ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  suplocexprlemss GIF version

Theorem suplocexprlemss 7530
Description: Lemma for suplocexpr 7540. 𝐴 is a set of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
suplocexpr.m (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
suplocexpr.ub (𝜑 → ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥)
suplocexpr.loc (𝜑 → ∀𝑥P𝑦P (𝑥<P 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥<P 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧<P 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
suplocexprlemss (𝜑𝐴P)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑧)

Proof of Theorem suplocexprlemss
StepHypRef Expression
1 suplocexpr.ub . . 3 (𝜑 → ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥)
2 rsp 2480 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥 → (𝑦𝐴𝑦<P 𝑥))
3 ltrelpr 7320 . . . . . . . 8 <P ⊆ (P × P)
43brel 4591 . . . . . . 7 (𝑦<P 𝑥 → (𝑦P𝑥P))
54simpld 111 . . . . . 6 (𝑦<P 𝑥𝑦P)
62, 5syl6 33 . . . . 5 (∀𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥 → (𝑦𝐴𝑦P))
76a1i 9 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥 → (𝑦𝐴𝑦P)))
87rexlimdvw 2553 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥 → (𝑦𝐴𝑦P)))
91, 8mpd 13 . 2 (𝜑 → (𝑦𝐴𝑦P))
109ssrdv 3103 1 (𝜑𝐴P)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wo 697  wex 1468  wcel 1480  wral 2416  wrex 2417  wss 3071   class class class wbr 3929  Pcnp 7106  <P cltp 7110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-iltp 7285
This theorem is referenced by:  suplocexprlemml  7531  suplocexprlemrl  7532  suplocexprlemmu  7533  suplocexprlemru  7534  suplocexprlemdisj  7535  suplocexprlemloc  7536  suplocexprlemex  7537  suplocexprlemub  7538  suplocexprlemlub  7539
  Copyright terms: Public domain W3C validator