Theorem fiprc 7070

Description: The class of finite sets is a proper class. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Oct-2008.)

Assertion

Ref	Expression
fiprc	|- Fin e/ _V

Proof of Theorem fiprc

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snnex 4574	. 2 |- { x | E. y x = { y } } e/ _V
2		vex 2818	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
3		snfig 7069	. . . . . . . . 9 |- ( y e. _V -> { y } e. Fin )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- { y } e. Fin
5		eleq1 2297	. . . . . . . 8 |- ( x = { y } -> ( x e. Fin <-> { y } e. Fin ) )
6	4, 5	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( x = { y } -> x e. Fin )
7	6	exlimiv 1647	. . . . . 6 |- ( E. y x = { y } -> x e. Fin )
8	7	abssi 3317	. . . . 5 |- { x | E. y x = { y } } C_ Fin
9		ssexg 4254	. . . . 5 |- ( ( { x | E. y x = { y } } C_ Fin /\ Fin e. _V ) -> { x | E. y x = { y } } e. _V )
10	8, 9	mpan 424	. . . 4 |- ( Fin e. _V -> { x | E. y x = { y } } e. _V )
11	10	con3i 637	. . 3 |- ( -. { x | E. y x = { y } } e. _V -> -. Fin e. _V )
12		df-nel 2510	. . 3 |- ( { x | E. y x = { y } } e/ _V <-> -. { x | E. y x = { y } } e. _V )
13		df-nel 2510	. . 3 |- ( Fin e/ _V <-> -. Fin e. _V )
14	11, 12, 13	3imtr4i 201	. 2 |- ( { x | E. y x = { y } } e/ _V -> Fin e/ _V )
15	1, 14	ax-mp 5	1 |- Fin e/ _V

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   {cab 2220   e/ wnel 2509   _Vcvv 2815   C_ wss 3214   {csn 3694   Fincfn 6988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-1o 6660  df-en 6989  df-fin 6991

This theorem is referenced by: (None)