Theorem srgmulgass 13751

Description: An associative property between group multiple and ring multiplication for semirings. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgmulgass.b	|- B = ( Base ` R )
srgmulgass.m	|- .x. = (.g ` R )
srgmulgass.t	|- .X. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srgmulgass	|- ( ( R e. SRing /\ ( N e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) )

Proof of Theorem srgmulgass

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5951	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( x .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
2	1	oveq1d 5959	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) )
3		oveq1 5951	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) )
4	2, 3	eqeq12d 2220	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) ) <-> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
6		oveq1 5951	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x .x. X ) = ( y .x. X ) )
7	6	oveq1d 5959	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( y .x. X ) .X. Y ) )
8		oveq1 5951	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) )
9	7, 8	eqeq12d 2220	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) ) <-> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
11		oveq1 5951	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. X ) = ( ( y + 1 ) .x. X ) )
12	11	oveq1d 5959	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) )
13		oveq1 5951	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) )
14	12, 13	eqeq12d 2220	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) ) <-> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
16		oveq1 5951	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( x .x. X ) = ( N .x. X ) )
17	16	oveq1d 5959	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( N .x. X ) .X. Y ) )
18		oveq1 5951	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) )
19	17, 18	eqeq12d 2220	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) )
20	19	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) ) <-> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
21		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> R e. SRing )
22		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
23	22	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> Y e. B )
24		srgmulgass.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` R )
25		srgmulgass.t	. . . . . . . 8 |- .X. = ( .r ` R )
26		eqid 2205	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
27	24, 25, 26	srglz 13747	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ Y e. B ) -> ( ( 0g ` R ) .X. Y ) = ( 0g ` R ) )
28	21, 23, 27	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( 0g ` R ) .X. Y ) = ( 0g ` R ) )
29		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
30	29	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> X e. B )
31		srgmulgass.m	. . . . . . . . 9 |- .x. = (.g ` R )
32	24, 26, 31	mulg0 13461	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` R ) )
33	30, 32	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` R ) )
34	33	oveq1d 5959	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( ( 0g ` R ) .X. Y ) )
35	24, 25	srgcl 13732	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .X. Y ) e. B )
36	21, 30, 23, 35	syl3anc 1250	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( X .X. Y ) e. B )
37	24, 26, 31	mulg0 13461	. . . . . . 7 |- ( ( X .X. Y ) e. B -> ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) = ( 0g ` R ) )
38	36, 37	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) = ( 0g ` R ) )
39	28, 34, 38	3eqtr4d 2248	. . . . 5 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) )
40		srgmnd 13729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. SRing -> R e. Mnd )
41	40	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> R e. Mnd )
42	41	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> R e. Mnd )
43		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> y e. NN0 )
44	30	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> X e. B )
45		eqid 2205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
46	24, 31, 45	mulgnn0p1 13469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Mnd /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) )
47	42, 43, 44, 46	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) )
48	47	oveq1d 5959	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) .X. Y ) )
49	21	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> R e. SRing )
50	24, 31	mulgnn0cl 13474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Mnd /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( y .x. X ) e. B )
51	42, 43, 44, 50	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( y .x. X ) e. B )
52	23	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> Y e. B )
53	24, 45, 25	srgdir 13737	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( y .x. X ) e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
54	49, 51, 44, 52, 53	syl13anc 1252	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
55	48, 54	eqtrd 2238	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
56	55	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) /\ ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
57		oveq1 5951	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
58	35	3expb 1207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X .X. Y ) e. B )
59	58	ancoms 268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( X .X. Y ) e. B )
60	59	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( X .X. Y ) e. B )
61	24, 31, 45	mulgnn0p1 13469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Mnd /\ y e. NN0 /\ ( X .X. Y ) e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
62	42, 43, 60, 61	syl3anc 1250	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
63	62	eqcomd 2211	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) -> ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) )
64	57, 63	sylan9eqr 2260	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) /\ ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) )
65	56, 64	eqtrd 2238	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) ) /\ ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) )
66	65	exp31 364	. . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
67	66	a2d 26	. . . . 5 |- ( y e. NN0 -> ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) -> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
68	5, 10, 15, 20, 39, 67	nn0ind 9487	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ R e. SRing ) -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) )
69	68	expd 258	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( R e. SRing -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
70	69	3impib 1204	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( R e. SRing -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) )
71	70	impcom 125	1 |- ( ( R e. SRing /\ ( N e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   NN0cn0 9295   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   .rcmulr 12910   0gc0g 13088   Mndcmnd 13248  ._gcmg 13455  SRingcsrg 13725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-seqfrec 10593  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-minusg 13336  df-mulg 13456  df-cmn 13622  df-mgp 13683  df-srg 13726

This theorem is referenced by:  srgpcomppsc  13754