Theorem apirr 8524

Description: Apartness is irreflexive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
apirr	|- ( A e. CC -> -. A # A )

Proof of Theorem apirr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 7916	. 2 |- ( A e. CC -> E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) )
2		reapirr 8496	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> -. x #ℝ x )
3		apreap 8506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ x e. RR ) -> ( x # x <-> x #ℝ x ) )
4	3	anidms 395	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( x # x <-> x #ℝ x ) )
5	2, 4	mtbird 668	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> -. x # x )
6		reapirr 8496	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR -> -. y #ℝ y )
7		apreap 8506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR /\ y e. RR ) -> ( y # y <-> y #ℝ y ) )
8	7	anidms 395	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR -> ( y # y <-> y #ℝ y ) )
9	6, 8	mtbird 668	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR -> -. y # y )
10	5, 9	anim12i 336	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( -. x # x /\ -. y # y ) )
11		ioran 747	. . . . . . . 8 |- ( -. ( x # x \/ y # y ) <-> ( -. x # x /\ -. y # y ) )
12	10, 11	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> -. ( x # x \/ y # y ) )
13		apreim 8522	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) <-> ( x # x \/ y # y ) ) )
14	13	anidms 395	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) <-> ( x # x \/ y # y ) ) )
15	12, 14	mtbird 668	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> -. ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) )
16	15	ad2antlr 486	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ A = ( x + ( _i x. y ) ) ) -> -. ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) )
17		id 19	. . . . . . . 8 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> A = ( x + ( _i x. y ) ) )
18	17, 17	breq12d 4002	. . . . . . 7 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( A # A <-> ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) ) )
19	18	notbid 662	. . . . . 6 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( -. A # A <-> -. ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) ) )
20	19	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ A = ( x + ( _i x. y ) ) ) -> ( -. A # A <-> -. ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) ) )
21	16, 20	mpbird 166	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ A = ( x + ( _i x. y ) ) ) -> -. A # A )
22	21	ex 114	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> -. A # A ) )
23	22	rexlimdvva 2595	. 2 |- ( A e. CC -> ( E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) -> -. A # A ) )
24	1, 23	mpd 13	1 |- ( A e. CC -> -. A # A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   _ici 7776   + caddc 7777   x. cmul 7779   #_ℝ creap 8493   # cap 8500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-ltxr 7959  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501

This theorem is referenced by:  mulap0r  8534  eirr  11741  dcapnconst  14092