Theorem topopn 15158

Description: The underlying set of a topology is an open set. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
1open.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
topopn	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem topopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1open.1	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		ssid 3268	. . 3 ⊢ 𝐽 ⊆ 𝐽
3		uniopn 15151	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐽 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
4	2, 3	mpan2 429	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	1, 4	eqeltrid 2325	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ∪ cuni 3935  Topctop 15147

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-uni 3936  df-top 15148

This theorem is used by:  toponmax  15175  cldval  15249  ntrfval  15250  clsfval  15251  iscld  15253  ntrval  15260  clsval  15261  0cld  15262  ntrtop  15278  neifval  15290  neif  15291  neival  15293  isnei  15294  tpnei  15310  cnrest  15385  txcn  15425  dvply1  15915