Theorem fiprc 6869

Description: The class of finite sets is a proper class. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Oct-2008.)

Assertion

Ref	Expression
fiprc	|- Fin e/ _V

Proof of Theorem fiprc

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snnex 4479	. 2 |- { x | E. y x = { y } } e/ _V
2		vex 2763	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
3		snfig 6868	. . . . . . . . 9 |- ( y e. _V -> { y } e. Fin )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- { y } e. Fin
5		eleq1 2256	. . . . . . . 8 |- ( x = { y } -> ( x e. Fin <-> { y } e. Fin ) )
6	4, 5	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( x = { y } -> x e. Fin )
7	6	exlimiv 1609	. . . . . 6 |- ( E. y x = { y } -> x e. Fin )
8	7	abssi 3254	. . . . 5 |- { x | E. y x = { y } } C_ Fin
9		ssexg 4168	. . . . 5 |- ( ( { x | E. y x = { y } } C_ Fin /\ Fin e. _V ) -> { x | E. y x = { y } } e. _V )
10	8, 9	mpan 424	. . . 4 |- ( Fin e. _V -> { x | E. y x = { y } } e. _V )
11	10	con3i 633	. . 3 |- ( -. { x | E. y x = { y } } e. _V -> -. Fin e. _V )
12		df-nel 2460	. . 3 |- ( { x | E. y x = { y } } e/ _V <-> -. { x | E. y x = { y } } e. _V )
13		df-nel 2460	. . 3 |- ( Fin e/ _V <-> -. Fin e. _V )
14	11, 12, 13	3imtr4i 201	. 2 |- ( { x | E. y x = { y } } e/ _V -> Fin e/ _V )
15	1, 14	ax-mp 5	1 |- Fin e/ _V

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   {cab 2179   e/ wnel 2459   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   {csn 3618   Fincfn 6794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-1o 6469  df-en 6795  df-fin 6797

This theorem is referenced by: (None)