Theorem seq3f1olemstep 10274

Description: Lemma for seq3f1o 10277. Given a permutation which is constant up to a point, supply a new one which is constant for one more position. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1o.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqf1o.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
iseqf1o.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
iseqf1o.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqf1o.6	|- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1olemstep.k	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.j	|- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.const	|- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
seq3f1olemstep.jp	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
seq3f1olemstep.p	|- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seq3f1olemstep	|- ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   .+ , f, x, y, z   f, J, x, y, z   f, K, x, y, z   f, L   f, M, x, y, z   f, N, x, y, z   S, f, x, y, z   ph, x, y, z   x, P, y, z   f, G, x

Allowed substitution hints:   ph( f)   P( f)   F( x, y, z, f)   G( y, z)   L( x, y, z)

Proof of Theorem seq3f1olemstep

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemstep.j	. . . . . 6 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
2		f1of 5367	. . . . . 6 |- ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
4		iseqf1olemstep.k	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
5		elfzel1 9805	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
6	4, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		elfzel2 9804	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
9	6, 8	fzfigd 10204	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
10		fex 5647	. . . . 5 |- ( ( J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) /\ ( M ... N ) e. Fin ) -> J e. _V )
11	3, 9, 10	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ph -> J e. _V )
12	11	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> J e. _V )
13	1	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
14		iseqf1olemstep.const	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
15	14	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
16		eqcom 2141	. . . . . . . . . 10 |- ( K = ( `' J ` K ) <-> ( `' J ` K ) = K )
17	16	biimpi 119	. . . . . . . . 9 |- ( K = ( `' J ` K ) -> ( `' J ` K ) = K )
18	17	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> ( `' J ` K ) = K )
19		f1ocnvfvb 5681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ K e. ( M ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( ( J ` K ) = K <-> ( `' J ` K ) = K ) )
20	1, 4, 4, 19	syl3anc 1216	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( J ` K ) = K <-> ( `' J ` K ) = K ) )
21	20	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> ( ( J ` K ) = K <-> ( `' J ` K ) = K ) )
22	18, 21	mpbird 166	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> ( J ` K ) = K )
23		elfzelz 9806	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )
24	4, 23	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ZZ )
25	24	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> K e. ZZ )
26		fveq2 5421	. . . . . . . . . 10 |- ( x = K -> ( J ` x ) = ( J ` K ) )
27		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( x = K -> x = K )
28	26, 27	eqeq12d 2154	. . . . . . . . 9 |- ( x = K -> ( ( J ` x ) = x <-> ( J ` K ) = K ) )
29	28	ralsng 3564	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> ( A. x e. { K } ( J ` x ) = x <-> ( J ` K ) = K ) )
30	25, 29	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> ( A. x e. { K } ( J ` x ) = x <-> ( J ` K ) = K ) )
31	22, 30	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> A. x e. { K } ( J ` x ) = x )
32		ralun 3258	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x /\ A. x e. { K } ( J ` x ) = x ) -> A. x e. ( ( M..^ K ) u. { K } ) ( J ` x ) = x )
33	15, 31, 32	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> A. x e. ( ( M..^ K ) u. { K } ) ( J ` x ) = x )
34		elfzuz 9802	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
35		fzisfzounsn 10013	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... K ) = ( ( M..^ K ) u. { K } ) )
36	4, 34, 35	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ... K ) = ( ( M..^ K ) u. { K } ) )
37	36	raleqdv 2632	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. x e. ( M ... K ) ( J ` x ) = x <-> A. x e. ( ( M..^ K ) u. { K } ) ( J ` x ) = x ) )
38	37	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> ( A. x e. ( M ... K ) ( J ` x ) = x <-> A. x e. ( ( M..^ K ) u. { K } ) ( J ` x ) = x ) )
39	33, 38	mpbird 166	. . . 4 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> A. x e. ( M ... K ) ( J ` x ) = x )
40		seq3f1olemstep.jp	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
41	40	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
42	13, 39, 41	3jca 1161	. . 3 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( J ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
43		nfcv 2281	. . . 4 |- F/_ f J
44		nfv 1508	. . . . 5 |- F/ f J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )
45		nfv 1508	. . . . 5 |- F/ f A. x e. ( M ... K ) ( J ` x ) = x
46		nfcv 2281	. . . . . . . 8 |- F/_ f M
47		nfcv 2281	. . . . . . . 8 |- F/_ f .+
48		nfcsb1v 3035	. . . . . . . 8 |- F/_ f [_ J / f ]_ P
49	46, 47, 48	nfseq 10228	. . . . . . 7 |- F/_ f seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P )
50		nfcv 2281	. . . . . . 7 |- F/_ f N
51	49, 50	nffv 5431	. . . . . 6 |- F/_ f ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N )
52	51	nfeq1 2291	. . . . 5 |- F/ f ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N )
53	44, 45, 52	nf3an 1545	. . . 4 |- F/ f ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( J ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
54		f1oeq1 5356	. . . . 5 |- ( f = J -> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) <-> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
55		fveq1 5420	. . . . . . 7 |- ( f = J -> ( f ` x ) = ( J ` x ) )
56	55	eqeq1d 2148	. . . . . 6 |- ( f = J -> ( ( f ` x ) = x <-> ( J ` x ) = x ) )
57	56	ralbidv 2437	. . . . 5 |- ( f = J -> ( A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x <-> A. x e. ( M ... K ) ( J ` x ) = x ) )
58		csbeq1a 3012	. . . . . . . 8 |- ( f = J -> P = [_ J / f ]_ P )
59	58	seqeq3d 10226	. . . . . . 7 |- ( f = J -> seq M ( .+ , P ) = seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) )
60	59	fveq1d 5423	. . . . . 6 |- ( f = J -> ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) )
61	60	eqeq1d 2148	. . . . 5 |- ( f = J -> ( ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) <-> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
62	54, 57, 61	3anbi123d 1290	. . . 4 |- ( f = J -> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( J ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
63	43, 53, 62	spcegf 2769	. . 3 |- ( J e. _V -> ( ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( J ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
64	12, 42, 63	sylc 62	. 2 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
65	4	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> K e. ( M ... N ) )
66	1	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
67		eqid 2139	. . . 4 |- ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
68	65, 66, 67	iseqf1olemqf1o 10266	. . 3 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
69	14	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
70	65, 66, 67, 69	iseqf1olemqk 10267	. . 3 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> A. x e. ( M ... K ) ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) ` x ) = x )
71		iseqf1o.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
72	71	adantlr 468	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
73		iseqf1o.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
74	73	adantlr 468	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
75		iseqf1o.3	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
76	75	adantlr 468	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
77		iseqf1o.4	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
78	77	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
79		iseqf1o.6	. . . . . 6 |- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
80	79	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
81		iseqf1o.7	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
82	81	adantlr 468	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
83		neqne 2316	. . . . . 6 |- ( -. K = ( `' J ` K ) -> K =/= ( `' J ` K ) )
84	83	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> K =/= ( `' J ` K ) )
85		seq3f1olemstep.p	. . . . 5 |- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
86	72, 74, 76, 78, 80, 82, 65, 66, 69, 84, 67, 85	seq3f1olemqsum 10273	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N ) )
87	40	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
88	86, 87	eqtr3d 2174	. . 3 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
89	65, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> M e. ZZ )
90	65, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> N e. ZZ )
91	89, 90	fzfigd 10204	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> ( M ... N ) e. Fin )
92		mptexg 5645	. . . 4 |- ( ( M ... N ) e. Fin -> ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) e. _V )
93		nfcv 2281	. . . . 5 |- F/_ f ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
94		nfv 1508	. . . . . 6 |- F/ f ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )
95		nfv 1508	. . . . . 6 |- F/ f A. x e. ( M ... K ) ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) ` x ) = x
96		nfcsb1v 3035	. . . . . . . . 9 |- F/_ f [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P
97	46, 47, 96	nfseq 10228	. . . . . . . 8 |- F/_ f seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P )
98	97, 50	nffv 5431	. . . . . . 7 |- F/_ f ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N )
99	98	nfeq1 2291	. . . . . 6 |- F/ f ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N )
100	94, 95, 99	nf3an 1545	. . . . 5 |- F/ f ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
101		f1oeq1 5356	. . . . . 6 |- ( f = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) -> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) <-> ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
102		fveq1 5420	. . . . . . . 8 |- ( f = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) -> ( f ` x ) = ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) ` x ) )
103	102	eqeq1d 2148	. . . . . . 7 |- ( f = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) -> ( ( f ` x ) = x <-> ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) ` x ) = x ) )
104	103	ralbidv 2437	. . . . . 6 |- ( f = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) -> ( A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x <-> A. x e. ( M ... K ) ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) ` x ) = x ) )
105		csbeq1a 3012	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) -> P = [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P )
106	105	seqeq3d 10226	. . . . . . . 8 |- ( f = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) -> seq M ( .+ , P ) = seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) )
107	106	fveq1d 5423	. . . . . . 7 |- ( f = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) -> ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N ) )
108	107	eqeq1d 2148	. . . . . 6 |- ( f = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) -> ( ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) <-> ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
109	101, 104, 108	3anbi123d 1290	. . . . 5 |- ( f = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) -> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
110	93, 100, 109	spcegf 2769	. . . 4 |- ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) e. _V -> ( ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
111	91, 92, 110	3syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> ( ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
112	68, 70, 88, 111	mp3and 1318	. 2 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
113		f1ocnv 5380	. . . . . . 7 |- ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
114		f1of 5367	. . . . . . 7 |- ( `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
115	1, 113, 114	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
116	115, 4	ffvelrnd 5556	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) )
117		elfzelz 9806	. . . . 5 |- ( ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
118	116, 117	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
119		zdceq 9126	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ ( `' J ` K ) e. ZZ ) -> DECID K = ( `' J ` K ) )
120	24, 118, 119	syl2anc 408	. . 3 |- ( ph -> DECID K = ( `' J ` K ) )
121		exmiddc 821	. . 3 |- (DECID K = ( `' J ` K ) -> ( K = ( `' J ` K ) \/ -. K = ( `' J ` K ) ) )
122	120, 121	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( K = ( `' J ` K ) \/ -. K = ( `' J ` K ) ) )
123	64, 112, 122	mpjaodan 787	1 |- ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697  DECID wdc 819   /\ w3a 962   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   =/= wne 2308   A.wral 2416   _Vcvv 2686   [_csb 3003   u. cun 3069   ifcif 3474   {csn 3527   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989   `'ccnv 4538   -->wf 5119   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   Fincfn 6634   1c1 7621   <_ cle 7801   - cmin 7933   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   ...cfz 9790  ..^cfzo 9919   seqcseq 10218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219

This theorem is referenced by:  seq3f1olemp  10275