Theorem issubm 12695

Description: Expand definition of a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubm.b	|- B = ( Base ` M )
issubm.z	|- .0. = ( 0g ` M )
issubm.p	|- .+ = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
issubm	|- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) )

Distinct variable groups:   x, M, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   .+ ( x, y)   .0. ( x, y)

Proof of Theorem issubm

Dummy variables m t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-submnd 12684	. . . 4 |- SubMnd = ( m e. Mnd |-> { t e. ~P ( Base ` m ) | ( ( 0g ` m ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` m ) y ) e. t ) } )
2		fveq2 5496	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( Base ` m ) = ( Base ` M ) )
3	2	pweqd 3571	. . . . 5 |- ( m = M -> ~P ( Base ` m ) = ~P ( Base ` M ) )
4		fveq2 5496	. . . . . . 7 |- ( m = M -> ( 0g ` m ) = ( 0g ` M ) )
5	4	eleq1d 2239	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( ( 0g ` m ) e. t <-> ( 0g ` M ) e. t ) )
6		fveq2 5496	. . . . . . . . 9 |- ( m = M -> ( +g ` m ) = ( +g ` M ) )
7	6	oveqd 5870	. . . . . . . 8 |- ( m = M -> ( x ( +g ` m ) y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
8	7	eleq1d 2239	. . . . . . 7 |- ( m = M -> ( ( x ( +g ` m ) y ) e. t <-> ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) )
9	8	2ralbidv 2494	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` m ) y ) e. t <-> A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) )
10	5, 9	anbi12d 470	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ( ( 0g ` m ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` m ) y ) e. t ) <-> ( ( 0g ` M ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) ) )
11	3, 10	rabeqbidv 2725	. . . 4 |- ( m = M -> { t e. ~P ( Base ` m ) | ( ( 0g ` m ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` m ) y ) e. t ) } = { t e. ~P ( Base ` M ) | ( ( 0g ` M ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) } )
12		id 19	. . . 4 |- ( M e. Mnd -> M e. Mnd )
13		basfn 12473	. . . . . . 7 |- Base Fn _V
14		elex 2741	. . . . . . 7 |- ( M e. Mnd -> M e. _V )
15		funfvex 5513	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ M e. dom Base ) -> ( Base ` M ) e. _V )
16	15	funfni 5298	. . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ M e. _V ) -> ( Base ` M ) e. _V )
17	13, 14, 16	sylancr 412	. . . . . 6 |- ( M e. Mnd -> ( Base ` M ) e. _V )
18	17	pwexd 4167	. . . . 5 |- ( M e. Mnd -> ~P ( Base ` M ) e. _V )
19		rabexg 4132	. . . . 5 |- ( ~P ( Base ` M ) e. _V -> { t e. ~P ( Base ` M ) | ( ( 0g ` M ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) } e. _V )
20	18, 19	syl 14	. . . 4 |- ( M e. Mnd -> { t e. ~P ( Base ` M ) | ( ( 0g ` M ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) } e. _V )
21	1, 11, 12, 20	fvmptd3 5589	. . 3 |- ( M e. Mnd -> (SubMnd ` M ) = { t e. ~P ( Base ` M ) | ( ( 0g ` M ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) } )
22	21	eleq2d 2240	. 2 |- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> S e. { t e. ~P ( Base ` M ) | ( ( 0g ` M ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) } ) )
23		eleq2 2234	. . . . 5 |- ( t = S -> ( ( 0g ` M ) e. t <-> ( 0g ` M ) e. S ) )
24		eleq2 2234	. . . . . . 7 |- ( t = S -> ( ( x ( +g ` M ) y ) e. t <-> ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
25	24	raleqbi1dv 2673	. . . . . 6 |- ( t = S -> ( A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t <-> A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
26	25	raleqbi1dv 2673	. . . . 5 |- ( t = S -> ( A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t <-> A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
27	23, 26	anbi12d 470	. . . 4 |- ( t = S -> ( ( ( 0g ` M ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) <-> ( ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
28	27	elrab 2886	. . 3 |- ( S e. { t e. ~P ( Base ` M ) | ( ( 0g ` M ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) } <-> ( S e. ~P ( Base ` M ) /\ ( ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
29		issubm.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` M )
30	29	sseq2i 3174	. . . . . 6 |- ( S C_ B <-> S C_ ( Base ` M ) )
31		issubm.z	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` M )
32	31	eleq1i 2236	. . . . . . 7 |- ( .0. e. S <-> ( 0g ` M ) e. S )
33		issubm.p	. . . . . . . . . 10 |- .+ = ( +g ` M )
34	33	oveqi 5866	. . . . . . . . 9 |- ( x .+ y ) = ( x ( +g ` M ) y )
35	34	eleq1i 2236	. . . . . . . 8 |- ( ( x .+ y ) e. S <-> ( x ( +g ` M ) y ) e. S )
36	35	2ralbii 2478	. . . . . . 7 |- ( A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S <-> A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S )
37	32, 36	anbi12i 457	. . . . . 6 |- ( ( .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) <-> ( ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
38	30, 37	anbi12i 457	. . . . 5 |- ( ( S C_ B /\ ( .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ ( ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
39	38	a1i 9	. . . 4 |- ( M e. Mnd -> ( ( S C_ B /\ ( .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ ( ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) ) )
40		3anass 977	. . . . 5 |- ( ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) <-> ( S C_ B /\ ( .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) )
41	40	a1i 9	. . . 4 |- ( M e. Mnd -> ( ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) <-> ( S C_ B /\ ( .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) ) )
42		elpw2g 4142	. . . . . 6 |- ( ( Base ` M ) e. _V -> ( S e. ~P ( Base ` M ) <-> S C_ ( Base ` M ) ) )
43	17, 42	syl 14	. . . . 5 |- ( M e. Mnd -> ( S e. ~P ( Base ` M ) <-> S C_ ( Base ` M ) ) )
44	43	anbi1d 462	. . . 4 |- ( M e. Mnd -> ( ( S e. ~P ( Base ` M ) /\ ( ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ ( ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) ) )
45	39, 41, 44	3bitr4rd 220	. . 3 |- ( M e. Mnd -> ( ( S e. ~P ( Base ` M ) /\ ( ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) )
46	28, 45	syl5bb 191	. 2 |- ( M e. Mnd -> ( S e. { t e. ~P ( Base ` M ) | ( ( 0g ` M ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) } <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) )
47	22, 46	bitrd 187	1 |- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   {crab 2452   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   ~Pcpw 3566   Fn wfn 5193   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   Basecbs 12416   +g cplusg 12480   0gc0g 12596   Mndcmnd 12652  SubMndcsubmnd 12682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-fv 5206  df-ov 5856  df-inn 8879  df-ndx 12419  df-slot 12420  df-base 12422  df-submnd 12684

This theorem is referenced by:  issubmd  12696  mndissubm  12697  submss  12698  submid  12699  subm0cl  12700  submcl  12701  0subm  12702  insubm  12703  mhmima  12706  mhmeql  12707