Theorem fiprc 6907

Description: The class of finite sets is a proper class. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Oct-2008.)

Assertion

Ref	Expression
fiprc	|- Fin e/ _V

Proof of Theorem fiprc

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snnex 4495	. 2 |- { x | E. y x = { y } } e/ _V
2		vex 2775	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
3		snfig 6906	. . . . . . . . 9 |- ( y e. _V -> { y } e. Fin )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- { y } e. Fin
5		eleq1 2268	. . . . . . . 8 |- ( x = { y } -> ( x e. Fin <-> { y } e. Fin ) )
6	4, 5	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( x = { y } -> x e. Fin )
7	6	exlimiv 1621	. . . . . 6 |- ( E. y x = { y } -> x e. Fin )
8	7	abssi 3268	. . . . 5 |- { x | E. y x = { y } } C_ Fin
9		ssexg 4183	. . . . 5 |- ( ( { x | E. y x = { y } } C_ Fin /\ Fin e. _V ) -> { x | E. y x = { y } } e. _V )
10	8, 9	mpan 424	. . . 4 |- ( Fin e. _V -> { x | E. y x = { y } } e. _V )
11	10	con3i 633	. . 3 |- ( -. { x | E. y x = { y } } e. _V -> -. Fin e. _V )
12		df-nel 2472	. . 3 |- ( { x | E. y x = { y } } e/ _V <-> -. { x | E. y x = { y } } e. _V )
13		df-nel 2472	. . 3 |- ( Fin e/ _V <-> -. Fin e. _V )
14	11, 12, 13	3imtr4i 201	. 2 |- ( { x | E. y x = { y } } e/ _V -> Fin e/ _V )
15	1, 14	ax-mp 5	1 |- Fin e/ _V

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   {cab 2191   e/ wnel 2471   _Vcvv 2772   C_ wss 3166   {csn 3633   Fincfn 6827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-1o 6502  df-en 6828  df-fin 6830

This theorem is referenced by: (None)