ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  supelti GIF version

Theorem supelti 6644
Description: Supremum membership in a set. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
supelti.ti ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
supelti.ex (𝜑 → ∃𝑥𝐶 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
supelti.ss (𝜑𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
supelti (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥   𝑦,𝐴,𝑧,𝑥   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶   𝑢,𝑅,𝑣,𝑥   𝑦,𝑅,𝑧   𝜑,𝑢,𝑣,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧)   𝐵(𝑣,𝑢)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem supelti
StepHypRef Expression
1 supelti.ti . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
2 supelti.ss . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐴)
3 supelti.ex . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥𝐶 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
4 ssrexv 3075 . . . . . 6 (𝐶𝐴 → (∃𝑥𝐶 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
52, 3, 4sylc 61 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
61, 5supclti 6640 . . . 4 (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
7 elisset 2627 . . . 4 (sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
86, 7syl 14 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
9 eqcom 2087 . . . 4 (𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ↔ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥)
109exbii 1539 . . 3 (∃𝑥 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑥sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥)
118, 10sylib 120 . 2 (𝜑 → ∃𝑥sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥)
12 simpr 108 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥)
131, 5supval2ti 6637 . . . . . . . 8 (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
1413eqeq1d 2093 . . . . . . 7 (𝜑 → (sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥 ↔ (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) = 𝑥))
1514biimpa 290 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥) → (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) = 𝑥)
161, 5supeuti 6636 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃!𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
17 riota1 5589 . . . . . . . 8 (∃!𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → ((𝑥𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) ↔ (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) = 𝑥))
1816, 17syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) ↔ (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) = 𝑥))
1918adantr 270 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥) → ((𝑥𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) ↔ (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) = 𝑥))
2015, 19mpbird 165 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥) → (𝑥𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
2120simpld 110 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥) → 𝑥𝐴)
222, 3, 16jca32 303 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐴 ∧ (∃𝑥𝐶 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) ∧ ∃!𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))))
2320simprd 112 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥) → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
24 reupick 3272 . . . . 5 (((𝐶𝐴 ∧ (∃𝑥𝐶 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) ∧ ∃!𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))) ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) → (𝑥𝐶𝑥𝐴))
2522, 23, 24syl2an2r 560 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥) → (𝑥𝐶𝑥𝐴))
2621, 25mpbird 165 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥) → 𝑥𝐶)
2712, 26eqeltrd 2161 . 2 ((𝜑 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐶)
2811, 27exlimddv 1823 1 (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1287  wex 1424  wcel 1436  wral 2355  wrex 2356  ∃!wreu 2357  wss 2988   class class class wbr 3822  crio 5570  supcsup 6624
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-br 3823  df-iota 4948  df-riota 5571  df-sup 6626
This theorem is referenced by:  zsupcl  10849
  Copyright terms: Public domain W3C validator