Theorem mgm1 13690

Description: The structure with one element and the only closed internal operation for a singleton is a magma. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mgm1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
mgm1	|- ( I e. V -> M e. Mgm )

Proof of Theorem mgm1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6088	. . . . . 6 |- ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. )
2		opexg 4368	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> <. I , I >. e. _V )
3	2	anidms 401	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> <. I , I >. e. _V )
4		fvsng 5911	. . . . . . 7 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
5	3, 4	mpancom 426	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
6	1, 5	eqtrid 2283	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I )
7		snidg 3738	. . . . 5 |- ( I e. V -> I e. { I } )
8	6, 7	eqeltrd 2315	. . . 4 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) e. { I } )
9		oveq1 6092	. . . . . . . 8 |- ( x = I -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) )
10	9	eleq1d 2307	. . . . . . 7 |- ( x = I -> ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } ) )
11	10	ralbidv 2550	. . . . . 6 |- ( x = I -> ( A. y e. { I } ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> A. y e. { I } ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } ) )
12	11	ralsng 3749	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. x e. { I } A. y e. { I } ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> A. y e. { I } ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } ) )
13		oveq2 6093	. . . . . . 7 |- ( y = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
14	13	eleq1d 2307	. . . . . 6 |- ( y = I -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) e. { I } ) )
15	14	ralsng 3749	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. y e. { I } ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) e. { I } ) )
16	12, 15	bitrd 188	. . . 4 |- ( I e. V -> ( A. x e. { I } A. y e. { I } ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) e. { I } ) )
17	8, 16	mpbird 167	. . 3 |- ( I e. V -> A. x e. { I } A. y e. { I } ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } )
18		snexg 4321	. . . . 5 |- ( I e. V -> { I } e. _V )
19		opexg 4368	. . . . . . 7 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
20	3, 19	mpancom 426	. . . . . 6 |- ( I e. V -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
21		snexg 4321	. . . . . 6 |- ( <. <. I , I >. , I >. e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
23		mgm1.m	. . . . . 6 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }
24	23	grpbaseg 13481	. . . . 5 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { I } = ( Base ` M ) )
25	18, 22, 24	syl2anc 415	. . . 4 |- ( I e. V -> { I } = ( Base ` M ) )
26	23	grpplusgg 13482	. . . . . . . 8 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
27	18, 22, 26	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
28	27	oveqd 6102	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
29	28, 25	eleq12d 2309	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) ) )
30	25, 29	raleqbidv 2765	. . . 4 |- ( I e. V -> ( A. y e. { I } ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> A. y e. ( Base ` M ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) ) )
31	25, 30	raleqbidv 2765	. . 3 |- ( I e. V -> ( A. x e. { I } A. y e. { I } ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) e. { I } <-> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) ) )
32	17, 31	mpbid 147	. 2 |- ( I e. V -> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) )
33	7, 25	eleqtrd 2317	. . 3 |- ( I e. V -> I e. ( Base ` M ) )
34		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
35		eqid 2238	. . . 4 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
36	34, 35	ismgmn0 13678	. . 3 |- ( I e. ( Base ` M ) -> ( M e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) ) )
37	33, 36	syl 14	. 2 |- ( I e. V -> ( M e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) ) )
38	32, 37	mpbird 167	1 |- ( I e. V -> M e. Mgm )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   {csn 3709   {cpr 3710   <.cop 3712   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ndxcnx 13349   Basecbs 13352   +g cplusg 13431  Mgmcmgm 13674

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9305  df-2 9363  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-mgm 13676

This theorem is used by:  sgrp1  13726