Theorem subm0cl 13691

Description: Submonoids contain zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subm0cl.z	|- .0. = ( 0g ` M )

Assertion

Ref	Expression
subm0cl	|- ( S e. (SubMnd ` M ) -> .0. e. S )

Proof of Theorem subm0cl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 13684	. . . 4 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> M e. Mnd )
2		eqid 2232	. . . . 5 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
3		subm0cl.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` M )
4		eqid 2232	. . . . 5 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
5	2, 3, 4	issubm 13685	. . . 4 |- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
6	1, 5	syl 14	. . 3 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
7	6	ibi 176	. 2 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> ( S C_ ( Base ` M ) /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
8	7	simp2d 1037	1 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> .0. e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   C_ wss 3211   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   +g cplusg 13290   0gc0g 13469   Mndcmnd 13629  SubMndcsubmnd 13671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-ov 6053  df-inn 9238  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-submnd 13673

This theorem is referenced by:  subm0  13695  subsubm  13696  resmhm  13700  mhmima  13704  gsumsubm  13707  gsumwsubmcl  13709  submmulgcl  13882  issubg3  13909  gsumfzsubmcl  14055