ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apirr Unicode version

Theorem apirr 8334
Description: Apartness is irreflexive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
apirr  |-  ( A  e.  CC  ->  -.  A #  A )

Proof of Theorem apirr
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 7730 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
2 reapirr 8306 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  -.  x #  x )
3 apreap 8316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x #  x  <->  x #  x )
)
43anidms 394 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x #  x  <->  x #  x )
)
52, 4mtbird 647 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  -.  x #  x )
6 reapirr 8306 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  -.  y #  y )
7 apreap 8316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y #  y  <->  y #  y )
)
87anidms 394 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y #  y  <->  y #  y )
)
96, 8mtbird 647 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  -.  y #  y )
105, 9anim12i 336 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -.  x #  x  /\  -.  y #  y ) )
11 ioran 726 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( x #  x  \/  y #  y )  <->  ( -.  x #  x  /\  -.  y #  y ) )
1210, 11sylibr 133 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  -.  ( x #  x  \/  y #  y )
)
13 apreim 8332 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( x  +  ( _i  x.  y
) ) #  ( x  +  ( _i  x.  y ) )  <->  ( x #  x  \/  y #  y
) ) )
1413anidms 394 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( x  +  ( _i  x.  y
) ) #  ( x  +  ( _i  x.  y ) )  <->  ( x #  x  \/  y #  y
) ) )
1512, 14mtbird 647 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  -.  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) #  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
1615ad2antlr 480 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )  ->  -.  ( x  +  (
_i  x.  y )
) #  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) )
17 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  ->  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) )
1817, 17breq12d 3912 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  ->  ( A #  A  <->  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) #  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
1918notbid 641 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  ->  ( -.  A #  A  <->  -.  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) #  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
2019adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )  ->  ( -.  A #  A  <->  -.  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) #  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
2116, 20mpbird 166 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )  ->  -.  A #  A )
2221ex 114 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  ->  ( A  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  ->  -.  A #  A ) )
2322rexlimdvva 2534 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  ->  -.  A #  A ) )
241, 23mpd 13 1  |-  ( A  e.  CC  ->  -.  A #  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682    = wceq 1316    e. wcel 1465   E.wrex 2394   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   CCcc 7586   RRcr 7587   _ici 7590    + caddc 7591    x. cmul 7593   # creap 8303   # cap 8310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-ltxr 7773  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8304  df-ap 8311
This theorem is referenced by:  mulap0r  8344  eirr  11397
  Copyright terms: Public domain W3C validator