Theorem toponmax 14204

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	|- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 14194	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B = U. J )
2		topontop 14193	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )
3		eqid 2193	. . . 4 |- U. J = U. J
4	3	topopn 14187	. . 3 |- ( J e. Top -> U. J e. J )
5	2, 4	syl 14	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> U. J e. J )
6	1, 5	eqeltrd 2270	1 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164   U.cuni 3836   ` cfv 5255   Topctop 14176  TopOnctopon 14189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-top 14177  df-topon 14190

This theorem is referenced by:  topgele  14208  eltpsg  14219  resttopon  14350  lmfval  14371  cnfval  14373  cnpfval  14374  iscn  14376  cnpval  14377  iscnp  14378  lmbrf  14394  cnconst2  14412  cnrest2  14415  cndis  14420  cnpdis  14421  lmfss  14423  lmres  14427  lmff  14428  tx1cn  14448  tx2cn  14449  txlm  14458  cnmpt2res  14476  mopnm  14627  isxms2  14631