Theorem toponmax 13495

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	|- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 13485	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B = U. J )
2		topontop 13484	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )
3		eqid 2177	. . . 4 |- U. J = U. J
4	3	topopn 13478	. . 3 |- ( J e. Top -> U. J e. J )
5	2, 4	syl 14	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> U. J e. J )
6	1, 5	eqeltrd 2254	1 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   U.cuni 3809   ` cfv 5216   Topctop 13467  TopOnctopon 13480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-top 13468  df-topon 13481

This theorem is referenced by:  topgele  13499  eltpsg  13510  resttopon  13641  lmfval  13662  cnfval  13664  cnpfval  13665  iscn  13667  cnpval  13668  iscnp  13669  lmbrf  13685  cnconst2  13703  cnrest2  13706  cndis  13711  cnpdis  13712  lmfss  13714  lmres  13718  lmff  13719  tx1cn  13739  tx2cn  13740  txlm  13749  cnmpt2res  13767  mopnm  13918  isxms2  13922