Theorem riotaexg 6015

Description: Restricted iota is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
riotaexg	|- ( A e. V -> ( iota_ x e. A ps ) e. _V )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   ps( x)   V( x)

Proof of Theorem riotaexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-riota 6011	. 2 |- ( iota_ x e. A ps ) = ( iota x ( x e. A /\ ps ) )
2		uniexg 4565	. . 3 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
3		iotass 5335	. . . . 5 |- ( A. x ( ( x e. A /\ ps ) -> x C_ U. A ) -> ( iota x ( x e. A /\ ps ) ) C_ U. A )
4		elssuni 3947	. . . . . 6 |- ( x e. A -> x C_ U. A )
5	4	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ ps ) -> x C_ U. A )
6	3, 5	mpg 1500	. . . 4 |- ( iota x ( x e. A /\ ps ) ) C_ U. A
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( A e. V -> ( iota x ( x e. A /\ ps ) ) C_ U. A )
8	2, 7	ssexd 4255	. 2 |- ( A e. V -> ( iota x ( x e. A /\ ps ) ) e. _V )
9	1, 8	eqeltrid 2321	1 |- ( A e. V -> ( iota_ x e. A ps ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   C_ wss 3214   U.cuni 3919   iotacio 5315   iota_crio 6010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-uni 3920  df-iota 5317  df-riota 6011

This theorem is referenced by:  iotaexel  6016  flval  10656  sqrtrval  11710  qnumval  12907  qdenval  12908  grpidvalg  13636  fn0g  13638  grpinvval  13798  grpinvfng  13799  usgredg2v  16345