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Theorem srgmulgass 12985
Description: An associative property between group multiple and ring multiplication for semirings. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgmulgass.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
srgmulgass.m  |-  .x.  =  (.g
`  R )
srgmulgass.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
srgmulgass  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( N  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( N  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( N 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) )

Proof of Theorem srgmulgass
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5875 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
x  .x.  X )  =  ( 0  .x. 
X ) )
21oveq1d 5883 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
( x  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( 0 
.x.  X )  .X.  Y ) )
3 oveq1 5875 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
x  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( 0  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
42, 3eqeq12d 2192 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( x  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( x 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  <->  ( (
0  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( 0  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) ) )
54imbi2d 230 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  R  e. SRing )  ->  ( (
x  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( x  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) )  <->  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  R  e. SRing )  -> 
( ( 0  .x. 
X )  .X.  Y
)  =  ( 0 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ) ) )
6 oveq1 5875 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .x.  X )  =  ( y  .x.  X ) )
76oveq1d 5883 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( y 
.x.  X )  .X.  Y ) )
8 oveq1 5875 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
97, 8eqeq12d 2192 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( x 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  <->  ( (
y  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( y  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) ) )
109imbi2d 230 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  R  e. SRing )  ->  ( (
x  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( x  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) )  <->  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  R  e. SRing )  -> 
( ( y  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( y 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ) ) )
11 oveq1 5875 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  .x.  X )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  X ) )
1211oveq1d 5883 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( x  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( ( y  +  1 ) 
.x.  X )  .X.  Y ) )
13 oveq1 5875 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
1412, 13eqeq12d 2192 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( x  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( x 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  <->  ( (
( y  +  1 )  .x.  X ) 
.X.  Y )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
1514imbi2d 230 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  R  e. SRing )  ->  ( (
x  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( x  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) )  <->  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  R  e. SRing )  -> 
( ( ( y  +  1 )  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( ( y  +  1 ) 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ) ) )
16 oveq1 5875 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
x  .x.  X )  =  ( N  .x.  X ) )
1716oveq1d 5883 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( N 
.x.  X )  .X.  Y ) )
18 oveq1 5875 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
x  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( N  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
1917, 18eqeq12d 2192 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( x  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( x 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  <->  ( ( N  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( N  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) ) )
2019imbi2d 230 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  R  e. SRing )  ->  ( (
x  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( x  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) )  <->  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  R  e. SRing )  -> 
( ( N  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( N 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ) ) )
21 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  R  e. SRing )  ->  R  e. SRing )
22 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
2322adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  R  e. SRing )  ->  Y  e.  B
)
24 srgmulgass.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
25 srgmulgass.t . . . . . . . 8  |-  .X.  =  ( .r `  R )
26 eqid 2177 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
2724, 25, 26srglz 12981 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. SRing  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 0g `  R
)  .X.  Y )  =  ( 0g `  R ) )
2821, 23, 27syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  R  e. SRing )  ->  ( ( 0g
`  R )  .X.  Y )  =  ( 0g `  R ) )
29 simpl 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
3029adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  R  e. SRing )  ->  X  e.  B
)
31 srgmulgass.m . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  (.g
`  R )
3224, 26, 31mulg0 12864 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  (
0  .x.  X )  =  ( 0g `  R ) )
3330, 32syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  R  e. SRing )  ->  ( 0  .x. 
X )  =  ( 0g `  R ) )
3433oveq1d 5883 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  R  e. SRing )  ->  ( ( 0 
.x.  X )  .X.  Y )  =  ( ( 0g `  R
)  .X.  Y )
)
3524, 25srgcl 12966 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. SRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .X.  Y )  e.  B )
3621, 30, 23, 35syl3anc 1238 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  R  e. SRing )  ->  ( X  .X.  Y )  e.  B
)
3724, 26, 31mulg0 12864 . . . . . . 7  |-  ( ( X  .X.  Y )  e.  B  ->  ( 0 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( 0g `  R
) )
3836, 37syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  R  e. SRing )  ->  ( 0  .x.  ( X  .X.  Y
) )  =  ( 0g `  R ) )
3928, 34, 383eqtr4d 2220 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  R  e. SRing )  ->  ( ( 0 
.x.  X )  .X.  Y )  =  ( 0  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) )
40 srgmnd 12963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e. SRing  ->  R  e.  Mnd )
4140adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  R  e. SRing )  ->  R  e.  Mnd )
4241adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  R  e. SRing ) )  ->  R  e.  Mnd )
43 simpl 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  R  e. SRing ) )  ->  y  e.  NN0 )
4430adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  R  e. SRing ) )  ->  X  e.  B )
45 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4624, 31, 45mulgnn0p1 12870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  (
( y  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( y 
.x.  X ) ( +g  `  R ) X ) )
4742, 43, 44, 46syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  R  e. SRing ) )  ->  (
( y  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( y 
.x.  X ) ( +g  `  R ) X ) )
4847oveq1d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  R  e. SRing ) )  ->  (
( ( y  +  1 )  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( ( y  .x.  X ) ( +g  `  R
) X )  .X.  Y ) )
4921adantl 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  R  e. SRing ) )  ->  R  e. SRing )
5024, 31mulgnn0cl 12875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  (
y  .x.  X )  e.  B )
5142, 43, 44, 50syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  R  e. SRing ) )  ->  (
y  .x.  X )  e.  B )
5223adantl 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  R  e. SRing ) )  ->  Y  e.  B )
5324, 45, 25srgdir 12971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. SRing  /\  (
( y  .x.  X
)  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
( y  .x.  X
) ( +g  `  R
) X )  .X.  Y )  =  ( ( ( y  .x.  X )  .X.  Y
) ( +g  `  R
) ( X  .X.  Y ) ) )
5449, 51, 44, 52, 53syl13anc 1240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  R  e. SRing ) )  ->  (
( ( y  .x.  X ) ( +g  `  R ) X ) 
.X.  Y )  =  ( ( ( y 
.x.  X )  .X.  Y ) ( +g  `  R ) ( X 
.X.  Y ) ) )
5548, 54eqtrd 2210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  R  e. SRing ) )  ->  (
( ( y  +  1 )  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( ( y  .x.  X ) 
.X.  Y ) ( +g  `  R ) ( X  .X.  Y
) ) )
5655adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  R  e. SRing ) )  /\  (
( y  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )  ->  (
( ( y  +  1 )  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( ( y  .x.  X ) 
.X.  Y ) ( +g  `  R ) ( X  .X.  Y
) ) )
57 oveq1 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) )  ->  ( (
( y  .x.  X
)  .X.  Y )
( +g  `  R ) ( X  .X.  Y
) )  =  ( ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ( +g  `  R
) ( X  .X.  Y ) ) )
58353expb 1204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( X  .X.  Y )  e.  B
)
5958ancoms 268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  R  e. SRing )  ->  ( X  .X.  Y )  e.  B
)
6059adantl 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  R  e. SRing ) )  ->  ( X  .X.  Y )  e.  B )
6124, 31, 45mulgnn0p1 12870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  ( X  .X.  Y )  e.  B )  ->  (
( y  +  1 )  .x.  ( X 
.X.  Y ) )  =  ( ( y 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ( +g  `  R ) ( X  .X.  Y
) ) )
6242, 43, 60, 61syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  R  e. SRing ) )  ->  (
( y  +  1 )  .x.  ( X 
.X.  Y ) )  =  ( ( y 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ( +g  `  R ) ( X  .X.  Y
) ) )
6362eqcomd 2183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  R  e. SRing ) )  ->  (
( y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ( +g  `  R
) ( X  .X.  Y ) )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
6457, 63sylan9eqr 2232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  R  e. SRing ) )  /\  (
( y  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )  ->  (
( ( y  .x.  X )  .X.  Y
) ( +g  `  R
) ( X  .X.  Y ) )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
6556, 64eqtrd 2210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  R  e. SRing ) )  /\  (
( y  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )  ->  (
( ( y  +  1 )  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
6665exp31 364 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  R  e. SRing )  ->  ( ( ( y  .x.  X ) 
.X.  Y )  =  ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) )  ->  ( ( ( y  +  1 ) 
.x.  X )  .X.  Y )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) ) ) )
6766a2d 26 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  R  e. SRing )  ->  ( (
y  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( y  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) )  ->  ( (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  R  e. SRing )  ->  ( ( ( y  +  1 ) 
.x.  X )  .X.  Y )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) ) ) )
685, 10, 15, 20, 39, 67nn0ind 9343 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  R  e. SRing )  ->  ( ( N 
.x.  X )  .X.  Y )  =  ( N  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) ) )
6968expd 258 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( R  e. SRing  ->  ( ( N  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( N  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) ) )
70693impib 1201 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( R  e. SRing  ->  ( ( N  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( N  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
7170impcom 125 1  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( N  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( N  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( N 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   0cc0 7789   1c1 7790    + caddc 7792   NN0cn0 9152   Basecbs 12432   +g cplusg 12505   .rcmulr 12506   0gc0g 12640   Mndcmnd 12696  .gcmg 12859  SRingcsrg 12959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-seqfrec 10419  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-sets 12439  df-plusg 12518  df-mulr 12519  df-0g 12642  df-mgm 12654  df-sgrp 12687  df-mnd 12697  df-minusg 12758  df-mulg 12860  df-cmn 12904  df-mgp 12945  df-srg 12960
This theorem is referenced by:  srgpcomppsc  12988
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