Theorem toponmax 14890

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	|- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 14880	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B = U. J )
2		topontop 14879	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )
3		eqid 2232	. . . 4 |- U. J = U. J
4	3	topopn 14873	. . 3 |- ( J e. Top -> U. J e. J )
5	2, 4	syl 14	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> U. J e. J )
6	1, 5	eqeltrd 2309	1 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203   U.cuni 3914   ` cfv 5352   Topctop 14862  TopOnctopon 14875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-top 14863  df-topon 14876

This theorem is referenced by:  topgele  14894  eltpsg  14905  resttopon  15036  lmfval  15058  cnfval  15059  cnpfval  15060  iscn  15062  cnpval  15063  iscnp  15064  lmbrf  15080  cnconst2  15098  cnrest2  15101  cndis  15106  cnpdis  15107  lmfss  15109  lmres  15113  lmff  15114  tx1cn  15134  tx2cn  15135  txlm  15144  cnmpt2res  15162  mopnm  15313  isxms2  15317