Theorem subm0cl 12704

Description: Submonoids contain zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subm0cl.z	|- .0. = ( 0g ` M )

Assertion

Ref	Expression
subm0cl	|- ( S e. (SubMnd ` M ) -> .0. e. S )

Proof of Theorem subm0cl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 12698	. . . 4 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> M e. Mnd )
2		eqid 2171	. . . . 5 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
3		subm0cl.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` M )
4		eqid 2171	. . . . 5 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
5	2, 3, 4	issubm 12699	. . . 4 |- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
6	1, 5	syl 14	. . 3 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
7	6	ibi 175	. 2 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> ( S C_ ( Base ` M ) /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
8	7	simp2d 1006	1 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> .0. e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 974   = wceq 1349   e. wcel 2142   A.wral 2449   C_ wss 3122   ` cfv 5200  (class class class)co 5857   Basecbs 12420   +g cplusg 12484   0gc0g 12600   Mndcmnd 12656  SubMndcsubmnd 12686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1re 7872  ax-addrcl 7875

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ral 2454  df-rex 2455  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4279  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-fv 5208  df-ov 5860  df-inn 8883  df-ndx 12423  df-slot 12424  df-base 12426  df-submnd 12688

This theorem is referenced by:  mhmima  12710  submmulgcl  12857