Theorem suplocexprlemss 7898

Description: Lemma for suplocexpr 7908. A is a set of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocexpr.m	|- ( ph -> E. x x e. A )
suplocexpr.ub	|- ( ph -> E. x e. P. A. y e. A y <P x )
suplocexpr.loc	|- ( ph -> A. x e. P. A. y e. P. ( x <P y -> ( E. z e. A x <P z \/ A. z e. A z <P y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
suplocexprlemss	|- ( ph -> A C_ P. )

Distinct variable groups:   x, A, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   A( z)

Proof of Theorem suplocexprlemss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocexpr.ub	. . 3 |- ( ph -> E. x e. P. A. y e. A y <P x )
2		rsp 2577	. . . . . 6 |- ( A. y e. A y <P x -> ( y e. A -> y <P x ) )
3		ltrelpr 7688	. . . . . . . 8 |- <P C_ ( P. X. P. )
4	3	brel 4770	. . . . . . 7 |- ( y <P x -> ( y e. P. /\ x e. P. ) )
5	4	simpld 112	. . . . . 6 |- ( y <P x -> y e. P. )
6	2, 5	syl6 33	. . . . 5 |- ( A. y e. A y <P x -> ( y e. A -> y e. P. ) )
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. A y <P x -> ( y e. A -> y e. P. ) ) )
8	7	rexlimdvw 2652	. . 3 |- ( ph -> ( E. x e. P. A. y e. A y <P x -> ( y e. A -> y e. P. ) ) )
9	1, 8	mpd 13	. 2 |- ( ph -> ( y e. A -> y e. P. ) )
10	9	ssrdv 3230	1 |- ( ph -> A C_ P. )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 713   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   C_ wss 3197   class class class wbr 4082   P.cnp 7474   <P cltp 7478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-iltp 7653

This theorem is referenced by:  suplocexprlemml  7899  suplocexprlemrl  7900  suplocexprlemmu  7901  suplocexprlemru  7902  suplocexprlemdisj  7903  suplocexprlemloc  7904  suplocexprlemex  7905  suplocexprlemub  7906  suplocexprlemlub  7907