Theorem suplocexprlemss 7828

Description: Lemma for suplocexpr 7838. A is a set of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocexpr.m	|- ( ph -> E. x x e. A )
suplocexpr.ub	|- ( ph -> E. x e. P. A. y e. A y <P x )
suplocexpr.loc	|- ( ph -> A. x e. P. A. y e. P. ( x <P y -> ( E. z e. A x <P z \/ A. z e. A z <P y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
suplocexprlemss	|- ( ph -> A C_ P. )

Distinct variable groups:   x, A, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   A( z)

Proof of Theorem suplocexprlemss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocexpr.ub	. . 3 |- ( ph -> E. x e. P. A. y e. A y <P x )
2		rsp 2553	. . . . . 6 |- ( A. y e. A y <P x -> ( y e. A -> y <P x ) )
3		ltrelpr 7618	. . . . . . . 8 |- <P C_ ( P. X. P. )
4	3	brel 4727	. . . . . . 7 |- ( y <P x -> ( y e. P. /\ x e. P. ) )
5	4	simpld 112	. . . . . 6 |- ( y <P x -> y e. P. )
6	2, 5	syl6 33	. . . . 5 |- ( A. y e. A y <P x -> ( y e. A -> y e. P. ) )
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. A y <P x -> ( y e. A -> y e. P. ) ) )
8	7	rexlimdvw 2627	. . 3 |- ( ph -> ( E. x e. P. A. y e. A y <P x -> ( y e. A -> y e. P. ) ) )
9	1, 8	mpd 13	. 2 |- ( ph -> ( y e. A -> y e. P. ) )
10	9	ssrdv 3199	1 |- ( ph -> A C_ P. )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 710   E.wex 1515   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   C_ wss 3166   class class class wbr 4044   P.cnp 7404   <P cltp 7408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-iltp 7583

This theorem is referenced by:  suplocexprlemml  7829  suplocexprlemrl  7830  suplocexprlemmu  7831  suplocexprlemru  7832  suplocexprlemdisj  7833  suplocexprlemloc  7834  suplocexprlemex  7835  suplocexprlemub  7836  suplocexprlemlub  7837