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Theorem srgrmhm 12990
Description: Right-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srglmhm.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
srglmhm.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
srgrmhm  |-  ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  ->  (
x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) )  e.  ( R MndHom  R ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, R    x, X    x,  .x.

Proof of Theorem srgrmhm
Dummy variables  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srgmnd 12963 . . . 4  |-  ( R  e. SRing  ->  R  e.  Mnd )
21, 1jca 306 . . 3  |-  ( R  e. SRing  ->  ( R  e. 
Mnd  /\  R  e.  Mnd ) )
32adantr 276 . 2  |-  ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  ->  ( R  e.  Mnd  /\  R  e.  Mnd ) )
4 srglmhm.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
5 srglmhm.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .r `  R )
64, 5srgcl 12966 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. SRing  /\  x  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
x  .x.  X )  e.  B )
763com23 1209 . . . . 5  |-  ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  (
x  .x.  X )  e.  B )
873expa 1203 . . . 4  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B )  ->  (
x  .x.  X )  e.  B )
98fmpttd 5666 . . 3  |-  ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  ->  (
x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) ) : B --> B )
10 3anrot 983 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  B  /\  b  e.  B )  <->  ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  X  e.  B )
)
11 3anass 982 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  B  /\  b  e.  B )  <->  ( X  e.  B  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) ) )
1210, 11bitr3i 186 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  X  e.  B )  <->  ( X  e.  B  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) ) )
13 eqid 2177 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
144, 13, 5srgdir 12971 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. SRing  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  X  e.  B )
)  ->  ( (
a ( +g  `  R
) b )  .x.  X )  =  ( ( a  .x.  X
) ( +g  `  R
) ( b  .x.  X ) ) )
1512, 14sylan2br 288 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( X  e.  B  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) ) )  -> 
( ( a ( +g  `  R ) b )  .x.  X
)  =  ( ( a  .x.  X ) ( +g  `  R
) ( b  .x.  X ) ) )
1615anassrs 400 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  ->  ( (
a ( +g  `  R
) b )  .x.  X )  =  ( ( a  .x.  X
) ( +g  `  R
) ( b  .x.  X ) ) )
17 eqid 2177 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  |->  ( x 
.x.  X ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) )
18 oveq1 5875 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( a ( +g  `  R ) b )  ->  (
x  .x.  X )  =  ( ( a ( +g  `  R
) b )  .x.  X ) )
194, 13srgacl 12978 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. SRing  /\  a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  (
a ( +g  `  R
) b )  e.  B )
20193expb 1204 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. SRing  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  ->  ( a
( +g  `  R ) b )  e.  B
)
2120adantlr 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  ->  ( a
( +g  `  R ) b )  e.  B
)
22 simpll 527 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  ->  R  e. SRing )
23 simplr 528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  ->  X  e.  B )
244, 5srgcl 12966 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. SRing  /\  (
a ( +g  `  R
) b )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( a ( +g  `  R ) b ) 
.x.  X )  e.  B )
2522, 21, 23, 24syl3anc 1238 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  ->  ( (
a ( +g  `  R
) b )  .x.  X )  e.  B
)
2617, 18, 21, 25fvmptd3 5604 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) ) `  ( a ( +g  `  R
) b ) )  =  ( ( a ( +g  `  R
) b )  .x.  X ) )
27 oveq1 5875 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  (
x  .x.  X )  =  ( a  .x.  X ) )
28 simprl 529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  ->  a  e.  B )
294, 5srgcl 12966 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. SRing  /\  a  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
a  .x.  X )  e.  B )
3022, 28, 23, 29syl3anc 1238 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  ->  ( a  .x.  X )  e.  B
)
3117, 27, 28, 30fvmptd3 5604 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) ) `  a )  =  ( a  .x.  X ) )
32 oveq1 5875 . . . . . . 7  |-  ( x  =  b  ->  (
x  .x.  X )  =  ( b  .x.  X ) )
33 simprr 531 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  ->  b  e.  B )
344, 5srgcl 12966 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. SRing  /\  b  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
b  .x.  X )  e.  B )
3522, 33, 23, 34syl3anc 1238 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  ->  ( b  .x.  X )  e.  B
)
3617, 32, 33, 35fvmptd3 5604 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) ) `  b )  =  ( b  .x.  X ) )
3731, 36oveq12d 5886 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  ->  ( (
( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X
) ) `  a
) ( +g  `  R
) ( ( x  e.  B  |->  ( x 
.x.  X ) ) `
 b ) )  =  ( ( a 
.x.  X ) ( +g  `  R ) ( b  .x.  X
) ) )
3816, 26, 373eqtr4d 2220 . . . 4  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) ) `  ( a ( +g  `  R
) b ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) ) `  a ) ( +g  `  R
) ( ( x  e.  B  |->  ( x 
.x.  X ) ) `
 b ) ) )
3938ralrimivva 2559 . . 3  |-  ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  ( (
x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) ) `  ( a ( +g  `  R
) b ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) ) `  a ) ( +g  `  R
) ( ( x  e.  B  |->  ( x 
.x.  X ) ) `
 b ) ) )
40 oveq1 5875 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 0g `  R )  ->  (
x  .x.  X )  =  ( ( 0g
`  R )  .x.  X ) )
41 eqid 2177 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
424, 41srg0cl 12973 . . . . . 6  |-  ( R  e. SRing  ->  ( 0g `  R )  e.  B
)
4342adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  ->  ( 0g `  R )  e.  B )
44 simpl 109 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  ->  R  e. SRing )
45 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
464, 5srgcl 12966 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( 0g `  R )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( 0g `  R
)  .x.  X )  e.  B )
4744, 43, 45, 46syl3anc 1238 . . . . 5  |-  ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  ->  (
( 0g `  R
)  .x.  X )  e.  B )
4817, 40, 43, 47fvmptd3 5604 . . . 4  |-  ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X
) ) `  ( 0g `  R ) )  =  ( ( 0g
`  R )  .x.  X ) )
494, 5, 41srglz 12981 . . . 4  |-  ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  ->  (
( 0g `  R
)  .x.  X )  =  ( 0g `  R ) )
5048, 49eqtrd 2210 . . 3  |-  ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X
) ) `  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
519, 39, 503jca 1177 . 2  |-  ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X
) ) : B --> B  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  ( ( x  e.  B  |->  ( x 
.x.  X ) ) `
 ( a ( +g  `  R ) b ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x 
.x.  X ) ) `
 a ) ( +g  `  R ) ( ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) ) `  b ) )  /\  ( ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) ) `  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) ) )
524, 4, 13, 13, 41, 41ismhm 12730 . 2  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) )  e.  ( R MndHom  R )  <->  ( ( R  e.  Mnd  /\  R  e.  Mnd )  /\  (
( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X
) ) : B --> B  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  ( ( x  e.  B  |->  ( x 
.x.  X ) ) `
 ( a ( +g  `  R ) b ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x 
.x.  X ) ) `
 a ) ( +g  `  R ) ( ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) ) `  b ) )  /\  ( ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) ) `  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
533, 51, 52sylanbrc 417 1  |-  ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B )  ->  (
x  e.  B  |->  ( x  .x.  X ) )  e.  ( R MndHom  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455    |-> cmpt 4061   -->wf 5207   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   Basecbs 12432   +g cplusg 12505   .rcmulr 12506   0gc0g 12640   Mndcmnd 12696   MndHom cmhm 12726  SRingcsrg 12959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-map 6643  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-ltxr 7974  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-sets 12439  df-plusg 12518  df-mulr 12519  df-0g 12642  df-mgm 12654  df-sgrp 12687  df-mnd 12697  df-mhm 12728  df-cmn 12904  df-mgp 12945  df-srg 12960
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