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Description: Existence of reciprocal of real number. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2020.) |
Ref | Expression |
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recexre |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 0re 7959 |
. . . 4
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2 | reapval 8535 |
. . . 4
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3 | 1, 2 | mpan2 425 |
. . 3
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4 | lt0neg1 8427 |
. . . . . . . . . 10
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5 | renegcl 8220 |
. . . . . . . . . . 11
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6 | ltxrlt 8025 |
. . . . . . . . . . 11
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7 | 1, 5, 6 | sylancr 414 |
. . . . . . . . . 10
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8 | 4, 7 | bitrd 188 |
. . . . . . . . 9
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9 | 8 | pm5.32i 454 |
. . . . . . . 8
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10 | ax-precex 7923 |
. . . . . . . . . 10
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11 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . 11
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12 | 11 | reximi 2574 |
. . . . . . . . . 10
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13 | 10, 12 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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14 | 5, 13 | sylan 283 |
. . . . . . . 8
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15 | 9, 14 | sylbi 121 |
. . . . . . 7
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16 | recn 7946 |
. . . . . . . . . . . . 13
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17 | 16 | negnegd 8261 |
. . . . . . . . . . . 12
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18 | 17 | oveq2d 5893 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | 18 | eqeq1d 2186 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 19 | pm5.32i 454 |
. . . . . . . . 9
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21 | renegcl 8220 |
. . . . . . . . . 10
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22 | negeq 8152 |
. . . . . . . . . . . . 13
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23 | 22 | oveq2d 5893 |
. . . . . . . . . . . 12
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24 | 23 | eqeq1d 2186 |
. . . . . . . . . . 11
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25 | 24 | rspcev 2843 |
. . . . . . . . . 10
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26 | 21, 25 | sylan 283 |
. . . . . . . . 9
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27 | 20, 26 | sylbir 135 |
. . . . . . . 8
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28 | 27 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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29 | 15, 28 | rexlimddv 2599 |
. . . . . 6
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30 | recn 7946 |
. . . . . . . . . 10
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31 | recn 7946 |
. . . . . . . . . 10
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32 | mul2neg 8357 |
. . . . . . . . . 10
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33 | 30, 31, 32 | syl2an 289 |
. . . . . . . . 9
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34 | 33 | eqeq1d 2186 |
. . . . . . . 8
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35 | 34 | rexbidva 2474 |
. . . . . . 7
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36 | 35 | adantr 276 |
. . . . . 6
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37 | 29, 36 | mpbid 147 |
. . . . 5
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38 | 37 | ex 115 |
. . . 4
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39 | ltxrlt 8025 |
. . . . . . . 8
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40 | 1, 39 | mpan 424 |
. . . . . . 7
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41 | 40 | pm5.32i 454 |
. . . . . 6
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42 | ax-precex 7923 |
. . . . . . 7
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43 | simpr 110 |
. . . . . . . 8
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44 | 43 | reximi 2574 |
. . . . . . 7
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45 | 42, 44 | syl 14 |
. . . . . 6
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46 | 41, 45 | sylbi 121 |
. . . . 5
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47 | 46 | ex 115 |
. . . 4
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48 | 38, 47 | jaod 717 |
. . 3
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49 | 3, 48 | sylbid 150 |
. 2
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50 | 49 | imp 124 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4123 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-addcom 7913 ax-mulcom 7914 ax-addass 7915 ax-distr 7917 ax-i2m1 7918 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-precex 7923 ax-cnre 7924 ax-pre-ltadd 7929 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-br 4006 df-opab 4067 df-id 4295 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fv 5226 df-riota 5833 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-ltxr 7999 df-sub 8132 df-neg 8133 df-reap 8534 |
This theorem is referenced by: rimul 8544 recexap 8612 rerecclap 8689 |
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