Theorem srgrmhm 14006

Description: Right-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srglmhm.b	|- B = ( Base ` R )
srglmhm.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srgrmhm	|- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) e. ( R MndHom R ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, R   x, X   x, .x.

Proof of Theorem srgrmhm

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgmnd 13979	. . . 4 |- ( R e. SRing -> R e. Mnd )
2	1, 1	jca 306	. . 3 |- ( R e. SRing -> ( R e. Mnd /\ R e. Mnd ) )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( R e. Mnd /\ R e. Mnd ) )
4		srglmhm.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
5		srglmhm.t	. . . . . . 7 |- .x. = ( .r ` R )
6	4, 5	srgcl 13982	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ x e. B /\ X e. B ) -> ( x .x. X ) e. B )
7	6	3com23 1235	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ x e. B ) -> ( x .x. X ) e. B )
8	7	3expa 1229	. . . 4 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ x e. B ) -> ( x .x. X ) e. B )
9	8	fmpttd 5802	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) : B --> B )
10		3anrot 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ a e. B /\ b e. B ) <-> ( a e. B /\ b e. B /\ X e. B ) )
11		3anass 1008	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ a e. B /\ b e. B ) <-> ( X e. B /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) )
12	10, 11	bitr3i 186	. . . . . . 7 |- ( ( a e. B /\ b e. B /\ X e. B ) <-> ( X e. B /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) )
13		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
14	4, 13, 5	srgdir 13987	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ ( a e. B /\ b e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) = ( ( a .x. X ) ( +g ` R ) ( b .x. X ) ) )
15	12, 14	sylan2br 288	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) ) -> ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) = ( ( a .x. X ) ( +g ` R ) ( b .x. X ) ) )
16	15	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) = ( ( a .x. X ) ( +g ` R ) ( b .x. X ) ) )
17		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) = ( x e. B |-> ( x .x. X ) )
18		oveq1 6024	. . . . . 6 |- ( x = ( a ( +g ` R ) b ) -> ( x .x. X ) = ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) )
19	4, 13	srgacl 13994	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ a e. B /\ b e. B ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B )
20	19	3expb 1230	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B )
21	20	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B )
22		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> R e. SRing )
23		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> X e. B )
24	4, 5	srgcl 13982	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ ( a ( +g ` R ) b ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) e. B )
25	22, 21, 23, 24	syl3anc 1273	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) e. B )
26	17, 18, 21, 25	fvmptd3 5740	. . . . 5 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) )
27		oveq1 6024	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( x .x. X ) = ( a .x. X ) )
28		simprl 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> a e. B )
29	4, 5	srgcl 13982	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ a e. B /\ X e. B ) -> ( a .x. X ) e. B )
30	22, 28, 23, 29	syl3anc 1273	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a .x. X ) e. B )
31	17, 27, 28, 30	fvmptd3 5740	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` a ) = ( a .x. X ) )
32		oveq1 6024	. . . . . . 7 |- ( x = b -> ( x .x. X ) = ( b .x. X ) )
33		simprr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> b e. B )
34	4, 5	srgcl 13982	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ b e. B /\ X e. B ) -> ( b .x. X ) e. B )
35	22, 33, 23, 34	syl3anc 1273	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( b .x. X ) e. B )
36	17, 32, 33, 35	fvmptd3 5740	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` b ) = ( b .x. X ) )
37	31, 36	oveq12d 6035	. . . . 5 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` b ) ) = ( ( a .x. X ) ( +g ` R ) ( b .x. X ) ) )
38	16, 26, 37	3eqtr4d 2274	. . . 4 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` b ) ) )
39	38	ralrimivva 2614	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> A. a e. B A. b e. B ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` b ) ) )
40		oveq1 6024	. . . . 5 |- ( x = ( 0g ` R ) -> ( x .x. X ) = ( ( 0g ` R ) .x. X ) )
41		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
42	4, 41	srg0cl 13989	. . . . . 6 |- ( R e. SRing -> ( 0g ` R ) e. B )
43	42	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( 0g ` R ) e. B )
44		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> R e. SRing )
45		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> X e. B )
46	4, 5	srgcl 13982	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( 0g ` R ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( 0g ` R ) .x. X ) e. B )
47	44, 43, 45, 46	syl3anc 1273	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( 0g ` R ) .x. X ) e. B )
48	17, 40, 43, 47	fvmptd3 5740	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( ( 0g ` R ) .x. X ) )
49	4, 5, 41	srglz 13997	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( 0g ` R ) .x. X ) = ( 0g ` R ) )
50	48, 49	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
51	9, 39, 50	3jca 1203	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) : B --> B /\ A. a e. B A. b e. B ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` b ) ) /\ ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) )
52	4, 4, 13, 13, 41, 41	ismhm 13543	. 2 |- ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) e. ( R MndHom R ) <-> ( ( R e. Mnd /\ R e. Mnd ) /\ ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) : B --> B /\ A. a e. B A. b e. B ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` b ) ) /\ ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
53	3, 51, 52	sylanbrc 417	1 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) e. ( R MndHom R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   |-> cmpt 4150   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   .rcmulr 13160   0gc0g 13338   Mndcmnd 13498   MndHom cmhm 13539  SRingcsrg 13975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-map 6818  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-mhm 13541  df-cmn 13872  df-mgp 13933  df-srg 13976

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