ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  suplocexprlemss Unicode version

Theorem suplocexprlemss 7714
Description: Lemma for suplocexpr 7724. 
A is a set of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
suplocexpr.m  |-  ( ph  ->  E. x  x  e.  A )
suplocexpr.ub  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y 
<P  x )
suplocexpr.loc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  P.  A. y  e.  P.  (
x  <P  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <P  z  \/  A. z  e.  A  z  <P  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
suplocexprlemss  |-  ( ph  ->  A  C_  P. )
Distinct variable groups:    x, A, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( z)

Proof of Theorem suplocexprlemss
StepHypRef Expression
1 suplocexpr.ub . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y 
<P  x )
2 rsp 2524 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  ( y  e.  A  ->  y  <P  x ) )
3 ltrelpr 7504 . . . . . . . 8  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
43brel 4679 . . . . . . 7  |-  ( y 
<P  x  ->  ( y  e.  P.  /\  x  e.  P. ) )
54simpld 112 . . . . . 6  |-  ( y 
<P  x  ->  y  e. 
P. )
62, 5syl6 33 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  ( y  e.  A  ->  y  e. 
P. ) )
76a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  P. )
) )
87rexlimdvw 2598 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e. 
P.  A. y  e.  A  y  <P  x  ->  (
y  e.  A  -> 
y  e.  P. )
) )
91, 8mpd 13 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  P. )
)
109ssrdv 3162 1  |-  ( ph  ->  A  C_  P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 708   E.wex 1492    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456    C_ wss 3130   class class class wbr 4004   P.cnp 7290    <P cltp 7294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-iltp 7469
This theorem is referenced by:  suplocexprlemml  7715  suplocexprlemrl  7716  suplocexprlemmu  7717  suplocexprlemru  7718  suplocexprlemdisj  7719  suplocexprlemloc  7720  suplocexprlemex  7721  suplocexprlemub  7722  suplocexprlemlub  7723
  Copyright terms: Public domain W3C validator