Theorem iseqf1olemqk 10689

Description: Lemma for seq3f1o 10699. Q is constant for one more position than J is. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.j	|- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.q	|- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
iseqf1olemqk.const	|- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemqk	|- ( ph -> A. x e. ( M ... K ) ( Q ` x ) = x )

Distinct variable groups:   u, J, x   u, K, x   u, M, x   u, N   x, Q   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( u)   Q( u)   N( x)

Proof of Theorem iseqf1olemqk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzole1 10313	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( M..^ K ) -> M <_ x )
2	1	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> M <_ x )
3		iseqf1olemqf.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
4		elfzle2 10185	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K <_ N )
6		elfzolt2 10314	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( M..^ K ) -> x < K )
7	5, 6	anim12ci 339	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( x < K /\ K <_ N ) )
8		elfzoelz 10304	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( M..^ K ) -> x e. ZZ )
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x e. ZZ )
10	9	zred 9530	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x e. RR )
11		elfzoel2 10303	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( M..^ K ) -> K e. ZZ )
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> K e. ZZ )
13	12	zred 9530	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> K e. RR )
14		elfzel2 10180	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
15	3, 14	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> N e. ZZ )
17	16	zred 9530	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> N e. RR )
18		ltleletr 8189	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( x < K /\ K <_ N ) -> x <_ N ) )
19	10, 13, 17, 18	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( ( x < K /\ K <_ N ) -> x <_ N ) )
20	7, 19	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x <_ N )
21		elfzel1 10181	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
22	3, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
23	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> M e. ZZ )
24		elfz 10171	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( M <_ x /\ x <_ N ) ) )
25	9, 23, 16, 24	syl3anc 1250	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( M <_ x /\ x <_ N ) ) )
26	2, 20, 25	mpbir2and 947	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x e. ( M ... N ) )
27	6	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x < K )
28		zltnle 9453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( x < K <-> -. K <_ x ) )
29	9, 12, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( x < K <-> -. K <_ x ) )
30	27, 29	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> -. K <_ x )
31	30	intnanrd 934	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> -. ( K <_ x /\ x <_ ( `' J ` K ) ) )
32		iseqf1olemqf.j	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
33		f1ocnv 5557	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
34		f1of 5544	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
35	32, 33, 34	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
36	35, 3	ffvelcdmd 5739	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) )
37		elfzelz 10182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
39	38	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
40		elfz 10171	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( `' J ` K ) e. ZZ ) -> ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) <-> ( K <_ x /\ x <_ ( `' J ` K ) ) ) )
41	9, 12, 39, 40	syl3anc 1250	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) <-> ( K <_ x /\ x <_ ( `' J ` K ) ) ) )
42	31, 41	mtbird 675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> -. x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
43	42	iffalsed 3589	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) = ( J ` x ) )
44		iseqf1olemqk.const	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
45	44	r19.21bi 2596	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( J ` x ) = x )
46	43, 45	eqtrd 2240	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) = x )
47		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x e. ( M..^ K ) )
48	46, 47	eqeltrd 2284	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) e. ( M..^ K ) )
49		eleq1w 2268	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) <-> x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) ) )
50		eqeq1 2214	. . . . . . . . 9 |- ( u = x -> ( u = K <-> x = K ) )
51		oveq1 5974	. . . . . . . . . 10 |- ( u = x -> ( u - 1 ) = ( x - 1 ) )
52	51	fveq2d 5603	. . . . . . . . 9 |- ( u = x -> ( J ` ( u - 1 ) ) = ( J ` ( x - 1 ) ) )
53	50, 52	ifbieq2d 3604	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) = if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) )
54		fveq2 5599	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> ( J ` u ) = ( J ` x ) )
55	49, 53, 54	ifbieq12d 3606	. . . . . . 7 |- ( u = x -> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) = if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) )
56		iseqf1olemqf.q	. . . . . . 7 |- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
57	55, 56	fvmptg 5678	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( M ... N ) /\ if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) e. ( M..^ K ) ) -> ( Q ` x ) = if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) )
58	26, 48, 57	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( Q ` x ) = if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) )
59	58, 46	eqtrd 2240	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( Q ` x ) = x )
60	59	ralrimiva 2581	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( Q ` x ) = x )
61	3, 32, 3, 56	iseqf1olemqval 10682	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q ` K ) = if ( K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) , ( J ` K ) ) )
62		elfzelz 10182	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )
63	3, 62	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ZZ )
64		elfzuz2 10186	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
65	3, 64	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
66	65, 3, 32, 44	iseqf1olemkle 10679	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K <_ ( `' J ` K ) )
67		eluz2 9689	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( K e. ZZ /\ ( `' J ` K ) e. ZZ /\ K <_ ( `' J ` K ) ) )
68	63, 38, 66, 67	syl3anbrc 1184	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` K ) )
69		eluzfz1 10188	. . . . . . . 8 |- ( ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` K ) -> K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
70	68, 69	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
71	70	iftrued 3586	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) , ( J ` K ) ) = if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) )
72		eqid 2207	. . . . . . 7 |- K = K
73	72	iftruei 3585	. . . . . 6 |- if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) = K
74	71, 73	eqtrdi 2256	. . . . 5 |- ( ph -> if ( K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) , ( J ` K ) ) = K )
75	61, 74	eqtrd 2240	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` K ) = K )
76		fveq2 5599	. . . . . . 7 |- ( x = K -> ( Q ` x ) = ( Q ` K ) )
77		id 19	. . . . . . 7 |- ( x = K -> x = K )
78	76, 77	eqeq12d 2222	. . . . . 6 |- ( x = K -> ( ( Q ` x ) = x <-> ( Q ` K ) = K ) )
79	78	ralsng 3683	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( A. x e. { K } ( Q ` x ) = x <-> ( Q ` K ) = K ) )
80	3, 62, 79	3syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. { K } ( Q ` x ) = x <-> ( Q ` K ) = K ) )
81	75, 80	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> A. x e. { K } ( Q ` x ) = x )
82		ralun 3363	. . 3 |- ( ( A. x e. ( M..^ K ) ( Q ` x ) = x /\ A. x e. { K } ( Q ` x ) = x ) -> A. x e. ( ( M..^ K ) u. { K } ) ( Q ` x ) = x )
83	60, 81, 82	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( ( M..^ K ) u. { K } ) ( Q ` x ) = x )
84		elfzuz 10178	. . . 4 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
85		fzisfzounsn 10402	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... K ) = ( ( M..^ K ) u. { K } ) )
86	3, 84, 85	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( M ... K ) = ( ( M..^ K ) u. { K } ) )
87	86	raleqdv 2711	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. ( M ... K ) ( Q ` x ) = x <-> A. x e. ( ( M..^ K ) u. { K } ) ( Q ` x ) = x ) )
88	83, 87	mpbird 167	1 |- ( ph -> A. x e. ( M ... K ) ( Q ` x ) = x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   u. cun 3172   ifcif 3579   {csn 3643   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   `'ccnv 4692   -->wf 5286   -1-1-onto->wf1o 5289   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   RRcr 7959   1c1 7961   < clt 8142   <_ cle 8143   - cmin 8278   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683   ...cfz 10165  ..^cfzo 10299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-fzo 10300

This theorem is referenced by:  seq3f1olemstep  10696