ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reapirr GIF version

Theorem reapirr 8452
Description: Real apartness is irreflexive. Part of Definition 11.2.7(v) of [HoTT], p. (varies). Beyond the development of # itself, proofs should use apirr 8480 instead. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
reapirr (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 # 𝐴)

Proof of Theorem reapirr
StepHypRef Expression
1 ltnr 7954 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2 reapval 8451 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐴𝐴 < 𝐴)))
32anidms 395 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐴𝐴 < 𝐴)))
4 oridm 747 . . 3 ((𝐴 < 𝐴𝐴 < 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝐴)
53, 4bitrdi 195 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 𝐴𝐴 < 𝐴))
61, 5mtbird 663 1 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 # 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 104  wo 698  wcel 2128   class class class wbr 3965  cr 7731   < clt 7912   # creap 8449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-pre-ltirr 7844
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4592  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-ltxr 7917  df-reap 8450
This theorem is referenced by:  apirr  8480
  Copyright terms: Public domain W3C validator