Theorem reapirr 8363

Description: Real apartness is irreflexive. Part of Definition 11.2.7(v) of [HoTT], p. (varies). Beyond the development of # itself, proofs should use apirr 8391 instead. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reapirr	|- ( A e. RR -> -. A #ℝ A )

Proof of Theorem reapirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 7865	. 2 |- ( A e. RR -> -. A < A )
2		reapval 8362	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ A e. RR ) -> ( A #ℝ A <-> ( A < A \/ A < A ) ) )
3	2	anidms 395	. . 3 |- ( A e. RR -> ( A #ℝ A <-> ( A < A \/ A < A ) ) )
4		oridm 747	. . 3 |- ( ( A < A \/ A < A ) <-> A < A )
5	3, 4	syl6bb 195	. 2 |- ( A e. RR -> ( A #ℝ A <-> A < A ) )
6	1, 5	mtbird 663	1 |- ( A e. RR -> -. A #ℝ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 698   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   RRcr 7643   < clt 7824   #_ℝ creap 8360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-pre-ltirr 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-ltxr 7829  df-reap 8361

This theorem is referenced by:  apirr  8391