Theorem submcl 13512

Description: Submonoids are closed under the monoid operation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submcl.p	|- .+ = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
submcl	|- ( ( S e. (SubMnd ` M ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ Y ) e. S )

Proof of Theorem submcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 13504	. . . . . . 7 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> M e. Mnd )
2		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
3		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
4		submcl.p	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` M )
5	2, 3, 4	issubm 13505	. . . . . . 7 |- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) )
6	1, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) )
7	6	ibi 176	. . . . 5 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> ( S C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) )
8	7	simp3d 1035	. . . 4 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S )
9		ovrspc2v 6027	. . . 4 |- ( ( ( X e. S /\ Y e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> ( X .+ Y ) e. S )
10	8, 9	sylan2 286	. . 3 |- ( ( ( X e. S /\ Y e. S ) /\ S e. (SubMnd ` M ) ) -> ( X .+ Y ) e. S )
11	10	ancoms 268	. 2 |- ( ( S e. (SubMnd ` M ) /\ ( X e. S /\ Y e. S ) ) -> ( X .+ Y ) e. S )
12	11	3impb 1223	1 |- ( ( S e. (SubMnd ` M ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ Y ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   C_ wss 3197   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Basecbs 13032   +g cplusg 13110   0gc0g 13289   Mndcmnd 13449  SubMndcsubmnd 13491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-ov 6004  df-inn 9111  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-submnd 13493

This theorem is referenced by:  resmhm  13520  mhmima  13524  gsumwsubmcl  13529  submmulgcl  13702  gsumfzsubmcl  13875