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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > seq3f1olemstep | Unicode version |
Description: Lemma for seq3f1o 9921. Given a permutation which is constant up to a point, supply a new one which is constant for one more position. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2022.) |
Ref | Expression |
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iseqf1o.1 |
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iseqf1o.2 |
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iseqf1o.3 |
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iseqf1o.4 |
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iseqf1o.6 |
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iseqf1o.7 |
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iseqf1olemstep.k |
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iseqf1olemstep.j |
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iseqf1olemstep.const |
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seq3f1olemstep.jp |
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seq3f1olemstep.p |
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Ref | Expression |
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seq3f1olemstep |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | iseqf1olemstep.j |
. . . . . 6
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2 | f1of 5247 |
. . . . . 6
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3 | 1, 2 | syl 14 |
. . . . 5
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4 | iseqf1olemstep.k |
. . . . . . 7
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5 | elfzel1 9429 |
. . . . . . 7
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6 | 4, 5 | syl 14 |
. . . . . 6
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7 | elfzel2 9428 |
. . . . . . 7
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8 | 4, 7 | syl 14 |
. . . . . 6
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9 | 6, 8 | fzfigd 9826 |
. . . . 5
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10 | fex 5516 |
. . . . 5
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11 | 3, 9, 10 | syl2anc 403 |
. . . 4
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12 | 11 | adantr 270 |
. . 3
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13 | 1 | adantr 270 |
. . . 4
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14 | iseqf1olemstep.const |
. . . . . . 7
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15 | 14 | adantr 270 |
. . . . . 6
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16 | eqcom 2090 |
. . . . . . . . . 10
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17 | 16 | biimpi 118 |
. . . . . . . . 9
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18 | 17 | adantl 271 |
. . . . . . . 8
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19 | f1ocnvfvb 5551 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 1, 4, 4, 19 | syl3anc 1174 |
. . . . . . . . 9
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21 | 20 | adantr 270 |
. . . . . . . 8
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22 | 18, 21 | mpbird 165 |
. . . . . . 7
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23 | elfzelz 9430 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 4, 23 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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25 | 24 | adantr 270 |
. . . . . . . 8
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26 | fveq2 5299 |
. . . . . . . . . 10
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27 | id 19 |
. . . . . . . . . 10
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28 | 26, 27 | eqeq12d 2102 |
. . . . . . . . 9
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29 | 28 | ralsng 3481 |
. . . . . . . 8
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30 | 25, 29 | syl 14 |
. . . . . . 7
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31 | 22, 30 | mpbird 165 |
. . . . . 6
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32 | ralun 3182 |
. . . . . 6
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33 | 15, 31, 32 | syl2anc 403 |
. . . . 5
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34 | elfzuz 9426 |
. . . . . . . 8
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35 | fzisfzounsn 9635 |
. . . . . . . 8
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36 | 4, 34, 35 | 3syl 17 |
. . . . . . 7
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37 | 36 | raleqdv 2568 |
. . . . . 6
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38 | 37 | adantr 270 |
. . . . 5
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39 | 33, 38 | mpbird 165 |
. . . 4
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40 | seq3f1olemstep.jp |
. . . . 5
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41 | 40 | adantr 270 |
. . . 4
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42 | 13, 39, 41 | 3jca 1123 |
. . 3
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43 | nfcv 2228 |
. . . 4
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44 | nfv 1466 |
. . . . 5
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45 | nfv 1466 |
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46 | nfcv 2228 |
. . . . . . . 8
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47 | nfcv 2228 |
. . . . . . . 8
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48 | nfcsb1v 2963 |
. . . . . . . 8
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49 | 46, 47, 48 | nfseq 9857 |
. . . . . . 7
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50 | nfcv 2228 |
. . . . . . 7
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51 | 49, 50 | nffv 5309 |
. . . . . 6
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52 | 51 | nfeq1 2238 |
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53 | 44, 45, 52 | nf3an 1503 |
. . . 4
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54 | f1oeq1 5238 |
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55 | fveq1 5298 |
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56 | 55 | eqeq1d 2096 |
. . . . . 6
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57 | 56 | ralbidv 2380 |
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58 | csbeq1a 2941 |
. . . . . . . 8
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59 | 58 | seqeq3d 9854 |
. . . . . . 7
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60 | 59 | fveq1d 5301 |
. . . . . 6
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61 | 60 | eqeq1d 2096 |
. . . . 5
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62 | 54, 57, 61 | 3anbi123d 1248 |
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63 | 43, 53, 62 | spcegf 2702 |
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64 | 12, 42, 63 | sylc 61 |
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67 | eqid 2088 |
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68 | 65, 66, 67 | iseqf1olemqf1o 9910 |
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69 | 14 | adantr 270 |
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70 | 65, 66, 67, 69 | iseqf1olemqk 9911 |
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71 | iseqf1o.1 |
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72 | 71 | adantlr 461 |
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73 | iseqf1o.2 |
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74 | 73 | adantlr 461 |
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75 | iseqf1o.3 |
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76 | 75 | adantlr 461 |
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77 | iseqf1o.4 |
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78 | 77 | adantr 270 |
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81 | iseqf1o.7 |
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83 | neqne 2263 |
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85 | seq3f1olemstep.p |
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86 | 72, 74, 76, 78, 80, 82, 65, 66, 69, 84, 67, 85 | seq3f1olemqsum 9917 |
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92 | mptexg 5514 |
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93 | nfcv 2228 |
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96 | nfcsb1v 2963 |
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97 | 46, 47, 96 | nfseq 9857 |
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98 | 97, 50 | nffv 5309 |
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102 | fveq1 5298 |
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103 | 102 | eqeq1d 2096 |
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104 | 103 | ralbidv 2380 |
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105 | csbeq1a 2941 |
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108 | 107 | eqeq1d 2096 |
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111 | 91, 92, 110 | 3syl 17 |
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112 | 68, 70, 88, 111 | mp3and 1276 |
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113 | f1ocnv 5260 |
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114 | f1of 5247 |
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115 | 1, 113, 114 | 3syl 17 |
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116 | 115, 4 | ffvelrnd 5429 |
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117 | elfzelz 9430 |
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118 | 116, 117 | syl 14 |
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119 | zdceq 8812 |
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120 | 24, 118, 119 | syl2anc 403 |
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121 | exmiddc 782 |
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122 | 120, 121 | syl 14 |
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123 | 64, 112, 122 | mpjaodan 747 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 579 ax-in2 580 ax-io 665 ax-5 1381 ax-7 1382 ax-gen 1383 ax-ie1 1427 ax-ie2 1428 ax-8 1440 ax-10 1441 ax-11 1442 ax-i12 1443 ax-bndl 1444 ax-4 1445 ax-13 1449 ax-14 1450 ax-17 1464 ax-i9 1468 ax-ial 1472 ax-i5r 1473 ax-ext 2070 ax-coll 3952 ax-sep 3955 ax-nul 3963 ax-pow 4007 ax-pr 4034 ax-un 4258 ax-setind 4351 ax-iinf 4401 ax-cnex 7426 ax-resscn 7427 ax-1cn 7428 ax-1re 7429 ax-icn 7430 ax-addcl 7431 ax-addrcl 7432 ax-mulcl 7433 ax-addcom 7435 ax-addass 7437 ax-distr 7439 ax-i2m1 7440 ax-0lt1 7441 ax-0id 7443 ax-rnegex 7444 ax-cnre 7446 ax-pre-ltirr 7447 ax-pre-ltwlin 7448 ax-pre-lttrn 7449 ax-pre-apti 7450 ax-pre-ltadd 7451 |
This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 781 df-3or 925 df-3an 926 df-tru 1292 df-fal 1295 df-nf 1395 df-sb 1693 df-eu 1951 df-mo 1952 df-clab 2075 df-cleq 2081 df-clel 2084 df-nfc 2217 df-ne 2256 df-nel 2351 df-ral 2364 df-rex 2365 df-reu 2366 df-rab 2368 df-v 2621 df-sbc 2841 df-csb 2934 df-dif 3001 df-un 3003 df-in 3005 df-ss 3012 df-nul 3287 df-if 3392 df-pw 3429 df-sn 3450 df-pr 3451 df-op 3453 df-uni 3652 df-int 3687 df-iun 3730 df-br 3844 df-opab 3898 df-mpt 3899 df-tr 3935 df-id 4118 df-iord 4191 df-on 4193 df-ilim 4194 df-suc 4196 df-iom 4404 df-xp 4442 df-rel 4443 df-cnv 4444 df-co 4445 df-dm 4446 df-rn 4447 df-res 4448 df-ima 4449 df-iota 4975 df-fun 5012 df-fn 5013 df-f 5014 df-f1 5015 df-fo 5016 df-f1o 5017 df-fv 5018 df-riota 5600 df-ov 5647 df-oprab 5648 df-mpt2 5649 df-1st 5903 df-2nd 5904 df-recs 6062 df-frec 6148 df-1o 6173 df-er 6282 df-en 6448 df-fin 6450 df-pnf 7514 df-mnf 7515 df-xr 7516 df-ltxr 7517 df-le 7518 df-sub 7645 df-neg 7646 df-inn 8413 df-n0 8664 df-z 8741 df-uz 9010 df-fz 9415 df-fzo 9542 df-iseq 9841 df-seq3 9842 |
This theorem is referenced by: seq3f1olemp 9919 |
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