Theorem suplocexprlemss 7714

Description: Lemma for suplocexpr 7724. 𝐴 is a set of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocexpr.m	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
suplocexpr.ub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥)
suplocexpr.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ P (𝑥<P 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥<P 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧<P 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
suplocexprlemss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ P)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑧)

Proof of Theorem suplocexprlemss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocexpr.ub	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥)
2		rsp 2524	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦<P 𝑥))
3		ltrelpr 7504	. . . . . . . 8 ⊢ <P ⊆ (P × P)
4	3	brel 4679	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦<P 𝑥 → (𝑦 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P))
5	4	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ (𝑦<P 𝑥 → 𝑦 ∈ P)
6	2, 5	syl6 33	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ P))
7	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ P)))
8	7	rexlimdvw 2598	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ P)))
9	1, 8	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ P))
10	9	ssrdv 3162	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ P)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 708  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456   ⊆ wss 3130   class class class wbr 4004  Pcnp 7290  <_P cltp 7294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-iltp 7469

This theorem is referenced by:  suplocexprlemml  7715  suplocexprlemrl  7716  suplocexprlemmu  7717  suplocexprlemru  7718  suplocexprlemdisj  7719  suplocexprlemloc  7720  suplocexprlemex  7721  suplocexprlemub  7722  suplocexprlemlub  7723