ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  suplocexprlemss Unicode version

Theorem suplocexprlemss 7677
Description: Lemma for suplocexpr 7687. 
A is a set of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
suplocexpr.m  |-  ( ph  ->  E. x  x  e.  A )
suplocexpr.ub  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y 
<P  x )
suplocexpr.loc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  P.  A. y  e.  P.  (
x  <P  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <P  z  \/  A. z  e.  A  z  <P  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
suplocexprlemss  |-  ( ph  ->  A  C_  P. )
Distinct variable groups:    x, A, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( z)

Proof of Theorem suplocexprlemss
StepHypRef Expression
1 suplocexpr.ub . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y 
<P  x )
2 rsp 2517 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  ( y  e.  A  ->  y  <P  x ) )
3 ltrelpr 7467 . . . . . . . 8  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
43brel 4663 . . . . . . 7  |-  ( y 
<P  x  ->  ( y  e.  P.  /\  x  e.  P. ) )
54simpld 111 . . . . . 6  |-  ( y 
<P  x  ->  y  e. 
P. )
62, 5syl6 33 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  ( y  e.  A  ->  y  e. 
P. ) )
76a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  P. )
) )
87rexlimdvw 2591 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e. 
P.  A. y  e.  A  y  <P  x  ->  (
y  e.  A  -> 
y  e.  P. )
) )
91, 8mpd 13 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  P. )
)
109ssrdv 3153 1  |-  ( ph  ->  A  C_  P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 703   E.wex 1485    e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449    C_ wss 3121   class class class wbr 3989   P.cnp 7253    <P cltp 7257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-iltp 7432
This theorem is referenced by:  suplocexprlemml  7678  suplocexprlemrl  7679  suplocexprlemmu  7680  suplocexprlemru  7681  suplocexprlemdisj  7682  suplocexprlemloc  7683  suplocexprlemex  7684  suplocexprlemub  7685  suplocexprlemlub  7686
  Copyright terms: Public domain W3C validator