Proof of Theorem iseqf1olemqk
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | elfzole1 9963 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif)
![x x](_x.gif) ![) )](rp.gif) |
2 | 1 | adantl 275 |
. . . . . . 7
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3 | | iseqf1olemqf.k |
. . . . . . . . . 10
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4 | | elfzle2 9839 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![... ...](ldots.gif) ![N N](_cn.gif) ![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) |
5 | 3, 4 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif)
![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) |
6 | | elfzolt2 9964 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif)
![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) |
7 | 5, 6 | anim12ci 337 |
. . . . . . . 8
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![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif)
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8 | | elfzoelz 9955 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif)
![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
9 | 8 | adantl 275 |
. . . . . . . . . 10
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![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) ![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
10 | 9 | zred 9197 |
. . . . . . . . 9
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![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) ![RR RR](bbr.gif) ![) )](rp.gif) |
11 | | elfzoel2 9954 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif)
![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
12 | 11 | adantl 275 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) ![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
13 | 12 | zred 9197 |
. . . . . . . . 9
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![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) ![RR RR](bbr.gif) ![) )](rp.gif) |
14 | | elfzel2 9835 |
. . . . . . . . . . . 12
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15 | 3, 14 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
16 | 15 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
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17 | 16 | zred 9197 |
. . . . . . . . 9
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![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) ![RR RR](bbr.gif) ![) )](rp.gif) |
18 | | ltleletr 7870 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
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19 | 10, 13, 17, 18 | syl3anc 1217 |
. . . . . . . 8
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20 | 7, 19 | mpd 13 |
. . . . . . 7
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![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) ![N N](_cn.gif) ![)
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21 | | elfzel1 9836 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![... ...](ldots.gif) ![N N](_cn.gif) ![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
22 | 3, 21 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
23 | 22 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) ![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
24 | | elfz 9827 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![ZZ ZZ](bbz.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![... ...](ldots.gif) ![N N](_cn.gif)
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25 | 9, 23, 16, 24 | syl3anc 1217 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
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26 | 2, 20, 25 | mpbir2and 929 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
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27 | 6 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
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28 | | zltnle 9124 |
. . . . . . . . . . . . 13
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29 | 9, 12, 28 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
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30 | 27, 29 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif)
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31 | 30 | intnanrd 918 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif)
![( (](lp.gif) ![(
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32 | | iseqf1olemqf.j |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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33 | | f1ocnv 5388 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
![( (](lp.gif) ![J J](_cj.gif) ![: :](colon.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![... ...](ldots.gif) ![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![... ...](ldots.gif) ![N N](_cn.gif)
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)](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
34 | | f1of 5375 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![J J](_cj.gif) ![: :](colon.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![... ...](ldots.gif) ![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![... ...](ldots.gif) ![N N](_cn.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![J J](_cj.gif) ![: :](colon.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![... ...](ldots.gif) ![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![... ...](ldots.gif) ![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
35 | 32, 33, 34 | 3syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![J J](_cj.gif) ![: :](colon.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![... ...](ldots.gif) ![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![... ...](ldots.gif) ![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
36 | 35, 3 | ffvelrnd 5564 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![J J](_cj.gif) ![` `](backtick.gif) ![K K](_ck.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![... ...](ldots.gif) ![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
37 | | elfzelz 9837 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![J J](_cj.gif) ![` `](backtick.gif) ![K K](_ck.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![... ...](ldots.gif) ![N N](_cn.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![J J](_cj.gif) ![` `](backtick.gif) ![K K](_ck.gif) ![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
38 | 36, 37 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![J J](_cj.gif) ![` `](backtick.gif) ![K K](_ck.gif) ![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
39 | 38 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![J J](_cj.gif) ![` `](backtick.gif) ![K K](_ck.gif) ![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
40 | | elfz 9827 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
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41 | 9, 12, 39, 40 | syl3anc 1217 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![K K](_ck.gif) ![... ...](ldots.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![J J](_cj.gif) ![` `](backtick.gif) ![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![J J](_cj.gif) ![` `](backtick.gif) ![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
42 | 31, 41 | mtbird 663 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif)
![( (](lp.gif) ![K K](_ck.gif) ![... ...](ldots.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![J J](_cj.gif) ![` `](backtick.gif) ![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
43 | 42 | iffalsed 3489 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![K K](_ck.gif) ![... ...](ldots.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![J J](_cj.gif) ![` `](backtick.gif) ![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![K K](_ck.gif) ![K K](_ck.gif)
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44 | | iseqf1olemqk.const |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif) ![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![J J](_cj.gif) ![` `](backtick.gif) ![x x](_x.gif) ![x x](_x.gif) ![) )](rp.gif) |
45 | 44 | r19.21bi 2523 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![J J](_cj.gif) ![` `](backtick.gif) ![x x](_x.gif) ![x x](_x.gif) ![) )](rp.gif) |
46 | 43, 45 | eqtrd 2173 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
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47 | | simpr 109 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
48 | 46, 47 | eqeltrd 2217 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![K K](_ck.gif) ![... ...](ldots.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![J J](_cj.gif) ![` `](backtick.gif) ![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![K K](_ck.gif) ![K K](_ck.gif)
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)](rp.gif) ![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
49 | | eleq1w 2201 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![K K](_ck.gif) ![... ...](ldots.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![J J](_cj.gif) ![` `](backtick.gif) ![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif)
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50 | | eqeq1 2147 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
51 | | oveq1 5789 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![1 1](1.gif) ![( (](lp.gif) ![1
1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
52 | 51 | fveq2d 5433 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![J J](_cj.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![J J](_cj.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif)
![1 1](1.gif) ![)
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53 | 50, 52 | ifbieq2d 3501 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif)
![K K](_ck.gif) ![K K](_ck.gif) ![( (](lp.gif) ![J J](_cj.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![1
1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![K K](_ck.gif) ![K K](_ck.gif) ![( (](lp.gif) ![J J](_cj.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif)
![1 1](1.gif) ![)
)](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
54 | | fveq2 5429 |
. . . . . . . 8
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55 | 49, 53, 54 | ifbieq12d 3503 |
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56 | | iseqf1olemqf.q |
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57 | 55, 56 | fvmptg 5505 |
. . . . . 6
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58 | 26, 48, 57 | syl2anc 409 |
. . . . 5
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59 | 58, 46 | eqtrd 2173 |
. . . 4
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60 | 59 | ralrimiva 2508 |
. . 3
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61 | 3, 32, 3, 56 | iseqf1olemqval 10291 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![Q Q](_cq.gif) ![` `](backtick.gif) ![K K](_ck.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![K K](_ck.gif) ![... ...](ldots.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![J J](_cj.gif) ![` `](backtick.gif) ![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![K K](_ck.gif) ![K K](_ck.gif) ![(
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62 | | elfzelz 9837 |
. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . . 9
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64 | | elfzuz2 9840 |
. . . . . . . . . . 11
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. . . . . . . . . 10
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66 | 65, 3, 32, 44 | iseqf1olemkle 10288 |
. . . . . . . . 9
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67 | | eluz2 9356 |
. . . . . . . . 9
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68 | 63, 38, 66, 67 | syl3anbrc 1166 |
. . . . . . . 8
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69 | | eluzfz1 9842 |
. . . . . . . 8
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70 | 68, 69 | syl 14 |
. . . . . . 7
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71 | 70 | iftrued 3486 |
. . . . . 6
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72 | | eqid 2140 |
. . . . . . 7
![K K](_ck.gif) |
73 | 72 | iftruei 3485 |
. . . . . 6
![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![K K](_ck.gif) ![K K](_ck.gif)
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74 | 71, 73 | eqtrdi 2189 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![K K](_ck.gif) ![... ...](ldots.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![J J](_cj.gif) ![` `](backtick.gif) ![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![K K](_ck.gif) ![K K](_ck.gif)
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75 | 61, 74 | eqtrd 2173 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![Q Q](_cq.gif) ![` `](backtick.gif) ![K K](_ck.gif) ![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) |
76 | | fveq2 5429 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![Q Q](_cq.gif) ![`
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77 | | id 19 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) |
78 | 76, 77 | eqeq12d 2155 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![Q Q](_cq.gif) ![` `](backtick.gif) ![x x](_x.gif)
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79 | 78 | ralsng 3571 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif)
![{ {](lbrace.gif) ![K K](_ck.gif) ![( (](lp.gif) ![Q Q](_cq.gif) ![` `](backtick.gif) ![x x](_x.gif) ![(
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80 | 3, 62, 79 | 3syl 17 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif) ![{
{](lbrace.gif) ![K K](_ck.gif) ![( (](lp.gif) ![Q Q](_cq.gif) ![`
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81 | 75, 80 | mpbird 166 |
. . 3
![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![K K](_ck.gif)
![( (](lp.gif) ![Q Q](_cq.gif) ![` `](backtick.gif) ![x x](_x.gif) ![x x](_x.gif) ![) )](rp.gif) |
82 | | ralun 3263 |
. . 3
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif) ![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![Q Q](_cq.gif) ![` `](backtick.gif) ![x x](_x.gif) ![A. A.](forall.gif)
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![A. A.](forall.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![K K](_ck.gif) ![} }](rbrace.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![Q Q](_cq.gif) ![` `](backtick.gif) ![x x](_x.gif) ![x x](_x.gif) ![) )](rp.gif) |
83 | 60, 81, 82 | syl2anc 409 |
. 2
![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![K K](_ck.gif) ![} }](rbrace.gif) ![)
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84 | | elfzuz 9833 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![... ...](ldots.gif) ![N N](_cn.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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85 | | fzisfzounsn 10044 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![M M](_cm.gif)
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)](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
86 | 3, 84, 85 | 3syl 17 |
. . 3
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![... ...](ldots.gif) ![K K](_ck.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif) ![{
{](lbrace.gif) ![K K](_ck.gif) ![} }](rbrace.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
87 | 86 | raleqdv 2635 |
. 2
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![... ...](ldots.gif) ![K K](_ck.gif) ![)
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(](lp.gif) ..^![K K](_ck.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![K K](_ck.gif) ![} }](rbrace.gif) ![)
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88 | 83, 87 | mpbird 166 |
1
![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![... ...](ldots.gif) ![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![Q Q](_cq.gif) ![` `](backtick.gif) ![x x](_x.gif) ![x x](_x.gif) ![) )](rp.gif) |