Theorem toponmax 14819

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	|- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 14809	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B = U. J )
2		topontop 14808	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )
3		eqid 2231	. . . 4 |- U. J = U. J
4	3	topopn 14802	. . 3 |- ( J e. Top -> U. J e. J )
5	2, 4	syl 14	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> U. J e. J )
6	1, 5	eqeltrd 2308	1 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   U.cuni 3898   ` cfv 5333   Topctop 14791  TopOnctopon 14804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-top 14792  df-topon 14805

This theorem is referenced by:  topgele  14823  eltpsg  14834  resttopon  14965  lmfval  14987  cnfval  14988  cnpfval  14989  iscn  14991  cnpval  14992  iscnp  14993  lmbrf  15009  cnconst2  15027  cnrest2  15030  cndis  15035  cnpdis  15036  lmfss  15038  lmres  15042  lmff  15043  tx1cn  15063  tx2cn  15064  txlm  15073  cnmpt2res  15091  mopnm  15242  isxms2  15246