Theorem iseqf1olemqk 10893

Description: Lemma for seq3f1o 10903. Q is constant for one more position than J is. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.j	|- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.q	|- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
iseqf1olemqk.const	|- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemqk	|- ( ph -> A. x e. ( M ... K ) ( Q ` x ) = x )

Distinct variable groups:   u, J, x   u, K, x   u, M, x   u, N   x, Q   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( u)   Q( u)   N( x)

Proof of Theorem iseqf1olemqk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzole1 10512	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( M..^ K ) -> M <_ x )
2	1	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> M <_ x )
3		iseqf1olemqf.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
4		elfzle2 10382	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K <_ N )
6		elfzolt2 10513	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( M..^ K ) -> x < K )
7	5, 6	anim12ci 339	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( x < K /\ K <_ N ) )
8		elfzoelz 10503	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( M..^ K ) -> x e. ZZ )
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x e. ZZ )
10	9	zred 9718	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x e. RR )
11		elfzoel2 10502	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( M..^ K ) -> K e. ZZ )
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> K e. ZZ )
13	12	zred 9718	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> K e. RR )
14		elfzel2 10376	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
15	3, 14	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> N e. ZZ )
17	16	zred 9718	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> N e. RR )
18		ltleletr 8371	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( x < K /\ K <_ N ) -> x <_ N ) )
19	10, 13, 17, 18	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( ( x < K /\ K <_ N ) -> x <_ N ) )
20	7, 19	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x <_ N )
21		elfzel1 10377	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
22	3, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
23	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> M e. ZZ )
24		elfz 10367	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( M <_ x /\ x <_ N ) ) )
25	9, 23, 16, 24	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( M <_ x /\ x <_ N ) ) )
26	2, 20, 25	mpbir2and 953	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x e. ( M ... N ) )
27	6	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x < K )
28		zltnle 9640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( x < K <-> -. K <_ x ) )
29	9, 12, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( x < K <-> -. K <_ x ) )
30	27, 29	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> -. K <_ x )
31	30	intnanrd 940	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> -. ( K <_ x /\ x <_ ( `' J ` K ) ) )
32		iseqf1olemqf.j	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
33		f1ocnv 5632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
34		f1of 5619	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
35	32, 33, 34	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
36	35, 3	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) )
37		elfzelz 10378	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
39	38	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
40		elfz 10367	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( `' J ` K ) e. ZZ ) -> ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) <-> ( K <_ x /\ x <_ ( `' J ` K ) ) ) )
41	9, 12, 39, 40	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) <-> ( K <_ x /\ x <_ ( `' J ` K ) ) ) )
42	31, 41	mtbird 680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> -. x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
43	42	iffalsed 3636	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) = ( J ` x ) )
44		iseqf1olemqk.const	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
45	44	r19.21bi 2632	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( J ` x ) = x )
46	43, 45	eqtrd 2267	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) = x )
47		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x e. ( M..^ K ) )
48	46, 47	eqeltrd 2311	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) e. ( M..^ K ) )
49		eleq1w 2295	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) <-> x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) ) )
50		eqeq1 2241	. . . . . . . . 9 |- ( u = x -> ( u = K <-> x = K ) )
51		oveq1 6065	. . . . . . . . . 10 |- ( u = x -> ( u - 1 ) = ( x - 1 ) )
52	51	fveq2d 5679	. . . . . . . . 9 |- ( u = x -> ( J ` ( u - 1 ) ) = ( J ` ( x - 1 ) ) )
53	50, 52	ifbieq2d 3651	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) = if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) )
54		fveq2 5675	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> ( J ` u ) = ( J ` x ) )
55	49, 53, 54	ifbieq12d 3653	. . . . . . 7 |- ( u = x -> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) = if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) )
56		iseqf1olemqf.q	. . . . . . 7 |- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
57	55, 56	fvmptg 5758	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( M ... N ) /\ if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) e. ( M..^ K ) ) -> ( Q ` x ) = if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) )
58	26, 48, 57	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( Q ` x ) = if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) )
59	58, 46	eqtrd 2267	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( Q ` x ) = x )
60	59	ralrimiva 2617	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( Q ` x ) = x )
61	3, 32, 3, 56	iseqf1olemqval 10886	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q ` K ) = if ( K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) , ( J ` K ) ) )
62		elfzelz 10378	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )
63	3, 62	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ZZ )
64		elfzuz2 10383	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
65	3, 64	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
66	65, 3, 32, 44	iseqf1olemkle 10883	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K <_ ( `' J ` K ) )
67		eluz2 9877	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( K e. ZZ /\ ( `' J ` K ) e. ZZ /\ K <_ ( `' J ` K ) ) )
68	63, 38, 66, 67	syl3anbrc 1208	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` K ) )
69		eluzfz1 10385	. . . . . . . 8 |- ( ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` K ) -> K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
70	68, 69	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
71	70	iftrued 3633	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) , ( J ` K ) ) = if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) )
72		eqid 2234	. . . . . . 7 |- K = K
73	72	iftruei 3632	. . . . . 6 |- if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) = K
74	71, 73	eqtrdi 2283	. . . . 5 |- ( ph -> if ( K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) , ( J ` K ) ) = K )
75	61, 74	eqtrd 2267	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` K ) = K )
76		fveq2 5675	. . . . . . 7 |- ( x = K -> ( Q ` x ) = ( Q ` K ) )
77		id 19	. . . . . . 7 |- ( x = K -> x = K )
78	76, 77	eqeq12d 2249	. . . . . 6 |- ( x = K -> ( ( Q ` x ) = x <-> ( Q ` K ) = K ) )
79	78	ralsng 3734	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( A. x e. { K } ( Q ` x ) = x <-> ( Q ` K ) = K ) )
80	3, 62, 79	3syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. { K } ( Q ` x ) = x <-> ( Q ` K ) = K ) )
81	75, 80	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> A. x e. { K } ( Q ` x ) = x )
82		ralun 3405	. . 3 |- ( ( A. x e. ( M..^ K ) ( Q ` x ) = x /\ A. x e. { K } ( Q ` x ) = x ) -> A. x e. ( ( M..^ K ) u. { K } ) ( Q ` x ) = x )
83	60, 81, 82	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( ( M..^ K ) u. { K } ) ( Q ` x ) = x )
84		elfzuz 10374	. . . 4 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
85		fzisfzounsn 10604	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... K ) = ( ( M..^ K ) u. { K } ) )
86	3, 84, 85	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( M ... K ) = ( ( M..^ K ) u. { K } ) )
87	86	raleqdv 2749	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. ( M ... K ) ( Q ` x ) = x <-> A. x e. ( ( M..^ K ) u. { K } ) ( Q ` x ) = x ) )
88	83, 87	mpbird 167	1 |- ( ph -> A. x e. ( M ... K ) ( Q ` x ) = x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   u. cun 3212   ifcif 3624   {csn 3694   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   `'ccnv 4753   -->wf 5353   -1-1-onto->wf1o 5356   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   RRcr 8142   1c1 8144   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361  ..^cfzo 10498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499

This theorem is referenced by:  seq3f1olemstep  10900