Theorem reapirr 8800

Description: Real apartness is irreflexive. Part of Definition 11.2.7(v) of [HoTT], p. (varies). Beyond the development of # itself, proofs should use apirr 8828 instead. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reapirr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 #ℝ 𝐴)

Proof of Theorem reapirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 8299	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2		reapval 8799	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 #ℝ 𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐴)))
3	2	anidms 397	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 #ℝ 𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐴)))
4		oridm 765	. . 3 ⊢ ((𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝐴)
5	3, 4	bitrdi 196	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 #ℝ 𝐴 ↔ 𝐴 < 𝐴))
6	1, 5	mtbird 680	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 #ℝ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ℝcr 8074   < clt 8257   #_ℝ creap 8797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-pre-ltirr 8187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-ltxr 8262  df-reap 8798

This theorem is referenced by:  apirr  8828