Theorem toponmax 14714

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	|- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 14704	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B = U. J )
2		topontop 14703	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )
3		eqid 2229	. . . 4 |- U. J = U. J
4	3	topopn 14697	. . 3 |- ( J e. Top -> U. J e. J )
5	2, 4	syl 14	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> U. J e. J )
6	1, 5	eqeltrd 2306	1 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   U.cuni 3888   ` cfv 5318   Topctop 14686  TopOnctopon 14699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-top 14687  df-topon 14700

This theorem is referenced by:  topgele  14718  eltpsg  14729  resttopon  14860  lmfval  14882  cnfval  14883  cnpfval  14884  iscn  14886  cnpval  14887  iscnp  14888  lmbrf  14904  cnconst2  14922  cnrest2  14925  cndis  14930  cnpdis  14931  lmfss  14933  lmres  14937  lmff  14938  tx1cn  14958  tx2cn  14959  txlm  14968  cnmpt2res  14986  mopnm  15137  isxms2  15141