ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  submrcl Unicode version

Theorem submrcl 12938
Description: Reverse closure for submonoids. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
submrcl  |-  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  ->  M  e.  Mnd )

Proof of Theorem submrcl
Dummy variables  t  x  y  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-submnd 12927 . 2  |- SubMnd  =  ( s  e.  Mnd  |->  { t  e.  ~P ( Base `  s )  |  ( ( 0g `  s )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x ( +g  `  s ) y )  e.  t ) } )
21mptrcl 5619 1  |-  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  ->  M  e.  Mnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    e. wcel 2160   A.wral 2468   {crab 2472   ~Pcpw 3590   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   Basecbs 12515   +g cplusg 12592   0gc0g 12764   Mndcmnd 12892  SubMndcsubmnd 12925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-submnd 12927
This theorem is referenced by:  submss  12943  subm0cl  12945  submcl  12946  submmnd  12947  submbas  12948  subm0  12949  subsubm  12950  insubm  12952  resmhm  12954  resmhm2  12955  resmhm2b  12956  submmulgcl  13122
  Copyright terms: Public domain W3C validator