Theorem toponmax 12192

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	|- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 12182	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B = U. J )
2		topontop 12181	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )
3		eqid 2139	. . . 4 |- U. J = U. J
4	3	topopn 12175	. . 3 |- ( J e. Top -> U. J e. J )
5	2, 4	syl 14	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> U. J e. J )
6	1, 5	eqeltrd 2216	1 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   U.cuni 3736   ` cfv 5123   Topctop 12164  TopOnctopon 12177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-top 12165  df-topon 12178

This theorem is referenced by:  topgele  12196  eltpsg  12207  resttopon  12340  lmfval  12361  cnfval  12363  cnpfval  12364  iscn  12366  cnpval  12367  iscnp  12368  lmbrf  12384  cnconst2  12402  cnrest2  12405  cndis  12410  cnpdis  12411  lmfss  12413  lmres  12417  lmff  12418  tx1cn  12438  tx2cn  12439  txlm  12448  cnmpt2res  12466  mopnm  12617  isxms2  12621