Theorem toponmax 14345

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	|- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 14335	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B = U. J )
2		topontop 14334	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )
3		eqid 2196	. . . 4 |- U. J = U. J
4	3	topopn 14328	. . 3 |- ( J e. Top -> U. J e. J )
5	2, 4	syl 14	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> U. J e. J )
6	1, 5	eqeltrd 2273	1 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   U.cuni 3840   ` cfv 5259   Topctop 14317  TopOnctopon 14330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-top 14318  df-topon 14331

This theorem is referenced by:  topgele  14349  eltpsg  14360  resttopon  14491  lmfval  14512  cnfval  14514  cnpfval  14515  iscn  14517  cnpval  14518  iscnp  14519  lmbrf  14535  cnconst2  14553  cnrest2  14556  cndis  14561  cnpdis  14562  lmfss  14564  lmres  14568  lmff  14569  tx1cn  14589  tx2cn  14590  txlm  14599  cnmpt2res  14617  mopnm  14768  isxms2  14772