Theorem riotaexg 5877

Description: Restricted iota is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
riotaexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem riotaexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-riota 5873	. 2 ⊢ (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) = (℩𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓))
2		uniexg 4470	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 ∈ V)
3		iotass 5232	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → 𝑥 ⊆ ∪ 𝐴) → (℩𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)) ⊆ ∪ 𝐴)
4		elssuni 3863	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ⊆ ∪ 𝐴)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → 𝑥 ⊆ ∪ 𝐴)
6	3, 5	mpg 1462	. . . 4 ⊢ (℩𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)) ⊆ ∪ 𝐴
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (℩𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)) ⊆ ∪ 𝐴)
8	2, 7	ssexd 4169	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (℩𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)) ∈ V)
9	1, 8	eqeltrid 2280	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ⊆ wss 3153  ∪ cuni 3835  ℩cio 5213  ℩crio 5872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-iota 5215  df-riota 5873

This theorem is referenced by:  iotaexel  5878  flval  10341  sqrtrval  11144  qnumval  12323  qdenval  12324  grpidvalg  12956  fn0g  12958  grpinvval  13115  grpinvfng  13116