Theorem fiprc 6931

Description: The class of finite sets is a proper class. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Oct-2008.)

Assertion

Ref	Expression
fiprc	|- Fin e/ _V

Proof of Theorem fiprc

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snnex 4513	. 2 |- { x | E. y x = { y } } e/ _V
2		vex 2779	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
3		snfig 6930	. . . . . . . . 9 |- ( y e. _V -> { y } e. Fin )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- { y } e. Fin
5		eleq1 2270	. . . . . . . 8 |- ( x = { y } -> ( x e. Fin <-> { y } e. Fin ) )
6	4, 5	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( x = { y } -> x e. Fin )
7	6	exlimiv 1622	. . . . . 6 |- ( E. y x = { y } -> x e. Fin )
8	7	abssi 3276	. . . . 5 |- { x | E. y x = { y } } C_ Fin
9		ssexg 4199	. . . . 5 |- ( ( { x | E. y x = { y } } C_ Fin /\ Fin e. _V ) -> { x | E. y x = { y } } e. _V )
10	8, 9	mpan 424	. . . 4 |- ( Fin e. _V -> { x | E. y x = { y } } e. _V )
11	10	con3i 633	. . 3 |- ( -. { x | E. y x = { y } } e. _V -> -. Fin e. _V )
12		df-nel 2474	. . 3 |- ( { x | E. y x = { y } } e/ _V <-> -. { x | E. y x = { y } } e. _V )
13		df-nel 2474	. . 3 |- ( Fin e/ _V <-> -. Fin e. _V )
14	11, 12, 13	3imtr4i 201	. 2 |- ( { x | E. y x = { y } } e/ _V -> Fin e/ _V )
15	1, 14	ax-mp 5	1 |- Fin e/ _V

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   {cab 2193   e/ wnel 2473   _Vcvv 2776   C_ wss 3174   {csn 3643   Fincfn 6850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-1o 6525  df-en 6851  df-fin 6853

This theorem is referenced by: (None)