Theorem srgrmhm 14298

Description: Right-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srglmhm.b	|- B = ( Base ` R )
srglmhm.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srgrmhm	|- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) e. ( R MndHom R ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, R   x, X   x, .x.

Proof of Theorem srgrmhm

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgmnd 14271	. . . 4 |- ( R e. SRing -> R e. Mnd )
2	1, 1	jca 306	. . 3 |- ( R e. SRing -> ( R e. Mnd /\ R e. Mnd ) )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( R e. Mnd /\ R e. Mnd ) )
4		srglmhm.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
5		srglmhm.t	. . . . . . 7 |- .x. = ( .r ` R )
6	4, 5	srgcl 14274	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ x e. B /\ X e. B ) -> ( x .x. X ) e. B )
7	6	3com23 1240	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ x e. B ) -> ( x .x. X ) e. B )
8	7	3expa 1234	. . . 4 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ x e. B ) -> ( x .x. X ) e. B )
9	8	fmpttd 5863	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) : B --> B )
10		3anrot 1014	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ a e. B /\ b e. B ) <-> ( a e. B /\ b e. B /\ X e. B ) )
11		3anass 1013	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ a e. B /\ b e. B ) <-> ( X e. B /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) )
12	10, 11	bitr3i 186	. . . . . . 7 |- ( ( a e. B /\ b e. B /\ X e. B ) <-> ( X e. B /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) )
13		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
14	4, 13, 5	srgdir 14279	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ ( a e. B /\ b e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) = ( ( a .x. X ) ( +g ` R ) ( b .x. X ) ) )
15	12, 14	sylan2br 288	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) ) -> ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) = ( ( a .x. X ) ( +g ` R ) ( b .x. X ) ) )
16	15	anassrs 404	. . . . 5 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) = ( ( a .x. X ) ( +g ` R ) ( b .x. X ) ) )
17		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) = ( x e. B |-> ( x .x. X ) )
18		oveq1 6092	. . . . . 6 |- ( x = ( a ( +g ` R ) b ) -> ( x .x. X ) = ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) )
19	4, 13	srgacl 14286	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ a e. B /\ b e. B ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B )
20	19	3expb 1235	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B )
21	20	adantlr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B )
22		simpll 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> R e. SRing )
23		simplr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> X e. B )
24	4, 5	srgcl 14274	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ ( a ( +g ` R ) b ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) e. B )
25	22, 21, 23, 24	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) e. B )
26	17, 18, 21, 25	fvmptd3 5799	. . . . 5 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) )
27		oveq1 6092	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( x .x. X ) = ( a .x. X ) )
28		simprl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> a e. B )
29	4, 5	srgcl 14274	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ a e. B /\ X e. B ) -> ( a .x. X ) e. B )
30	22, 28, 23, 29	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a .x. X ) e. B )
31	17, 27, 28, 30	fvmptd3 5799	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` a ) = ( a .x. X ) )
32		oveq1 6092	. . . . . . 7 |- ( x = b -> ( x .x. X ) = ( b .x. X ) )
33		simprr 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> b e. B )
34	4, 5	srgcl 14274	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ b e. B /\ X e. B ) -> ( b .x. X ) e. B )
35	22, 33, 23, 34	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( b .x. X ) e. B )
36	17, 32, 33, 35	fvmptd3 5799	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` b ) = ( b .x. X ) )
37	31, 36	oveq12d 6103	. . . . 5 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` b ) ) = ( ( a .x. X ) ( +g ` R ) ( b .x. X ) ) )
38	16, 26, 37	3eqtr4d 2281	. . . 4 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` b ) ) )
39	38	ralrimivva 2632	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> A. a e. B A. b e. B ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` b ) ) )
40		oveq1 6092	. . . . 5 |- ( x = ( 0g ` R ) -> ( x .x. X ) = ( ( 0g ` R ) .x. X ) )
41		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
42	4, 41	srg0cl 14281	. . . . . 6 |- ( R e. SRing -> ( 0g ` R ) e. B )
43	42	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( 0g ` R ) e. B )
44		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> R e. SRing )
45		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> X e. B )
46	4, 5	srgcl 14274	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( 0g ` R ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( 0g ` R ) .x. X ) e. B )
47	44, 43, 45, 46	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( 0g ` R ) .x. X ) e. B )
48	17, 40, 43, 47	fvmptd3 5799	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( ( 0g ` R ) .x. X ) )
49	4, 5, 41	srglz 14289	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( 0g ` R ) .x. X ) = ( 0g ` R ) )
50	48, 49	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
51	9, 39, 50	3jca 1208	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) : B --> B /\ A. a e. B A. b e. B ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` b ) ) /\ ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) )
52	4, 4, 13, 13, 41, 41	ismhm 13768	. 2 |- ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) e. ( R MndHom R ) <-> ( ( R e. Mnd /\ R e. Mnd ) /\ ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) : B --> B /\ A. a e. B A. b e. B ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` b ) ) /\ ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
53	3, 51, 52	sylanbrc 421	1 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) e. ( R MndHom R ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   |-> cmpt 4192   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352   +g cplusg 13431   .rcmulr 13432   0gc0g 13610   Mndcmnd 13729   MndHom cmhm 13764  SRingcsrg 14267

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-0g 13612  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-mhm 13766  df-cmn 14089  df-mgp 14218  df-srg 14268

This theorem is used by: (None)