Theorem srgrmhm 13626

Description: Right-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srglmhm.b	|- B = ( Base ` R )
srglmhm.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srgrmhm	|- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) e. ( R MndHom R ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, R   x, X   x, .x.

Proof of Theorem srgrmhm

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgmnd 13599	. . . 4 |- ( R e. SRing -> R e. Mnd )
2	1, 1	jca 306	. . 3 |- ( R e. SRing -> ( R e. Mnd /\ R e. Mnd ) )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( R e. Mnd /\ R e. Mnd ) )
4		srglmhm.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
5		srglmhm.t	. . . . . . 7 |- .x. = ( .r ` R )
6	4, 5	srgcl 13602	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ x e. B /\ X e. B ) -> ( x .x. X ) e. B )
7	6	3com23 1211	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ x e. B ) -> ( x .x. X ) e. B )
8	7	3expa 1205	. . . 4 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ x e. B ) -> ( x .x. X ) e. B )
9	8	fmpttd 5720	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) : B --> B )
10		3anrot 985	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ a e. B /\ b e. B ) <-> ( a e. B /\ b e. B /\ X e. B ) )
11		3anass 984	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ a e. B /\ b e. B ) <-> ( X e. B /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) )
12	10, 11	bitr3i 186	. . . . . . 7 |- ( ( a e. B /\ b e. B /\ X e. B ) <-> ( X e. B /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) )
13		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
14	4, 13, 5	srgdir 13607	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ ( a e. B /\ b e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) = ( ( a .x. X ) ( +g ` R ) ( b .x. X ) ) )
15	12, 14	sylan2br 288	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) ) -> ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) = ( ( a .x. X ) ( +g ` R ) ( b .x. X ) ) )
16	15	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) = ( ( a .x. X ) ( +g ` R ) ( b .x. X ) ) )
17		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) = ( x e. B |-> ( x .x. X ) )
18		oveq1 5932	. . . . . 6 |- ( x = ( a ( +g ` R ) b ) -> ( x .x. X ) = ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) )
19	4, 13	srgacl 13614	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ a e. B /\ b e. B ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B )
20	19	3expb 1206	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B )
21	20	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B )
22		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> R e. SRing )
23		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> X e. B )
24	4, 5	srgcl 13602	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ ( a ( +g ` R ) b ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) e. B )
25	22, 21, 23, 24	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) e. B )
26	17, 18, 21, 25	fvmptd3 5658	. . . . 5 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) )
27		oveq1 5932	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( x .x. X ) = ( a .x. X ) )
28		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> a e. B )
29	4, 5	srgcl 13602	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ a e. B /\ X e. B ) -> ( a .x. X ) e. B )
30	22, 28, 23, 29	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a .x. X ) e. B )
31	17, 27, 28, 30	fvmptd3 5658	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` a ) = ( a .x. X ) )
32		oveq1 5932	. . . . . . 7 |- ( x = b -> ( x .x. X ) = ( b .x. X ) )
33		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> b e. B )
34	4, 5	srgcl 13602	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ b e. B /\ X e. B ) -> ( b .x. X ) e. B )
35	22, 33, 23, 34	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( b .x. X ) e. B )
36	17, 32, 33, 35	fvmptd3 5658	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` b ) = ( b .x. X ) )
37	31, 36	oveq12d 5943	. . . . 5 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` b ) ) = ( ( a .x. X ) ( +g ` R ) ( b .x. X ) ) )
38	16, 26, 37	3eqtr4d 2239	. . . 4 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` b ) ) )
39	38	ralrimivva 2579	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> A. a e. B A. b e. B ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` b ) ) )
40		oveq1 5932	. . . . 5 |- ( x = ( 0g ` R ) -> ( x .x. X ) = ( ( 0g ` R ) .x. X ) )
41		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
42	4, 41	srg0cl 13609	. . . . . 6 |- ( R e. SRing -> ( 0g ` R ) e. B )
43	42	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( 0g ` R ) e. B )
44		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> R e. SRing )
45		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> X e. B )
46	4, 5	srgcl 13602	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( 0g ` R ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( 0g ` R ) .x. X ) e. B )
47	44, 43, 45, 46	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( 0g ` R ) .x. X ) e. B )
48	17, 40, 43, 47	fvmptd3 5658	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( ( 0g ` R ) .x. X ) )
49	4, 5, 41	srglz 13617	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( 0g ` R ) .x. X ) = ( 0g ` R ) )
50	48, 49	eqtrd 2229	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
51	9, 39, 50	3jca 1179	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) : B --> B /\ A. a e. B A. b e. B ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` b ) ) /\ ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) )
52	4, 4, 13, 13, 41, 41	ismhm 13163	. 2 |- ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) e. ( R MndHom R ) <-> ( ( R e. Mnd /\ R e. Mnd ) /\ ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) : B --> B /\ A. a e. B A. b e. B ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` b ) ) /\ ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
53	3, 51, 52	sylanbrc 417	1 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) e. ( R MndHom R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   |-> cmpt 4095   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703   +g cplusg 12780   .rcmulr 12781   0gc0g 12958   Mndcmnd 13118   MndHom cmhm 13159  SRingcsrg 13595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-mhm 13161  df-cmn 13492  df-mgp 13553  df-srg 13596

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