Theorem toponmax 14739

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	|- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 14729	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B = U. J )
2		topontop 14728	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )
3		eqid 2229	. . . 4 |- U. J = U. J
4	3	topopn 14722	. . 3 |- ( J e. Top -> U. J e. J )
5	2, 4	syl 14	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> U. J e. J )
6	1, 5	eqeltrd 2306	1 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   U.cuni 3891   ` cfv 5324   Topctop 14711  TopOnctopon 14724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-top 14712  df-topon 14725

This theorem is referenced by:  topgele  14743  eltpsg  14754  resttopon  14885  lmfval  14907  cnfval  14908  cnpfval  14909  iscn  14911  cnpval  14912  iscnp  14913  lmbrf  14929  cnconst2  14947  cnrest2  14950  cndis  14955  cnpdis  14956  lmfss  14958  lmres  14962  lmff  14963  tx1cn  14983  tx2cn  14984  txlm  14993  cnmpt2res  15011  mopnm  15162  isxms2  15166