Theorem srgmulgass 12965

Description: An associative property between group multiple and ring multiplication for semirings. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgmulgass.b	|- B = ( Base ` R )
srgmulgass.m	|- .x. = (.g ` R )
srgmulgass.t	|- .X. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srgmulgass	|- ( ( R e. SRing /\ ( N e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) )

Proof of Theorem srgmulgass

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5872	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( x .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
2	1	oveq1d 5880	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) )
3		oveq1 5872	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) )
4	2, 3	eqeq12d 2190	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) ) <-> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
6		oveq1 5872	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x .x. X ) = ( y .x. X ) )
7	6	oveq1d 5880	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( y .x. X ) .X. Y ) )
8		oveq1 5872	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) )
9	7, 8	eqeq12d 2190	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) ) <-> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
11		oveq1 5872	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. X ) = ( ( y + 1 ) .x. X ) )
12	11	oveq1d 5880	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) )
13		oveq1 5872	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) )
14	12, 13	eqeq12d 2190	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) ) <-> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
16		oveq1 5872	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( x .x. X ) = ( N .x. X ) )
17	16	oveq1d 5880	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( N .x. X ) .X. Y ) )
18		oveq1 5872	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) )
19	17, 18	eqeq12d 2190	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) )
20	19	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) ) <-> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
21		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> R e. SRing )
22		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
23	22	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> Y e. B )
24		srgmulgass.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` R )
25		srgmulgass.t	. . . . . . . 8 |- .X. = ( .r ` R )
26		eqid 2175	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
27	24, 25, 26	srglz 12961	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ Y e. B ) -> ( ( 0g ` R ) .X. Y ) = ( 0g ` R ) )
28	21, 23, 27	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( 0g ` R ) .X. Y ) = ( 0g ` R ) )
29		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
30	29	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> X e. B )
31		srgmulgass.m	. . . . . . . . 9 |- .x. = (.g ` R )
32	24, 26, 31	mulg0 12847	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` R ) )
33	30, 32	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` R ) )
34	33	oveq1d 5880	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( ( 0g ` R ) .X. Y ) )
35	24, 25	srgcl 12946	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .X. Y ) e. B )
36	21, 30, 23, 35	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( X .X. Y ) e. B )
37	24, 26, 31	mulg0 12847	. . . . . . 7 |- ( ( X .X. Y ) e. B -> ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) = ( 0g ` R ) )
38	36, 37	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) = ( 0g ` R ) )
39	28, 34, 38	3eqtr4d 2218	. . . . 5 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) )
40		srgmnd 12943	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. SRing -> R e. Mnd )
41	40	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> R e. Mnd )
42	41	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> R e. Mnd )
43		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> y e. NN0 )
44	30	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> X e. B )
45		eqid 2175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
46	24, 31, 45	mulgnn0p1 12853	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Mnd /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) )
47	42, 43, 44, 46	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) )
48	47	oveq1d 5880	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) .X. Y ) )
49	21	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> R e. SRing )
50	24, 31	mulgnn0cl 12858	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Mnd /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( y .x. X ) e. B )
51	42, 43, 44, 50	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( y .x. X ) e. B )
52	23	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> Y e. B )
53	24, 45, 25	srgdir 12951	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( y .x. X ) e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
54	49, 51, 44, 52, 53	syl13anc 1240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
55	48, 54	eqtrd 2208	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
56	55	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) /\ ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
57		oveq1 5872	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
58	35	3expb 1204	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X .X. Y ) e. B )
59	58	ancoms 268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( X .X. Y ) e. B )
60	59	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( X .X. Y ) e. B )
61	24, 31, 45	mulgnn0p1 12853	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Mnd /\ y e. NN0 /\ ( X .X. Y ) e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
62	42, 43, 60, 61	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
63	62	eqcomd 2181	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) )
64	57, 63	sylan9eqr 2230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) /\ ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) )
65	56, 64	eqtrd 2208	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) /\ ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) )
66	65	exp31 364	. . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
67	66	a2d 26	. . . . 5 |- ( y e. NN0 -> ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) -> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
68	5, 10, 15, 20, 39, 67	nn0ind 9338	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) )
69	68	expd 258	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( R e. SRing -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
70	69	3impib 1201	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( R e. SRing -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) )
71	70	impcom 125	1 |- ( ( R e. SRing /\ ( N e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2146   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   0cc0 7786   1c1 7787   + caddc 7789   NN0cn0 9147   Basecbs 12428   +g cplusg 12492   .rcmulr 12493   0gc0g 12626   Mndcmnd 12682  ._gcmg 12842  SRingcsrg 12939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-seqfrec 10414  df-ndx 12431  df-slot 12432  df-base 12434  df-sets 12435  df-plusg 12505  df-mulr 12506  df-0g 12628  df-mgm 12640  df-sgrp 12673  df-mnd 12683  df-minusg 12742  df-mulg 12843  df-cmn 12886  df-mgp 12926  df-srg 12940

This theorem is referenced by:  srgpcomppsc  12968