Theorem srgmulgass 13488

Description: An associative property between group multiple and ring multiplication for semirings. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgmulgass.b	|- B = ( Base ` R )
srgmulgass.m	|- .x. = (.g ` R )
srgmulgass.t	|- .X. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srgmulgass	|- ( ( R e. SRing /\ ( N e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) )

Proof of Theorem srgmulgass

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5926	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( x .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
2	1	oveq1d 5934	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) )
3		oveq1 5926	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) )
4	2, 3	eqeq12d 2208	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) ) <-> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
6		oveq1 5926	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x .x. X ) = ( y .x. X ) )
7	6	oveq1d 5934	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( y .x. X ) .X. Y ) )
8		oveq1 5926	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) )
9	7, 8	eqeq12d 2208	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) ) <-> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
11		oveq1 5926	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. X ) = ( ( y + 1 ) .x. X ) )
12	11	oveq1d 5934	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) )
13		oveq1 5926	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) )
14	12, 13	eqeq12d 2208	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) ) <-> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
16		oveq1 5926	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( x .x. X ) = ( N .x. X ) )
17	16	oveq1d 5934	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( N .x. X ) .X. Y ) )
18		oveq1 5926	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) )
19	17, 18	eqeq12d 2208	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) )
20	19	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) ) <-> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
21		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> R e. SRing )
22		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
23	22	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> Y e. B )
24		srgmulgass.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` R )
25		srgmulgass.t	. . . . . . . 8 |- .X. = ( .r ` R )
26		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
27	24, 25, 26	srglz 13484	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ Y e. B ) -> ( ( 0g ` R ) .X. Y ) = ( 0g ` R ) )
28	21, 23, 27	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( 0g ` R ) .X. Y ) = ( 0g ` R ) )
29		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
30	29	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> X e. B )
31		srgmulgass.m	. . . . . . . . 9 |- .x. = (.g ` R )
32	24, 26, 31	mulg0 13198	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` R ) )
33	30, 32	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` R ) )
34	33	oveq1d 5934	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( ( 0g ` R ) .X. Y ) )
35	24, 25	srgcl 13469	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .X. Y ) e. B )
36	21, 30, 23, 35	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( X .X. Y ) e. B )
37	24, 26, 31	mulg0 13198	. . . . . . 7 |- ( ( X .X. Y ) e. B -> ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) = ( 0g ` R ) )
38	36, 37	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) = ( 0g ` R ) )
39	28, 34, 38	3eqtr4d 2236	. . . . 5 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) )
40		srgmnd 13466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. SRing -> R e. Mnd )
41	40	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> R e. Mnd )
42	41	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> R e. Mnd )
43		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> y e. NN0 )
44	30	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> X e. B )
45		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
46	24, 31, 45	mulgnn0p1 13206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Mnd /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) )
47	42, 43, 44, 46	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) )
48	47	oveq1d 5934	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) .X. Y ) )
49	21	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> R e. SRing )
50	24, 31	mulgnn0cl 13211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Mnd /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( y .x. X ) e. B )
51	42, 43, 44, 50	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( y .x. X ) e. B )
52	23	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> Y e. B )
53	24, 45, 25	srgdir 13474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( y .x. X ) e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
54	49, 51, 44, 52, 53	syl13anc 1251	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
55	48, 54	eqtrd 2226	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
56	55	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) /\ ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
57		oveq1 5926	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
58	35	3expb 1206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X .X. Y ) e. B )
59	58	ancoms 268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( X .X. Y ) e. B )
60	59	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( X .X. Y ) e. B )
61	24, 31, 45	mulgnn0p1 13206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Mnd /\ y e. NN0 /\ ( X .X. Y ) e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
62	42, 43, 60, 61	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
63	62	eqcomd 2199	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) )
64	57, 63	sylan9eqr 2248	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) /\ ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) )
65	56, 64	eqtrd 2226	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) /\ ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) )
66	65	exp31 364	. . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
67	66	a2d 26	. . . . 5 |- ( y e. NN0 -> ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) -> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
68	5, 10, 15, 20, 39, 67	nn0ind 9434	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) )
69	68	expd 258	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( R e. SRing -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
70	69	3impib 1203	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( R e. SRing -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) )
71	70	impcom 125	1 |- ( ( R e. SRing /\ ( N e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   0cc0 7874   1c1 7875   + caddc 7877   NN0cn0 9243   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   .rcmulr 12699   0gc0g 12870   Mndcmnd 13000  ._gcmg 13192  SRingcsrg 13462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-seqfrec 10522  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-minusg 13079  df-mulg 13193  df-cmn 13359  df-mgp 13420  df-srg 13463

This theorem is referenced by:  srgpcomppsc  13491