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Theorem iseqf1olemqk 10274
Description: Lemma for seq3f1o 10284. 
Q is constant for one more position than  J is. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemqf.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.j  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.q  |-  Q  =  ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )
iseqf1olemqk.const  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M..^ K ) ( J `  x )  =  x )
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemqk  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M ... K ) ( Q `  x
)  =  x )
Distinct variable groups:    u, J, x   
u, K, x    u, M, x    u, N    x, Q    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( u)    Q( u)    N( x)

Proof of Theorem iseqf1olemqk
StepHypRef Expression
1 elfzole1 9939 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( M..^ K
)  ->  M  <_  x )
21adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  M  <_  x
)
3 iseqf1olemqf.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
4 elfzle2 9815 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  <_  N )
53, 4syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  <_  N )
6 elfzolt2 9940 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( M..^ K
)  ->  x  <  K )
75, 6anim12ci 337 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( x  < 
K  /\  K  <_  N ) )
8 elfzoelz 9931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( M..^ K
)  ->  x  e.  ZZ )
98adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  x  e.  ZZ )
109zred 9180 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  x  e.  RR )
11 elfzoel2 9930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( M..^ K
)  ->  K  e.  ZZ )
1211adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  K  e.  ZZ )
1312zred 9180 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  K  e.  RR )
14 elfzel2 9811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )
153, 14syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
1615adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  N  e.  ZZ )
1716zred 9180 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  N  e.  RR )
18 ltleletr 7853 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( x  <  K  /\  K  <_  N )  ->  x  <_  N
) )
1910, 13, 17, 18syl3anc 1216 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( ( x  <  K  /\  K  <_  N )  ->  x  <_  N ) )
207, 19mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  x  <_  N
)
21 elfzel1 9812 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  e.  ZZ )
223, 21syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2322adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  M  e.  ZZ )
24 elfz 9803 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  x  /\  x  <_  N ) ) )
259, 23, 16, 24syl3anc 1216 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( x  e.  ( M ... N
)  <->  ( M  <_  x  /\  x  <_  N
) ) )
262, 20, 25mpbir2and 928 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
276adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  x  <  K
)
28 zltnle 9107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( x  <  K  <->  -.  K  <_  x )
)
299, 12, 28syl2anc 408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( x  < 
K  <->  -.  K  <_  x ) )
3027, 29mpbid 146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  -.  K  <_  x )
3130intnanrd 917 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  -.  ( K  <_  x  /\  x  <_ 
( `' J `  K ) ) )
32 iseqf1olemqf.j . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
33 f1ocnv 5380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  ->  `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
) )
34 f1of 5367 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  ->  `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
3532, 33, 343syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
3635, 3ffvelrnd 5556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  ( M ... N ) )
37 elfzelz 9813 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( M ... N )  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
3836, 37syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
3938adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
40 elfz 9803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  ( `' J `  K )  e.  ZZ )  -> 
( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) )  <->  ( K  <_  x  /\  x  <_  ( `' J `  K ) ) ) )
419, 12, 39, 40syl3anc 1216 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) )  <->  ( K  <_  x  /\  x  <_  ( `' J `  K ) ) ) )
4231, 41mtbird 662 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  -.  x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )
4342iffalsed 3484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x
) )  =  ( J `  x ) )
44 iseqf1olemqk.const . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M..^ K ) ( J `  x )  =  x )
4544r19.21bi 2520 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( J `  x )  =  x )
4643, 45eqtrd 2172 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x
) )  =  x )
47 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  x  e.  ( M..^ K ) )
4846, 47eqeltrd 2216 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x
) )  e.  ( M..^ K ) )
49 eleq1w 2200 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  x  ->  (
u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) )  <->  x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ) )
50 eqeq1 2146 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  x  ->  (
u  =  K  <->  x  =  K ) )
51 oveq1 5781 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  x  ->  (
u  -  1 )  =  ( x  - 
1 ) )
5251fveq2d 5425 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  x  ->  ( J `  ( u  -  1 ) )  =  ( J `  ( x  -  1
) ) )
5350, 52ifbieq2d 3496 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  x  ->  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `
 ( u  - 
1 ) ) )  =  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1
) ) ) )
54 fveq2 5421 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  x  ->  ( J `  u )  =  ( J `  x ) )
5549, 53, 54ifbieq12d 3498 . . . . . . 7  |-  ( u  =  x  ->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K , 
( J `  (
u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u ) )  =  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K , 
( J `  (
x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x ) ) )
56 iseqf1olemqf.q . . . . . . 7  |-  Q  =  ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )
5755, 56fvmptg 5497 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( M ... N )  /\  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x
) )  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( Q `  x )  =  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x
) ) )
5826, 48, 57syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( Q `  x )  =  if ( x  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( x  =  K ,  K ,  ( J `  ( x  -  1 ) ) ) ,  ( J `  x
) ) )
5958, 46eqtrd 2172 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M..^ K ) )  ->  ( Q `  x )  =  x )
6059ralrimiva 2505 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M..^ K ) ( Q `  x )  =  x )
613, 32, 3, 56iseqf1olemqval 10267 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q `  K
)  =  if ( K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( K  =  K ,  K , 
( J `  ( K  -  1 ) ) ) ,  ( J `  K ) ) )
62 elfzelz 9813 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )
633, 62syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
64 elfzuz2 9816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
653, 64syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6665, 3, 32, 44iseqf1olemkle 10264 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  <_  ( `' J `  K )
)
67 eluz2 9339 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( `' J `  K )  e.  ZZ  /\  K  <_  ( `' J `  K ) ) )
6863, 38, 66, 67syl3anbrc 1165 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  (
ZZ>= `  K ) )
69 eluzfz1 9818 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )
7068, 69syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )
7170iftrued 3481 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( K  =  K ,  K ,  ( J `  ( K  -  1 ) ) ) ,  ( J `  K
) )  =  if ( K  =  K ,  K ,  ( J `  ( K  -  1 ) ) ) )
72 eqid 2139 . . . . . . 7  |-  K  =  K
7372iftruei 3480 . . . . . 6  |-  if ( K  =  K ,  K ,  ( J `  ( K  -  1 ) ) )  =  K
7471, 73syl6eq 2188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( K  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( K  =  K ,  K ,  ( J `  ( K  -  1 ) ) ) ,  ( J `  K
) )  =  K )
7561, 74eqtrd 2172 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q `  K
)  =  K )
76 fveq2 5421 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  ( Q `  x )  =  ( Q `  K ) )
77 id 19 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  x  =  K )
7876, 77eqeq12d 2154 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  (
( Q `  x
)  =  x  <->  ( Q `  K )  =  K ) )
7978ralsng 3564 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  { K }  ( Q `  x )  =  x  <-> 
( Q `  K
)  =  K ) )
803, 62, 793syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
{ K }  ( Q `  x )  =  x  <->  ( Q `  K )  =  K ) )
8175, 80mpbird 166 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  { K }  ( Q `  x )  =  x )
82 ralun 3258 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  ( M..^ K ) ( Q `  x )  =  x  /\  A. x  e.  { K }  ( Q `  x )  =  x )  ->  A. x  e.  ( ( M..^ K
)  u.  { K } ) ( Q `
 x )  =  x )
8360, 81, 82syl2anc 408 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ( M..^ K )  u.  { K }
) ( Q `  x )  =  x )
84 elfzuz 9809 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
85 fzisfzounsn 10020 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... K )  =  ( ( M..^ K )  u.  { K }
) )
863, 84, 853syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M ... K
)  =  ( ( M..^ K )  u. 
{ K } ) )
8786raleqdv 2632 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( M ... K
) ( Q `  x )  =  x  <->  A. x  e.  (
( M..^ K )  u.  { K }
) ( Q `  x )  =  x ) )
8883, 87mpbird 166 1  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M ... K ) ( Q `  x
)  =  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416    u. cun 3069   ifcif 3474   {csn 3527   class class class wbr 3929    |-> cmpt 3989   `'ccnv 4538   -->wf 5119   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   RRcr 7626   1c1 7628    < clt 7807    <_ cle 7808    - cmin 7940   ZZcz 9061   ZZ>=cuz 9333   ...cfz 9797  ..^cfzo 9926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798  df-fzo 9927
This theorem is referenced by:  seq3f1olemstep  10281
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