Theorem riotaexg 5926

Description: Restricted iota is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
riotaexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem riotaexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-riota 5922	. 2 ⊢ (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) = (℩𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓))
2		uniexg 4504	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 ∈ V)
3		iotass 5268	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → 𝑥 ⊆ ∪ 𝐴) → (℩𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)) ⊆ ∪ 𝐴)
4		elssuni 3892	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ⊆ ∪ 𝐴)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → 𝑥 ⊆ ∪ 𝐴)
6	3, 5	mpg 1475	. . . 4 ⊢ (℩𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)) ⊆ ∪ 𝐴
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (℩𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)) ⊆ ∪ 𝐴)
8	2, 7	ssexd 4200	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (℩𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)) ∈ V)
9	1, 8	eqeltrid 2294	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2178  Vcvv 2776   ⊆ wss 3174  ∪ cuni 3864  ℩cio 5249  ℩crio 5921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-uni 3865  df-iota 5251  df-riota 5922

This theorem is referenced by:  iotaexel  5927  flval  10452  sqrtrval  11426  qnumval  12622  qdenval  12623  grpidvalg  13320  fn0g  13322  grpinvval  13490  grpinvfng  13491