Theorem sqrtrval 10804

Description: Value of square root function. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtrval	|- ( A e. RR -> ( sqr ` A ) = ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem sqrtrval

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2150	. . . 4 |- ( y = A -> ( ( x ^ 2 ) = y <-> ( x ^ 2 ) = A ) )
2	1	anbi1d 461	. . 3 |- ( y = A -> ( ( ( x ^ 2 ) = y /\ 0 <_ x ) <-> ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) )
3	2	riotabidv 5740	. 2 |- ( y = A -> ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = y /\ 0 <_ x ) ) = ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) )
4		df-rsqrt 10802	. 2 |- sqr = ( y e. RR |-> ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = y /\ 0 <_ x ) ) )
5		reex 7778	. . 3 |- RR e. _V
6		riotaexg 5742	. . 3 |- ( RR e. _V -> ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) e. _V )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) e. _V
8	3, 4, 7	fvmpt 5506	1 |- ( A e. RR -> ( sqr ` A ) = ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   class class class wbr 3937   ` cfv 5131   iota_crio 5737  (class class class)co 5782   RRcr 7643   0cc0 7644   <_ cle 7825   2c2 8795   ^cexp 10323   sqrcsqrt 10800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-rsqrt 10802

This theorem is referenced by:  sqrt0  10808  resqrtcl  10833  rersqrtthlem  10834  sqrtsq  10848