Theorem srgdilem 14380

Description: Lemma for srgdi 14385 and srgdir 14386. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgdilem.b	|- B = ( Base ` R )
srgdilem.p	|- .+ = ( +g ` R )
srgdilem.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srgdilem	|- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .x. ( Y .+ Z ) ) = ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. Z ) ) /\ ( ( X .+ Y ) .x. Z ) = ( ( X .x. Z ) .+ ( Y .x. Z ) ) ) )

Proof of Theorem srgdilem

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgdilem.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` R )
2		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
3		srgdilem.p	. . . . . . . . . . 11 |- .+ = ( +g ` R )
4		srgdilem.t	. . . . . . . . . . 11 |- .x. = ( .r ` R )
5		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
6	1, 2, 3, 4, 5	issrg 14376	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. SRing <-> ( R e. CMnd /\ (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( ( 0g ` R ) .x. x ) = ( 0g ` R ) /\ ( x .x. ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
7	6	simp3bi 1045	. . . . . . . . 9 |- ( R e. SRing -> A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( ( 0g ` R ) .x. x ) = ( 0g ` R ) /\ ( x .x. ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
8	7	r19.21bi 2638	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ x e. B ) -> ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( ( 0g ` R ) .x. x ) = ( 0g ` R ) /\ ( x .x. ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
9	8	simpld 112	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ x e. B ) -> A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
10	9	3ad2antr1 1193	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
11		simpr2 1035	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> y e. B )
12		rsp 2597	. . . . . 6 |- ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) -> ( y e. B -> A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
13	10, 11, 12	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
14		simpr3 1036	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> z e. B )
15		rsp 2597	. . . . 5 |- ( A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) -> ( z e. B -> ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
16	13, 14, 15	sylc 62	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
17	16	simpld 112	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
18	17	caovdig 6267	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .x. ( Y .+ Z ) ) = ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. Z ) ) )
19	16	simprd 114	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
20	19	caovdirg 6270	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .x. Z ) = ( ( X .x. Z ) .+ ( Y .x. Z ) ) )
21	18, 20	jca 306	1 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .x. ( Y .+ Z ) ) = ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. Z ) ) /\ ( ( X .+ Y ) .x. Z ) = ( ( X .x. Z ) .+ ( Y .x. Z ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13410   +g cplusg 13490   .rcmulr 13491   0gc0g 13669   Mndcmnd 13788  CMndccmn 14177  mulGrpcmgp 14324  SRingcsrg 14374

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-0g 13671  df-srg 14375

This theorem is used by:  srgdi  14385  srgdir  14386