Theorem toponmax 15268

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	|- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 15258	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B = U. J )
2		topontop 15257	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )
3		eqid 2238	. . . 4 |- U. J = U. J
4	3	topopn 15251	. . 3 |- ( J e. Top -> U. J e. J )
5	2, 4	syl 14	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> U. J e. J )
6	1, 5	eqeltrd 2315	1 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   U.cuni 3935   ` cfv 5380   Topctop 15240  TopOnctopon 15253

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-top 15241  df-topon 15254

This theorem is used by:  topgele  15272  eltpsg  15283  resttopon  15414  lmfval  15436  cnfval  15437  cnpfval  15438  iscn  15440  cnpval  15441  iscnp  15442  lmbrf  15458  cnconst2  15476  cnrest2  15479  cndis  15484  cnpdis  15485  lmfss  15487  lmres  15491  lmff  15492  tx1cn  15512  tx2cn  15513  txlm  15522  cnmpt2res  15540  mopnm  15691  isxms2  15695