Theorem mgm1 13600

Description: The structure with one element and the only closed internal operation for a singleton is a magma. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mgm1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
mgm1	|- ( I e. V -> M e. Mgm )

Proof of Theorem mgm1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6055	. . . . . 6 |- ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. )
2		opexg 4346	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> <. I , I >. e. _V )
3	2	anidms 397	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> <. I , I >. e. _V )
4		fvsng 5882	. . . . . . 7 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
5	3, 4	mpancom 422	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
6	1, 5	eqtrid 2279	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I )
7		snidg 3720	. . . . 5 |- ( I e. V -> I e. { I } )
8	6, 7	eqeltrd 2311	. . . 4 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) e. { I } )
9		oveq1 6059	. . . . . . . 8 |- ( x = I -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) )
10	9	eleq1d 2303	. . . . . . 7 |- ( x = I -> ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } ) )
11	10	ralbidv 2544	. . . . . 6 |- ( x = I -> ( A. y e. { I } ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> A. y e. { I } ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } ) )
12	11	ralsng 3731	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. x e. { I } A. y e. { I } ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> A. y e. { I } ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } ) )
13		oveq2 6060	. . . . . . 7 |- ( y = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
14	13	eleq1d 2303	. . . . . 6 |- ( y = I -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) e. { I } ) )
15	14	ralsng 3731	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. y e. { I } ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) e. { I } ) )
16	12, 15	bitrd 188	. . . 4 |- ( I e. V -> ( A. x e. { I } A. y e. { I } ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) e. { I } ) )
17	8, 16	mpbird 167	. . 3 |- ( I e. V -> A. x e. { I } A. y e. { I } ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } )
18		snexg 4299	. . . . 5 |- ( I e. V -> { I } e. _V )
19		opexg 4346	. . . . . . 7 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
20	3, 19	mpancom 422	. . . . . 6 |- ( I e. V -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
21		snexg 4299	. . . . . 6 |- ( <. <. I , I >. , I >. e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
23		mgm1.m	. . . . . 6 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }
24	23	grpbaseg 13357	. . . . 5 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { I } = ( Base ` M ) )
25	18, 22, 24	syl2anc 411	. . . 4 |- ( I e. V -> { I } = ( Base ` M ) )
26	23	grpplusgg 13358	. . . . . . . 8 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
27	18, 22, 26	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
28	27	oveqd 6069	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
29	28, 25	eleq12d 2305	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) ) )
30	25, 29	raleqbidv 2759	. . . 4 |- ( I e. V -> ( A. y e. { I } ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> A. y e. ( Base ` M ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) ) )
31	25, 30	raleqbidv 2759	. . 3 |- ( I e. V -> ( A. x e. { I } A. y e. { I } ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) ) )
32	17, 31	mpbid 147	. 2 |- ( I e. V -> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) )
33	7, 25	eleqtrd 2313	. . 3 |- ( I e. V -> I e. ( Base ` M ) )
34		eqid 2234	. . . 4 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
35		eqid 2234	. . . 4 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
36	34, 35	ismgmn0 13588	. . 3 |- ( I e. ( Base ` M ) -> ( M e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) ) )
37	33, 36	syl 14	. 2 |- ( I e. V -> ( M e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) ) )
38	32, 37	mpbird 167	1 |- ( I e. V -> M e. Mgm )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   _Vcvv 2815   {csn 3691   {cpr 3692   <.cop 3694   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   ndxcnx 13226   Basecbs 13229   +g cplusg 13307  Mgmcmgm 13584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-fv 5362  df-ov 6055  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-ltxr 8315  df-inn 9240  df-2 9298  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-plusg 13320  df-mgm 13586

This theorem is referenced by:  sgrp1  13641