Theorem submcl 13181

Description: Submonoids are closed under the monoid operation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submcl.p	|- .+ = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
submcl	|- ( ( S e. (SubMnd ` M ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ Y ) e. S )

Proof of Theorem submcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 13173	. . . . . . 7 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> M e. Mnd )
2		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
3		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
4		submcl.p	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` M )
5	2, 3, 4	issubm 13174	. . . . . . 7 |- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) )
6	1, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) )
7	6	ibi 176	. . . . 5 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> ( S C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) )
8	7	simp3d 1013	. . . 4 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S )
9		ovrspc2v 5951	. . . 4 |- ( ( ( X e. S /\ Y e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> ( X .+ Y ) e. S )
10	8, 9	sylan2 286	. . 3 |- ( ( ( X e. S /\ Y e. S ) /\ S e. (SubMnd ` M ) ) -> ( X .+ Y ) e. S )
11	10	ancoms 268	. 2 |- ( ( S e. (SubMnd ` M ) /\ ( X e. S /\ Y e. S ) ) -> ( X .+ Y ) e. S )
12	11	3impb 1201	1 |- ( ( S e. (SubMnd ` M ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ Y ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   C_ wss 3157   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703   +g cplusg 12780   0gc0g 12958   Mndcmnd 13118  SubMndcsubmnd 13160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9008  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-submnd 13162

This theorem is referenced by:  resmhm  13189  mhmima  13193  gsumwsubmcl  13198  submmulgcl  13371  gsumfzsubmcl  13544