Theorem submrcl 12867

Description: Reverse closure for submonoids. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
submrcl	|- ( S e. (SubMnd ` M ) -> M e. Mnd )

Proof of Theorem submrcl

Dummy variables t x y s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-submnd 12857	. 2 |- SubMnd = ( s e. Mnd |-> { t e. ~P ( Base ` s ) | ( ( 0g ` s ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` s ) y ) e. t ) } )
2	1	mptrcl 5600	1 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> M e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459   ~Pcpw 3577   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   +g cplusg 12538   0gc0g 12710   Mndcmnd 12822  SubMndcsubmnd 12855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-submnd 12857

This theorem is referenced by:  submss  12872  subm0cl  12874  submcl  12875  insubm  12877  submmulgcl  13031