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Theorem iseqf1olemqk 10423
Description: Lemma for seq3f1o 10433. 
Q is constant for one more position than  J is. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemqf.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.j  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.q  |-  Q  =  ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )
iseqf1olemqk.const  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M..^ K ) ( J `  x )  =  x )
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemqk  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M ... K ) ( Q `  x
)  =  x )
Distinct variable groups:    u, J, x   
u, K, x    u, M, x    u, N    x, Q    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( u)    Q( u)    N( x)

Proof of Theorem iseqf1olemqk
StepHypRef Expression
1 elfzole1 10084 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( M..^ K
)  ->  M  <_  x )
21adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  M  <_  x
)
3 iseqf1olemqf.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
4 elfzle2 9957 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  <_  N )
53, 4syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  <_  N )
6 elfzolt2 10085 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( M..^ K
)  ->  x  <  K )
75, 6anim12ci 337 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( x  < 
K  /\  K  <_  N ) )
8 elfzoelz 10076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( M..^ K
)  ->  x  e.  ZZ )
98adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  x  e.  ZZ )
109zred 9307 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  x  e.  RR )
11 elfzoel2 10075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( M..^ K
)  ->  K  e.  ZZ )
1211adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  K  e.  ZZ )
1312zred 9307 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  K  e.  RR )
14 elfzel2 9952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )
153, 14syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
1615adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  N  e.  ZZ )
1716zred 9307 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  N  e.  RR )
18 ltleletr 7974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( x  <  K  /\  K  <_  N )  ->  x  <_  N
) )
1910, 13, 17, 18syl3anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( ( x  <  K  /\  K  <_  N )  ->  x  <_  N ) )
207, 19mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  x  <_  N
)
21 elfzel1 9953 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  e.  ZZ )
223, 21syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2322adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  M  e.  ZZ )
24 elfz 9944 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  x  /\  x  <_  N ) ) )
259, 23, 16, 24syl3anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( x  e.  ( M ... N
)  <->  ( M  <_  x  /\  x  <_  N
) ) )
262, 20, 25mpbir2and 933 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
276adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  x  <  K
)
28 zltnle 9231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( x  <  K  <->  -.  K  <_  x )
)
299, 12, 28syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( x  < 
K  <->  -.  K  <_  x ) )
3027, 29mpbid 146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  -.  K  <_  x )
3130intnanrd 922 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  -.  ( K  <_  x  /\  x  <_ 
( `' J `  K ) ) )
32 iseqf1olemqf.j . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
33 f1ocnv 5442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  ->  `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
) )
34 f1of 5429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  ->  `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
3532, 33, 343syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
3635, 3ffvelrnd 5618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  ( M ... N ) )
37 elfzelz 9954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( M ... N )  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
3836, 37syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
3938adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
40 elfz 9944 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  ( `' J `  K )  e.  ZZ )  -> 
( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) )  <->  ( K  <_  x  /\  x  <_  ( `' J `  K ) ) ) )
419, 12, 39, 40syl3anc 1227 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) )  <->  ( K  <_  x  /\  x  <_  ( `' J `  K ) ) ) )
4231, 41mtbird 663 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  -.  x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )
4342iffalsed 3528 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x
) )  =  ( J `  x ) )
44 iseqf1olemqk.const . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M..^ K ) ( J `  x )  =  x )
4544r19.21bi 2552 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( J `  x )  =  x )
4643, 45eqtrd 2197 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x
) )  =  x )
47 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  x  e.  ( M..^ K ) )
4846, 47eqeltrd 2241 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x
) )  e.  ( M..^ K ) )
49 eleq1w 2225 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  x  ->  (
u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) )  <->  x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ) )
50 eqeq1 2171 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  x  ->  (
u  =  K  <->  x  =  K ) )
51 oveq1 5846 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  x  ->  (
u  -  1 )  =  ( x  - 
1 ) )
5251fveq2d 5487 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  x  ->  ( J `  ( u  -  1 ) )  =  ( J `  ( x  -  1
) ) )
5350, 52ifbieq2d 3542 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  x  ->  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `
 ( u  - 
1 ) ) )  =  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1
) ) ) )
54 fveq2 5483 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  x  ->  ( J `  u )  =  ( J `  x ) )
5549, 53, 54ifbieq12d 3544 . . . . . . 7  |-  ( u  =  x  ->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K , 
( J `  (
u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u ) )  =  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K , 
( J `  (
x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x ) ) )
56 iseqf1olemqf.q . . . . . . 7  |-  Q  =  ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )
5755, 56fvmptg 5559 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( M ... N )  /\  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x
) )  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( Q `  x )  =  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x
) ) )
5826, 48, 57syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( Q `  x )  =  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x
) ) )
5958, 46eqtrd 2197 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( Q `  x )  =  x )
6059ralrimiva 2537 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M..^ K ) ( Q `  x )  =  x )
613, 32, 3, 56iseqf1olemqval 10416 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q `  K
)  =  if ( K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( K  =  K ,  K , 
( J `  ( K  -  1 ) ) ) ,  ( J `  K ) ) )
62 elfzelz 9954 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )
633, 62syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
64 elfzuz2 9958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
653, 64syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6665, 3, 32, 44iseqf1olemkle 10413 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  <_  ( `' J `  K )
)
67 eluz2 9466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( `' J `  K )  e.  ZZ  /\  K  <_  ( `' J `  K ) ) )
6863, 38, 66, 67syl3anbrc 1170 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  (
ZZ>= `  K ) )
69 eluzfz1 9960 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )
7068, 69syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )
7170iftrued 3525 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( K  =  K ,  K ,  ( J `  ( K  -  1 ) ) ) ,  ( J `  K
) )  =  if ( K  =  K ,  K ,  ( J `  ( K  -  1 ) ) ) )
72 eqid 2164 . . . . . . 7  |-  K  =  K
7372iftruei 3524 . . . . . 6  |-  if ( K  =  K ,  K ,  ( J `  ( K  -  1 ) ) )  =  K
7471, 73eqtrdi 2213 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( K  =  K ,  K ,  ( J `  ( K  -  1 ) ) ) ,  ( J `  K
) )  =  K )
7561, 74eqtrd 2197 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q `  K
)  =  K )
76 fveq2 5483 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  ( Q `  x )  =  ( Q `  K ) )
77 id 19 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  x  =  K )
7876, 77eqeq12d 2179 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  (
( Q `  x
)  =  x  <->  ( Q `  K )  =  K ) )
7978ralsng 3613 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  { K }  ( Q `  x )  =  x  <-> 
( Q `  K
)  =  K ) )
803, 62, 793syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
{ K }  ( Q `  x )  =  x  <->  ( Q `  K )  =  K ) )
8175, 80mpbird 166 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  { K }  ( Q `  x )  =  x )
82 ralun 3302 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  ( M..^ K ) ( Q `  x )  =  x  /\  A. x  e.  { K }  ( Q `  x )  =  x )  ->  A. x  e.  ( ( M..^ K
)  u.  { K } ) ( Q `
 x )  =  x )
8360, 81, 82syl2anc 409 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ( M..^ K )  u.  { K }
) ( Q `  x )  =  x )
84 elfzuz 9950 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
85 fzisfzounsn 10165 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... K )  =  ( ( M..^ K )  u.  { K }
) )
863, 84, 853syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M ... K
)  =  ( ( M..^ K )  u. 
{ K } ) )
8786raleqdv 2665 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( M ... K
) ( Q `  x )  =  x  <->  A. x  e.  (
( M..^ K )  u.  { K }
) ( Q `  x )  =  x ) )
8883, 87mpbird 166 1  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M ... K ) ( Q `  x
)  =  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1342    e. wcel 2135   A.wral 2442    u. cun 3112   ifcif 3518   {csn 3573   class class class wbr 3979    |-> cmpt 4040   `'ccnv 4600   -->wf 5181   -1-1-onto->wf1o 5184   ` cfv 5185  (class class class)co 5839   RRcr 7746   1c1 7748    < clt 7927    <_ cle 7928    - cmin 8063   ZZcz 9185   ZZ>=cuz 9460   ...cfz 9938  ..^cfzo 10071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4097  ax-pow 4150  ax-pr 4184  ax-un 4408  ax-setind 4511  ax-cnex 7838  ax-resscn 7839  ax-1cn 7840  ax-1re 7841  ax-icn 7842  ax-addcl 7843  ax-addrcl 7844  ax-mulcl 7845  ax-addcom 7847  ax-addass 7849  ax-distr 7851  ax-i2m1 7852  ax-0lt1 7853  ax-0id 7855  ax-rnegex 7856  ax-cnre 7858  ax-pre-ltirr 7859  ax-pre-ltwlin 7860  ax-pre-lttrn 7861  ax-pre-apti 7862  ax-pre-ltadd 7863
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2726  df-sbc 2950  df-csb 3044  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-if 3519  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-int 3822  df-iun 3865  df-br 3980  df-opab 4041  df-mpt 4042  df-id 4268  df-xp 4607  df-rel 4608  df-cnv 4609  df-co 4610  df-dm 4611  df-rn 4612  df-res 4613  df-ima 4614  df-iota 5150  df-fun 5187  df-fn 5188  df-f 5189  df-f1 5190  df-fo 5191  df-f1o 5192  df-fv 5193  df-riota 5795  df-ov 5842  df-oprab 5843  df-mpo 5844  df-1st 6103  df-2nd 6104  df-pnf 7929  df-mnf 7930  df-xr 7931  df-ltxr 7932  df-le 7933  df-sub 8065  df-neg 8066  df-inn 8852  df-n0 9109  df-z 9186  df-uz 9461  df-fz 9939  df-fzo 10072
This theorem is referenced by:  seq3f1olemstep  10430
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