Theorem apirr 8693

Description: Apartness is irreflexive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
apirr	|- ( A e. CC -> -. A # A )

Proof of Theorem apirr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 8083	. 2 |- ( A e. CC -> E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) )
2		reapirr 8665	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> -. x #ℝ x )
3		apreap 8675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ x e. RR ) -> ( x # x <-> x #ℝ x ) )
4	3	anidms 397	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( x # x <-> x #ℝ x ) )
5	2, 4	mtbird 675	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> -. x # x )
6		reapirr 8665	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR -> -. y #ℝ y )
7		apreap 8675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR /\ y e. RR ) -> ( y # y <-> y #ℝ y ) )
8	7	anidms 397	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR -> ( y # y <-> y #ℝ y ) )
9	6, 8	mtbird 675	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR -> -. y # y )
10	5, 9	anim12i 338	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( -. x # x /\ -. y # y ) )
11		ioran 754	. . . . . . . 8 |- ( -. ( x # x \/ y # y ) <-> ( -. x # x /\ -. y # y ) )
12	10, 11	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> -. ( x # x \/ y # y ) )
13		apreim 8691	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) <-> ( x # x \/ y # y ) ) )
14	13	anidms 397	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) <-> ( x # x \/ y # y ) ) )
15	12, 14	mtbird 675	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> -. ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) )
16	15	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ A = ( x + ( _i x. y ) ) ) -> -. ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) )
17		id 19	. . . . . . . 8 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> A = ( x + ( _i x. y ) ) )
18	17, 17	breq12d 4063	. . . . . . 7 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( A # A <-> ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) ) )
19	18	notbid 669	. . . . . 6 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( -. A # A <-> -. ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) ) )
20	19	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ A = ( x + ( _i x. y ) ) ) -> ( -. A # A <-> -. ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) ) )
21	16, 20	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ A = ( x + ( _i x. y ) ) ) -> -. A # A )
22	21	ex 115	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> -. A # A ) )
23	22	rexlimdvva 2632	. 2 |- ( A e. CC -> ( E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) -> -. A # A ) )
24	1, 23	mpd 13	1 |- ( A e. CC -> -. A # A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2177   E.wrex 2486   class class class wbr 4050  (class class class)co 5956   CCcc 7938   RRcr 7939   _ici 7942   + caddc 7943   x. cmul 7945   #_ℝ creap 8662   # cap 8669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-br 4051  df-opab 4113  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-ltxr 8127  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663  df-ap 8670

This theorem is referenced by:  mulap0r  8703  aptap  8738  eirr  12160  dcapnconst  16135