Theorem sqrtrval 10772

Description: Value of square root function. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtrval	|- ( A e. RR -> ( sqr ` A ) = ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem sqrtrval

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2149	. . . 4 |- ( y = A -> ( ( x ^ 2 ) = y <-> ( x ^ 2 ) = A ) )
2	1	anbi1d 460	. . 3 |- ( y = A -> ( ( ( x ^ 2 ) = y /\ 0 <_ x ) <-> ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) )
3	2	riotabidv 5732	. 2 |- ( y = A -> ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = y /\ 0 <_ x ) ) = ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) )
4		df-rsqrt 10770	. 2 |- sqr = ( y e. RR |-> ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = y /\ 0 <_ x ) ) )
5		reex 7754	. . 3 |- RR e. _V
6		riotaexg 5734	. . 3 |- ( RR e. _V -> ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) e. _V )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) e. _V
8	3, 4, 7	fvmpt 5498	1 |- ( A e. RR -> ( sqr ` A ) = ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   class class class wbr 3929   ` cfv 5123   iota_crio 5729  (class class class)co 5774   RRcr 7619   0cc0 7620   <_ cle 7801   2c2 8771   ^cexp 10292   sqrcsqrt 10768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-rsqrt 10770

This theorem is referenced by:  sqrt0  10776  resqrtcl  10801  rersqrtthlem  10802  sqrtsq  10816