Theorem riotaexg 5905

Description: Restricted iota is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
riotaexg	|- ( A e. V -> ( iota_ x e. A ps ) e. _V )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   ps( x)   V( x)

Proof of Theorem riotaexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-riota 5901	. 2 |- ( iota_ x e. A ps ) = ( iota x ( x e. A /\ ps ) )
2		uniexg 4487	. . 3 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
3		iotass 5250	. . . . 5 |- ( A. x ( ( x e. A /\ ps ) -> x C_ U. A ) -> ( iota x ( x e. A /\ ps ) ) C_ U. A )
4		elssuni 3878	. . . . . 6 |- ( x e. A -> x C_ U. A )
5	4	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ ps ) -> x C_ U. A )
6	3, 5	mpg 1474	. . . 4 |- ( iota x ( x e. A /\ ps ) ) C_ U. A
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( A e. V -> ( iota x ( x e. A /\ ps ) ) C_ U. A )
8	2, 7	ssexd 4185	. 2 |- ( A e. V -> ( iota x ( x e. A /\ ps ) ) e. _V )
9	1, 8	eqeltrid 2292	1 |- ( A e. V -> ( iota_ x e. A ps ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   C_ wss 3166   U.cuni 3850   iotacio 5231   iota_crio 5900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-un 4481

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851  df-iota 5233  df-riota 5901

This theorem is referenced by:  iotaexel  5906  flval  10417  sqrtrval  11344  qnumval  12540  qdenval  12541  grpidvalg  13238  fn0g  13240  grpinvval  13408  grpinvfng  13409