Theorem suplocexprlemss 7775

Description: Lemma for suplocexpr 7785. A is a set of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocexpr.m	|- ( ph -> E. x x e. A )
suplocexpr.ub	|- ( ph -> E. x e. P. A. y e. A y <P x )
suplocexpr.loc	|- ( ph -> A. x e. P. A. y e. P. ( x <P y -> ( E. z e. A x <P z \/ A. z e. A z <P y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
suplocexprlemss	|- ( ph -> A C_ P. )

Distinct variable groups:   x, A, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   A( z)

Proof of Theorem suplocexprlemss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocexpr.ub	. . 3 |- ( ph -> E. x e. P. A. y e. A y <P x )
2		rsp 2541	. . . . . 6 |- ( A. y e. A y <P x -> ( y e. A -> y <P x ) )
3		ltrelpr 7565	. . . . . . . 8 |- <P C_ ( P. X. P. )
4	3	brel 4711	. . . . . . 7 |- ( y <P x -> ( y e. P. /\ x e. P. ) )
5	4	simpld 112	. . . . . 6 |- ( y <P x -> y e. P. )
6	2, 5	syl6 33	. . . . 5 |- ( A. y e. A y <P x -> ( y e. A -> y e. P. ) )
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. A y <P x -> ( y e. A -> y e. P. ) ) )
8	7	rexlimdvw 2615	. . 3 |- ( ph -> ( E. x e. P. A. y e. A y <P x -> ( y e. A -> y e. P. ) ) )
9	1, 8	mpd 13	. 2 |- ( ph -> ( y e. A -> y e. P. ) )
10	9	ssrdv 3185	1 |- ( ph -> A C_ P. )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 709   E.wex 1503   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   C_ wss 3153   class class class wbr 4029   P.cnp 7351   <P cltp 7355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-iltp 7530

This theorem is referenced by:  suplocexprlemml  7776  suplocexprlemrl  7777  suplocexprlemmu  7778  suplocexprlemru  7779  suplocexprlemdisj  7780  suplocexprlemloc  7781  suplocexprlemex  7782  suplocexprlemub  7783  suplocexprlemlub  7784