ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apirr Unicode version

Theorem apirr 8587
Description: Apartness is irreflexive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
apirr  |-  ( A  e.  CC  ->  -.  A #  A )

Proof of Theorem apirr
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 7978 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
2 reapirr 8559 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  -.  x #  x )
3 apreap 8569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x #  x  <->  x #  x )
)
43anidms 397 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x #  x  <->  x #  x )
)
52, 4mtbird 674 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  -.  x #  x )
6 reapirr 8559 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  -.  y #  y )
7 apreap 8569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y #  y  <->  y #  y )
)
87anidms 397 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y #  y  <->  y #  y )
)
96, 8mtbird 674 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  -.  y #  y )
105, 9anim12i 338 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -.  x #  x  /\  -.  y #  y ) )
11 ioran 753 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( x #  x  \/  y #  y )  <->  ( -.  x #  x  /\  -.  y #  y ) )
1210, 11sylibr 134 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  -.  ( x #  x  \/  y #  y )
)
13 apreim 8585 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( x  +  ( _i  x.  y
) ) #  ( x  +  ( _i  x.  y ) )  <->  ( x #  x  \/  y #  y
) ) )
1413anidms 397 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( x  +  ( _i  x.  y
) ) #  ( x  +  ( _i  x.  y ) )  <->  ( x #  x  \/  y #  y
) ) )
1512, 14mtbird 674 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  -.  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) #  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
1615ad2antlr 489 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )  ->  -.  ( x  +  (
_i  x.  y )
) #  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) )
17 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  ->  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) )
1817, 17breq12d 4031 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  ->  ( A #  A  <->  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) #  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
1918notbid 668 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  ->  ( -.  A #  A  <->  -.  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) #  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
2019adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )  ->  ( -.  A #  A  <->  -.  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) #  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
2116, 20mpbird 167 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )  ->  -.  A #  A )
2221ex 115 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  ->  ( A  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  ->  -.  A #  A ) )
2322rexlimdvva 2615 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  ->  -.  A #  A ) )
241, 23mpd 13 1  |-  ( A  e.  CC  ->  -.  A #  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709    = wceq 1364    e. wcel 2160   E.wrex 2469   class class class wbr 4018  (class class class)co 5892   CCcc 7834   RRcr 7835   _ici 7838    + caddc 7839    x. cmul 7841   # creap 8556   # cap 8563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-precex 7946  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-ltxr 8022  df-sub 8155  df-neg 8156  df-reap 8557  df-ap 8564
This theorem is referenced by:  mulap0r  8597  aptap  8632  eirr  11813  dcapnconst  15248
  Copyright terms: Public domain W3C validator