Theorem submcl 12875

Description: Submonoids are closed under the monoid operation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submcl.p	|- .+ = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
submcl	|- ( ( S e. (SubMnd ` M ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ Y ) e. S )

Proof of Theorem submcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 12867	. . . . . . 7 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> M e. Mnd )
2		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
3		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
4		submcl.p	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` M )
5	2, 3, 4	issubm 12868	. . . . . . 7 |- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) )
6	1, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) )
7	6	ibi 176	. . . . 5 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> ( S C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) )
8	7	simp3d 1011	. . . 4 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S )
9		ovrspc2v 5903	. . . 4 |- ( ( ( X e. S /\ Y e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> ( X .+ Y ) e. S )
10	8, 9	sylan2 286	. . 3 |- ( ( ( X e. S /\ Y e. S ) /\ S e. (SubMnd ` M ) ) -> ( X .+ Y ) e. S )
11	10	ancoms 268	. 2 |- ( ( S e. (SubMnd ` M ) /\ ( X e. S /\ Y e. S ) ) -> ( X .+ Y ) e. S )
12	11	3impb 1199	1 |- ( ( S e. (SubMnd ` M ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ Y ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   C_ wss 3131   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   +g cplusg 12538   0gc0g 12710   Mndcmnd 12822  SubMndcsubmnd 12855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-ov 5880  df-inn 8922  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-submnd 12857

This theorem is referenced by:  mhmima  12880  submmulgcl  13031