Theorem subm0cl 13281

Description: Submonoids contain zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subm0cl.z	|- .0. = ( 0g ` M )

Assertion

Ref	Expression
subm0cl	|- ( S e. (SubMnd ` M ) -> .0. e. S )

Proof of Theorem subm0cl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 13274	. . . 4 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> M e. Mnd )
2		eqid 2204	. . . . 5 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
3		subm0cl.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` M )
4		eqid 2204	. . . . 5 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
5	2, 3, 4	issubm 13275	. . . 4 |- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
6	1, 5	syl 14	. . 3 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
7	6	ibi 176	. 2 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> ( S C_ ( Base ` M ) /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
8	7	simp2d 1012	1 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> .0. e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175   A.wral 2483   C_ wss 3165   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   Basecbs 12803   +g cplusg 12880   0gc0g 13059   Mndcmnd 13219  SubMndcsubmnd 13261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-fv 5278  df-ov 5946  df-inn 9036  df-ndx 12806  df-slot 12807  df-base 12809  df-submnd 13263

This theorem is referenced by:  subm0  13285  subsubm  13286  resmhm  13290  mhmima  13294  gsumsubm  13297  gsumwsubmcl  13299  submmulgcl  13472  issubg3  13499  gsumfzsubmcl  13645