ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tgtopon GIF version

Theorem tgtopon 13459
Description: A basis generates a topology on 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgtopon (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ (TopOn‘ 𝐵))

Proof of Theorem tgtopon
StepHypRef Expression
1 tgcl 13457 . 2 (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
2 unitg 13455 . . 3 (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) = 𝐵)
32eqcomd 2183 . 2 (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 = (topGen‘𝐵))
4 istopon 13404 . 2 ((topGen‘𝐵) ∈ (TopOn‘ 𝐵) ↔ ((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝐵 = (topGen‘𝐵)))
51, 3, 4sylanbrc 417 1 (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ (TopOn‘ 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1353  wcel 2148   cuni 3809  cfv 5216  topGenctg 12693  Topctop 13388  TopOnctopon 13401  TopBasesctb 13433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-topgen 12699  df-top 13389  df-topon 13402  df-bases 13434
This theorem is referenced by:  mopntopon  13836
  Copyright terms: Public domain W3C validator