Theorem toponmax 14002

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	|- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 13992	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B = U. J )
2		topontop 13991	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )
3		eqid 2189	. . . 4 |- U. J = U. J
4	3	topopn 13985	. . 3 |- ( J e. Top -> U. J e. J )
5	2, 4	syl 14	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> U. J e. J )
6	1, 5	eqeltrd 2266	1 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2160   U.cuni 3824   ` cfv 5235   Topctop 13974  TopOnctopon 13987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-top 13975  df-topon 13988

This theorem is referenced by:  topgele  14006  eltpsg  14017  resttopon  14148  lmfval  14169  cnfval  14171  cnpfval  14172  iscn  14174  cnpval  14175  iscnp  14176  lmbrf  14192  cnconst2  14210  cnrest2  14213  cndis  14218  cnpdis  14219  lmfss  14221  lmres  14225  lmff  14226  tx1cn  14246  tx2cn  14247  txlm  14256  cnmpt2res  14274  mopnm  14425  isxms2  14429