Theorem mgm1 12653

Description: The structure with one element and the only closed internal operation for a singleton is a magma. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mgm1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
mgm1	|- ( I e. V -> M e. Mgm )

Proof of Theorem mgm1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5868	. . . . . 6 |- ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. )
2		opexg 4222	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> <. I , I >. e. _V )
3	2	anidms 397	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> <. I , I >. e. _V )
4		fvsng 5704	. . . . . . 7 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
5	3, 4	mpancom 422	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
6	1, 5	eqtrid 2220	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I )
7		snidg 3618	. . . . 5 |- ( I e. V -> I e. { I } )
8	6, 7	eqeltrd 2252	. . . 4 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) e. { I } )
9		oveq1 5872	. . . . . . . 8 |- ( x = I -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) )
10	9	eleq1d 2244	. . . . . . 7 |- ( x = I -> ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } ) )
11	10	ralbidv 2475	. . . . . 6 |- ( x = I -> ( A. y e. { I } ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> A. y e. { I } ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } ) )
12	11	ralsng 3629	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. x e. { I } A. y e. { I } ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> A. y e. { I } ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } ) )
13		oveq2 5873	. . . . . . 7 |- ( y = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
14	13	eleq1d 2244	. . . . . 6 |- ( y = I -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) e. { I } ) )
15	14	ralsng 3629	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. y e. { I } ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) e. { I } ) )
16	12, 15	bitrd 188	. . . 4 |- ( I e. V -> ( A. x e. { I } A. y e. { I } ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) e. { I } ) )
17	8, 16	mpbird 167	. . 3 |- ( I e. V -> A. x e. { I } A. y e. { I } ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } )
18		snexg 4179	. . . . 5 |- ( I e. V -> { I } e. _V )
19		opexg 4222	. . . . . . 7 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
20	3, 19	mpancom 422	. . . . . 6 |- ( I e. V -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
21		snexg 4179	. . . . . 6 |- ( <. <. I , I >. , I >. e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
23		mgm1.m	. . . . . 6 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }
24	23	grpbaseg 12537	. . . . 5 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { I } = ( Base ` M ) )
25	18, 22, 24	syl2anc 411	. . . 4 |- ( I e. V -> { I } = ( Base ` M ) )
26	23	grpplusgg 12538	. . . . . . . 8 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
27	18, 22, 26	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
28	27	oveqd 5882	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
29	28, 25	eleq12d 2246	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) ) )
30	25, 29	raleqbidv 2682	. . . 4 |- ( I e. V -> ( A. y e. { I } ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> A. y e. ( Base ` M ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) ) )
31	25, 30	raleqbidv 2682	. . 3 |- ( I e. V -> ( A. x e. { I } A. y e. { I } ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) ) )
32	17, 31	mpbid 147	. 2 |- ( I e. V -> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) )
33	7, 25	eleqtrd 2254	. . 3 |- ( I e. V -> I e. ( Base ` M ) )
34		eqid 2175	. . . 4 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
35		eqid 2175	. . . 4 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
36	34, 35	ismgmn0 12641	. . 3 |- ( I e. ( Base ` M ) -> ( M e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) ) )
37	33, 36	syl 14	. 2 |- ( I e. V -> ( M e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) ) )
38	32, 37	mpbird 167	1 |- ( I e. V -> M e. Mgm )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2146   A.wral 2453   _Vcvv 2735   {csn 3589   {cpr 3590   <.cop 3592   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   ndxcnx 12424   Basecbs 12427   +g cplusg 12491  Mgmcmgm 12637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-fv 5216  df-ov 5868  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-ltxr 7971  df-inn 8891  df-2 8949  df-ndx 12430  df-slot 12431  df-base 12433  df-plusg 12504  df-mgm 12639

This theorem is referenced by:  sgrp1  12680