Theorem submcl 13051

Description: Submonoids are closed under the monoid operation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submcl.p	|- .+ = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
submcl	|- ( ( S e. (SubMnd ` M ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ Y ) e. S )

Proof of Theorem submcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 13043	. . . . . . 7 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> M e. Mnd )
2		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
3		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
4		submcl.p	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` M )
5	2, 3, 4	issubm 13044	. . . . . . 7 |- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) )
6	1, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) )
7	6	ibi 176	. . . . 5 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> ( S C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) )
8	7	simp3d 1013	. . . 4 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S )
9		ovrspc2v 5944	. . . 4 |- ( ( ( X e. S /\ Y e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> ( X .+ Y ) e. S )
10	8, 9	sylan2 286	. . 3 |- ( ( ( X e. S /\ Y e. S ) /\ S e. (SubMnd ` M ) ) -> ( X .+ Y ) e. S )
11	10	ancoms 268	. 2 |- ( ( S e. (SubMnd ` M ) /\ ( X e. S /\ Y e. S ) ) -> ( X .+ Y ) e. S )
12	11	3impb 1201	1 |- ( ( S e. (SubMnd ` M ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ Y ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   C_ wss 3153   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   0gc0g 12867   Mndcmnd 12997  SubMndcsubmnd 13030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-ov 5921  df-inn 8983  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-submnd 13032

This theorem is referenced by:  resmhm  13059  mhmima  13063  gsumwsubmcl  13068  submmulgcl  13235  gsumfzsubmcl  13408