Theorem mgm1 13317

Description: The structure with one element and the only closed internal operation for a singleton is a magma. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mgm1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
mgm1	|- ( I e. V -> M e. Mgm )

Proof of Theorem mgm1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5970	. . . . . 6 |- ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. )
2		opexg 4290	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> <. I , I >. e. _V )
3	2	anidms 397	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> <. I , I >. e. _V )
4		fvsng 5803	. . . . . . 7 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
5	3, 4	mpancom 422	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
6	1, 5	eqtrid 2252	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I )
7		snidg 3672	. . . . 5 |- ( I e. V -> I e. { I } )
8	6, 7	eqeltrd 2284	. . . 4 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) e. { I } )
9		oveq1 5974	. . . . . . . 8 |- ( x = I -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) )
10	9	eleq1d 2276	. . . . . . 7 |- ( x = I -> ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } ) )
11	10	ralbidv 2508	. . . . . 6 |- ( x = I -> ( A. y e. { I } ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> A. y e. { I } ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } ) )
12	11	ralsng 3683	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. x e. { I } A. y e. { I } ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> A. y e. { I } ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } ) )
13		oveq2 5975	. . . . . . 7 |- ( y = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
14	13	eleq1d 2276	. . . . . 6 |- ( y = I -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) e. { I } ) )
15	14	ralsng 3683	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. y e. { I } ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) e. { I } ) )
16	12, 15	bitrd 188	. . . 4 |- ( I e. V -> ( A. x e. { I } A. y e. { I } ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) e. { I } ) )
17	8, 16	mpbird 167	. . 3 |- ( I e. V -> A. x e. { I } A. y e. { I } ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } )
18		snexg 4244	. . . . 5 |- ( I e. V -> { I } e. _V )
19		opexg 4290	. . . . . . 7 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
20	3, 19	mpancom 422	. . . . . 6 |- ( I e. V -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
21		snexg 4244	. . . . . 6 |- ( <. <. I , I >. , I >. e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
23		mgm1.m	. . . . . 6 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }
24	23	grpbaseg 13074	. . . . 5 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { I } = ( Base ` M ) )
25	18, 22, 24	syl2anc 411	. . . 4 |- ( I e. V -> { I } = ( Base ` M ) )
26	23	grpplusgg 13075	. . . . . . . 8 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
27	18, 22, 26	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
28	27	oveqd 5984	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
29	28, 25	eleq12d 2278	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) ) )
30	25, 29	raleqbidv 2721	. . . 4 |- ( I e. V -> ( A. y e. { I } ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> A. y e. ( Base ` M ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) ) )
31	25, 30	raleqbidv 2721	. . 3 |- ( I e. V -> ( A. x e. { I } A. y e. { I } ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) ) )
32	17, 31	mpbid 147	. 2 |- ( I e. V -> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) )
33	7, 25	eleqtrd 2286	. . 3 |- ( I e. V -> I e. ( Base ` M ) )
34		eqid 2207	. . . 4 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
35		eqid 2207	. . . 4 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
36	34, 35	ismgmn0 13305	. . 3 |- ( I e. ( Base ` M ) -> ( M e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) ) )
37	33, 36	syl 14	. 2 |- ( I e. V -> ( M e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) ) )
38	32, 37	mpbird 167	1 |- ( I e. V -> M e. Mgm )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   _Vcvv 2776   {csn 3643   {cpr 3644   <.cop 3646   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   ndxcnx 12944   Basecbs 12947   +g cplusg 13024  Mgmcmgm 13301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-ov 5970  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-inn 9072  df-2 9130  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-mgm 13303

This theorem is referenced by:  sgrp1  13358