Theorem mopntopon 14689

Description: The set of open sets of a metric space X is a topology on X. Remark in [Kreyszig] p. 19. This theorem connects the two concepts and makes available the theorems for topologies for use with metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnval.1	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
mopntopon	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )

Proof of Theorem mopntopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopnval.1	. . 3 |- J = ( MetOpen ` D )
2	1	mopnval 14688	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )
3		blbas 14679	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ran ( ball ` D ) e. TopBases )
4		tgtopon 14312	. . . 4 |- ( ran ( ball ` D ) e. TopBases -> ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) e. (TopOn ` U. ran ( ball ` D ) ) )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) e. (TopOn ` U. ran ( ball ` D ) ) )
6		unirnbl 14669	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> U. ran ( ball ` D ) = X )
7	6	fveq2d 5563	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> (TopOn ` U. ran ( ball ` D ) ) = (TopOn ` X ) )
8	5, 7	eleqtrd 2275	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) e. (TopOn ` X ) )
9	2, 8	eqeltrd 2273	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   U.cuni 3840   ran crn 4665   ` cfv 5259   topGenctg 12935   *Metcxmet 14102   ballcbl 14104   MetOpencmopn 14107  TopOnctopon 14256   TopBasesctb 14288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000  ax-caucvg 8001

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-frec 6450  df-map 6710  df-sup 7051  df-inf 7052  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-q 9696  df-rp 9731  df-xneg 9849  df-xadd 9850  df-seqfrec 10542  df-exp 10633  df-cj 11009  df-re 11010  df-im 11011  df-rsqrt 11165  df-abs 11166  df-topgen 12941  df-psmet 14109  df-xmet 14110  df-bl 14112  df-mopn 14113  df-top 14244  df-topon 14257  df-bases 14289

This theorem is referenced by:  mopntop  14690  mopnuni  14691  mopnm  14694  mopnss  14696  isxms2  14698  xmettx  14756  metcnp3  14757  metcn  14760  metcnpi  14761  metcnpi2  14762  metcnpi3  14763  txmetcn  14765  cntoptopon  14778  cnfldms  14782  cnfldtopn  14785