq1d 5884 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) )
108oveq2d 5885 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) )
119, 10eqtr4d 2213 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) ) )
12 oveq1 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  I  ->  (
x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) )
1312oveq1d 5884 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  I  ->  (
( x { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )
14 oveq1 5876 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  I  ->  (
x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) ) )
1513, 14eqeq12d 2192 . . . . . . 7  |-  ( x  =  I  ->  (
( ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
16152ralbidv 2501 . . . . . 6  |-  ( x  =  I  ->  ( A. y  e.  { I } A. z  e.  {
I }  ( ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. y  e.  { I } A. z  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
1716ralsng 3631 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. x  e.  { I } A. y  e.  {
I } A. z  e.  { I }  (
( x { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. y  e.  { I } A. z  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
18 oveq2 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
1918oveq1d 5884 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  I  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )
20 oveq1 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  I  ->  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )
2120oveq2d 5885 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) ) )
2219, 21eqeq12d 2192 . . . . . . 7  |-  ( y  =  I  ->  (
( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
2322ralbidv 2477 . . . . . 6  |-  ( y  =  I  ->  ( A. z  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. z  e.  {
I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
2423ralsng 3631 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. y  e.  { I } A. z  e.  {
I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. z  e.  { I }  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
25 oveq2 5877 . . . . . . 7  |-  ( z  =  I  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) )
26 oveq2 5877 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
2726oveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( z  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) ) )
2825, 27eqeq12d 2192 . . . . . 6  |-  ( z  =  I  ->  (
( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) ) ) )
2928ralsng 3631 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. z  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) ) ) )
3017, 24, 293bitrd 214 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. x  e.  { I } A. y  e.  {
I } A. z  e.  { I }  (
( x { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) ) ) )
3111, 30mpbird 167 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  A. x  e.  { I } A. y  e.  { I } A. z  e.  {
I }  ( ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) ) )
32 snexg 4181 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  { I }  e.  _V )
33 elex 2748 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  _V )
34 opexg 4225 . . . . . . 7  |-  ( (
<. I ,  I >.  e. 
_V  /\  I  e.  _V )  ->  <. <. I ,  I >. ,  I >.  e. 
_V )
355, 33, 34syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  <. <. I ,  I >. ,  I >.  e. 
_V )
36 snexg 4181 . . . . . 6  |-  ( <. <. I ,  I >. ,  I >.  e.  _V  ->  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V )
3735, 36syl 14 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V )
381grpbaseg 12564 . . . . 5  |-  ( ( { I }  e.  _V  /\  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V )  ->  { I }  =  ( Base `  M )
)
3932, 37, 38syl2anc 411 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  { I }  =  ( Base `  M ) )
401grpplusgg 12565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { I }  e.  _V  /\  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V )  ->  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M ) )
4132, 37, 40syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M ) )
4241oveqd 5886 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  (
x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y )  =  ( x ( +g  `  M
) y ) )
43 eqidd 2178 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  z  =  z )
4441, 42, 43oveq123d 5890 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  (
( x { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) z ) )
45 eqidd 2178 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  x  =  x )
4641oveqd 5886 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( y ( +g  `  M
) z ) )
4741, 45, 46oveq123d 5890 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  (
x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) z ) ) )
4844, 47eqeq12d 2192 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  (
( ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) z )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) z ) ) ) )
4939, 48raleqbidv 2684 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. z  e.  { I }  ( ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. z  e.  (
Base `  M )
( ( x ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) z )  =  ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) z ) ) ) )
5039, 49raleqbidv 2684 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. y  e.  { I } A. z  e.  {
I }  ( ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  M
) A. z  e.  ( Base `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) z )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) z ) ) ) )
5139, 50raleqbidv 2684 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. x  e.  { I } A. y  e.  {
I } A. z  e.  { I }  (
( x { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  M
) A. y  e.  ( Base `  M
) A. z  e.  ( Base `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) z )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) z ) ) ) )
5231, 51mpbid 147 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  A. x  e.  ( Base `  M
) A. y  e.  ( Base `  M
) A. z  e.  ( Base `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) z )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) z ) ) )
53 eqid 2177 . . 3  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
54 eqid 2177 . . 3  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
5553, 54issgrp 12701 . 2  |-  ( M  e. Smgrp 
<->  ( M  e. Mgm  /\  A. x  e.  ( Base `  M ) A. y  e.  ( Base `  M
) A. z  e.  ( Base `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) z )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) z ) ) ) )
562, 52, 55sylanbrc 417 1  |-  ( I  e.  V  ->  M  e. Smgrp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2737   {csn 3591   {cpr 3592   <.cop 3594   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   ndxcnx 12442   Basecbs 12445   +g cplusg 12518  Mgmcmgm 12665  Smgrpcsgrp 12699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-fv 5220  df-ov 5872  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-ltxr 7987  df-inn 8909  df-2 8967  df-ndx 12448  df-slot 12449  df-base 12451  df-plusg 12531  df-mgm 12667  df-sgrp 12700
This theorem is referenced by:  mnd1  12737
  Copyright terms: Public domain W3C validator