Theorem toponmax 14612

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	|- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 14602	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B = U. J )
2		topontop 14601	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )
3		eqid 2207	. . . 4 |- U. J = U. J
4	3	topopn 14595	. . 3 |- ( J e. Top -> U. J e. J )
5	2, 4	syl 14	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> U. J e. J )
6	1, 5	eqeltrd 2284	1 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   U.cuni 3864   ` cfv 5290   Topctop 14584  TopOnctopon 14597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-top 14585  df-topon 14598

This theorem is referenced by:  topgele  14616  eltpsg  14627  resttopon  14758  lmfval  14779  cnfval  14781  cnpfval  14782  iscn  14784  cnpval  14785  iscnp  14786  lmbrf  14802  cnconst2  14820  cnrest2  14823  cndis  14828  cnpdis  14829  lmfss  14831  lmres  14835  lmff  14836  tx1cn  14856  tx2cn  14857  txlm  14866  cnmpt2res  14884  mopnm  15035  isxms2  15039