Theorem srgdilem 14212

Description: Lemma for srgdi 14217 and srgdir 14218. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgdilem.b	|- B = ( Base ` R )
srgdilem.p	|- .+ = ( +g ` R )
srgdilem.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srgdilem	|- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .x. ( Y .+ Z ) ) = ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. Z ) ) /\ ( ( X .+ Y ) .x. Z ) = ( ( X .x. Z ) .+ ( Y .x. Z ) ) ) )

Proof of Theorem srgdilem

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgdilem.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` R )
2		eqid 2234	. . . . . . . . . . 11 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
3		srgdilem.p	. . . . . . . . . . 11 |- .+ = ( +g ` R )
4		srgdilem.t	. . . . . . . . . . 11 |- .x. = ( .r ` R )
5		eqid 2234	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
6	1, 2, 3, 4, 5	issrg 14208	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. SRing <-> ( R e. CMnd /\ (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( ( 0g ` R ) .x. x ) = ( 0g ` R ) /\ ( x .x. ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
7	6	simp3bi 1041	. . . . . . . . 9 |- ( R e. SRing -> A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( ( 0g ` R ) .x. x ) = ( 0g ` R ) /\ ( x .x. ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
8	7	r19.21bi 2632	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ x e. B ) -> ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( ( 0g ` R ) .x. x ) = ( 0g ` R ) /\ ( x .x. ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
9	8	simpld 112	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ x e. B ) -> A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
10	9	3ad2antr1 1189	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
11		simpr2 1031	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> y e. B )
12		rsp 2591	. . . . . 6 |- ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) -> ( y e. B -> A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
13	10, 11, 12	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
14		simpr3 1032	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> z e. B )
15		rsp 2591	. . . . 5 |- ( A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) -> ( z e. B -> ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
16	13, 14, 15	sylc 62	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
17	16	simpld 112	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
18	17	caovdig 6237	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .x. ( Y .+ Z ) ) = ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. Z ) ) )
19	16	simprd 114	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
20	19	caovdirg 6240	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .x. Z ) = ( ( X .x. Z ) .+ ( Y .x. Z ) ) )
21	18, 20	jca 306	1 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .x. ( Y .+ Z ) ) = ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. Z ) ) /\ ( ( X .+ Y ) .x. Z ) = ( ( X .x. Z ) .+ ( Y .x. Z ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13296   +g cplusg 13374   .rcmulr 13375   0gc0g 13553   Mndcmnd 13677  CMndccmn 14037  mulGrpcmgp 14159  SRingcsrg 14206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-0g 13555  df-srg 14207

This theorem is referenced by:  srgdi  14217  srgdir  14218