Theorem srgdilem 13465

Description: Lemma for srgdi 13470 and srgdir 13471. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgdilem.b	|- B = ( Base ` R )
srgdilem.p	|- .+ = ( +g ` R )
srgdilem.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srgdilem	|- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .x. ( Y .+ Z ) ) = ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. Z ) ) /\ ( ( X .+ Y ) .x. Z ) = ( ( X .x. Z ) .+ ( Y .x. Z ) ) ) )

Proof of Theorem srgdilem

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgdilem.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` R )
2		eqid 2193	. . . . . . . . . . 11 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
3		srgdilem.p	. . . . . . . . . . 11 |- .+ = ( +g ` R )
4		srgdilem.t	. . . . . . . . . . 11 |- .x. = ( .r ` R )
5		eqid 2193	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
6	1, 2, 3, 4, 5	issrg 13461	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. SRing <-> ( R e. CMnd /\ (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( ( 0g ` R ) .x. x ) = ( 0g ` R ) /\ ( x .x. ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
7	6	simp3bi 1016	. . . . . . . . 9 |- ( R e. SRing -> A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( ( 0g ` R ) .x. x ) = ( 0g ` R ) /\ ( x .x. ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
8	7	r19.21bi 2582	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ x e. B ) -> ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( ( 0g ` R ) .x. x ) = ( 0g ` R ) /\ ( x .x. ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
9	8	simpld 112	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ x e. B ) -> A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
10	9	3ad2antr1 1164	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
11		simpr2 1006	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> y e. B )
12		rsp 2541	. . . . . 6 |- ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) -> ( y e. B -> A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
13	10, 11, 12	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
14		simpr3 1007	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> z e. B )
15		rsp 2541	. . . . 5 |- ( A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) -> ( z e. B -> ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
16	13, 14, 15	sylc 62	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
17	16	simpld 112	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
18	17	caovdig 6093	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .x. ( Y .+ Z ) ) = ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. Z ) ) )
19	16	simprd 114	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
20	19	caovdirg 6096	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .x. Z ) = ( ( X .x. Z ) .+ ( Y .x. Z ) ) )
21	18, 20	jca 306	1 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .x. ( Y .+ Z ) ) = ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. Z ) ) /\ ( ( X .+ Y ) .x. Z ) = ( ( X .x. Z ) .+ ( Y .x. Z ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   .rcmulr 12696   0gc0g 12867   Mndcmnd 12997  CMndccmn 13354  mulGrpcmgp 13416  SRingcsrg 13459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-srg 13460

This theorem is referenced by:  srgdi  13470  srgdir  13471