Theorem 0subg 13059

Description: The zero subgroup of an arbitrary group. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Dec-2014.) (Proof shortened by SN, 31-Jan-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
0subg.z	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
0subg	|- ( G e. Grp -> { .0. } e. (SubGrp ` G ) )

Proof of Theorem 0subg

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 12884	. . 3 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		0subg.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` G )
3	2	0subm 12871	. . 3 |- ( G e. Mnd -> { .0. } e. (SubMnd ` G ) )
4	1, 3	syl 14	. 2 |- ( G e. Grp -> { .0. } e. (SubMnd ` G ) )
5		eqid 2177	. . . . 5 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
6	2, 5	grpinvid 12930	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( ( invg ` G ) ` .0. ) = .0. )
7		eqid 2177	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
8	7, 2	grpidcl 12904	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> .0. e. ( Base ` G ) )
9	7, 5	grpinvcl 12921	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ .0. e. ( Base ` G ) ) -> ( ( invg ` G ) ` .0. ) e. ( Base ` G ) )
10	8, 9	mpdan 421	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> ( ( invg ` G ) ` .0. ) e. ( Base ` G ) )
11		elsng 3608	. . . . 5 |- ( ( ( invg ` G ) ` .0. ) e. ( Base ` G ) -> ( ( ( invg ` G ) ` .0. ) e. { .0. } <-> ( ( invg ` G ) ` .0. ) = .0. ) )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( ( ( invg ` G ) ` .0. ) e. { .0. } <-> ( ( invg ` G ) ` .0. ) = .0. ) )
13	6, 12	mpbird 167	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( ( invg ` G ) ` .0. ) e. { .0. } )
14		fveq2 5516	. . . . . 6 |- ( a = .0. -> ( ( invg ` G ) ` a ) = ( ( invg ` G ) ` .0. ) )
15	14	eleq1d 2246	. . . . 5 |- ( a = .0. -> ( ( ( invg ` G ) ` a ) e. { .0. } <-> ( ( invg ` G ) ` .0. ) e. { .0. } ) )
16	15	ralsng 3633	. . . 4 |- ( .0. e. ( Base ` G ) -> ( A. a e. { .0. } ( ( invg ` G ) ` a ) e. { .0. } <-> ( ( invg ` G ) ` .0. ) e. { .0. } ) )
17	8, 16	syl 14	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( A. a e. { .0. } ( ( invg ` G ) ` a ) e. { .0. } <-> ( ( invg ` G ) ` .0. ) e. { .0. } ) )
18	13, 17	mpbird 167	. 2 |- ( G e. Grp -> A. a e. { .0. } ( ( invg ` G ) ` a ) e. { .0. } )
19	5	issubg3 13052	. 2 |- ( G e. Grp -> ( { .0. } e. (SubGrp ` G ) <-> ( { .0. } e. (SubMnd ` G ) /\ A. a e. { .0. } ( ( invg ` G ) ` a ) e. { .0. } ) ) )
20	4, 18, 19	mpbir2and 944	1 |- ( G e. Grp -> { .0. } e. (SubGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   {csn 3593   ` cfv 5217   Basecbs 12462   0gc0g 12705   Mndcmnd 12817  SubMndcsubmnd 12850   Grpcgrp 12877   invgcminusg 12878  SubGrpcsubg 13027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-inn 8920  df-2 8978  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-sets 12469  df-iress 12470  df-plusg 12549  df-0g 12707  df-mgm 12775  df-sgrp 12808  df-mnd 12818  df-submnd 12852  df-grp 12880  df-minusg 12881  df-subg 13030

This theorem is referenced by:  0nsg  13074