ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  supelti GIF version

Theorem supelti 6892
Description: Supremum membership in a set. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
supelti.ti ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
supelti.ex (𝜑 → ∃𝑥𝐶 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
supelti.ss (𝜑𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
supelti (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥   𝑦,𝐴,𝑧,𝑥   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶   𝑢,𝑅,𝑣,𝑥   𝑦,𝑅,𝑧   𝜑,𝑢,𝑣,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧)   𝐵(𝑣,𝑢)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem supelti
StepHypRef Expression
1 supelti.ti . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
2 supelti.ss . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐴)
3 supelti.ex . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥𝐶 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
4 ssrexv 3162 . . . . . 6 (𝐶𝐴 → (∃𝑥𝐶 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
52, 3, 4sylc 62 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
61, 5supclti 6888 . . . 4 (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
7 elisset 2700 . . . 4 (sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
86, 7syl 14 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
9 eqcom 2141 . . . 4 (𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ↔ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥)
109exbii 1584 . . 3 (∃𝑥 𝑥 = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑥sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥)
118, 10sylib 121 . 2 (𝜑 → ∃𝑥sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥)
12 simpr 109 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥)
131, 5supval2ti 6885 . . . . . . . 8 (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
1413eqeq1d 2148 . . . . . . 7 (𝜑 → (sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥 ↔ (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) = 𝑥))
1514biimpa 294 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥) → (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) = 𝑥)
161, 5supeuti 6884 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃!𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
17 riota1 5751 . . . . . . . 8 (∃!𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → ((𝑥𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) ↔ (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) = 𝑥))
1816, 17syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) ↔ (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) = 𝑥))
1918adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥) → ((𝑥𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) ↔ (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) = 𝑥))
2015, 19mpbird 166 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥) → (𝑥𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
2120simpld 111 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥) → 𝑥𝐴)
222, 3, 16jca32 308 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐴 ∧ (∃𝑥𝐶 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) ∧ ∃!𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))))
2320simprd 113 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥) → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
24 reupick 3360 . . . . 5 (((𝐶𝐴 ∧ (∃𝑥𝐶 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) ∧ ∃!𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))) ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) → (𝑥𝐶𝑥𝐴))
2522, 23, 24syl2an2r 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥) → (𝑥𝐶𝑥𝐴))
2621, 25mpbird 166 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥) → 𝑥𝐶)
2712, 26eqeltrd 2216 . 2 ((𝜑 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝑥) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐶)
2811, 27exlimddv 1870 1 (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wex 1468  wcel 1480  wral 2416  wrex 2417  ∃!wreu 2418  wss 3071   class class class wbr 3932  crio 5732  supcsup 6872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-br 3933  df-iota 5091  df-riota 5733  df-sup 6874
This theorem is referenced by:  zsupcl  11663
  Copyright terms: Public domain W3C validator