Theorem clsfval 14769

Description: The closure function on the subsets of a topology's base set. (Contributed by NM, 3-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cldval.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
clsfval	|- ( J e. Top -> ( cls ` J ) = ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, X

Allowed substitution hint:   X( y)

Proof of Theorem clsfval

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldval.1	. . . 4 |- X = U. J
2	1	topopn 14676	. . 3 |- ( J e. Top -> X e. J )
3		pwexg 4263	. . 3 |- ( X e. J -> ~P X e. _V )
4		mptexg 5863	. . 3 |- ( ~P X e. _V -> ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) e. _V )
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 |- ( J e. Top -> ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) e. _V )
6		unieq 3896	. . . . . 6 |- ( j = J -> U. j = U. J )
7	6, 1	eqtr4di 2280	. . . . 5 |- ( j = J -> U. j = X )
8	7	pweqd 3654	. . . 4 |- ( j = J -> ~P U. j = ~P X )
9		fveq2 5626	. . . . . 6 |- ( j = J -> ( Clsd ` j ) = ( Clsd ` J ) )
10		rabeq 2791	. . . . . 6 |- ( ( Clsd ` j ) = ( Clsd ` J ) -> { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } = { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } )
11	9, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( j = J -> { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } = { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } )
12	11	inteqd 3927	. . . 4 |- ( j = J -> |^| { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } = |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } )
13	8, 12	mpteq12dv 4165	. . 3 |- ( j = J -> ( x e. ~P U. j |-> |^| { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } ) = ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) )
14		df-cls 14765	. . 3 |- cls = ( j e. Top |-> ( x e. ~P U. j |-> |^| { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } ) )
15	13, 14	fvmptg 5709	. 2 |- ( ( J e. Top /\ ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) e. _V ) -> ( cls ` J ) = ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) )
16	5, 15	mpdan 421	1 |- ( J e. Top -> ( cls ` J ) = ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   ~Pcpw 3649   U.cuni 3887   |^|cint 3922   |-> cmpt 4144   ` cfv 5317   Topctop 14665   Clsdccld 14760   clsccl 14762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-top 14666  df-cls 14765

This theorem is referenced by:  clsval  14779