Theorem iseqf1olemqk 10260

Description: Lemma for seq3f1o 10270. Q is constant for one more position than J is. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.j	|- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.q	|- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
iseqf1olemqk.const	|- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemqk	|- ( ph -> A. x e. ( M ... K ) ( Q ` x ) = x )

Distinct variable groups:   u, J, x   u, K, x   u, M, x   u, N   x, Q   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( u)   Q( u)   N( x)

Proof of Theorem iseqf1olemqk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzole1 9925	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( M..^ K ) -> M <_ x )
2	1	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> M <_ x )
3		iseqf1olemqf.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
4		elfzle2 9801	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K <_ N )
6		elfzolt2 9926	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( M..^ K ) -> x < K )
7	5, 6	anim12ci 337	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( x < K /\ K <_ N ) )
8		elfzoelz 9917	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( M..^ K ) -> x e. ZZ )
9	8	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x e. ZZ )
10	9	zred 9166	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x e. RR )
11		elfzoel2 9916	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( M..^ K ) -> K e. ZZ )
12	11	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> K e. ZZ )
13	12	zred 9166	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> K e. RR )
14		elfzel2 9797	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
15	3, 14	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
16	15	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> N e. ZZ )
17	16	zred 9166	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> N e. RR )
18		ltleletr 7839	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( x < K /\ K <_ N ) -> x <_ N ) )
19	10, 13, 17, 18	syl3anc 1216	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( ( x < K /\ K <_ N ) -> x <_ N ) )
20	7, 19	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x <_ N )
21		elfzel1 9798	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
22	3, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
23	22	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> M e. ZZ )
24		elfz 9789	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( M <_ x /\ x <_ N ) ) )
25	9, 23, 16, 24	syl3anc 1216	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( M <_ x /\ x <_ N ) ) )
26	2, 20, 25	mpbir2and 928	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x e. ( M ... N ) )
27	6	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x < K )
28		zltnle 9093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( x < K <-> -. K <_ x ) )
29	9, 12, 28	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( x < K <-> -. K <_ x ) )
30	27, 29	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> -. K <_ x )
31	30	intnanrd 917	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> -. ( K <_ x /\ x <_ ( `' J ` K ) ) )
32		iseqf1olemqf.j	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
33		f1ocnv 5373	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
34		f1of 5360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
35	32, 33, 34	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
36	35, 3	ffvelrnd 5549	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) )
37		elfzelz 9799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
39	38	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
40		elfz 9789	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( `' J ` K ) e. ZZ ) -> ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) <-> ( K <_ x /\ x <_ ( `' J ` K ) ) ) )
41	9, 12, 39, 40	syl3anc 1216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) <-> ( K <_ x /\ x <_ ( `' J ` K ) ) ) )
42	31, 41	mtbird 662	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> -. x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
43	42	iffalsed 3479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) = ( J ` x ) )
44		iseqf1olemqk.const	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
45	44	r19.21bi 2518	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( J ` x ) = x )
46	43, 45	eqtrd 2170	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) = x )
47		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x e. ( M..^ K ) )
48	46, 47	eqeltrd 2214	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) e. ( M..^ K ) )
49		eleq1w 2198	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) <-> x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) ) )
50		eqeq1 2144	. . . . . . . . 9 |- ( u = x -> ( u = K <-> x = K ) )
51		oveq1 5774	. . . . . . . . . 10 |- ( u = x -> ( u - 1 ) = ( x - 1 ) )
52	51	fveq2d 5418	. . . . . . . . 9 |- ( u = x -> ( J ` ( u - 1 ) ) = ( J ` ( x - 1 ) ) )
53	50, 52	ifbieq2d 3491	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) = if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) )
54		fveq2 5414	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> ( J ` u ) = ( J ` x ) )
55	49, 53, 54	ifbieq12d 3493	. . . . . . 7 |- ( u = x -> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) = if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) )
56		iseqf1olemqf.q	. . . . . . 7 |- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
57	55, 56	fvmptg 5490	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( M ... N ) /\ if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) e. ( M..^ K ) ) -> ( Q ` x ) = if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) )
58	26, 48, 57	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( Q ` x ) = if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) )
59	58, 46	eqtrd 2170	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( Q ` x ) = x )
60	59	ralrimiva 2503	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( Q ` x ) = x )
61	3, 32, 3, 56	iseqf1olemqval 10253	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q ` K ) = if ( K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) , ( J ` K ) ) )
62		elfzelz 9799	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )
63	3, 62	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ZZ )
64		elfzuz2 9802	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
65	3, 64	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
66	65, 3, 32, 44	iseqf1olemkle 10250	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K <_ ( `' J ` K ) )
67		eluz2 9325	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( K e. ZZ /\ ( `' J ` K ) e. ZZ /\ K <_ ( `' J ` K ) ) )
68	63, 38, 66, 67	syl3anbrc 1165	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` K ) )
69		eluzfz1 9804	. . . . . . . 8 |- ( ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` K ) -> K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
70	68, 69	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
71	70	iftrued 3476	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) , ( J ` K ) ) = if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) )
72		eqid 2137	. . . . . . 7 |- K = K
73	72	iftruei 3475	. . . . . 6 |- if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) = K
74	71, 73	syl6eq 2186	. . . . 5 |- ( ph -> if ( K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) , ( J ` K ) ) = K )
75	61, 74	eqtrd 2170	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` K ) = K )
76		fveq2 5414	. . . . . . 7 |- ( x = K -> ( Q ` x ) = ( Q ` K ) )
77		id 19	. . . . . . 7 |- ( x = K -> x = K )
78	76, 77	eqeq12d 2152	. . . . . 6 |- ( x = K -> ( ( Q ` x ) = x <-> ( Q ` K ) = K ) )
79	78	ralsng 3559	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( A. x e. { K } ( Q ` x ) = x <-> ( Q ` K ) = K ) )
80	3, 62, 79	3syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. { K } ( Q ` x ) = x <-> ( Q ` K ) = K ) )
81	75, 80	mpbird 166	. . 3 |- ( ph -> A. x e. { K } ( Q ` x ) = x )
82		ralun 3253	. . 3 |- ( ( A. x e. ( M..^ K ) ( Q ` x ) = x /\ A. x e. { K } ( Q ` x ) = x ) -> A. x e. ( ( M..^ K ) u. { K } ) ( Q ` x ) = x )
83	60, 81, 82	syl2anc 408	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( ( M..^ K ) u. { K } ) ( Q ` x ) = x )
84		elfzuz 9795	. . . 4 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
85		fzisfzounsn 10006	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... K ) = ( ( M..^ K ) u. { K } ) )
86	3, 84, 85	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( M ... K ) = ( ( M..^ K ) u. { K } ) )
87	86	raleqdv 2630	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. ( M ... K ) ( Q ` x ) = x <-> A. x e. ( ( M..^ K ) u. { K } ) ( Q ` x ) = x ) )
88	83, 87	mpbird 166	1 |- ( ph -> A. x e. ( M ... K ) ( Q ` x ) = x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   u. cun 3064   ifcif 3469   {csn 3522   class class class wbr 3924   |-> cmpt 3984   `'ccnv 4533   -->wf 5114   -1-1-onto->wf1o 5117   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   RRcr 7612   1c1 7614   < clt 7793   <_ cle 7794   - cmin 7926   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319   ...cfz 9783  ..^cfzo 9912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784  df-fzo 9913

This theorem is referenced by:  seq3f1olemstep  10267