Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zsupcl Unicode version

Theorem zsupcl 11674
 Description: Closure of supremum for decidable integer properties. The property which defines the set we are taking the supremum of must (a) be true at (which corresponds to the nonempty condition of classical supremum theorems), (b) decidable at each value after , and (c) be false after (which corresponds to the upper bound condition found in classical supremum theorems). (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
zsupcl.m
zsupcl.sbm
zsupcl.mtru
zsupcl.dc DECID
zsupcl.bnd
Assertion
Ref Expression
zsupcl
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem zsupcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsupcl.m . . . 4
21zred 9196 . . 3
3 lttri3 7867 . . . . 5
43adantl 275 . . . 4
5 zssre 9084 . . . . 5
6 zsupcl.sbm . . . . . 6
7 zsupcl.mtru . . . . . 6
8 zsupcl.dc . . . . . 6 DECID
9 zsupcl.bnd . . . . . 6
101, 6, 7, 8, 9zsupcllemex 11673 . . . . 5
11 ssrexv 3166 . . . . 5
125, 10, 11mpsyl 65 . . . 4
134, 12supclti 6892 . . 3
146elrab 2843 . . . . 5
151, 7, 14sylanbrc 414 . . . 4
164, 12supubti 6893 . . . 4
1715, 16mpd 13 . . 3
182, 13, 17nltled 7906 . 2
195a1i 9 . . . 4
204, 10, 19supelti 6896 . . 3
21 eluz 9362 . . 3
221, 20, 21syl2anc 409 . 2
2318, 22mpbird 166 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104  DECID wdc 820   wceq 1332   wcel 1481  wral 2417  wrex 2418  crab 2421   wss 3075   class class class wbr 3936  cfv 5130  csup 6876  cr 7642   clt 7823   cle 7824  cz 9077  cuz 9349 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-sup 6878  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-fz 9821  df-fzo 9950 This theorem is referenced by:  gcdsupcl  11681
 Copyright terms: Public domain W3C validator