Theorem suplocexprlemss 7777

Description: Lemma for suplocexpr 7787. 𝐴 is a set of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocexpr.m	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
suplocexpr.ub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥)
suplocexpr.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ P (𝑥<P 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥<P 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧<P 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
suplocexprlemss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ P)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑧)

Proof of Theorem suplocexprlemss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocexpr.ub	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥)
2		rsp 2541	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦<P 𝑥))
3		ltrelpr 7567	. . . . . . . 8 ⊢ <P ⊆ (P × P)
4	3	brel 4712	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦<P 𝑥 → (𝑦 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P))
5	4	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ (𝑦<P 𝑥 → 𝑦 ∈ P)
6	2, 5	syl6 33	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ P))
7	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ P)))
8	7	rexlimdvw 2615	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ P)))
9	1, 8	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ P))
10	9	ssrdv 3186	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ P)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 709  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473   ⊆ wss 3154   class class class wbr 4030  Pcnp 7353  <_P cltp 7357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-iltp 7532

This theorem is referenced by:  suplocexprlemml  7778  suplocexprlemrl  7779  suplocexprlemmu  7780  suplocexprlemru  7781  suplocexprlemdisj  7782  suplocexprlemloc  7783  suplocexprlemex  7784  suplocexprlemub  7785  suplocexprlemlub  7786