Theorem riotaexg 5881

Description: Restricted iota is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
riotaexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem riotaexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-riota 5877	. 2 ⊢ (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) = (℩𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓))
2		uniexg 4474	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 ∈ V)
3		iotass 5236	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → 𝑥 ⊆ ∪ 𝐴) → (℩𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)) ⊆ ∪ 𝐴)
4		elssuni 3867	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ⊆ ∪ 𝐴)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → 𝑥 ⊆ ∪ 𝐴)
6	3, 5	mpg 1465	. . . 4 ⊢ (℩𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)) ⊆ ∪ 𝐴
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (℩𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)) ⊆ ∪ 𝐴)
8	2, 7	ssexd 4173	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (℩𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)) ∈ V)
9	1, 8	eqeltrid 2283	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ⊆ wss 3157  ∪ cuni 3839  ℩cio 5217  ℩crio 5876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-uni 3840  df-iota 5219  df-riota 5877

This theorem is referenced by:  iotaexel  5882  flval  10362  sqrtrval  11165  qnumval  12353  qdenval  12354  grpidvalg  13016  fn0g  13018  grpinvval  13175  grpinvfng  13176