Theorem iseqf1olemqk 10581

Description: Lemma for seq3f1o 10591. Q is constant for one more position than J is. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.j	|- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.q	|- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
iseqf1olemqk.const	|- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemqk	|- ( ph -> A. x e. ( M ... K ) ( Q ` x ) = x )

Distinct variable groups:   u, J, x   u, K, x   u, M, x   u, N   x, Q   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( u)   Q( u)   N( x)

Proof of Theorem iseqf1olemqk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzole1 10225	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( M..^ K ) -> M <_ x )
2	1	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> M <_ x )
3		iseqf1olemqf.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
4		elfzle2 10097	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K <_ N )
6		elfzolt2 10226	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( M..^ K ) -> x < K )
7	5, 6	anim12ci 339	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( x < K /\ K <_ N ) )
8		elfzoelz 10216	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( M..^ K ) -> x e. ZZ )
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x e. ZZ )
10	9	zred 9442	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x e. RR )
11		elfzoel2 10215	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( M..^ K ) -> K e. ZZ )
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> K e. ZZ )
13	12	zred 9442	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> K e. RR )
14		elfzel2 10092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
15	3, 14	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> N e. ZZ )
17	16	zred 9442	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> N e. RR )
18		ltleletr 8103	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( x < K /\ K <_ N ) -> x <_ N ) )
19	10, 13, 17, 18	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( ( x < K /\ K <_ N ) -> x <_ N ) )
20	7, 19	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x <_ N )
21		elfzel1 10093	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
22	3, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
23	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> M e. ZZ )
24		elfz 10083	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( M <_ x /\ x <_ N ) ) )
25	9, 23, 16, 24	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( M <_ x /\ x <_ N ) ) )
26	2, 20, 25	mpbir2and 946	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x e. ( M ... N ) )
27	6	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x < K )
28		zltnle 9366	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( x < K <-> -. K <_ x ) )
29	9, 12, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( x < K <-> -. K <_ x ) )
30	27, 29	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> -. K <_ x )
31	30	intnanrd 933	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> -. ( K <_ x /\ x <_ ( `' J ` K ) ) )
32		iseqf1olemqf.j	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
33		f1ocnv 5514	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
34		f1of 5501	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
35	32, 33, 34	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
36	35, 3	ffvelcdmd 5695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) )
37		elfzelz 10094	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
39	38	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
40		elfz 10083	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( `' J ` K ) e. ZZ ) -> ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) <-> ( K <_ x /\ x <_ ( `' J ` K ) ) ) )
41	9, 12, 39, 40	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) <-> ( K <_ x /\ x <_ ( `' J ` K ) ) ) )
42	31, 41	mtbird 674	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> -. x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
43	42	iffalsed 3568	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) = ( J ` x ) )
44		iseqf1olemqk.const	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
45	44	r19.21bi 2582	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( J ` x ) = x )
46	43, 45	eqtrd 2226	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) = x )
47		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> x e. ( M..^ K ) )
48	46, 47	eqeltrd 2270	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) e. ( M..^ K ) )
49		eleq1w 2254	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) <-> x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) ) )
50		eqeq1 2200	. . . . . . . . 9 |- ( u = x -> ( u = K <-> x = K ) )
51		oveq1 5926	. . . . . . . . . 10 |- ( u = x -> ( u - 1 ) = ( x - 1 ) )
52	51	fveq2d 5559	. . . . . . . . 9 |- ( u = x -> ( J ` ( u - 1 ) ) = ( J ` ( x - 1 ) ) )
53	50, 52	ifbieq2d 3582	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) = if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) )
54		fveq2 5555	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> ( J ` u ) = ( J ` x ) )
55	49, 53, 54	ifbieq12d 3584	. . . . . . 7 |- ( u = x -> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) = if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) )
56		iseqf1olemqf.q	. . . . . . 7 |- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
57	55, 56	fvmptg 5634	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( M ... N ) /\ if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) e. ( M..^ K ) ) -> ( Q ` x ) = if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) )
58	26, 48, 57	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( Q ` x ) = if ( x e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( x = K , K , ( J ` ( x - 1 ) ) ) , ( J ` x ) ) )
59	58, 46	eqtrd 2226	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M..^ K ) ) -> ( Q ` x ) = x )
60	59	ralrimiva 2567	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( Q ` x ) = x )
61	3, 32, 3, 56	iseqf1olemqval 10574	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q ` K ) = if ( K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) , ( J ` K ) ) )
62		elfzelz 10094	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )
63	3, 62	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ZZ )
64		elfzuz2 10098	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
65	3, 64	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
66	65, 3, 32, 44	iseqf1olemkle 10571	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K <_ ( `' J ` K ) )
67		eluz2 9601	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( K e. ZZ /\ ( `' J ` K ) e. ZZ /\ K <_ ( `' J ` K ) ) )
68	63, 38, 66, 67	syl3anbrc 1183	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` K ) )
69		eluzfz1 10100	. . . . . . . 8 |- ( ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` K ) -> K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
70	68, 69	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
71	70	iftrued 3565	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) , ( J ` K ) ) = if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) )
72		eqid 2193	. . . . . . 7 |- K = K
73	72	iftruei 3564	. . . . . 6 |- if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) = K
74	71, 73	eqtrdi 2242	. . . . 5 |- ( ph -> if ( K e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( K = K , K , ( J ` ( K - 1 ) ) ) , ( J ` K ) ) = K )
75	61, 74	eqtrd 2226	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` K ) = K )
76		fveq2 5555	. . . . . . 7 |- ( x = K -> ( Q ` x ) = ( Q ` K ) )
77		id 19	. . . . . . 7 |- ( x = K -> x = K )
78	76, 77	eqeq12d 2208	. . . . . 6 |- ( x = K -> ( ( Q ` x ) = x <-> ( Q ` K ) = K ) )
79	78	ralsng 3659	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( A. x e. { K } ( Q ` x ) = x <-> ( Q ` K ) = K ) )
80	3, 62, 79	3syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. { K } ( Q ` x ) = x <-> ( Q ` K ) = K ) )
81	75, 80	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> A. x e. { K } ( Q ` x ) = x )
82		ralun 3342	. . 3 |- ( ( A. x e. ( M..^ K ) ( Q ` x ) = x /\ A. x e. { K } ( Q ` x ) = x ) -> A. x e. ( ( M..^ K ) u. { K } ) ( Q ` x ) = x )
83	60, 81, 82	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( ( M..^ K ) u. { K } ) ( Q ` x ) = x )
84		elfzuz 10090	. . . 4 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
85		fzisfzounsn 10306	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... K ) = ( ( M..^ K ) u. { K } ) )
86	3, 84, 85	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( M ... K ) = ( ( M..^ K ) u. { K } ) )
87	86	raleqdv 2696	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. ( M ... K ) ( Q ` x ) = x <-> A. x e. ( ( M..^ K ) u. { K } ) ( Q ` x ) = x ) )
88	83, 87	mpbird 167	1 |- ( ph -> A. x e. ( M ... K ) ( Q ` x ) = x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   u. cun 3152   ifcif 3558   {csn 3619   class class class wbr 4030   |-> cmpt 4091   `'ccnv 4659   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   RRcr 7873   1c1 7875   < clt 8056   <_ cle 8057   - cmin 8192   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595   ...cfz 10077  ..^cfzo 10211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-fzo 10212

This theorem is referenced by:  seq3f1olemstep  10588