ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fiprc Unicode version

Theorem fiprc 6532
Description: The class of finite sets is a proper class. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Oct-2008.)
Assertion
Ref Expression
fiprc  |-  Fin  e/  _V

Proof of Theorem fiprc
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snnex 4271 . 2  |-  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V
2 vex 2622 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
3 snfig 6531 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  _V  ->  { y }  e.  Fin )
42, 3ax-mp 7 . . . . . . . 8  |-  { y }  e.  Fin
5 eleq1 2150 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { y }  ->  ( x  e. 
Fin 
<->  { y }  e.  Fin ) )
64, 5mpbiri 166 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { y }  ->  x  e.  Fin )
76exlimiv 1534 . . . . . 6  |-  ( E. y  x  =  {
y }  ->  x  e.  Fin )
87abssi 3096 . . . . 5  |-  { x  |  E. y  x  =  { y } }  C_ 
Fin
9 ssexg 3978 . . . . 5  |-  ( ( { x  |  E. y  x  =  {
y } }  C_  Fin  /\  Fin  e.  _V )  ->  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V )
108, 9mpan 415 . . . 4  |-  ( Fin 
e.  _V  ->  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V )
1110con3i 597 . . 3  |-  ( -. 
{ x  |  E. y  x  =  {
y } }  e.  _V  ->  -.  Fin  e.  _V )
12 df-nel 2351 . . 3  |-  ( { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V  <->  -.  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V )
13 df-nel 2351 . . 3  |-  ( Fin 
e/  _V  <->  -.  Fin  e.  _V )
1411, 12, 133imtr4i 199 . 2  |-  ( { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V  ->  Fin 
e/  _V )
151, 14ax-mp 7 1  |-  Fin  e/  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   {cab 2074    e/ wnel 2350   _Vcvv 2619    C_ wss 2999   {csn 3446   Fincfn 6457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-1o 6181  df-en 6458  df-fin 6460
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator