Theorem submrcl 13778

Description: Reverse closure for submonoids. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
submrcl	|- ( S e. (SubMnd ` M ) -> M e. Mnd )

Proof of Theorem submrcl

Dummy variables t x y s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-submnd 13767	. 2 |- SubMnd = ( s e. Mnd |-> { t e. ~P ( Base ` s ) | ( ( 0g ` s ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` s ) y ) e. t ) } )
2	1	mptrcl 5788	1 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> M e. Mnd )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   ~Pcpw 3688   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352   +g cplusg 13431   0gc0g 13610   Mndcmnd 13729  SubMndcsubmnd 13765

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-submnd 13767

This theorem is used by:  submss  13783  subm0cl  13785  submcl  13786  submmnd  13787  submbas  13788  subm0  13789  subsubm  13790  insubm  13792  resmhm  13794  resmhm2  13795  resmhm2b  13796  gzsumwsubmcl  13801  submmulgcl  13968  submmulg  13969