Theorem submrcl 13418

Description: Reverse closure for submonoids. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
submrcl	|- ( S e. (SubMnd ` M ) -> M e. Mnd )

Proof of Theorem submrcl

Dummy variables t x y s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-submnd 13407	. 2 |- SubMnd = ( s e. Mnd |-> { t e. ~P ( Base ` s ) | ( ( 0g ` s ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` s ) y ) e. t ) } )
2	1	mptrcl 5685	1 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> M e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2178   A.wral 2486   {crab 2490   ~Pcpw 3626   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   +g cplusg 13024   0gc0g 13203   Mndcmnd 13363  SubMndcsubmnd 13405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-submnd 13407

This theorem is referenced by:  submss  13423  subm0cl  13425  submcl  13426  submmnd  13427  submbas  13428  subm0  13429  subsubm  13430  insubm  13432  resmhm  13434  resmhm2  13435  resmhm2b  13436  gsumsubm  13441  gsumwsubmcl  13443  submmulgcl  13616  submmulg  13617