Theorem toponmax 15251

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	|- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 15241	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B = U. J )
2		topontop 15240	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )
3		eqid 2238	. . . 4 |- U. J = U. J
4	3	topopn 15234	. . 3 |- ( J e. Top -> U. J e. J )
5	2, 4	syl 14	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> U. J e. J )
6	1, 5	eqeltrd 2315	1 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   U.cuni 3935   ` cfv 5380   Topctop 15223  TopOnctopon 15236

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-top 15224  df-topon 15237

This theorem is used by:  topgele  15255  eltpsg  15266  resttopon  15397  lmfval  15419  cnfval  15420  cnpfval  15421  iscn  15423  cnpval  15424  iscnp  15425  lmbrf  15441  cnconst2  15459  cnrest2  15462  cndis  15467  cnpdis  15468  lmfss  15470  lmres  15474  lmff  15475  tx1cn  15495  tx2cn  15496  txlm  15505  cnmpt2res  15523  mopnm  15674  isxms2  15678