Theorem sgrp1 13113

Description: The structure with one element and the only closed internal operation for a singleton is a semigroup. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
sgrp1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
sgrp1	|- ( I e. V -> M e. Smgrp )

Proof of Theorem sgrp1

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgrp1.m	. . 3 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }
2	1	mgm1 13072	. 2 |- ( I e. V -> M e. Mgm )
3		df-ov 5928	. . . . . . 7 |- ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. )
4		opexg 4262	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> <. I , I >. e. _V )
5	4	anidms 397	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> <. I , I >. e. _V )
6		fvsng 5761	. . . . . . . 8 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
7	5, 6	mpancom 422	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
8	3, 7	eqtrid 2241	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I )
9	8	oveq1d 5940	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
10	8	oveq2d 5941	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
11	9, 10	eqtr4d 2232	. . . 4 |- ( I e. V -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) )
12		oveq1 5932	. . . . . . . . 9 |- ( x = I -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) )
13	12	oveq1d 5940	. . . . . . . 8 |- ( x = I -> ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) )
14		oveq1 5932	. . . . . . . 8 |- ( x = I -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) )
15	13, 14	eqeq12d 2211	. . . . . . 7 |- ( x = I -> ( ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) ) )
16	15	2ralbidv 2521	. . . . . 6 |- ( x = I -> ( A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) ) )
17	16	ralsng 3663	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. x e. { I } A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) ) )
18		oveq2 5933	. . . . . . . . 9 |- ( y = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
19	18	oveq1d 5940	. . . . . . . 8 |- ( y = I -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) )
20		oveq1 5932	. . . . . . . . 9 |- ( y = I -> ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) )
21	20	oveq2d 5941	. . . . . . . 8 |- ( y = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) )
22	19, 21	eqeq12d 2211	. . . . . . 7 |- ( y = I -> ( ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) ) )
23	22	ralbidv 2497	. . . . . 6 |- ( y = I -> ( A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) ) )
24	23	ralsng 3663	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) ) )
25		oveq2 5933	. . . . . . 7 |- ( z = I -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
26		oveq2 5933	. . . . . . . 8 |- ( z = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
27	26	oveq2d 5941	. . . . . . 7 |- ( z = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) )
28	25, 27	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( z = I -> ( ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) ) )
29	28	ralsng 3663	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. z e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) ) )
30	17, 24, 29	3bitrd 214	. . . 4 |- ( I e. V -> ( A. x e. { I } A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) ) )
31	11, 30	mpbird 167	. . 3 |- ( I e. V -> A. x e. { I } A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) )
32		snexg 4218	. . . . 5 |- ( I e. V -> { I } e. _V )
33		elex 2774	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> I e. _V )
34		opexg 4262	. . . . . . 7 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. _V ) -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
35	5, 33, 34	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( I e. V -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
36		snexg 4218	. . . . . 6 |- ( <. <. I , I >. , I >. e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
37	35, 36	syl 14	. . . . 5 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
38	1	grpbaseg 12829	. . . . 5 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { I } = ( Base ` M ) )
39	32, 37, 38	syl2anc 411	. . . 4 |- ( I e. V -> { I } = ( Base ` M ) )
40	1	grpplusgg 12830	. . . . . . . . 9 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
41	32, 37, 40	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
42	41	oveqd 5942	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
43		eqidd 2197	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> z = z )
44	41, 42, 43	oveq123d 5946	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) )
45		eqidd 2197	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> x = x )
46	41	oveqd 5942	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( y ( +g ` M ) z ) )
47	41, 45, 46	oveq123d 5946	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) )
48	44, 47	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) )
49	39, 48	raleqbidv 2709	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) )
50	39, 49	raleqbidv 2709	. . . 4 |- ( I e. V -> ( A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. y e. ( Base ` M ) A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) )
51	39, 50	raleqbidv 2709	. . 3 |- ( I e. V -> ( A. x e. { I } A. y e. { I } A. z e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) { <. <. I , I >. , I >. } z ) = ( x { <. <. I , I >. , I >. } ( y { <. <. I , I >. , I >. } z ) ) <-> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) )
52	31, 51	mpbid 147	. 2 |- ( I e. V -> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) )
53		eqid 2196	. . 3 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
54		eqid 2196	. . 3 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
55	53, 54	issgrp 13105	. 2 |- ( M e. Smgrp <-> ( M e. Mgm /\ A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) )
56	2, 52, 55	sylanbrc 417	1 |- ( I e. V -> M e. Smgrp )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   {csn 3623   {cpr 3624   <.cop 3626   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   ndxcnx 12700   Basecbs 12703   +g cplusg 12780  Mgmcmgm 13056  Smgrpcsgrp 13103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-ov 5928  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-mgm 13058  df-sgrp 13104

This theorem is referenced by:  mnd1  13157