Theorem submss 12943

Description: Submonoids are subsets of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submss.b	|- B = ( Base ` M )

Assertion

Ref	Expression
submss	|- ( S e. (SubMnd ` M ) -> S C_ B )

Proof of Theorem submss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 12938	. . . 4 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> M e. Mnd )
2		submss.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` M )
3		eqid 2189	. . . . 5 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
4		eqid 2189	. . . . 5 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
5	2, 3, 4	issubm 12939	. . . 4 |- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ B /\ ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
6	1, 5	syl 14	. . 3 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ B /\ ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
7	6	ibi 176	. 2 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> ( S C_ B /\ ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
8	7	simp1d 1011	1 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> S C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   C_ wss 3144   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   Basecbs 12515   +g cplusg 12592   0gc0g 12764   Mndcmnd 12892  SubMndcsubmnd 12925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1re 7936  ax-addrcl 7939

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-fv 5243  df-ov 5900  df-inn 8951  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-submnd 12927

This theorem is referenced by:  submbas  12948  subm0  12949  subsubm  12950  resmhm  12954  resmhm2  12955  mhmima  12958  submmulgcl  13122