Theorem suplocexprlemml 7657

Description: Lemma for suplocexpr 7666. The lower cut of the putative supremum is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocexpr.m	|- ( ph -> E. x x e. A )
suplocexpr.ub	|- ( ph -> E. x e. P. A. y e. A y <P x )
suplocexpr.loc	|- ( ph -> A. x e. P. A. y e. P. ( x <P y -> ( E. z e. A x <P z \/ A. z e. A z <P y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
suplocexprlemml	|- ( ph -> E. s e. Q. s e. U. ( 1st " A ) )

Distinct variable groups:   A, s, x, y   ph, s, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   A( z)

Proof of Theorem suplocexprlemml

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocexpr.m	. . 3 |- ( ph -> E. x x e. A )
2		suplocexpr.ub	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. x e. P. A. y e. A y <P x )
3		suplocexpr.loc	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. P. A. y e. P. ( x <P y -> ( E. z e. A x <P z \/ A. z e. A z <P y ) ) )
4	1, 2, 3	suplocexprlemss 7656	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ P. )
5	4	sselda 3142	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. P. )
6		prop 7416	. . . . 5 |- ( x e. P. -> <. ( 1st ` x ) , ( 2nd ` x ) >. e. P. )
7		prml 7418	. . . . 5 |- ( <. ( 1st ` x ) , ( 2nd ` x ) >. e. P. -> E. s e. Q. s e. ( 1st ` x ) )
8	5, 6, 7	3syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. s e. Q. s e. ( 1st ` x ) )
9	8	ralrimiva 2539	. . 3 |- ( ph -> A. x e. A E. s e. Q. s e. ( 1st ` x ) )
10		r19.2m 3495	. . 3 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A E. s e. Q. s e. ( 1st ` x ) ) -> E. x e. A E. s e. Q. s e. ( 1st ` x ) )
11	1, 9, 10	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> E. x e. A E. s e. Q. s e. ( 1st ` x ) )
12		suplocexprlemell 7654	. . . 4 |- ( s e. U. ( 1st " A ) <-> E. x e. A s e. ( 1st ` x ) )
13	12	rexbii 2473	. . 3 |- ( E. s e. Q. s e. U. ( 1st " A ) <-> E. s e. Q. E. x e. A s e. ( 1st ` x ) )
14		rexcom 2630	. . 3 |- ( E. s e. Q. E. x e. A s e. ( 1st ` x ) <-> E. x e. A E. s e. Q. s e. ( 1st ` x ) )
15	13, 14	bitri 183	. 2 |- ( E. s e. Q. s e. U. ( 1st " A ) <-> E. x e. A E. s e. Q. s e. ( 1st ` x ) )
16	11, 15	sylibr 133	1 |- ( ph -> E. s e. Q. s e. U. ( 1st " A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   <.cop 3579   U.cuni 3789   class class class wbr 3982   "cima 4607   ` cfv 5188   1stc1st 6106   2ndc2nd 6107   Q.cnq 7221   P.cnp 7232   <P cltp 7236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-qs 6507  df-ni 7245  df-nqqs 7289  df-inp 7407  df-iltp 7411

This theorem is referenced by:  suplocexprlemex  7663