Theorem issubm 13505

Description: Expand definition of a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubm.b	|- B = ( Base ` M )
issubm.z	|- .0. = ( 0g ` M )
issubm.p	|- .+ = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
issubm	|- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) )

Distinct variable groups:   x, M, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   .+ ( x, y)   .0. ( x, y)

Proof of Theorem issubm

Dummy variables m t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-submnd 13493	. . . 4 |- SubMnd = ( m e. Mnd |-> { t e. ~P ( Base ` m ) | ( ( 0g ` m ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` m ) y ) e. t ) } )
2		fveq2 5627	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( Base ` m ) = ( Base ` M ) )
3	2	pweqd 3654	. . . . 5 |- ( m = M -> ~P ( Base ` m ) = ~P ( Base ` M ) )
4		fveq2 5627	. . . . . . 7 |- ( m = M -> ( 0g ` m ) = ( 0g ` M ) )
5	4	eleq1d 2298	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( ( 0g ` m ) e. t <-> ( 0g ` M ) e. t ) )
6		fveq2 5627	. . . . . . . . 9 |- ( m = M -> ( +g ` m ) = ( +g ` M ) )
7	6	oveqd 6018	. . . . . . . 8 |- ( m = M -> ( x ( +g ` m ) y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
8	7	eleq1d 2298	. . . . . . 7 |- ( m = M -> ( ( x ( +g ` m ) y ) e. t <-> ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) )
9	8	2ralbidv 2554	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` m ) y ) e. t <-> A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) )
10	5, 9	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ( ( 0g ` m ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` m ) y ) e. t ) <-> ( ( 0g ` M ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) ) )
11	3, 10	rabeqbidv 2794	. . . 4 |- ( m = M -> { t e. ~P ( Base ` m ) | ( ( 0g ` m ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` m ) y ) e. t ) } = { t e. ~P ( Base ` M ) | ( ( 0g ` M ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) } )
12		id 19	. . . 4 |- ( M e. Mnd -> M e. Mnd )
13		basfn 13091	. . . . . . 7 |- Base Fn _V
14		elex 2811	. . . . . . 7 |- ( M e. Mnd -> M e. _V )
15		funfvex 5644	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ M e. dom Base ) -> ( Base ` M ) e. _V )
16	15	funfni 5423	. . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ M e. _V ) -> ( Base ` M ) e. _V )
17	13, 14, 16	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( M e. Mnd -> ( Base ` M ) e. _V )
18	17	pwexd 4265	. . . . 5 |- ( M e. Mnd -> ~P ( Base ` M ) e. _V )
19		rabexg 4227	. . . . 5 |- ( ~P ( Base ` M ) e. _V -> { t e. ~P ( Base ` M ) | ( ( 0g ` M ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) } e. _V )
20	18, 19	syl 14	. . . 4 |- ( M e. Mnd -> { t e. ~P ( Base ` M ) | ( ( 0g ` M ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) } e. _V )
21	1, 11, 12, 20	fvmptd3 5728	. . 3 |- ( M e. Mnd -> (SubMnd ` M ) = { t e. ~P ( Base ` M ) | ( ( 0g ` M ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) } )
22	21	eleq2d 2299	. 2 |- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> S e. { t e. ~P ( Base ` M ) | ( ( 0g ` M ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) } ) )
23		eleq2 2293	. . . . 5 |- ( t = S -> ( ( 0g ` M ) e. t <-> ( 0g ` M ) e. S ) )
24		eleq2 2293	. . . . . . 7 |- ( t = S -> ( ( x ( +g ` M ) y ) e. t <-> ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
25	24	raleqbi1dv 2740	. . . . . 6 |- ( t = S -> ( A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t <-> A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
26	25	raleqbi1dv 2740	. . . . 5 |- ( t = S -> ( A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t <-> A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
27	23, 26	anbi12d 473	. . . 4 |- ( t = S -> ( ( ( 0g ` M ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) <-> ( ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
28	27	elrab 2959	. . 3 |- ( S e. { t e. ~P ( Base ` M ) | ( ( 0g ` M ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) } <-> ( S e. ~P ( Base ` M ) /\ ( ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
29		issubm.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` M )
30	29	sseq2i 3251	. . . . . 6 |- ( S C_ B <-> S C_ ( Base ` M ) )
31		issubm.z	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` M )
32	31	eleq1i 2295	. . . . . . 7 |- ( .0. e. S <-> ( 0g ` M ) e. S )
33		issubm.p	. . . . . . . . . 10 |- .+ = ( +g ` M )
34	33	oveqi 6014	. . . . . . . . 9 |- ( x .+ y ) = ( x ( +g ` M ) y )
35	34	eleq1i 2295	. . . . . . . 8 |- ( ( x .+ y ) e. S <-> ( x ( +g ` M ) y ) e. S )
36	35	2ralbii 2538	. . . . . . 7 |- ( A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S <-> A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S )
37	32, 36	anbi12i 460	. . . . . 6 |- ( ( .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) <-> ( ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
38	30, 37	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( S C_ B /\ ( .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ ( ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
39	38	a1i 9	. . . 4 |- ( M e. Mnd -> ( ( S C_ B /\ ( .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ ( ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) ) )
40		3anass 1006	. . . . 5 |- ( ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) <-> ( S C_ B /\ ( .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) )
41	40	a1i 9	. . . 4 |- ( M e. Mnd -> ( ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) <-> ( S C_ B /\ ( .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) ) )
42		elpw2g 4240	. . . . . 6 |- ( ( Base ` M ) e. _V -> ( S e. ~P ( Base ` M ) <-> S C_ ( Base ` M ) ) )
43	17, 42	syl 14	. . . . 5 |- ( M e. Mnd -> ( S e. ~P ( Base ` M ) <-> S C_ ( Base ` M ) ) )
44	43	anbi1d 465	. . . 4 |- ( M e. Mnd -> ( ( S e. ~P ( Base ` M ) /\ ( ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ ( ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) ) )
45	39, 41, 44	3bitr4rd 221	. . 3 |- ( M e. Mnd -> ( ( S e. ~P ( Base ` M ) /\ ( ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) )
46	28, 45	bitrid 192	. 2 |- ( M e. Mnd -> ( S e. { t e. ~P ( Base ` M ) | ( ( 0g ` M ) e. t /\ A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) } <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) )
47	22, 46	bitrd 188	1 |- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   {crab 2512   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   ~Pcpw 3649   Fn wfn 5313   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Basecbs 13032   +g cplusg 13110   0gc0g 13289   Mndcmnd 13449  SubMndcsubmnd 13491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-ov 6004  df-inn 9111  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-submnd 13493

This theorem is referenced by:  issubm2  13506  issubmd  13507  mndissubm  13508  submss  13509  submid  13510  subm0cl  13511  submcl  13512  0subm  13517  insubm  13518  mhmima  13524  mhmeql  13525  issubg3  13729  issubrg3  14211  cnsubmlem  14542