Theorem reapirr 8496

Description: Real apartness is irreflexive. Part of Definition 11.2.7(v) of [HoTT], p. (varies). Beyond the development of # itself, proofs should use apirr 8524 instead. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reapirr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 #ℝ 𝐴)

Proof of Theorem reapirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 7996	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2		reapval 8495	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 #ℝ 𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐴)))
3	2	anidms 395	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 #ℝ 𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐴)))
4		oridm 752	. . 3 ⊢ ((𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝐴)
5	3, 4	bitrdi 195	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 #ℝ 𝐴 ↔ 𝐴 < 𝐴))
6	1, 5	mtbird 668	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 #ℝ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 104   ∨ wo 703   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ℝcr 7773   < clt 7954   #_ℝ creap 8493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-pre-ltirr 7886

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-ltxr 7959  df-reap 8494

This theorem is referenced by:  apirr  8524