Theorem suplocexprlemss 8030

Description: Lemma for suplocexpr 8040. A is a set of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocexpr.m	|- ( ph -> E. x x e. A )
suplocexpr.ub	|- ( ph -> E. x e. P. A. y e. A y <P x )
suplocexpr.loc	|- ( ph -> A. x e. P. A. y e. P. ( x <P y -> ( E. z e. A x <P z \/ A. z e. A z <P y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
suplocexprlemss	|- ( ph -> A C_ P. )

Distinct variable groups:   x, A, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   A( z)

Proof of Theorem suplocexprlemss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocexpr.ub	. . 3 |- ( ph -> E. x e. P. A. y e. A y <P x )
2		rsp 2589	. . . . . 6 |- ( A. y e. A y <P x -> ( y e. A -> y <P x ) )
3		ltrelpr 7820	. . . . . . . 8 |- <P C_ ( P. X. P. )
4	3	brel 4802	. . . . . . 7 |- ( y <P x -> ( y e. P. /\ x e. P. ) )
5	4	simpld 112	. . . . . 6 |- ( y <P x -> y e. P. )
6	2, 5	syl6 33	. . . . 5 |- ( A. y e. A y <P x -> ( y e. A -> y e. P. ) )
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. A y <P x -> ( y e. A -> y e. P. ) ) )
8	7	rexlimdvw 2664	. . 3 |- ( ph -> ( E. x e. P. A. y e. A y <P x -> ( y e. A -> y e. P. ) ) )
9	1, 8	mpd 13	. 2 |- ( ph -> ( y e. A -> y e. P. ) )
10	9	ssrdv 3244	1 |- ( ph -> A C_ P. )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 716   E.wex 1541   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   C_ wss 3211   class class class wbr 4109   P.cnp 7606   <P cltp 7610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-iltp 7785

This theorem is referenced by:  suplocexprlemml  8031  suplocexprlemrl  8032  suplocexprlemmu  8033  suplocexprlemru  8034  suplocexprlemdisj  8035  suplocexprlemloc  8036  suplocexprlemex  8037  suplocexprlemub  8038  suplocexprlemlub  8039