Theorem riotaexg 6032

Description: Restricted iota is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
riotaexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem riotaexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-riota 6028	. 2 ⊢ (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) = (℩𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓))
2		uniexg 4580	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 ∈ V)
3		iotass 5350	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → 𝑥 ⊆ ∪ 𝐴) → (℩𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)) ⊆ ∪ 𝐴)
4		elssuni 3958	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ⊆ ∪ 𝐴)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → 𝑥 ⊆ ∪ 𝐴)
6	3, 5	mpg 1504	. . . 4 ⊢ (℩𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)) ⊆ ∪ 𝐴
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (℩𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)) ⊆ ∪ 𝐴)
8	2, 7	ssexd 4268	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (℩𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)) ∈ V)
9	1, 8	eqeltrid 2325	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  ∪ cuni 3930  ℩cio 5330  ℩crio 6027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-uni 3931  df-iota 5332  df-riota 6028

This theorem is referenced by:  iotaexel  6033  flval  10685  sqrtrval  11744  qnumval  12941  qdenval  12942  grpidvalg  13670  fn0g  13672  grpinvval  13825  grpinvfng  13826  usgredg2v  16379