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Theorem seq3f1olemstep 10167
Description: Lemma for seq3f1o 10170. Given a permutation which is constant up to a point, supply a new one which is constant for one more position. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1o.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
iseqf1o.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
iseqf1o.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
iseqf1o.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
iseqf1o.6  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
iseqf1olemstep.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.j  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.const  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M..^ K ) ( J `  x )  =  x )
seq3f1olemstep.jp  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )
seq3f1olemstep.p  |-  P  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
Assertion
Ref Expression
seq3f1olemstep  |-  ( ph  ->  E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... K
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )
Distinct variable groups:    .+ , f, x, y, z    f, J, x, y, z    f, K, x, y, z    f, L    f, M, x, y, z    f, N, x, y, z    S, f, x, y, z    ph, x, y, z    x, P, y, z    f, G, x
Allowed substitution hints:    ph( f)    P( f)    F( x, y, z, f)    G( y, z)    L( x, y, z)

Proof of Theorem seq3f1olemstep
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemstep.j . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
2 f1of 5323 . . . . . 6  |-  ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  ->  J :
( M ... N
) --> ( M ... N ) )
31, 2syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
4 iseqf1olemstep.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
5 elfzel1 9698 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  e.  ZZ )
64, 5syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
7 elfzel2 9697 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )
84, 7syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
96, 8fzfigd 10097 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  e.  Fin )
10 fex 5601 . . . . 5  |-  ( ( J : ( M ... N ) --> ( M ... N )  /\  ( M ... N )  e.  Fin )  ->  J  e.  _V )
113, 9, 10syl2anc 406 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  _V )
1211adantr 272 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( `' J `  K ) )  ->  J  e.  _V )
131adantr 272 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( `' J `  K ) )  ->  J :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) )
14 iseqf1olemstep.const . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M..^ K ) ( J `  x )  =  x )
1514adantr 272 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( `' J `  K ) )  ->  A. x  e.  ( M..^ K ) ( J `  x
)  =  x )
16 eqcom 2117 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  =  ( `' J `  K )  <->  ( `' J `  K )  =  K )
1716biimpi 119 . . . . . . . . 9  |-  ( K  =  ( `' J `  K )  ->  ( `' J `  K )  =  K )
1817adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( `' J `  K ) )  ->  ( `' J `  K )  =  K )
19 f1ocnvfvb 5635 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  K  e.  ( M ... N )  /\  K  e.  ( M ... N
) )  ->  (
( J `  K
)  =  K  <->  ( `' J `  K )  =  K ) )
201, 4, 4, 19syl3anc 1199 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( J `  K )  =  K  <-> 
( `' J `  K )  =  K ) )
2120adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( `' J `  K ) )  ->  ( ( J `  K )  =  K  <->  ( `' J `  K )  =  K ) )
2218, 21mpbird 166 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( `' J `  K ) )  ->  ( J `  K )  =  K )
23 elfzelz 9699 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )
244, 23syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
2524adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( `' J `  K ) )  ->  K  e.  ZZ )
26 fveq2 5375 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  K  ->  ( J `  x )  =  ( J `  K ) )
27 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  K  ->  x  =  K )
2826, 27eqeq12d 2129 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  K  ->  (
( J `  x
)  =  x  <->  ( J `  K )  =  K ) )
2928ralsng 3530 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  { K }  ( J `  x )  =  x  <-> 
( J `  K
)  =  K ) )
3025, 29syl 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( `' J `  K ) )  ->  ( A. x  e.  { K }  ( J `  x )  =  x  <-> 
( J `  K
)  =  K ) )
3122, 30mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( `' J `  K ) )  ->  A. x  e.  { K }  ( J `  x )  =  x )
32 ralun 3224 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  ( M..^ K ) ( J `  x )  =  x  /\  A. x  e.  { K }  ( J `  x )  =  x )  ->  A. x  e.  ( ( M..^ K
)  u.  { K } ) ( J `
 x )  =  x )
3315, 31, 32syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( `' J `  K ) )  ->  A. x  e.  ( ( M..^ K
)  u.  { K } ) ( J `
 x )  =  x )
34 elfzuz 9695 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
35 fzisfzounsn 9906 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... K )  =  ( ( M..^ K )  u.  { K }
) )
364, 34, 353syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M ... K
)  =  ( ( M..^ K )  u. 
{ K } ) )
3736raleqdv 2606 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( M ... K
) ( J `  x )  =  x  <->  A. x  e.  (
( M..^ K )  u.  { K }
) ( J `  x )  =  x ) )
3837adantr 272 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( `' J `  K ) )  ->  ( A. x  e.  ( M ... K ) ( J `
 x )  =  x  <->  A. x  e.  ( ( M..^ K )  u.  { K }
) ( J `  x )  =  x ) )
3933, 38mpbird 166 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( `' J `  K ) )  ->  A. x  e.  ( M ... K
) ( J `  x )  =  x )
40 seq3f1olemstep.jp . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )
4140adantr 272 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( `' J `  K ) )  ->  (  seq M (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) )
4213, 39, 413jca 1144 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( `' J `  K ) )  ->  ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... K
) ( J `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )
43 nfcv 2255 . . . 4  |-  F/_ f J
44 nfv 1491 . . . . 5  |-  F/ f  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )
45 nfv 1491 . . . . 5  |-  F/ f A. x  e.  ( M ... K ) ( J `  x
)  =  x
46 nfcv 2255 . . . . . . . 8  |-  F/_ f M
47 nfcv 2255 . . . . . . . 8  |-  F/_ f  .+
48 nfcsb1v 3001 . . . . . . . 8  |-  F/_ f [_ J  /  f ]_ P
4946, 47, 48nfseq 10121 . . . . . . 7  |-  F/_ f  seq M (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P )
50 nfcv 2255 . . . . . . 7  |-  F/_ f N
5149, 50nffv 5385 . . . . . 6  |-  F/_ f
(  seq M (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  N
)
5251nfeq1 2265 . . . . 5  |-  F/ f (  seq M ( 
.+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N )
5344, 45, 52nf3an 1528 . . . 4  |-  F/ f ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... K
) ( J `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )
54 f1oeq1 5314 . . . . 5  |-  ( f  =  J  ->  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  <->  J :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
55 fveq1 5374 . . . . . . 7  |-  ( f  =  J  ->  (
f `  x )  =  ( J `  x ) )
5655eqeq1d 2123 . . . . . 6  |-  ( f  =  J  ->  (
( f `  x
)  =  x  <->  ( J `  x )  =  x ) )
5756ralbidv 2411 . . . . 5  |-  ( f  =  J  ->  ( A. x  e.  ( M ... K ) ( f `  x )  =  x  <->  A. x  e.  ( M ... K
) ( J `  x )  =  x ) )
58 csbeq1a 2979 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  J  ->  P  =  [_ J  /  f ]_ P )
5958seqeq3d 10119 . . . . . . 7  |-  ( f  =  J  ->  seq M (  .+  ,  P )  =  seq M (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) )
6059fveq1d 5377 . . . . . 6  |-  ( f  =  J  ->  (  seq M (  .+  ,  P ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  N
) )
6160eqeq1d 2123 . . . . 5  |-  ( f  =  J  ->  (
(  seq M (  .+  ,  P ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
)  <->  (  seq M
(  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )
6254, 57, 613anbi123d 1273 . . . 4  |-  ( f  =  J  ->  (
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... K
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  <-> 
( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... K
) ( J `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
6343, 53, 62spcegf 2740 . . 3  |-  ( J  e.  _V  ->  (
( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... K
) ( J `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  ->  E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... K
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
6412, 42, 63sylc 62 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( `' J `  K ) )  ->  E. f
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... K
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )
654adantr 272 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  K  =  ( `' J `  K ) )  ->  K  e.  ( M ... N ) )
661adantr 272 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  K  =  ( `' J `  K ) )  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
) )
67 eqid 2115 . . . 4  |-  ( u  e.  ( M ... N )  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K , 
( J `  (
u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u ) ) )  =  ( u  e.  ( M ... N )  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )
6865, 66, 67iseqf1olemqf1o 10159 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  K  =  ( `' J `  K ) )  -> 
( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) ) : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) )
6914adantr 272 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  K  =  ( `' J `  K ) )  ->  A. x  e.  ( M..^ K ) ( J `
 x )  =  x )
7065, 66, 67, 69iseqf1olemqk 10160 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  K  =  ( `' J `  K ) )  ->  A. x  e.  ( M ... K ) ( ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) ) `  x )  =  x )
71 iseqf1o.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
7271adantlr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  K  =  ( `' J `  K )
)  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
73 iseqf1o.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
7473adantlr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  K  =  ( `' J `  K )
)  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
75 iseqf1o.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
7675adantlr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  K  =  ( `' J `  K )
)  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
77 iseqf1o.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
7877adantr 272 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  K  =  ( `' J `  K ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
79 iseqf1o.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
8079adantr 272 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  K  =  ( `' J `  K ) )  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
) )
81 iseqf1o.7 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
8281adantlr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  K  =  ( `' J `  K )
)  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
83 neqne 2290 . . . . . 6  |-  ( -.  K  =  ( `' J `  K )  ->  K  =/=  ( `' J `  K ) )
8483adantl 273 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  K  =  ( `' J `  K ) )  ->  K  =/=  ( `' J `  K ) )
85 seq3f1olemstep.p . . . . 5  |-  P  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
8672, 74, 76, 78, 80, 82, 65, 66, 69, 84, 67, 85seq3f1olemqsum 10166 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  K  =  ( `' J `  K ) )  -> 
(  seq M (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  [_ ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )  / 
f ]_ P ) `  N ) )
8740adantr 272 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  K  =  ( `' J `  K ) )  -> 
(  seq M (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) )
8886, 87eqtr3d 2149 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  K  =  ( `' J `  K ) )  -> 
(  seq M (  .+  ,  [_ ( u  e.  ( M ... N
)  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )  / 
f ]_ P ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) )
8965, 5syl 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  K  =  ( `' J `  K ) )  ->  M  e.  ZZ )
9065, 7syl 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  K  =  ( `' J `  K ) )  ->  N  e.  ZZ )
9189, 90fzfigd 10097 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  K  =  ( `' J `  K ) )  -> 
( M ... N
)  e.  Fin )
92 mptexg 5599 . . . 4  |-  ( ( M ... N )  e.  Fin  ->  (
u  e.  ( M ... N )  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )  e. 
_V )
93 nfcv 2255 . . . . 5  |-  F/_ f
( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )
94 nfv 1491 . . . . . 6  |-  F/ f ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) ) : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )
95 nfv 1491 . . . . . 6  |-  F/ f A. x  e.  ( M ... K ) ( ( u  e.  ( M ... N
)  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) ) `  x )  =  x
96 nfcsb1v 3001 . . . . . . . . 9  |-  F/_ f [_ ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )  / 
f ]_ P
9746, 47, 96nfseq 10121 . . . . . . . 8  |-  F/_ f  seq M (  .+  ,  [_ ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )  / 
f ]_ P )
9897, 50nffv 5385 . . . . . . 7  |-  F/_ f
(  seq M (  .+  ,  [_ ( u  e.  ( M ... N
)  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )  / 
f ]_ P ) `  N )
9998nfeq1 2265 . . . . . 6  |-  F/ f (  seq M ( 
.+  ,  [_ (
u  e.  ( M ... N )  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )  / 
f ]_ P ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
)
10094, 95, 99nf3an 1528 . . . . 5  |-  F/ f ( ( u  e.  ( M ... N
)  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) ) : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... K
) ( ( u  e.  ( M ... N )  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K , 
( J `  (
u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u ) ) ) `  x
)  =  x  /\  (  seq M (  .+  ,  [_ ( u  e.  ( M ... N
)  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )  / 
f ]_ P ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) )
101 f1oeq1 5314 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( u  e.  ( M ... N
)  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )  -> 
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  <-> 
( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) ) : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
102 fveq1 5374 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( u  e.  ( M ... N
)  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )  -> 
( f `  x
)  =  ( ( u  e.  ( M ... N )  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) ) `  x ) )
103102eqeq1d 2123 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( u  e.  ( M ... N
)  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )  -> 
( ( f `  x )  =  x  <-> 
( ( u  e.  ( M ... N
)  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) ) `  x )  =  x ) )
104103ralbidv 2411 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( u  e.  ( M ... N
)  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )  -> 
( A. x  e.  ( M ... K
) ( f `  x )  =  x  <->  A. x  e.  ( M ... K ) ( ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) ) `  x )  =  x ) )
105 csbeq1a 2979 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( u  e.  ( M ... N
)  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )  ->  P  =  [_ ( u  e.  ( M ... N )  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K , 
( J `  (
u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u ) ) )  /  f ]_ P )
106105seqeq3d 10119 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( u  e.  ( M ... N
)  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )  ->  seq M (  .+  ,  P )  =  seq M (  .+  ,  [_ ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )  / 
f ]_ P ) )
107106fveq1d 5377 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( u  e.  ( M ... N
)  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )  -> 
(  seq M (  .+  ,  P ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  [_ ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )  / 
f ]_ P ) `  N ) )
108107eqeq1d 2123 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( u  e.  ( M ... N
)  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )  -> 
( (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N )  <->  (  seq M (  .+  ,  [_ ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )  / 
f ]_ P ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) )
109101, 104, 1083anbi123d 1273 . . . . 5  |-  ( f  =  ( u  e.  ( M ... N
)  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )  -> 
( ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... K
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  <-> 
( ( u  e.  ( M ... N
)  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) ) : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... K
) ( ( u  e.  ( M ... N )  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K , 
( J `  (
u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u ) ) ) `  x
)  =  x  /\  (  seq M (  .+  ,  [_ ( u  e.  ( M ... N
)  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )  / 
f ]_ P ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) ) ) )
11093, 100, 109spcegf 2740 . . . 4  |-  ( ( u  e.  ( M ... N )  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )  e. 
_V  ->  ( ( ( u  e.  ( M ... N )  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) ) : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... K
) ( ( u  e.  ( M ... N )  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K , 
( J `  (
u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u ) ) ) `  x
)  =  x  /\  (  seq M (  .+  ,  [_ ( u  e.  ( M ... N
)  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )  / 
f ]_ P ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) )  ->  E. f
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... K
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
11191, 92, 1103syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  K  =  ( `' J `  K ) )  -> 
( ( ( u  e.  ( M ... N )  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K , 
( J `  (
u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u ) ) ) : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... K
) ( ( u  e.  ( M ... N )  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K , 
( J `  (
u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u ) ) ) `  x
)  =  x  /\  (  seq M (  .+  ,  [_ ( u  e.  ( M ... N
)  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )  / 
f ]_ P ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) )  ->  E. f
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... K
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
11268, 70, 88, 111mp3and 1301 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  K  =  ( `' J `  K ) )  ->  E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... K
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )
113 f1ocnv 5336 . . . . . . 7  |-  ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  ->  `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
) )
114 f1of 5323 . . . . . . 7  |-  ( `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  ->  `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
1151, 113, 1143syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
116115, 4ffvelrnd 5510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  ( M ... N ) )
117 elfzelz 9699 . . . . 5  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( M ... N )  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
118116, 117syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
119 zdceq 9030 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( `' J `  K )  e.  ZZ )  -> DECID  K  =  ( `' J `  K ) )
12024, 118, 119syl2anc 406 . . 3  |-  ( ph  -> DECID  K  =  ( `' J `  K ) )
121 exmiddc 804 . . 3  |-  (DECID  K  =  ( `' J `  K )  ->  ( K  =  ( `' J `  K )  \/  -.  K  =  ( `' J `  K ) ) )
122120, 121syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  =  ( `' J `  K )  \/  -.  K  =  ( `' J `  K ) ) )
12364, 112, 122mpjaodan 770 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... K
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680  DECID wdc 802    /\ w3a 945    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463    =/= wne 2282   A.wral 2390   _Vcvv 2657   [_csb 2971    u. cun 3035   ifcif 3440   {csn 3493   class class class wbr 3895    |-> cmpt 3949   `'ccnv 4498   -->wf 5077   -1-1-onto->wf1o 5080   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   Fincfn 6588   1c1 7548    <_ cle 7725    - cmin 7856   ZZcz 8958   ZZ>=cuz 9228   ...cfz 9683  ..^cfzo 9812    seqcseq 10111
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-1o 6267  df-er 6383  df-en 6589  df-fin 6591  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-fz 9684  df-fzo 9813  df-seqfrec 10112
This theorem is referenced by:  seq3f1olemp  10168
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