Theorem 0subg 13979

Description: The zero subgroup of an arbitrary group. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Dec-2014.) (Proof shortened by SN, 31-Jan-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
0subg.z	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
0subg	|- ( G e. Grp -> { .0. } e. (SubGrp ` G ) )

Proof of Theorem 0subg

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13789	. . 3 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		0subg.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` G )
3	2	0subm 13768	. . 3 |- ( G e. Mnd -> { .0. } e. (SubMnd ` G ) )
4	1, 3	syl 14	. 2 |- ( G e. Grp -> { .0. } e. (SubMnd ` G ) )
5		eqid 2238	. . . . 5 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
6	2, 5	grpinvid 13842	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( ( invg ` G ) ` .0. ) = .0. )
7		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
8	7, 2	grpidcl 13811	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> .0. e. ( Base ` G ) )
9	7, 5	grpinvcl 13830	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ .0. e. ( Base ` G ) ) -> ( ( invg ` G ) ` .0. ) e. ( Base ` G ) )
10	8, 9	mpdan 425	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> ( ( invg ` G ) ` .0. ) e. ( Base ` G ) )
11		elsng 3720	. . . . 5 |- ( ( ( invg ` G ) ` .0. ) e. ( Base ` G ) -> ( ( ( invg ` G ) ` .0. ) e. { .0. } <-> ( ( invg ` G ) ` .0. ) = .0. ) )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( ( ( invg ` G ) ` .0. ) e. { .0. } <-> ( ( invg ` G ) ` .0. ) = .0. ) )
13	6, 12	mpbird 167	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( ( invg ` G ) ` .0. ) e. { .0. } )
14		fveq2 5690	. . . . . 6 |- ( a = .0. -> ( ( invg ` G ) ` a ) = ( ( invg ` G ) ` .0. ) )
15	14	eleq1d 2307	. . . . 5 |- ( a = .0. -> ( ( ( invg ` G ) ` a ) e. { .0. } <-> ( ( invg ` G ) ` .0. ) e. { .0. } ) )
16	15	ralsng 3745	. . . 4 |- ( .0. e. ( Base ` G ) -> ( A. a e. { .0. } ( ( invg ` G ) ` a ) e. { .0. } <-> ( ( invg ` G ) ` .0. ) e. { .0. } ) )
17	8, 16	syl 14	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( A. a e. { .0. } ( ( invg ` G ) ` a ) e. { .0. } <-> ( ( invg ` G ) ` .0. ) e. { .0. } ) )
18	13, 17	mpbird 167	. 2 |- ( G e. Grp -> A. a e. { .0. } ( ( invg ` G ) ` a ) e. { .0. } )
19	5	issubg3 13972	. 2 |- ( G e. Grp -> ( { .0. } e. (SubGrp ` G ) <-> ( { .0. } e. (SubMnd ` G ) /\ A. a e. { .0. } ( ( invg ` G ) ` a ) e. { .0. } ) ) )
20	4, 18, 19	mpbir2and 957	1 |- ( G e. Grp -> { .0. } e. (SubGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {csn 3705   ` cfv 5372   Basecbs 13330   0gc0g 13587   Mndcmnd 13706  SubMndcsubmnd 13742   Grpcgrp 13782   invgcminusg 13783  SubGrpcsubg 13947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-iress 13338  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-submnd 13744  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-subg 13950

This theorem is referenced by:  0nsg  13994