Theorem srgdir 14119

Description: Distributive law for the multiplication operation of a semiring. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgdi.b	|- B = ( Base ` R )
srgdi.p	|- .+ = ( +g ` R )
srgdi.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srgdir	|- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .x. Z ) = ( ( X .x. Z ) .+ ( Y .x. Z ) ) )

Proof of Theorem srgdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgdi.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
2		srgdi.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` R )
3		srgdi.t	. . 3 |- .x. = ( .r ` R )
4	1, 2, 3	srgdilem 14113	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .x. ( Y .+ Z ) ) = ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. Z ) ) /\ ( ( X .+ Y ) .x. Z ) = ( ( X .x. Z ) .+ ( Y .x. Z ) ) ) )
5	4	simprd 114	1 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .x. Z ) = ( ( X .x. Z ) .+ ( Y .x. Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   +g cplusg 13290   .rcmulr 13291  SRingcsrg 14107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-0g 13471  df-srg 14108

This theorem is referenced by:  srgmulgass  14133  srgrmhm  14138