Theorem seq3f1olemstep 10766

Description: Lemma for seq3f1o 10769. Given a permutation which is constant up to a point, supply a new one which is constant for one more position. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1o.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqf1o.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
iseqf1o.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
iseqf1o.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqf1o.6	|- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1olemstep.k	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.j	|- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.const	|- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
seq3f1olemstep.jp	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
seq3f1olemstep.p	|- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seq3f1olemstep	|- ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   .+ , f, x, y, z   f, J, x, y, z   f, K, x, y, z   f, L   f, M, x, y, z   f, N, x, y, z   S, f, x, y, z   ph, x, y, z   x, P, y, z   f, G, x

Allowed substitution hints:   ph( f)   P( f)   F( x, y, z, f)   G( y, z)   L( x, y, z)

Proof of Theorem seq3f1olemstep

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemstep.j	. . . . . 6 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
2		f1of 5580	. . . . . 6 |- ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
4		iseqf1olemstep.k	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
5		elfzel1 10249	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
6	4, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		elfzel2 10248	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
9	6, 8	fzfigd 10683	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
10		fex 5878	. . . . 5 |- ( ( J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) /\ ( M ... N ) e. Fin ) -> J e. _V )
11	3, 9, 10	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> J e. _V )
12	11	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> J e. _V )
13	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
14		iseqf1olemstep.const	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
15	14	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
16		eqcom 2231	. . . . . . . . . 10 |- ( K = ( `' J ` K ) <-> ( `' J ` K ) = K )
17	16	biimpi 120	. . . . . . . . 9 |- ( K = ( `' J ` K ) -> ( `' J ` K ) = K )
18	17	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> ( `' J ` K ) = K )
19		f1ocnvfvb 5916	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ K e. ( M ... N ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( ( J ` K ) = K <-> ( `' J ` K ) = K ) )
20	1, 4, 4, 19	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( J ` K ) = K <-> ( `' J ` K ) = K ) )
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> ( ( J ` K ) = K <-> ( `' J ` K ) = K ) )
22	18, 21	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> ( J ` K ) = K )
23		elfzelz 10250	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )
24	4, 23	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ZZ )
25	24	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> K e. ZZ )
26		fveq2 5635	. . . . . . . . . 10 |- ( x = K -> ( J ` x ) = ( J ` K ) )
27		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( x = K -> x = K )
28	26, 27	eqeq12d 2244	. . . . . . . . 9 |- ( x = K -> ( ( J ` x ) = x <-> ( J ` K ) = K ) )
29	28	ralsng 3707	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> ( A. x e. { K } ( J ` x ) = x <-> ( J ` K ) = K ) )
30	25, 29	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> ( A. x e. { K } ( J ` x ) = x <-> ( J ` K ) = K ) )
31	22, 30	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> A. x e. { K } ( J ` x ) = x )
32		ralun 3387	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x /\ A. x e. { K } ( J ` x ) = x ) -> A. x e. ( ( M..^ K ) u. { K } ) ( J ` x ) = x )
33	15, 31, 32	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> A. x e. ( ( M..^ K ) u. { K } ) ( J ` x ) = x )
34		elfzuz 10246	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
35		fzisfzounsn 10472	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... K ) = ( ( M..^ K ) u. { K } ) )
36	4, 34, 35	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ... K ) = ( ( M..^ K ) u. { K } ) )
37	36	raleqdv 2734	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. x e. ( M ... K ) ( J ` x ) = x <-> A. x e. ( ( M..^ K ) u. { K } ) ( J ` x ) = x ) )
38	37	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> ( A. x e. ( M ... K ) ( J ` x ) = x <-> A. x e. ( ( M..^ K ) u. { K } ) ( J ` x ) = x ) )
39	33, 38	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> A. x e. ( M ... K ) ( J ` x ) = x )
40		seq3f1olemstep.jp	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
41	40	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
42	13, 39, 41	3jca 1201	. . 3 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( J ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
43		nfcv 2372	. . . 4 |- F/_ f J
44		nfv 1574	. . . . 5 |- F/ f J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )
45		nfv 1574	. . . . 5 |- F/ f A. x e. ( M ... K ) ( J ` x ) = x
46		nfcv 2372	. . . . . . . 8 |- F/_ f M
47		nfcv 2372	. . . . . . . 8 |- F/_ f .+
48		nfcsb1v 3158	. . . . . . . 8 |- F/_ f [_ J / f ]_ P
49	46, 47, 48	nfseq 10709	. . . . . . 7 |- F/_ f seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P )
50		nfcv 2372	. . . . . . 7 |- F/_ f N
51	49, 50	nffv 5645	. . . . . 6 |- F/_ f ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N )
52	51	nfeq1 2382	. . . . 5 |- F/ f ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N )
53	44, 45, 52	nf3an 1612	. . . 4 |- F/ f ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( J ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
54		f1oeq1 5568	. . . . 5 |- ( f = J -> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) <-> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
55		fveq1 5634	. . . . . . 7 |- ( f = J -> ( f ` x ) = ( J ` x ) )
56	55	eqeq1d 2238	. . . . . 6 |- ( f = J -> ( ( f ` x ) = x <-> ( J ` x ) = x ) )
57	56	ralbidv 2530	. . . . 5 |- ( f = J -> ( A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x <-> A. x e. ( M ... K ) ( J ` x ) = x ) )
58		csbeq1a 3134	. . . . . . . 8 |- ( f = J -> P = [_ J / f ]_ P )
59	58	seqeq3d 10707	. . . . . . 7 |- ( f = J -> seq M ( .+ , P ) = seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) )
60	59	fveq1d 5637	. . . . . 6 |- ( f = J -> ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) )
61	60	eqeq1d 2238	. . . . 5 |- ( f = J -> ( ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) <-> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
62	54, 57, 61	3anbi123d 1346	. . . 4 |- ( f = J -> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( J ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
63	43, 53, 62	spcegf 2887	. . 3 |- ( J e. _V -> ( ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( J ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
64	12, 42, 63	sylc 62	. 2 |- ( ( ph /\ K = ( `' J ` K ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
65	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> K e. ( M ... N ) )
66	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
67		eqid 2229	. . . 4 |- ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
68	65, 66, 67	iseqf1olemqf1o 10758	. . 3 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
69	14	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
70	65, 66, 67, 69	iseqf1olemqk 10759	. . 3 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> A. x e. ( M ... K ) ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) ` x ) = x )
71		iseqf1o.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
72	71	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
73		iseqf1o.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
74	73	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
75		iseqf1o.3	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
76	75	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
77		iseqf1o.4	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
78	77	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
79		iseqf1o.6	. . . . . 6 |- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
80	79	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
81		iseqf1o.7	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
82	81	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
83		neqne 2408	. . . . . 6 |- ( -. K = ( `' J ` K ) -> K =/= ( `' J ` K ) )
84	83	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> K =/= ( `' J ` K ) )
85		seq3f1olemstep.p	. . . . 5 |- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
86	72, 74, 76, 78, 80, 82, 65, 66, 69, 84, 67, 85	seq3f1olemqsum 10765	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N ) )
87	40	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
88	86, 87	eqtr3d 2264	. . 3 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
89	65, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> M e. ZZ )
90	65, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> N e. ZZ )
91	89, 90	fzfigd 10683	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> ( M ... N ) e. Fin )
92		mptexg 5874	. . . 4 |- ( ( M ... N ) e. Fin -> ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) e. _V )
93		nfcv 2372	. . . . 5 |- F/_ f ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
94		nfv 1574	. . . . . 6 |- F/ f ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )
95		nfv 1574	. . . . . 6 |- F/ f A. x e. ( M ... K ) ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) ` x ) = x
96		nfcsb1v 3158	. . . . . . . . 9 |- F/_ f [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P
97	46, 47, 96	nfseq 10709	. . . . . . . 8 |- F/_ f seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P )
98	97, 50	nffv 5645	. . . . . . 7 |- F/_ f ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N )
99	98	nfeq1 2382	. . . . . 6 |- F/ f ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N )
100	94, 95, 99	nf3an 1612	. . . . 5 |- F/ f ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
101		f1oeq1 5568	. . . . . 6 |- ( f = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) -> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) <-> ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
102		fveq1 5634	. . . . . . . 8 |- ( f = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) -> ( f ` x ) = ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) ` x ) )
103	102	eqeq1d 2238	. . . . . . 7 |- ( f = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) -> ( ( f ` x ) = x <-> ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) ` x ) = x ) )
104	103	ralbidv 2530	. . . . . 6 |- ( f = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) -> ( A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x <-> A. x e. ( M ... K ) ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) ` x ) = x ) )
105		csbeq1a 3134	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) -> P = [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P )
106	105	seqeq3d 10707	. . . . . . . 8 |- ( f = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) -> seq M ( .+ , P ) = seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) )
107	106	fveq1d 5637	. . . . . . 7 |- ( f = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) -> ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N ) )
108	107	eqeq1d 2238	. . . . . 6 |- ( f = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) -> ( ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) <-> ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
109	101, 104, 108	3anbi123d 1346	. . . . 5 |- ( f = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) -> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
110	93, 100, 109	spcegf 2887	. . . 4 |- ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) e. _V -> ( ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
111	91, 92, 110	3syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> ( ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
112	68, 70, 88, 111	mp3and 1374	. 2 |- ( ( ph /\ -. K = ( `' J ` K ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
113		f1ocnv 5593	. . . . . . 7 |- ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
114		f1of 5580	. . . . . . 7 |- ( `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
115	1, 113, 114	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
116	115, 4	ffvelcdmd 5779	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) )
117		elfzelz 10250	. . . . 5 |- ( ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
118	116, 117	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
119		zdceq 9545	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ ( `' J ` K ) e. ZZ ) -> DECID K = ( `' J ` K ) )
120	24, 118, 119	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> DECID K = ( `' J ` K ) )
121		exmiddc 841	. . 3 |- (DECID K = ( `' J ` K ) -> ( K = ( `' J ` K ) \/ -. K = ( `' J ` K ) ) )
122	120, 121	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( K = ( `' J ` K ) \/ -. K = ( `' J ` K ) ) )
123	64, 112, 122	mpjaodan 803	1 |- ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... K ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   =/= wne 2400   A.wral 2508   _Vcvv 2800   [_csb 3125   u. cun 3196   ifcif 3603   {csn 3667   class class class wbr 4086   |-> cmpt 4148   `'ccnv 4722   -->wf 5320   -1-1-onto->wf1o 5323   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Fincfn 6904   1c1 8023   <_ cle 8205   - cmin 8340   ZZcz 9469   ZZ>=cuz 9745   ...cfz 10233  ..^cfzo 10367   seqcseq 10699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-er 6697  df-en 6905  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700

This theorem is referenced by:  seq3f1olemp  10767