Theorem topopn 15032

Description: The underlying set of a topology is an open set. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
1open.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
topopn	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem topopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1open.1	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		ssid 3268	. . 3 ⊢ 𝐽 ⊆ 𝐽
3		uniopn 15025	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐽 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
4	2, 3	mpan2 429	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	1, 4	eqeltrid 2325	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ∪ cuni 3930  Topctop 15021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-uni 3931  df-top 15022

This theorem is referenced by:  toponmax  15049  cldval  15123  ntrfval  15124  clsfval  15125  iscld  15127  ntrval  15134  clsval  15135  0cld  15136  ntrtop  15152  neifval  15164  neif  15165  neival  15167  isnei  15168  tpnei  15184  cnrest  15259  txcn  15299  dvply1  15789