Theorem issubm 13554

Description: Expand definition of a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubm.b	|- B = ( Base ` M )
issubm.z	|- .0. = ( 0g ` M )
issubm.p	|- .+ = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
issubm	|- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) )

Distinct variable groups:   x, M, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   .+ ( x, y)   .0. ( x, y)

Proof of Theorem issubm

Dummy variables m t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-submnd 13542	. . . 4 |- SubMnd = ( m e. Mnd |-> { t e. ~P ( Base ` m ) | ( ( 0g ` m ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` m ) y ) e. t ) } )
2		fveq2 5639	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( Base ` m ) = ( Base ` M ) )
3	2	pweqd 3657	. . . . 5 |- ( m = M -> ~P ( Base ` m ) = ~P ( Base ` M ) )
4		fveq2 5639	. . . . . . 7 |- ( m = M -> ( 0g ` m ) = ( 0g ` M ) )
5	4	eleq1d 2300	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( ( 0g ` m ) e. t <-> ( 0g ` M ) e. t ) )
6		fveq2 5639	. . . . . . . . 9 |- ( m = M -> ( +g ` m ) = ( +g ` M ) )
7	6	oveqd 6034	. . . . . . . 8 |- ( m = M -> ( x ( +g ` m ) y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
8	7	eleq1d 2300	. . . . . . 7 |- ( m = M -> ( ( x ( +g ` m ) y ) e. t <-> ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) )
9	8	2ralbidv 2556	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` m ) y ) e. t <-> A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) )
10	5, 9	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ( ( 0g ` m ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` m ) y ) e. t ) <-> ( ( 0g ` M ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) ) )
11	3, 10	rabeqbidv 2797	. . . 4 |- ( m = M -> { t e. ~P ( Base ` m ) | ( ( 0g ` m ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` m ) y ) e. t ) } = { t e. ~P ( Base ` M ) | ( ( 0g ` M ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) } )
12		id 19	. . . 4 |- ( M e. Mnd -> M e. Mnd )
13		basfn 13140	. . . . . . 7 |- Base Fn _V
14		elex 2814	. . . . . . 7 |- ( M e. Mnd -> M e. _V )
15		funfvex 5656	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ M e. dom Base ) -> ( Base ` M ) e. _V )
16	15	funfni 5432	. . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ M e. _V ) -> ( Base ` M ) e. _V )
17	13, 14, 16	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( M e. Mnd -> ( Base ` M ) e. _V )
18	17	pwexd 4271	. . . . 5 |- ( M e. Mnd -> ~P ( Base ` M ) e. _V )
19		rabexg 4233	. . . . 5 |- ( ~P ( Base ` M ) e. _V -> { t e. ~P ( Base ` M ) | ( ( 0g ` M ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) } e. _V )
20	18, 19	syl 14	. . . 4 |- ( M e. Mnd -> { t e. ~P ( Base ` M ) | ( ( 0g ` M ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) } e. _V )
21	1, 11, 12, 20	fvmptd3 5740	. . 3 |- ( M e. Mnd -> (SubMnd ` M ) = { t e. ~P ( Base ` M ) | ( ( 0g ` M ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) } )
22	21	eleq2d 2301	. 2 |- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> S e. { t e. ~P ( Base ` M ) | ( ( 0g ` M ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) } ) )
23		eleq2 2295	. . . . 5 |- ( t = S -> ( ( 0g ` M ) e. t <-> ( 0g ` M ) e. S ) )
24		eleq2 2295	. . . . . . 7 |- ( t = S -> ( ( x ( +g ` M ) y ) e. t <-> ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
25	24	raleqbi1dv 2742	. . . . . 6 |- ( t = S -> ( A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t <-> A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
26	25	raleqbi1dv 2742	. . . . 5 |- ( t = S -> ( A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t <-> A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
27	23, 26	anbi12d 473	. . . 4 |- ( t = S -> ( ( ( 0g ` M ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) <-> ( ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
28	27	elrab 2962	. . 3 |- ( S e. { t e. ~P ( Base ` M ) | ( ( 0g ` M ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) } <-> ( S e. ~P ( Base ` M ) /\ ( ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
29		issubm.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` M )
30	29	sseq2i 3254	. . . . . 6 |- ( S C_ B <-> S C_ ( Base ` M ) )
31		issubm.z	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` M )
32	31	eleq1i 2297	. . . . . . 7 |- ( .0. e. S <-> ( 0g ` M ) e. S )
33		issubm.p	. . . . . . . . . 10 |- .+ = ( +g ` M )
34	33	oveqi 6030	. . . . . . . . 9 |- ( x .+ y ) = ( x ( +g ` M ) y )
35	34	eleq1i 2297	. . . . . . . 8 |- ( ( x .+ y ) e. S <-> ( x ( +g ` M ) y ) e. S )
36	35	2ralbii 2540	. . . . . . 7 |- ( A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S <-> A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S )
37	32, 36	anbi12i 460	. . . . . 6 |- ( ( .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) <-> ( ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
38	30, 37	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( S C_ B /\ ( .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ ( ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
39	38	a1i 9	. . . 4 |- ( M e. Mnd -> ( ( S C_ B /\ ( .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ ( ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) ) )
40		3anass 1008	. . . . 5 |- ( ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) <-> ( S C_ B /\ ( .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) )
41	40	a1i 9	. . . 4 |- ( M e. Mnd -> ( ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) <-> ( S C_ B /\ ( .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) ) )
42		elpw2g 4246	. . . . . 6 |- ( ( Base ` M ) e. _V -> ( S e. ~P ( Base ` M ) <-> S C_ ( Base ` M ) ) )
43	17, 42	syl 14	. . . . 5 |- ( M e. Mnd -> ( S e. ~P ( Base ` M ) <-> S C_ ( Base ` M ) ) )
44	43	anbi1d 465	. . . 4 |- ( M e. Mnd -> ( ( S e. ~P ( Base ` M ) /\ ( ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ ( ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) ) )
45	39, 41, 44	3bitr4rd 221	. . 3 |- ( M e. Mnd -> ( ( S e. ~P ( Base ` M ) /\ ( ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) )
46	28, 45	bitrid 192	. 2 |- ( M e. Mnd -> ( S e. { t e. ~P ( Base ` M ) | ( ( 0g ` M ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) } <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) )
47	22, 46	bitrd 188	1 |- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   {crab 2514   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   ~Pcpw 3652   Fn wfn 5321   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   0gc0g 13338   Mndcmnd 13498  SubMndcsubmnd 13540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6020  df-inn 9143  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-submnd 13542

This theorem is referenced by:  issubm2  13555  issubmd  13556  mndissubm  13557  submss  13558  submid  13559  subm0cl  13560  submcl  13561  0subm  13566  insubm  13567  mhmima  13573  mhmeql  13574  issubg3  13778  issubrg3  14260  cnsubmlem  14591