ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tgtopon GIF version

Theorem tgtopon 13706
Description: A basis generates a topology on 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgtopon (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ (TopOn‘ 𝐵))

Proof of Theorem tgtopon
StepHypRef Expression
1 tgcl 13704 . 2 (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
2 unitg 13702 . . 3 (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) = 𝐵)
32eqcomd 2183 . 2 (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 = (topGen‘𝐵))
4 istopon 13653 . 2 ((topGen‘𝐵) ∈ (TopOn‘ 𝐵) ↔ ((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝐵 = (topGen‘𝐵)))
51, 3, 4sylanbrc 417 1 (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ (TopOn‘ 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1353  wcel 2148   cuni 3811  cfv 5218  topGenctg 12709  Topctop 13637  TopOnctopon 13650  TopBasesctb 13682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-topgen 12715  df-top 13638  df-topon 13651  df-bases 13683
This theorem is referenced by:  mopntopon  14083
  Copyright terms: Public domain W3C validator