Theorem clsfval 14280

Description: The closure function on the subsets of a topology's base set. (Contributed by NM, 3-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cldval.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
clsfval	|- ( J e. Top -> ( cls ` J ) = ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, X

Allowed substitution hint:   X( y)

Proof of Theorem clsfval

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldval.1	. . . 4 |- X = U. J
2	1	topopn 14187	. . 3 |- ( J e. Top -> X e. J )
3		pwexg 4210	. . 3 |- ( X e. J -> ~P X e. _V )
4		mptexg 5784	. . 3 |- ( ~P X e. _V -> ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) e. _V )
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 |- ( J e. Top -> ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) e. _V )
6		unieq 3845	. . . . . 6 |- ( j = J -> U. j = U. J )
7	6, 1	eqtr4di 2244	. . . . 5 |- ( j = J -> U. j = X )
8	7	pweqd 3607	. . . 4 |- ( j = J -> ~P U. j = ~P X )
9		fveq2 5555	. . . . . 6 |- ( j = J -> ( Clsd ` j ) = ( Clsd ` J ) )
10		rabeq 2752	. . . . . 6 |- ( ( Clsd ` j ) = ( Clsd ` J ) -> { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } = { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } )
11	9, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( j = J -> { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } = { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } )
12	11	inteqd 3876	. . . 4 |- ( j = J -> |^| { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } = |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } )
13	8, 12	mpteq12dv 4112	. . 3 |- ( j = J -> ( x e. ~P U. j |-> |^| { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } ) = ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) )
14		df-cls 14276	. . 3 |- cls = ( j e. Top |-> ( x e. ~P U. j |-> |^| { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } ) )
15	13, 14	fvmptg 5634	. 2 |- ( ( J e. Top /\ ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) e. _V ) -> ( cls ` J ) = ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) )
16	5, 15	mpdan 421	1 |- ( J e. Top -> ( cls ` J ) = ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   {crab 2476   _Vcvv 2760   C_ wss 3154   ~Pcpw 3602   U.cuni 3836   |^|cint 3871   |-> cmpt 4091   ` cfv 5255   Topctop 14176   Clsdccld 14271   clsccl 14273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-top 14177  df-cls 14276

This theorem is referenced by:  clsval  14290