Theorem toponmax 15175

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	|- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 15165	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B = U. J )
2		topontop 15164	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )
3		eqid 2238	. . . 4 |- U. J = U. J
4	3	topopn 15158	. . 3 |- ( J e. Top -> U. J e. J )
5	2, 4	syl 14	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> U. J e. J )
6	1, 5	eqeltrd 2315	1 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   U.cuni 3935   ` cfv 5377   Topctop 15147  TopOnctopon 15160

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-top 15148  df-topon 15161

This theorem is used by:  topgele  15179  eltpsg  15190  resttopon  15321  lmfval  15343  cnfval  15344  cnpfval  15345  iscn  15347  cnpval  15348  iscnp  15349  lmbrf  15365  cnconst2  15383  cnrest2  15386  cndis  15391  cnpdis  15392  lmfss  15394  lmres  15398  lmff  15399  tx1cn  15419  tx2cn  15420  txlm  15429  cnmpt2res  15447  mopnm  15598  isxms2  15602