Theorem apirr 8503

Description: Apartness is irreflexive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
apirr	|- ( A e. CC -> -. A # A )

Proof of Theorem apirr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 7895	. 2 |- ( A e. CC -> E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) )
2		reapirr 8475	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> -. x #ℝ x )
3		apreap 8485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ x e. RR ) -> ( x # x <-> x #ℝ x ) )
4	3	anidms 395	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( x # x <-> x #ℝ x ) )
5	2, 4	mtbird 663	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> -. x # x )
6		reapirr 8475	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR -> -. y #ℝ y )
7		apreap 8485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR /\ y e. RR ) -> ( y # y <-> y #ℝ y ) )
8	7	anidms 395	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR -> ( y # y <-> y #ℝ y ) )
9	6, 8	mtbird 663	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR -> -. y # y )
10	5, 9	anim12i 336	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( -. x # x /\ -. y # y ) )
11		ioran 742	. . . . . . . 8 |- ( -. ( x # x \/ y # y ) <-> ( -. x # x /\ -. y # y ) )
12	10, 11	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> -. ( x # x \/ y # y ) )
13		apreim 8501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) <-> ( x # x \/ y # y ) ) )
14	13	anidms 395	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) <-> ( x # x \/ y # y ) ) )
15	12, 14	mtbird 663	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> -. ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) )
16	15	ad2antlr 481	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ A = ( x + ( _i x. y ) ) ) -> -. ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) )
17		id 19	. . . . . . . 8 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> A = ( x + ( _i x. y ) ) )
18	17, 17	breq12d 3995	. . . . . . 7 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( A # A <-> ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) ) )
19	18	notbid 657	. . . . . 6 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( -. A # A <-> -. ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) ) )
20	19	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ A = ( x + ( _i x. y ) ) ) -> ( -. A # A <-> -. ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) ) )
21	16, 20	mpbird 166	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ A = ( x + ( _i x. y ) ) ) -> -. A # A )
22	21	ex 114	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> -. A # A ) )
23	22	rexlimdvva 2591	. 2 |- ( A e. CC -> ( E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) -> -. A # A ) )
24	1, 23	mpd 13	1 |- ( A e. CC -> -. A # A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   E.wrex 2445   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   CCcc 7751   RRcr 7752   _ici 7755   + caddc 7756   x. cmul 7758   #_ℝ creap 8472   # cap 8479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-ltxr 7938  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480

This theorem is referenced by:  mulap0r  8513  eirr  11719  dcapnconst  13939