Theorem clsfval 14337

Description: The closure function on the subsets of a topology's base set. (Contributed by NM, 3-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cldval.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
clsfval	|- ( J e. Top -> ( cls ` J ) = ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, X

Allowed substitution hint:   X( y)

Proof of Theorem clsfval

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldval.1	. . . 4 |- X = U. J
2	1	topopn 14244	. . 3 |- ( J e. Top -> X e. J )
3		pwexg 4213	. . 3 |- ( X e. J -> ~P X e. _V )
4		mptexg 5787	. . 3 |- ( ~P X e. _V -> ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) e. _V )
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 |- ( J e. Top -> ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) e. _V )
6		unieq 3848	. . . . . 6 |- ( j = J -> U. j = U. J )
7	6, 1	eqtr4di 2247	. . . . 5 |- ( j = J -> U. j = X )
8	7	pweqd 3610	. . . 4 |- ( j = J -> ~P U. j = ~P X )
9		fveq2 5558	. . . . . 6 |- ( j = J -> ( Clsd ` j ) = ( Clsd ` J ) )
10		rabeq 2755	. . . . . 6 |- ( ( Clsd ` j ) = ( Clsd ` J ) -> { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } = { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } )
11	9, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( j = J -> { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } = { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } )
12	11	inteqd 3879	. . . 4 |- ( j = J -> |^| { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } = |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } )
13	8, 12	mpteq12dv 4115	. . 3 |- ( j = J -> ( x e. ~P U. j |-> |^| { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } ) = ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) )
14		df-cls 14333	. . 3 |- cls = ( j e. Top |-> ( x e. ~P U. j |-> |^| { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } ) )
15	13, 14	fvmptg 5637	. 2 |- ( ( J e. Top /\ ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) e. _V ) -> ( cls ` J ) = ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) )
16	5, 15	mpdan 421	1 |- ( J e. Top -> ( cls ` J ) = ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   {crab 2479   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   ~Pcpw 3605   U.cuni 3839   |^|cint 3874   |-> cmpt 4094   ` cfv 5258   Topctop 14233   Clsdccld 14328   clsccl 14330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-top 14234  df-cls 14333

This theorem is referenced by:  clsval  14347