Theorem grpinvfng 13116

Description: Functionality of the group inverse function. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvfn.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvfn.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvfng	|- ( G e. V -> N Fn B )

Proof of Theorem grpinvfng

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvfn.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
2		basfn 12676	. . . . . . 7 |- Base Fn _V
3		elex 2771	. . . . . . 7 |- ( G e. V -> G e. _V )
4		funfvex 5571	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ G e. dom Base ) -> ( Base ` G ) e. _V )
5	4	funfni 5354	. . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ G e. _V ) -> ( Base ` G ) e. _V )
6	2, 3, 5	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( G e. V -> ( Base ` G ) e. _V )
7	1, 6	eqeltrid 2280	. . . . 5 |- ( G e. V -> B e. _V )
8		riotaexg 5877	. . . . 5 |- ( B e. _V -> ( iota_ y e. B ( y ( +g ` G ) x ) = ( 0g ` G ) ) e. _V )
9	7, 8	syl 14	. . . 4 |- ( G e. V -> ( iota_ y e. B ( y ( +g ` G ) x ) = ( 0g ` G ) ) e. _V )
10	9	ralrimivw 2568	. . 3 |- ( G e. V -> A. x e. B ( iota_ y e. B ( y ( +g ` G ) x ) = ( 0g ` G ) ) e. _V )
11		eqid 2193	. . . 4 |- ( x e. B |-> ( iota_ y e. B ( y ( +g ` G ) x ) = ( 0g ` G ) ) ) = ( x e. B |-> ( iota_ y e. B ( y ( +g ` G ) x ) = ( 0g ` G ) ) )
12	11	fnmpt 5380	. . 3 |- ( A. x e. B ( iota_ y e. B ( y ( +g ` G ) x ) = ( 0g ` G ) ) e. _V -> ( x e. B |-> ( iota_ y e. B ( y ( +g ` G ) x ) = ( 0g ` G ) ) ) Fn B )
13	10, 12	syl 14	. 2 |- ( G e. V -> ( x e. B |-> ( iota_ y e. B ( y ( +g ` G ) x ) = ( 0g ` G ) ) ) Fn B )
14		eqid 2193	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
15		eqid 2193	. . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
16		grpinvfn.n	. . . 4 |- N = ( invg ` G )
17	1, 14, 15, 16	grpinvfvalg 13114	. . 3 |- ( G e. V -> N = ( x e. B |-> ( iota_ y e. B ( y ( +g ` G ) x ) = ( 0g ` G ) ) ) )
18	17	fneq1d 5344	. 2 |- ( G e. V -> ( N Fn B <-> ( x e. B |-> ( iota_ y e. B ( y ( +g ` G ) x ) = ( 0g ` G ) ) ) Fn B ) )
19	13, 18	mpbird 167	1 |- ( G e. V -> N Fn B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   |-> cmpt 4090   Fn wfn 5249   ` cfv 5254   iota_crio 5872  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   0gc0g 12867   invgcminusg 13073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-inn 8983  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-minusg 13076

This theorem is referenced by:  isgrpinv  13126  mulgval  13192  mulgfng  13194  invrfvald  13618