Theorem toponmax 15016

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	|- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 15006	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B = U. J )
2		topontop 15005	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )
3		eqid 2234	. . . 4 |- U. J = U. J
4	3	topopn 14999	. . 3 |- ( J e. Top -> U. J e. J )
5	2, 4	syl 14	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> U. J e. J )
6	1, 5	eqeltrd 2311	1 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   U.cuni 3919   ` cfv 5357   Topctop 14988  TopOnctopon 15001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-top 14989  df-topon 15002

This theorem is referenced by:  topgele  15020  eltpsg  15031  resttopon  15162  lmfval  15184  cnfval  15185  cnpfval  15186  iscn  15188  cnpval  15189  iscnp  15190  lmbrf  15206  cnconst2  15224  cnrest2  15227  cndis  15232  cnpdis  15233  lmfss  15235  lmres  15239  lmff  15240  tx1cn  15260  tx2cn  15261  txlm  15270  cnmpt2res  15288  mopnm  15439  isxms2  15443