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Theorem iseqf1olemqk 10525
Description: Lemma for seq3f1o 10535. 
Q is constant for one more position than  J is. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemqf.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.j  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.q  |-  Q  =  ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )
iseqf1olemqk.const  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M..^ K ) ( J `  x )  =  x )
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemqk  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M ... K ) ( Q `  x
)  =  x )
Distinct variable groups:    u, J, x   
u, K, x    u, M, x    u, N    x, Q    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( u)    Q( u)    N( x)

Proof of Theorem iseqf1olemqk
StepHypRef Expression
1 elfzole1 10185 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( M..^ K
)  ->  M  <_  x )
21adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  M  <_  x
)
3 iseqf1olemqf.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
4 elfzle2 10058 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  <_  N )
53, 4syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  <_  N )
6 elfzolt2 10186 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( M..^ K
)  ->  x  <  K )
75, 6anim12ci 339 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( x  < 
K  /\  K  <_  N ) )
8 elfzoelz 10177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( M..^ K
)  ->  x  e.  ZZ )
98adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  x  e.  ZZ )
109zred 9405 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  x  e.  RR )
11 elfzoel2 10176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( M..^ K
)  ->  K  e.  ZZ )
1211adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  K  e.  ZZ )
1312zred 9405 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  K  e.  RR )
14 elfzel2 10053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )
153, 14syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
1615adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  N  e.  ZZ )
1716zred 9405 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  N  e.  RR )
18 ltleletr 8069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( x  <  K  /\  K  <_  N )  ->  x  <_  N
) )
1910, 13, 17, 18syl3anc 1249 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( ( x  <  K  /\  K  <_  N )  ->  x  <_  N ) )
207, 19mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  x  <_  N
)
21 elfzel1 10054 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  e.  ZZ )
223, 21syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2322adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  M  e.  ZZ )
24 elfz 10044 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  x  /\  x  <_  N ) ) )
259, 23, 16, 24syl3anc 1249 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( x  e.  ( M ... N
)  <->  ( M  <_  x  /\  x  <_  N
) ) )
262, 20, 25mpbir2and 946 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
276adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  x  <  K
)
28 zltnle 9329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( x  <  K  <->  -.  K  <_  x )
)
299, 12, 28syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( x  < 
K  <->  -.  K  <_  x ) )
3027, 29mpbid 147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  -.  K  <_  x )
3130intnanrd 933 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  -.  ( K  <_  x  /\  x  <_ 
( `' J `  K ) ) )
32 iseqf1olemqf.j . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
33 f1ocnv 5493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  ->  `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
) )
34 f1of 5480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  ->  `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
3532, 33, 343syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
3635, 3ffvelcdmd 5673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  ( M ... N ) )
37 elfzelz 10055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( M ... N )  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
3836, 37syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
3938adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
40 elfz 10044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  ( `' J `  K )  e.  ZZ )  -> 
( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) )  <->  ( K  <_  x  /\  x  <_  ( `' J `  K ) ) ) )
419, 12, 39, 40syl3anc 1249 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) )  <->  ( K  <_  x  /\  x  <_  ( `' J `  K ) ) ) )
4231, 41mtbird 674 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  -.  x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )
4342iffalsed 3559 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x
) )  =  ( J `  x ) )
44 iseqf1olemqk.const . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M..^ K ) ( J `  x )  =  x )
4544r19.21bi 2578 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( J `  x )  =  x )
4643, 45eqtrd 2222 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x
) )  =  x )
47 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  x  e.  ( M..^ K ) )
4846, 47eqeltrd 2266 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x
) )  e.  ( M..^ K ) )
49 eleq1w 2250 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  x  ->  (
u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) )  <->  x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ) )
50 eqeq1 2196 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  x  ->  (
u  =  K  <->  x  =  K ) )
51 oveq1 5903 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  x  ->  (
u  -  1 )  =  ( x  - 
1 ) )
5251fveq2d 5538 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  x  ->  ( J `  ( u  -  1 ) )  =  ( J `  ( x  -  1
) ) )
5350, 52ifbieq2d 3573 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  x  ->  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `
 ( u  - 
1 ) ) )  =  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1
) ) ) )
54 fveq2 5534 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  x  ->  ( J `  u )  =  ( J `  x ) )
5549, 53, 54ifbieq12d 3575 . . . . . . 7  |-  ( u  =  x  ->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K , 
( J `  (
u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u ) )  =  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K , 
( J `  (
x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x ) ) )
56 iseqf1olemqf.q . . . . . . 7  |-  Q  =  ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )
5755, 56fvmptg 5613 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( M ... N )  /\  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x
) )  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( Q `  x )  =  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x
) ) )
5826, 48, 57syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( Q `  x )  =  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x
) ) )
5958, 46eqtrd 2222 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( Q `  x )  =  x )
6059ralrimiva 2563 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M..^ K ) ( Q `  x )  =  x )
613, 32, 3, 56iseqf1olemqval 10518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q `  K
)  =  if ( K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( K  =  K ,  K , 
( J `  ( K  -  1 ) ) ) ,  ( J `  K ) ) )
62 elfzelz 10055 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )
633, 62syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
64 elfzuz2 10059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
653, 64syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6665, 3, 32, 44iseqf1olemkle 10515 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  <_  ( `' J `  K )
)
67 eluz2 9564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( `' J `  K )  e.  ZZ  /\  K  <_  ( `' J `  K ) ) )
6863, 38, 66, 67syl3anbrc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  (
ZZ>= `  K ) )
69 eluzfz1 10061 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )
7068, 69syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )
7170iftrued 3556 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( K  =  K ,  K ,  ( J `  ( K  -  1 ) ) ) ,  ( J `  K
) )  =  if ( K  =  K ,  K ,  ( J `  ( K  -  1 ) ) ) )
72 eqid 2189 . . . . . . 7  |-  K  =  K
7372iftruei 3555 . . . . . 6  |-  if ( K  =  K ,  K ,  ( J `  ( K  -  1 ) ) )  =  K
7471, 73eqtrdi 2238 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( K  =  K ,  K ,  ( J `  ( K  -  1 ) ) ) ,  ( J `  K
) )  =  K )
7561, 74eqtrd 2222 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q `  K
)  =  K )
76 fveq2 5534 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  ( Q `  x )  =  ( Q `  K ) )
77 id 19 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  x  =  K )
7876, 77eqeq12d 2204 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  (
( Q `  x
)  =  x  <->  ( Q `  K )  =  K ) )
7978ralsng 3647 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  { K }  ( Q `  x )  =  x  <-> 
( Q `  K
)  =  K ) )
803, 62, 793syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
{ K }  ( Q `  x )  =  x  <->  ( Q `  K )  =  K ) )
8175, 80mpbird 167 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  { K }  ( Q `  x )  =  x )
82 ralun 3332 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  ( M..^ K ) ( Q `  x )  =  x  /\  A. x  e.  { K }  ( Q `  x )  =  x )  ->  A. x  e.  ( ( M..^ K
)  u.  { K } ) ( Q `
 x )  =  x )
8360, 81, 82syl2anc 411 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ( M..^ K )  u.  { K }
) ( Q `  x )  =  x )
84 elfzuz 10051 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
85 fzisfzounsn 10266 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... K )  =  ( ( M..^ K )  u.  { K }
) )
863, 84, 853syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M ... K
)  =  ( ( M..^ K )  u. 
{ K } ) )
8786raleqdv 2692 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( M ... K
) ( Q `  x )  =  x  <->  A. x  e.  (
( M..^ K )  u.  { K }
) ( Q `  x )  =  x ) )
8883, 87mpbird 167 1  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M ... K ) ( Q `  x
)  =  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468    u. cun 3142   ifcif 3549   {csn 3607   class class class wbr 4018    |-> cmpt 4079   `'ccnv 4643   -->wf 5231   -1-1-onto->wf1o 5234   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   RRcr 7840   1c1 7842    < clt 8022    <_ cle 8023    - cmin 8158   ZZcz 9283   ZZ>=cuz 9558   ...cfz 10038  ..^cfzo 10172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-inn 8950  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-fz 10039  df-fzo 10173
This theorem is referenced by:  seq3f1olemstep  10532
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