Theorem suplocexprlemss 7547

Description: Lemma for suplocexpr 7557. A is a set of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocexpr.m	|- ( ph -> E. x x e. A )
suplocexpr.ub	|- ( ph -> E. x e. P. A. y e. A y <P x )
suplocexpr.loc	|- ( ph -> A. x e. P. A. y e. P. ( x <P y -> ( E. z e. A x <P z \/ A. z e. A z <P y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
suplocexprlemss	|- ( ph -> A C_ P. )

Distinct variable groups:   x, A, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   A( z)

Proof of Theorem suplocexprlemss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocexpr.ub	. . 3 |- ( ph -> E. x e. P. A. y e. A y <P x )
2		rsp 2483	. . . . . 6 |- ( A. y e. A y <P x -> ( y e. A -> y <P x ) )
3		ltrelpr 7337	. . . . . . . 8 |- <P C_ ( P. X. P. )
4	3	brel 4599	. . . . . . 7 |- ( y <P x -> ( y e. P. /\ x e. P. ) )
5	4	simpld 111	. . . . . 6 |- ( y <P x -> y e. P. )
6	2, 5	syl6 33	. . . . 5 |- ( A. y e. A y <P x -> ( y e. A -> y e. P. ) )
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. A y <P x -> ( y e. A -> y e. P. ) ) )
8	7	rexlimdvw 2556	. . 3 |- ( ph -> ( E. x e. P. A. y e. A y <P x -> ( y e. A -> y e. P. ) ) )
9	1, 8	mpd 13	. 2 |- ( ph -> ( y e. A -> y e. P. ) )
10	9	ssrdv 3108	1 |- ( ph -> A C_ P. )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 698   E.wex 1469   e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   C_ wss 3076   class class class wbr 3937   P.cnp 7123   <P cltp 7127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-iltp 7302

This theorem is referenced by:  suplocexprlemml  7548  suplocexprlemrl  7549  suplocexprlemmu  7550  suplocexprlemru  7551  suplocexprlemdisj  7552  suplocexprlemloc  7553  suplocexprlemex  7554  suplocexprlemub  7555  suplocexprlemlub  7556