Theorem 0subg 13785

Description: The zero subgroup of an arbitrary group. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Dec-2014.) (Proof shortened by SN, 31-Jan-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
0subg.z	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
0subg	|- ( G e. Grp -> { .0. } e. (SubGrp ` G ) )

Proof of Theorem 0subg

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13589	. . 3 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		0subg.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` G )
3	2	0subm 13566	. . 3 |- ( G e. Mnd -> { .0. } e. (SubMnd ` G ) )
4	1, 3	syl 14	. 2 |- ( G e. Grp -> { .0. } e. (SubMnd ` G ) )
5		eqid 2231	. . . . 5 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
6	2, 5	grpinvid 13642	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( ( invg ` G ) ` .0. ) = .0. )
7		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
8	7, 2	grpidcl 13611	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> .0. e. ( Base ` G ) )
9	7, 5	grpinvcl 13630	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ .0. e. ( Base ` G ) ) -> ( ( invg ` G ) ` .0. ) e. ( Base ` G ) )
10	8, 9	mpdan 421	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> ( ( invg ` G ) ` .0. ) e. ( Base ` G ) )
11		elsng 3684	. . . . 5 |- ( ( ( invg ` G ) ` .0. ) e. ( Base ` G ) -> ( ( ( invg ` G ) ` .0. ) e. { .0. } <-> ( ( invg ` G ) ` .0. ) = .0. ) )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( ( ( invg ` G ) ` .0. ) e. { .0. } <-> ( ( invg ` G ) ` .0. ) = .0. ) )
13	6, 12	mpbird 167	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( ( invg ` G ) ` .0. ) e. { .0. } )
14		fveq2 5639	. . . . . 6 |- ( a = .0. -> ( ( invg ` G ) ` a ) = ( ( invg ` G ) ` .0. ) )
15	14	eleq1d 2300	. . . . 5 |- ( a = .0. -> ( ( ( invg ` G ) ` a ) e. { .0. } <-> ( ( invg ` G ) ` .0. ) e. { .0. } ) )
16	15	ralsng 3709	. . . 4 |- ( .0. e. ( Base ` G ) -> ( A. a e. { .0. } ( ( invg ` G ) ` a ) e. { .0. } <-> ( ( invg ` G ) ` .0. ) e. { .0. } ) )
17	8, 16	syl 14	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( A. a e. { .0. } ( ( invg ` G ) ` a ) e. { .0. } <-> ( ( invg ` G ) ` .0. ) e. { .0. } ) )
18	13, 17	mpbird 167	. 2 |- ( G e. Grp -> A. a e. { .0. } ( ( invg ` G ) ` a ) e. { .0. } )
19	5	issubg3 13778	. 2 |- ( G e. Grp -> ( { .0. } e. (SubGrp ` G ) <-> ( { .0. } e. (SubMnd ` G ) /\ A. a e. { .0. } ( ( invg ` G ) ` a ) e. { .0. } ) ) )
20	4, 18, 19	mpbir2and 952	1 |- ( G e. Grp -> { .0. } e. (SubGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   {csn 3669   ` cfv 5326   Basecbs 13081   0gc0g 13338   Mndcmnd 13498  SubMndcsubmnd 13540   Grpcgrp 13582   invgcminusg 13583  SubGrpcsubg 13753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089  df-plusg 13172  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-submnd 13542  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-subg 13756

This theorem is referenced by:  0nsg  13800