Theorem fiprc 6717

Description: The class of finite sets is a proper class. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Oct-2008.)

Assertion

Ref	Expression
fiprc	|- Fin e/ _V

Proof of Theorem fiprc

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snnex 4377	. 2 |- { x | E. y x = { y } } e/ _V
2		vex 2692	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
3		snfig 6716	. . . . . . . . 9 |- ( y e. _V -> { y } e. Fin )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- { y } e. Fin
5		eleq1 2203	. . . . . . . 8 |- ( x = { y } -> ( x e. Fin <-> { y } e. Fin ) )
6	4, 5	mpbiri 167	. . . . . . 7 |- ( x = { y } -> x e. Fin )
7	6	exlimiv 1578	. . . . . 6 |- ( E. y x = { y } -> x e. Fin )
8	7	abssi 3177	. . . . 5 |- { x | E. y x = { y } } C_ Fin
9		ssexg 4075	. . . . 5 |- ( ( { x | E. y x = { y } } C_ Fin /\ Fin e. _V ) -> { x | E. y x = { y } } e. _V )
10	8, 9	mpan 421	. . . 4 |- ( Fin e. _V -> { x | E. y x = { y } } e. _V )
11	10	con3i 622	. . 3 |- ( -. { x | E. y x = { y } } e. _V -> -. Fin e. _V )
12		df-nel 2405	. . 3 |- ( { x | E. y x = { y } } e/ _V <-> -. { x | E. y x = { y } } e. _V )
13		df-nel 2405	. . 3 |- ( Fin e/ _V <-> -. Fin e. _V )
14	11, 12, 13	3imtr4i 200	. 2 |- ( { x | E. y x = { y } } e/ _V -> Fin e/ _V )
15	1, 14	ax-mp 5	1 |- Fin e/ _V

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   {cab 2126   e/ wnel 2404   _Vcvv 2689   C_ wss 3076   {csn 3532   Fincfn 6642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-1o 6321  df-en 6643  df-fin 6645

This theorem is referenced by: (None)