Theorem tgtopon 14755

Description: A basis generates a topology on ∪ 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgtopon	⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ (TopOn‘∪ 𝐵))

Proof of Theorem tgtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcl 14753	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
2		unitg 14751	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → ∪ (topGen‘𝐵) = ∪ 𝐵)
3	2	eqcomd 2235	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → ∪ 𝐵 = ∪ (topGen‘𝐵))
4		istopon 14702	. 2 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ (TopOn‘∪ 𝐵) ↔ ((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ ∪ 𝐵 = ∪ (topGen‘𝐵)))
5	1, 3, 4	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ (TopOn‘∪ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∪ cuni 3888  ‘cfv 5318  topGenctg 13302  Topctop 14686  TopOnctopon 14699  TopBasesctb 14731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-topgen 13308  df-top 14687  df-topon 14700  df-bases 14732

This theorem is referenced by:  mopntopon  15132