Theorem srgdir 13812

Description: Distributive law for the multiplication operation of a semiring. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgdi.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
srgdi.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srgdir	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem srgdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgdi.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		srgdi.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
3		srgdi.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	srgdilem 13806	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))))
5	4	simprd 114	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  Basecbs 12907  +_gcplusg 12984  ._rcmulr 12985  SRingcsrg 13800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1re 8039  ax-addrcl 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-0g 13165  df-srg 13801

This theorem is referenced by:  srgmulgass  13826  srgrmhm  13831