Theorem toponmax 15021

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	|- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 15011	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B = U. J )
2		topontop 15010	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )
3		eqid 2234	. . . 4 |- U. J = U. J
4	3	topopn 15004	. . 3 |- ( J e. Top -> U. J e. J )
5	2, 4	syl 14	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> U. J e. J )
6	1, 5	eqeltrd 2311	1 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   U.cuni 3920   ` cfv 5358   Topctop 14993  TopOnctopon 15006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fv 5366  df-top 14994  df-topon 15007

This theorem is referenced by:  topgele  15025  eltpsg  15036  resttopon  15167  lmfval  15189  cnfval  15190  cnpfval  15191  iscn  15193  cnpval  15194  iscnp  15195  lmbrf  15211  cnconst2  15229  cnrest2  15232  cndis  15237  cnpdis  15238  lmfss  15240  lmres  15244  lmff  15245  tx1cn  15265  tx2cn  15266  txlm  15275  cnmpt2res  15293  mopnm  15444  isxms2  15448