Theorem apirr 8624

Description: Apartness is irreflexive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
apirr	|- ( A e. CC -> -. A # A )

Proof of Theorem apirr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 8015	. 2 |- ( A e. CC -> E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) )
2		reapirr 8596	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> -. x #ℝ x )
3		apreap 8606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ x e. RR ) -> ( x # x <-> x #ℝ x ) )
4	3	anidms 397	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( x # x <-> x #ℝ x ) )
5	2, 4	mtbird 674	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> -. x # x )
6		reapirr 8596	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR -> -. y #ℝ y )
7		apreap 8606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR /\ y e. RR ) -> ( y # y <-> y #ℝ y ) )
8	7	anidms 397	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR -> ( y # y <-> y #ℝ y ) )
9	6, 8	mtbird 674	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR -> -. y # y )
10	5, 9	anim12i 338	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( -. x # x /\ -. y # y ) )
11		ioran 753	. . . . . . . 8 |- ( -. ( x # x \/ y # y ) <-> ( -. x # x /\ -. y # y ) )
12	10, 11	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> -. ( x # x \/ y # y ) )
13		apreim 8622	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) <-> ( x # x \/ y # y ) ) )
14	13	anidms 397	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) <-> ( x # x \/ y # y ) ) )
15	12, 14	mtbird 674	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> -. ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) )
16	15	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ A = ( x + ( _i x. y ) ) ) -> -. ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) )
17		id 19	. . . . . . . 8 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> A = ( x + ( _i x. y ) ) )
18	17, 17	breq12d 4042	. . . . . . 7 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( A # A <-> ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) ) )
19	18	notbid 668	. . . . . 6 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( -. A # A <-> -. ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) ) )
20	19	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ A = ( x + ( _i x. y ) ) ) -> ( -. A # A <-> -. ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) ) )
21	16, 20	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ A = ( x + ( _i x. y ) ) ) -> -. A # A )
22	21	ex 115	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> -. A # A ) )
23	22	rexlimdvva 2619	. 2 |- ( A e. CC -> ( E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) -> -. A # A ) )
24	1, 23	mpd 13	1 |- ( A e. CC -> -. A # A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   E.wrex 2473   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   CCcc 7870   RRcr 7871   _ici 7874   + caddc 7875   x. cmul 7877   #_ℝ creap 8593   # cap 8600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601

This theorem is referenced by:  mulap0r  8634  aptap  8669  eirr  11922  dcapnconst  15551