Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3f1olemstep Unicode version

Theorem seq3f1olemstep 10378
 Description: Lemma for seq3f1o 10381. Given a permutation which is constant up to a point, supply a new one which is constant for one more position. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1o.1
iseqf1o.2
iseqf1o.3
iseqf1o.4
iseqf1o.6
iseqf1o.7
iseqf1olemstep.k
iseqf1olemstep.j
iseqf1olemstep.const ..^
seq3f1olemstep.jp
seq3f1olemstep.p
Assertion
Ref Expression
seq3f1olemstep
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,,)   (,)   (,,)

Proof of Theorem seq3f1olemstep
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemstep.j . . . . . 6
2 f1of 5407 . . . . . 6
31, 2syl 14 . . . . 5
4 iseqf1olemstep.k . . . . . . 7
5 elfzel1 9905 . . . . . . 7
64, 5syl 14 . . . . . 6
7 elfzel2 9904 . . . . . . 7
84, 7syl 14 . . . . . 6
96, 8fzfigd 10308 . . . . 5
10 fex 5687 . . . . 5
113, 9, 10syl2anc 409 . . . 4
131adantr 274 . . . 4
14 iseqf1olemstep.const . . . . . . 7 ..^
1514adantr 274 . . . . . 6 ..^
16 eqcom 2156 . . . . . . . . . 10
1716biimpi 119 . . . . . . . . 9
1817adantl 275 . . . . . . . 8
19 f1ocnvfvb 5721 . . . . . . . . . 10
201, 4, 4, 19syl3anc 1217 . . . . . . . . 9
2120adantr 274 . . . . . . . 8
2218, 21mpbird 166 . . . . . . 7
23 elfzelz 9906 . . . . . . . . . 10
244, 23syl 14 . . . . . . . . 9
2524adantr 274 . . . . . . . 8
26 fveq2 5461 . . . . . . . . . 10
27 id 19 . . . . . . . . . 10
2826, 27eqeq12d 2169 . . . . . . . . 9
2928ralsng 3595 . . . . . . . 8
3025, 29syl 14 . . . . . . 7
3122, 30mpbird 166 . . . . . 6
32 ralun 3285 . . . . . 6 ..^ ..^
3315, 31, 32syl2anc 409 . . . . 5 ..^
34 elfzuz 9902 . . . . . . . 8
35 fzisfzounsn 10113 . . . . . . . 8 ..^
364, 34, 353syl 17 . . . . . . 7 ..^
3736raleqdv 2655 . . . . . 6 ..^
3837adantr 274 . . . . 5 ..^
3933, 38mpbird 166 . . . 4
40 seq3f1olemstep.jp . . . . 5
4140adantr 274 . . . 4
4213, 39, 413jca 1162 . . 3
43 nfcv 2296 . . . 4
44 nfv 1505 . . . . 5
45 nfv 1505 . . . . 5
46 nfcv 2296 . . . . . . . 8
47 nfcv 2296 . . . . . . . 8
48 nfcsb1v 3060 . . . . . . . 8
4946, 47, 48nfseq 10332 . . . . . . 7
50 nfcv 2296 . . . . . . 7
5149, 50nffv 5471 . . . . . 6
5251nfeq1 2306 . . . . 5
5344, 45, 52nf3an 1543 . . . 4
54 f1oeq1 5396 . . . . 5
55 fveq1 5460 . . . . . . 7
5655eqeq1d 2163 . . . . . 6
5756ralbidv 2454 . . . . 5
58 csbeq1a 3036 . . . . . . . 8
5958seqeq3d 10330 . . . . . . 7
6059fveq1d 5463 . . . . . 6
6160eqeq1d 2163 . . . . 5
6254, 57, 613anbi123d 1291 . . . 4
6343, 53, 62spcegf 2792 . . 3
6412, 42, 63sylc 62 . 2
654adantr 274 . . . 4
661adantr 274 . . . 4
67 eqid 2154 . . . 4
6865, 66, 67iseqf1olemqf1o 10370 . . 3
6914adantr 274 . . . 4 ..^
7065, 66, 67, 69iseqf1olemqk 10371 . . 3
71 iseqf1o.1 . . . . . 6
7271adantlr 469 . . . . 5
73 iseqf1o.2 . . . . . 6
7473adantlr 469 . . . . 5
75 iseqf1o.3 . . . . . 6
7675adantlr 469 . . . . 5
77 iseqf1o.4 . . . . . 6
7877adantr 274 . . . . 5
79 iseqf1o.6 . . . . . 6
8079adantr 274 . . . . 5
81 iseqf1o.7 . . . . . 6
8281adantlr 469 . . . . 5
83 neqne 2332 . . . . . 6
8483adantl 275 . . . . 5
85 seq3f1olemstep.p . . . . 5
8672, 74, 76, 78, 80, 82, 65, 66, 69, 84, 67, 85seq3f1olemqsum 10377 . . . 4
8740adantr 274 . . . 4
8886, 87eqtr3d 2189 . . 3
8965, 5syl 14 . . . . 5
9065, 7syl 14 . . . . 5
9189, 90fzfigd 10308 . . . 4
92 mptexg 5685 . . . 4
93 nfcv 2296 . . . . 5
94 nfv 1505 . . . . . 6
95 nfv 1505 . . . . . 6
96 nfcsb1v 3060 . . . . . . . . 9
9746, 47, 96nfseq 10332 . . . . . . . 8
9897, 50nffv 5471 . . . . . . 7
9998nfeq1 2306 . . . . . 6
10094, 95, 99nf3an 1543 . . . . 5
101 f1oeq1 5396 . . . . . 6
102 fveq1 5460 . . . . . . . 8
103102eqeq1d 2163 . . . . . . 7
104103ralbidv 2454 . . . . . 6
105 csbeq1a 3036 . . . . . . . . 9
106105seqeq3d 10330 . . . . . . . 8
107106fveq1d 5463 . . . . . . 7
108107eqeq1d 2163 . . . . . 6
109101, 104, 1083anbi123d 1291 . . . . 5
11093, 100, 109spcegf 2792 . . . 4
11191, 92, 1103syl 17 . . 3
11268, 70, 88, 111mp3and 1319 . 2
113 f1ocnv 5420 . . . . . . 7
114 f1of 5407 . . . . . . 7
1151, 113, 1143syl 17 . . . . . 6
116115, 4ffvelrnd 5596 . . . . 5
117 elfzelz 9906 . . . . 5
118116, 117syl 14 . . . 4
119 zdceq 9218 . . . 4 DECID
12024, 118, 119syl2anc 409 . . 3 DECID
121 exmiddc 822 . . 3 DECID
122120, 121syl 14 . 2
12364, 112, 122mpjaodan 788 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   wo 698  DECID wdc 820   w3a 963   wceq 1332  wex 1469   wcel 2125   wne 2324  wral 2432  cvv 2709  csb 3027   cun 3096  cif 3501  csn 3556   class class class wbr 3961   cmpt 4021  ccnv 4578  wf 5159  wf1o 5162  cfv 5163  (class class class)co 5814  cfn 6674  c1 7712   cle 7892   cmin 8025  cz 9146  cuz 9418  cfz 9890  ..^cfzo 10019   cseq 10322 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-addcom 7811  ax-addass 7813  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-frec 6328  df-1o 6353  df-er 6469  df-en 6675  df-fin 6677  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-inn 8813  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-fz 9891  df-fzo 10020  df-seqfrec 10323 This theorem is referenced by:  seq3f1olemp  10379
 Copyright terms: Public domain W3C validator