ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  suplocexprlemss Unicode version

Theorem suplocexprlemss 7635
Description: Lemma for suplocexpr 7645. 
A is a set of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
suplocexpr.m  |-  ( ph  ->  E. x  x  e.  A )
suplocexpr.ub  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y 
<P  x )
suplocexpr.loc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  P.  A. y  e.  P.  (
x  <P  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <P  z  \/  A. z  e.  A  z  <P  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
suplocexprlemss  |-  ( ph  ->  A  C_  P. )
Distinct variable groups:    x, A, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( z)

Proof of Theorem suplocexprlemss
StepHypRef Expression
1 suplocexpr.ub . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y 
<P  x )
2 rsp 2504 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  ( y  e.  A  ->  y  <P  x ) )
3 ltrelpr 7425 . . . . . . . 8  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
43brel 4638 . . . . . . 7  |-  ( y 
<P  x  ->  ( y  e.  P.  /\  x  e.  P. ) )
54simpld 111 . . . . . 6  |-  ( y 
<P  x  ->  y  e. 
P. )
62, 5syl6 33 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  ( y  e.  A  ->  y  e. 
P. ) )
76a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  P. )
) )
87rexlimdvw 2578 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e. 
P.  A. y  e.  A  y  <P  x  ->  (
y  e.  A  -> 
y  e.  P. )
) )
91, 8mpd 13 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  P. )
)
109ssrdv 3134 1  |-  ( ph  ->  A  C_  P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 698   E.wex 1472    e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436    C_ wss 3102   class class class wbr 3965   P.cnp 7211    <P cltp 7215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4592  df-iltp 7390
This theorem is referenced by:  suplocexprlemml  7636  suplocexprlemrl  7637  suplocexprlemmu  7638  suplocexprlemru  7639  suplocexprlemdisj  7640  suplocexprlemloc  7641  suplocexprlemex  7642  suplocexprlemub  7643  suplocexprlemlub  7644
  Copyright terms: Public domain W3C validator