Theorem toponmax 13564

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	|- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 13554	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B = U. J )
2		topontop 13553	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )
3		eqid 2177	. . . 4 |- U. J = U. J
4	3	topopn 13547	. . 3 |- ( J e. Top -> U. J e. J )
5	2, 4	syl 14	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> U. J e. J )
6	1, 5	eqeltrd 2254	1 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   U.cuni 3811   ` cfv 5218   Topctop 13536  TopOnctopon 13549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-top 13537  df-topon 13550

This theorem is referenced by:  topgele  13568  eltpsg  13579  resttopon  13710  lmfval  13731  cnfval  13733  cnpfval  13734  iscn  13736  cnpval  13737  iscnp  13738  lmbrf  13754  cnconst2  13772  cnrest2  13775  cndis  13780  cnpdis  13781  lmfss  13783  lmres  13787  lmff  13788  tx1cn  13808  tx2cn  13809  txlm  13818  cnmpt2res  13836  mopnm  13987  isxms2  13991