ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  srgdir GIF version

Theorem srgdir 12971
Description: Distributive law for the multiplication operation of a semiring. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
srgdi.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgdi.p + = (+g𝑅)
srgdi.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
srgdir ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem srgdir
StepHypRef Expression
1 srgdi.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 srgdi.p . . 3 + = (+g𝑅)
3 srgdi.t . . 3 · = (.r𝑅)
41, 2, 3srgdilem 12965 . 2 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))))
54simprd 114 1 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  cfv 5211  (class class class)co 5868  Basecbs 12432  +gcplusg 12505  .rcmulr 12506  SRingcsrg 12959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1re 7883  ax-addrcl 7886
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-plusg 12518  df-mulr 12519  df-0g 12642  df-srg 12960
This theorem is referenced by:  srgmulgass  12985  srgrmhm  12990
  Copyright terms: Public domain W3C validator