Theorem subm0cl 12759

Description: Submonoids contain zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subm0cl.z	|- .0. = ( 0g ` M )

Assertion

Ref	Expression
subm0cl	|- ( S e. (SubMnd ` M ) -> .0. e. S )

Proof of Theorem subm0cl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 12752	. . . 4 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> M e. Mnd )
2		eqid 2177	. . . . 5 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
3		subm0cl.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` M )
4		eqid 2177	. . . . 5 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
5	2, 3, 4	issubm 12753	. . . 4 |- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
6	1, 5	syl 14	. . 3 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
7	6	ibi 176	. 2 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> ( S C_ ( Base ` M ) /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
8	7	simp2d 1010	1 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> .0. e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   C_ wss 3129   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   Basecbs 12445   +g cplusg 12518   0gc0g 12653   Mndcmnd 12709  SubMndcsubmnd 12740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1re 7896  ax-addrcl 7899

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-fv 5220  df-ov 5872  df-inn 8909  df-ndx 12448  df-slot 12449  df-base 12451  df-submnd 12742

This theorem is referenced by:  mhmima  12765  submmulgcl  12914