Theorem submcl 12701

Description: Submonoids are closed under the monoid operation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submcl.p	|- .+ = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
submcl	|- ( ( S e. (SubMnd ` M ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ Y ) e. S )

Proof of Theorem submcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 12694	. . . . . . 7 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> M e. Mnd )
2		eqid 2170	. . . . . . . 8 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
3		eqid 2170	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
4		submcl.p	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` M )
5	2, 3, 4	issubm 12695	. . . . . . 7 |- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) )
6	1, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) )
7	6	ibi 175	. . . . 5 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> ( S C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) )
8	7	simp3d 1006	. . . 4 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S )
9		ovrspc2v 5879	. . . 4 |- ( ( ( X e. S /\ Y e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> ( X .+ Y ) e. S )
10	8, 9	sylan2 284	. . 3 |- ( ( ( X e. S /\ Y e. S ) /\ S e. (SubMnd ` M ) ) -> ( X .+ Y ) e. S )
11	10	ancoms 266	. 2 |- ( ( S e. (SubMnd ` M ) /\ ( X e. S /\ Y e. S ) ) -> ( X .+ Y ) e. S )
12	11	3impb 1194	1 |- ( ( S e. (SubMnd ` M ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ Y ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   C_ wss 3121   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   Basecbs 12416   +g cplusg 12480   0gc0g 12596   Mndcmnd 12652  SubMndcsubmnd 12682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-fv 5206  df-ov 5856  df-inn 8879  df-ndx 12419  df-slot 12420  df-base 12422  df-submnd 12684

This theorem is referenced by:  mhmima  12706