Theorem iseqf1olemqk 10616

Description: Lemma for seq3f1o 10626. Q is constant for one more position than J is. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.j	|- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.q	|- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
iseqf1olemqk.const	|- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemqk	|- ( ph -> A. x e. ( M ... K ) ( Q ` x ) = x )

Distinct variable groups:   u, J, x   u, K, x   u, M, x   u, N   x, Q   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( u)   Q( u)   N( x)

Proof of Theorem iseqf1olemqk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzole1 10248	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( M..^ K ) -> M <_ x )
2	1	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> M <_ x )
3		iseqf1olemqf.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
4		elfzle2 10120	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K <_ N )
6		elfzolt2 10249	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( M..^ K ) -> x < K )
7	5, 6	anim12ci 339	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( x < K /\ K <_ N ) )
8		elfzoelz 10239	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( M..^ K ) -> x e. ZZ )
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x e. ZZ )
10	9	zred 9465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x e. RR )
11		elfzoel2 10238	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( M..^ K ) -> K e. ZZ )
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> K e. ZZ )
13	12	zred 9465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> K e. RR )
14		elfzel2 10115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
15	3, 14	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> N e. ZZ )
17	16	zred 9465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> N e. RR )
18		ltleletr 8125	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( x < K /\ K <_ N ) -> x <_ N ) )
19	10, 13, 17, 18	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( ( x < K /\ K <_ N ) -> x <_ N ) )
20	7, 19	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x <_ N )
21		elfzel1 10116	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
22	3, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
23	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> M e. ZZ )
24		elfz 10106	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( M <_ x /\ x <_ N ) ) )
25	9, 23, 16, 24	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( M <_ x /\ x <_ N ) ) )
26	2, 20, 25	mpbir2and 946	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x e. ( M ... N ) )
27	6	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x < K )
28		zltnle 9389	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( x < K <-> -. K <_ x ) )
29	9, 12, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( x < K <-> -. K <_ x ) )
30	27, 29	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> -. K <_ x )
31	30	intnanrd 933	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> -. ( K <_ x /\ x <_ ( `' J ` K ) ) )
32		iseqf1olemqf.j	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
33		f1ocnv 5520	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
34		f1of 5507	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
35	32, 33, 34	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
36	35, 3	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) )
37		elfzelz 10117	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
39	38	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
40		elfz 10106	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( `' J ` K ) e. ZZ ) -> ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) <-> ( K <_ x /\ x <_ ( `' J ` K ) ) ) )
41	9, 12, 39, 40	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) <-> ( K <_ x /\ x <_ ( `' J ` K ) ) ) )
42	31, 41	mtbird 674	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> -. x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
43	42	iffalsed 3572	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) = ( J ` x ) )
44		iseqf1olemqk.const	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
45	44	r19.21bi 2585	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( J ` x ) = x )
46	43, 45	eqtrd 2229	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) = x )
47		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x e. ( M..^ K ) )
48	46, 47	eqeltrd 2273	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) e. ( M..^ K ) )
49		eleq1w 2257	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) <-> x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) ) )
50		eqeq1 2203	. . . . . . . . 9 |- ( u = x -> ( u = K <-> x = K ) )
51		oveq1 5932	. . . . . . . . . 10 |- ( u = x -> ( u - 1 ) = ( x - 1 ) )
52	51	fveq2d 5565	. . . . . . . . 9 |- ( u = x -> ( J ` ( u - 1 ) ) = ( J ` ( x - 1 ) ) )
53	50, 52	ifbieq2d 3586	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) = if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) )
54		fveq2 5561	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> ( J ` u ) = ( J ` x ) )
55	49, 53, 54	ifbieq12d 3588	. . . . . . 7 |- ( u = x -> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) = if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) )
56		iseqf1olemqf.q	. . . . . . 7 |- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
57	55, 56	fvmptg 5640	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( M ... N ) /\ if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) e. ( M..^ K ) ) -> ( Q ` x ) = if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) )
58	26, 48, 57	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( Q ` x ) = if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) )
59	58, 46	eqtrd 2229	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( Q ` x ) = x )
60	59	ralrimiva 2570	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( Q ` x ) = x )
61	3, 32, 3, 56	iseqf1olemqval 10609	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q ` K ) = if ( K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) , ( J ` K ) ) )
62		elfzelz 10117	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )
63	3, 62	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ZZ )
64		elfzuz2 10121	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
65	3, 64	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
66	65, 3, 32, 44	iseqf1olemkle 10606	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K <_ ( `' J ` K ) )
67		eluz2 9624	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( K e. ZZ /\ ( `' J ` K ) e. ZZ /\ K <_ ( `' J ` K ) ) )
68	63, 38, 66, 67	syl3anbrc 1183	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` K ) )
69		eluzfz1 10123	. . . . . . . 8 |- ( ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` K ) -> K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
70	68, 69	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
71	70	iftrued 3569	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) , ( J ` K ) ) = if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) )
72		eqid 2196	. . . . . . 7 |- K = K
73	72	iftruei 3568	. . . . . 6 |- if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) = K
74	71, 73	eqtrdi 2245	. . . . 5 |- ( ph -> if ( K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) , ( J ` K ) ) = K )
75	61, 74	eqtrd 2229	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` K ) = K )
76		fveq2 5561	. . . . . . 7 |- ( x = K -> ( Q ` x ) = ( Q ` K ) )
77		id 19	. . . . . . 7 |- ( x = K -> x = K )
78	76, 77	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( x = K -> ( ( Q ` x ) = x <-> ( Q ` K ) = K ) )
79	78	ralsng 3663	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( A. x e. { K } ( Q ` x ) = x <-> ( Q ` K ) = K ) )
80	3, 62, 79	3syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. { K } ( Q ` x ) = x <-> ( Q ` K ) = K ) )
81	75, 80	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> A. x e. { K } ( Q ` x ) = x )
82		ralun 3346	. . 3 |- ( ( A. x e. ( M..^ K ) ( Q ` x ) = x /\ A. x e. { K } ( Q ` x ) = x ) -> A. x e. ( ( M..^ K ) u. { K } ) ( Q ` x ) = x )
83	60, 81, 82	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( ( M..^ K ) u. { K } ) ( Q ` x ) = x )
84		elfzuz 10113	. . . 4 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
85		fzisfzounsn 10329	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... K ) = ( ( M..^ K ) u. { K } ) )
86	3, 84, 85	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( M ... K ) = ( ( M..^ K ) u. { K } ) )
87	86	raleqdv 2699	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. ( M ... K ) ( Q ` x ) = x <-> A. x e. ( ( M..^ K ) u. { K } ) ( Q ` x ) = x ) )
88	83, 87	mpbird 167	1 |- ( ph -> A. x e. ( M ... K ) ( Q ` x ) = x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   u. cun 3155   ifcif 3562   {csn 3623   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   `'ccnv 4663   -->wf 5255   -1-1-onto->wf1o 5258   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   RRcr 7895   1c1 7897   < clt 8078   <_ cle 8079   - cmin 8214   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   ...cfz 10100  ..^cfzo 10234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101  df-fzo 10235

This theorem is referenced by:  seq3f1olemstep  10623