Theorem srgmulgass 13621

Description: An associative property between group multiple and ring multiplication for semirings. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgmulgass.b	|- B = ( Base ` R )
srgmulgass.m	|- .x. = (.g ` R )
srgmulgass.t	|- .X. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srgmulgass	|- ( ( R e. SRing /\ ( N e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) )

Proof of Theorem srgmulgass

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5932	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( x .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
2	1	oveq1d 5940	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) )
3		oveq1 5932	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) )
4	2, 3	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) ) <-> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
6		oveq1 5932	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x .x. X ) = ( y .x. X ) )
7	6	oveq1d 5940	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( y .x. X ) .X. Y ) )
8		oveq1 5932	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) )
9	7, 8	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) ) <-> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
11		oveq1 5932	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. X ) = ( ( y + 1 ) .x. X ) )
12	11	oveq1d 5940	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) )
13		oveq1 5932	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) )
14	12, 13	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) ) <-> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
16		oveq1 5932	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( x .x. X ) = ( N .x. X ) )
17	16	oveq1d 5940	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( N .x. X ) .X. Y ) )
18		oveq1 5932	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) )
19	17, 18	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) )
20	19	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) ) <-> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
21		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> R e. SRing )
22		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
23	22	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> Y e. B )
24		srgmulgass.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` R )
25		srgmulgass.t	. . . . . . . 8 |- .X. = ( .r ` R )
26		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
27	24, 25, 26	srglz 13617	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ Y e. B ) -> ( ( 0g ` R ) .X. Y ) = ( 0g ` R ) )
28	21, 23, 27	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( 0g ` R ) .X. Y ) = ( 0g ` R ) )
29		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
30	29	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> X e. B )
31		srgmulgass.m	. . . . . . . . 9 |- .x. = (.g ` R )
32	24, 26, 31	mulg0 13331	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` R ) )
33	30, 32	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` R ) )
34	33	oveq1d 5940	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( ( 0g ` R ) .X. Y ) )
35	24, 25	srgcl 13602	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .X. Y ) e. B )
36	21, 30, 23, 35	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( X .X. Y ) e. B )
37	24, 26, 31	mulg0 13331	. . . . . . 7 |- ( ( X .X. Y ) e. B -> ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) = ( 0g ` R ) )
38	36, 37	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) = ( 0g ` R ) )
39	28, 34, 38	3eqtr4d 2239	. . . . 5 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) )
40		srgmnd 13599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. SRing -> R e. Mnd )
41	40	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> R e. Mnd )
42	41	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> R e. Mnd )
43		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> y e. NN0 )
44	30	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> X e. B )
45		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
46	24, 31, 45	mulgnn0p1 13339	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Mnd /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) )
47	42, 43, 44, 46	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) )
48	47	oveq1d 5940	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) .X. Y ) )
49	21	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> R e. SRing )
50	24, 31	mulgnn0cl 13344	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Mnd /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( y .x. X ) e. B )
51	42, 43, 44, 50	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( y .x. X ) e. B )
52	23	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> Y e. B )
53	24, 45, 25	srgdir 13607	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( y .x. X ) e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
54	49, 51, 44, 52, 53	syl13anc 1251	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
55	48, 54	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
56	55	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) /\ ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
57		oveq1 5932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
58	35	3expb 1206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X .X. Y ) e. B )
59	58	ancoms 268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( X .X. Y ) e. B )
60	59	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( X .X. Y ) e. B )
61	24, 31, 45	mulgnn0p1 13339	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Mnd /\ y e. NN0 /\ ( X .X. Y ) e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
62	42, 43, 60, 61	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
63	62	eqcomd 2202	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) )
64	57, 63	sylan9eqr 2251	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) /\ ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) )
65	56, 64	eqtrd 2229	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) /\ ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) )
66	65	exp31 364	. . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
67	66	a2d 26	. . . . 5 |- ( y e. NN0 -> ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) -> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
68	5, 10, 15, 20, 39, 67	nn0ind 9457	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) )
69	68	expd 258	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( R e. SRing -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
70	69	3impib 1203	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( R e. SRing -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) )
71	70	impcom 125	1 |- ( ( R e. SRing /\ ( N e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   NN0cn0 9266   Basecbs 12703   +g cplusg 12780   .rcmulr 12781   0gc0g 12958   Mndcmnd 13118  ._gcmg 13325  SRingcsrg 13595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-seqfrec 10557  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-minusg 13206  df-mulg 13326  df-cmn 13492  df-mgp 13553  df-srg 13596

This theorem is referenced by:  srgpcomppsc  13624