Theorem seq3f1olemstep 10775

Description: Lemma for seq3f1o 10778. Given a permutation which is constant up to a point, supply a new one which is constant for one more position. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1o.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqf1o.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
iseqf1o.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
iseqf1o.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqf1o.6	|- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1olemstep.k	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.j	|- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.const	|- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
seq3f1olemstep.jp	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
seq3f1olemstep.p	|- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seq3f1olemstep	|- ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   .+ , f, x, y, z   f, J, x, y, z   f, K, x, y, z   f, L   f, M, x, y, z   f, N, x, y, z   S, f, x, y, z   ph, x, y, z   x, P, y, z   f, G, x

Allowed substitution hints:   ph( f)   P( f)   F( x, y, z, f)   G( y, z)   L( x, y, z)

Proof of Theorem seq3f1olemstep

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemstep.j	. . . . . 6 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
2		f1of 5583	. . . . . 6 |- ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
4		iseqf1olemstep.k	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
5		elfzel1 10258	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
6	4, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		elfzel2 10257	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
9	6, 8	fzfigd 10692	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
10		fex 5882	. . . . 5 |- ( ( J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) /\ ( M ... N ) e. Fin ) -> J e. _V )
11	3, 9, 10	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> J e. _V )
12	11	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> J e. _V )
13	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
14		iseqf1olemstep.const	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
15	14	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
16		eqcom 2233	. . . . . . . . . 10 |- ( K = ( `' J ` K ) <-> ( `' J ` K ) = K )
17	16	biimpi 120	. . . . . . . . 9 |- ( K = ( `' J ` K ) -> ( `' J ` K ) = K )
18	17	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> ( `' J ` K ) = K )
19		f1ocnvfvb 5920	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ K e. ( M ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( ( J ` K ) = K <-> ( `' J ` K ) = K ) )
20	1, 4, 4, 19	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( J ` K ) = K <-> ( `' J ` K ) = K ) )
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> ( ( J ` K ) = K <-> ( `' J ` K ) = K ) )
22	18, 21	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> ( J ` K ) = K )
23		elfzelz 10259	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )
24	4, 23	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ZZ )
25	24	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> K e. ZZ )
26		fveq2 5639	. . . . . . . . . 10 |- ( x = K -> ( J ` x ) = ( J ` K ) )
27		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( x = K -> x = K )
28	26, 27	eqeq12d 2246	. . . . . . . . 9 |- ( x = K -> ( ( J ` x ) = x <-> ( J ` K ) = K ) )
29	28	ralsng 3709	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> ( A. x e. { K } ( J ` x ) = x <-> ( J ` K ) = K ) )
30	25, 29	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> ( A. x e. { K } ( J ` x ) = x <-> ( J ` K ) = K ) )
31	22, 30	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> A. x e. { K } ( J ` x ) = x )
32		ralun 3389	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x /\ A. x e. { K } ( J ` x ) = x ) -> A. x e. ( ( M..^ K ) u. { K } ) ( J ` x ) = x )
33	15, 31, 32	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> A. x e. ( ( M..^ K ) u. { K } ) ( J ` x ) = x )
34		elfzuz 10255	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
35		fzisfzounsn 10481	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... K ) = ( ( M..^ K ) u. { K } ) )
36	4, 34, 35	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ... K ) = ( ( M..^ K ) u. { K } ) )
37	36	raleqdv 2736	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. x e. ( M ... K ) ( J ` x ) = x <-> A. x e. ( ( M..^ K ) u. { K } ) ( J ` x ) = x ) )
38	37	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> ( A. x e. ( M ... K ) ( J ` x ) = x <-> A. x e. ( ( M..^ K ) u. { K } ) ( J ` x ) = x ) )
39	33, 38	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> A. x e. ( M ... K ) ( J ` x ) = x )
40		seq3f1olemstep.jp	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
41	40	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
42	13, 39, 41	3jca 1203	. . 3 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( J ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
43		nfcv 2374	. . . 4 |- F/_ f J
44		nfv 1576	. . . . 5 |- F/ f J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )
45		nfv 1576	. . . . 5 |- F/ f A. x e. ( M ... K ) ( J ` x ) = x
46		nfcv 2374	. . . . . . . 8 |- F/_ f M
47		nfcv 2374	. . . . . . . 8 |- F/_ f .+
48		nfcsb1v 3160	. . . . . . . 8 |- F/_ f [_ J / f ]_ P
49	46, 47, 48	nfseq 10718	. . . . . . 7 |- F/_ f seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P )
50		nfcv 2374	. . . . . . 7 |- F/_ f N
51	49, 50	nffv 5649	. . . . . 6 |- F/_ f ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N )
52	51	nfeq1 2384	. . . . 5 |- F/ f ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N )
53	44, 45, 52	nf3an 1614	. . . 4 |- F/ f ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( J ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
54		f1oeq1 5571	. . . . 5 |- ( f = J -> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) <-> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
55		fveq1 5638	. . . . . . 7 |- ( f = J -> ( f ` x ) = ( J ` x ) )
56	55	eqeq1d 2240	. . . . . 6 |- ( f = J -> ( ( f ` x ) = x <-> ( J ` x ) = x ) )
57	56	ralbidv 2532	. . . . 5 |- ( f = J -> ( A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x <-> A. x e. ( M ... K ) ( J ` x ) = x ) )
58		csbeq1a 3136	. . . . . . . 8 |- ( f = J -> P = [_ J / f ]_ P )
59	58	seqeq3d 10716	. . . . . . 7 |- ( f = J -> seq M ( .+ , P ) = seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) )
60	59	fveq1d 5641	. . . . . 6 |- ( f = J -> ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) )
61	60	eqeq1d 2240	. . . . 5 |- ( f = J -> ( ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) <-> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
62	54, 57, 61	3anbi123d 1348	. . . 4 |- ( f = J -> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( J ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
63	43, 53, 62	spcegf 2889	. . 3 |- ( J e. _V -> ( ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( J ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
64	12, 42, 63	sylc 62	. 2 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
65	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> K e. ( M ... N ) )
66	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
67		eqid 2231	. . . 4 |- ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
68	65, 66, 67	iseqf1olemqf1o 10767	. . 3 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
69	14	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
70	65, 66, 67, 69	iseqf1olemqk 10768	. . 3 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> A. x e. ( M ... K ) ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) ` x ) = x )
71		iseqf1o.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
72	71	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
73		iseqf1o.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
74	73	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
75		iseqf1o.3	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
76	75	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
77		iseqf1o.4	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
78	77	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
79		iseqf1o.6	. . . . . 6 |- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
80	79	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
81		iseqf1o.7	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
82	81	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
83		neqne 2410	. . . . . 6 |- ( -. K = ( `' J ` K ) -> K =/= ( `' J ` K ) )
84	83	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> K =/= ( `' J ` K ) )
85		seq3f1olemstep.p	. . . . 5 |- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
86	72, 74, 76, 78, 80, 82, 65, 66, 69, 84, 67, 85	seq3f1olemqsum 10774	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N ) )
87	40	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
88	86, 87	eqtr3d 2266	. . 3 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
89	65, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> M e. ZZ )
90	65, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> N e. ZZ )
91	89, 90	fzfigd 10692	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> ( M ... N ) e. Fin )
92		mptexg 5878	. . . 4 |- ( ( M ... N ) e. Fin -> ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) e. _V )
93		nfcv 2374	. . . . 5 |- F/_ f ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
94		nfv 1576	. . . . . 6 |- F/ f ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )
95		nfv 1576	. . . . . 6 |- F/ f A. x e. ( M ... K ) ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) ` x ) = x
96		nfcsb1v 3160	. . . . . . . . 9 |- F/_ f [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P
97	46, 47, 96	nfseq 10718	. . . . . . . 8 |- F/_ f seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P )
98	97, 50	nffv 5649	. . . . . . 7 |- F/_ f ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N )
99	98	nfeq1 2384	. . . . . 6 |- F/ f ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N )
100	94, 95, 99	nf3an 1614	. . . . 5 |- F/ f ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
101		f1oeq1 5571	. . . . . 6 |- ( f = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) -> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) <-> ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
102		fveq1 5638	. . . . . . . 8 |- ( f = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) -> ( f ` x ) = ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) ` x ) )
103	102	eqeq1d 2240	. . . . . . 7 |- ( f = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) -> ( ( f ` x ) = x <-> ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) ` x ) = x ) )
104	103	ralbidv 2532	. . . . . 6 |- ( f = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) -> ( A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x <-> A. x e. ( M ... K ) ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) ` x ) = x ) )
105		csbeq1a 3136	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) -> P = [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P )
106	105	seqeq3d 10716	. . . . . . . 8 |- ( f = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) -> seq M ( .+ , P ) = seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) )
107	106	fveq1d 5641	. . . . . . 7 |- ( f = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) -> ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N ) )
108	107	eqeq1d 2240	. . . . . 6 |- ( f = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) -> ( ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) <-> ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
109	101, 104, 108	3anbi123d 1348	. . . . 5 |- ( f = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) -> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
110	93, 100, 109	spcegf 2889	. . . 4 |- ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) e. _V -> ( ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
111	91, 92, 110	3syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> ( ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
112	68, 70, 88, 111	mp3and 1376	. 2 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
113		f1ocnv 5596	. . . . . . 7 |- ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
114		f1of 5583	. . . . . . 7 |- ( `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
115	1, 113, 114	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
116	115, 4	ffvelcdmd 5783	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) )
117		elfzelz 10259	. . . . 5 |- ( ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
118	116, 117	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
119		zdceq 9554	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ ( `' J ` K ) e. ZZ ) -> DECID K = ( `' J ` K ) )
120	24, 118, 119	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> DECID K = ( `' J ` K ) )
121		exmiddc 843	. . 3 |- (DECID K = ( `' J ` K ) -> ( K = ( `' J ` K ) \/ -. K = ( `' J ` K ) ) )
122	120, 121	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( K = ( `' J ` K ) \/ -. K = ( `' J ` K ) ) )
123	64, 112, 122	mpjaodan 805	1 |- ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715  DECID wdc 841   /\ w3a 1004   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   =/= wne 2402   A.wral 2510   _Vcvv 2802   [_csb 3127   u. cun 3198   ifcif 3605   {csn 3669   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   `'ccnv 4724   -->wf 5322   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Fincfn 6908   1c1 8032   <_ cle 8214   - cmin 8349   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   ...cfz 10242  ..^cfzo 10376   seqcseq 10708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709

This theorem is referenced by:  seq3f1olemp  10776