Theorem suplocexprlemml 7711

Description: Lemma for suplocexpr 7720. The lower cut of the putative supremum is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocexpr.m	|- ( ph -> E. x x e. A )
suplocexpr.ub	|- ( ph -> E. x e. P. A. y e. A y <P x )
suplocexpr.loc	|- ( ph -> A. x e. P. A. y e. P. ( x <P y -> ( E. z e. A x <P z \/ A. z e. A z <P y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
suplocexprlemml	|- ( ph -> E. s e. Q. s e. U. ( 1st " A ) )

Distinct variable groups:   A, s, x, y   ph, s, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   A( z)

Proof of Theorem suplocexprlemml

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocexpr.m	. . 3 |- ( ph -> E. x x e. A )
2		suplocexpr.ub	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. x e. P. A. y e. A y <P x )
3		suplocexpr.loc	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. P. A. y e. P. ( x <P y -> ( E. z e. A x <P z \/ A. z e. A z <P y ) ) )
4	1, 2, 3	suplocexprlemss 7710	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ P. )
5	4	sselda 3155	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. P. )
6		prop 7470	. . . . 5 |- ( x e. P. -> <. ( 1st ` x ) , ( 2nd ` x ) >. e. P. )
7		prml 7472	. . . . 5 |- ( <. ( 1st ` x ) , ( 2nd ` x ) >. e. P. -> E. s e. Q. s e. ( 1st ` x ) )
8	5, 6, 7	3syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. s e. Q. s e. ( 1st ` x ) )
9	8	ralrimiva 2550	. . 3 |- ( ph -> A. x e. A E. s e. Q. s e. ( 1st ` x ) )
10		r19.2m 3509	. . 3 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A E. s e. Q. s e. ( 1st ` x ) ) -> E. x e. A E. s e. Q. s e. ( 1st ` x ) )
11	1, 9, 10	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> E. x e. A E. s e. Q. s e. ( 1st ` x ) )
12		suplocexprlemell 7708	. . . 4 |- ( s e. U. ( 1st " A ) <-> E. x e. A s e. ( 1st ` x ) )
13	12	rexbii 2484	. . 3 |- ( E. s e. Q. s e. U. ( 1st " A ) <-> E. s e. Q. E. x e. A s e. ( 1st ` x ) )
14		rexcom 2641	. . 3 |- ( E. s e. Q. E. x e. A s e. ( 1st ` x ) <-> E. x e. A E. s e. Q. s e. ( 1st ` x ) )
15	13, 14	bitri 184	. 2 |- ( E. s e. Q. s e. U. ( 1st " A ) <-> E. x e. A E. s e. Q. s e. ( 1st ` x ) )
16	11, 15	sylibr 134	1 |- ( ph -> E. s e. Q. s e. U. ( 1st " A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   <.cop 3595   U.cuni 3809   class class class wbr 4002   "cima 4628   ` cfv 5214   1stc1st 6135   2ndc2nd 6136   Q.cnq 7275   P.cnp 7286   <P cltp 7290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-iinf 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-qs 6537  df-ni 7299  df-nqqs 7343  df-inp 7461  df-iltp 7465

This theorem is referenced by:  suplocexprlemex  7717