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Theorem iseqf1olemqk 9986
Description: Lemma for seq3f1o 9996. 
Q is constant for one more position than  J is. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemqf.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.j  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.q  |-  Q  =  ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )
iseqf1olemqk.const  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M..^ K ) ( J `  x )  =  x )
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemqk  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M ... K ) ( Q `  x
)  =  x )
Distinct variable groups:    u, J, x   
u, K, x    u, M, x    u, N    x, Q    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( u)    Q( u)    N( x)

Proof of Theorem iseqf1olemqk
StepHypRef Expression
1 elfzole1 9629 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( M..^ K
)  ->  M  <_  x )
21adantl 272 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  M  <_  x
)
3 iseqf1olemqf.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
4 elfzle2 9505 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  <_  N )
53, 4syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  <_  N )
6 elfzolt2 9630 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( M..^ K
)  ->  x  <  K )
75, 6anim12ci 333 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( x  < 
K  /\  K  <_  N ) )
8 elfzoelz 9621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( M..^ K
)  ->  x  e.  ZZ )
98adantl 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  x  e.  ZZ )
109zred 8931 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  x  e.  RR )
11 elfzoel2 9620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( M..^ K
)  ->  K  e.  ZZ )
1211adantl 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  K  e.  ZZ )
1312zred 8931 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  K  e.  RR )
14 elfzel2 9501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )
153, 14syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
1615adantr 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  N  e.  ZZ )
1716zred 8931 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  N  e.  RR )
18 ltleletr 7630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( x  <  K  /\  K  <_  N )  ->  x  <_  N
) )
1910, 13, 17, 18syl3anc 1175 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( ( x  <  K  /\  K  <_  N )  ->  x  <_  N ) )
207, 19mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  x  <_  N
)
21 elfzel1 9502 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  e.  ZZ )
223, 21syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2322adantr 271 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  M  e.  ZZ )
24 elfz 9493 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  x  /\  x  <_  N ) ) )
259, 23, 16, 24syl3anc 1175 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( x  e.  ( M ... N
)  <->  ( M  <_  x  /\  x  <_  N
) ) )
262, 20, 25mpbir2and 891 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
276adantl 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  x  <  K
)
28 zltnle 8859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( x  <  K  <->  -.  K  <_  x )
)
299, 12, 28syl2anc 404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( x  < 
K  <->  -.  K  <_  x ) )
3027, 29mpbid 146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  -.  K  <_  x )
3130intnanrd 880 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  -.  ( K  <_  x  /\  x  <_ 
( `' J `  K ) ) )
32 iseqf1olemqf.j . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
33 f1ocnv 5281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  ->  `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
) )
34 f1of 5268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  ->  `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
3532, 33, 343syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
3635, 3ffvelrnd 5451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  ( M ... N ) )
37 elfzelz 9503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( M ... N )  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
3836, 37syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
3938adantr 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
40 elfz 9493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  ( `' J `  K )  e.  ZZ )  -> 
( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) )  <->  ( K  <_  x  /\  x  <_  ( `' J `  K ) ) ) )
419, 12, 39, 40syl3anc 1175 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) )  <->  ( K  <_  x  /\  x  <_  ( `' J `  K ) ) ) )
4231, 41mtbird 634 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  -.  x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )
4342iffalsed 3409 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x
) )  =  ( J `  x ) )
44 iseqf1olemqk.const . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M..^ K ) ( J `  x )  =  x )
4544r19.21bi 2462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( J `  x )  =  x )
4643, 45eqtrd 2121 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x
) )  =  x )
47 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  x  e.  ( M..^ K ) )
4846, 47eqeltrd 2165 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x
) )  e.  ( M..^ K ) )
49 eleq1w 2149 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  x  ->  (
u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) )  <->  x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ) )
50 eqeq1 2095 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  x  ->  (
u  =  K  <->  x  =  K ) )
51 oveq1 5675 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  x  ->  (
u  -  1 )  =  ( x  - 
1 ) )
5251fveq2d 5324 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  x  ->  ( J `  ( u  -  1 ) )  =  ( J `  ( x  -  1
) ) )
5350, 52ifbieq2d 3421 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  x  ->  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `
 ( u  - 
1 ) ) )  =  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1
) ) ) )
54 fveq2 5320 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  x  ->  ( J `  u )  =  ( J `  x ) )
5549, 53, 54ifbieq12d 3423 . . . . . . 7  |-  ( u  =  x  ->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K , 
( J `  (
u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u ) )  =  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K , 
( J `  (
x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x ) ) )
56 iseqf1olemqf.q . . . . . . 7  |-  Q  =  ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )
5755, 56fvmptg 5395 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( M ... N )  /\  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x
) )  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( Q `  x )  =  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x
) ) )
5826, 48, 57syl2anc 404 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( Q `  x )  =  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x
) ) )
5958, 46eqtrd 2121 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( Q `  x )  =  x )
6059ralrimiva 2447 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M..^ K ) ( Q `  x )  =  x )
613, 32, 3, 56iseqf1olemqval 9979 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q `  K
)  =  if ( K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( K  =  K ,  K , 
( J `  ( K  -  1 ) ) ) ,  ( J `  K ) ) )
62 elfzelz 9503 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )
633, 62syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
64 elfzuz2 9506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
653, 64syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6665, 3, 32, 44iseqf1olemkle 9976 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  <_  ( `' J `  K )
)
67 eluz2 9088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( `' J `  K )  e.  ZZ  /\  K  <_  ( `' J `  K ) ) )
6863, 38, 66, 67syl3anbrc 1128 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  (
ZZ>= `  K ) )
69 eluzfz1 9508 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )
7068, 69syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )
7170iftrued 3406 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( K  =  K ,  K ,  ( J `  ( K  -  1 ) ) ) ,  ( J `  K
) )  =  if ( K  =  K ,  K ,  ( J `  ( K  -  1 ) ) ) )
72 eqid 2089 . . . . . . 7  |-  K  =  K
7372iftruei 3405 . . . . . 6  |-  if ( K  =  K ,  K ,  ( J `  ( K  -  1 ) ) )  =  K
7471, 73syl6eq 2137 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( K  =  K ,  K ,  ( J `  ( K  -  1 ) ) ) ,  ( J `  K
) )  =  K )
7561, 74eqtrd 2121 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q `  K
)  =  K )
76 fveq2 5320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  ( Q `  x )  =  ( Q `  K ) )
77 id 19 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  x  =  K )
7876, 77eqeq12d 2103 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  (
( Q `  x
)  =  x  <->  ( Q `  K )  =  K ) )
7978ralsng 3489 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  { K }  ( Q `  x )  =  x  <-> 
( Q `  K
)  =  K ) )
803, 62, 793syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
{ K }  ( Q `  x )  =  x  <->  ( Q `  K )  =  K ) )
8175, 80mpbird 166 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  { K }  ( Q `  x )  =  x )
82 ralun 3185 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  ( M..^ K ) ( Q `  x )  =  x  /\  A. x  e.  { K }  ( Q `  x )  =  x )  ->  A. x  e.  ( ( M..^ K
)  u.  { K } ) ( Q `
 x )  =  x )
8360, 81, 82syl2anc 404 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ( M..^ K )  u.  { K }
) ( Q `  x )  =  x )
84 elfzuz 9499 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
85 fzisfzounsn 9710 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... K )  =  ( ( M..^ K )  u.  { K }
) )
863, 84, 853syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M ... K
)  =  ( ( M..^ K )  u. 
{ K } ) )
8786raleqdv 2571 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( M ... K
) ( Q `  x )  =  x  <->  A. x  e.  (
( M..^ K )  u.  { K }
) ( Q `  x )  =  x ) )
8883, 87mpbird 166 1  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M ... K ) ( Q `  x
)  =  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1290    e. wcel 1439   A.wral 2360    u. cun 3000   ifcif 3399   {csn 3452   class class class wbr 3853    |-> cmpt 3907   `'ccnv 4453   -->wf 5026   -1-1-onto->wf1o 5029   ` cfv 5030  (class class class)co 5668   RRcr 7412   1c1 7414    < clt 7585    <_ cle 7586    - cmin 7716   ZZcz 8813   ZZ>=cuz 9082   ...cfz 9487  ..^cfzo 9616
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-addcom 7508  ax-addass 7510  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-inn 8486  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-fz 9488  df-fzo 9617
This theorem is referenced by:  seq3f1olemstep  9993
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