Theorem clsfval 14648

Description: The closure function on the subsets of a topology's base set. (Contributed by NM, 3-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cldval.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
clsfval	|- ( J e. Top -> ( cls ` J ) = ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, X

Allowed substitution hint:   X( y)

Proof of Theorem clsfval

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldval.1	. . . 4 |- X = U. J
2	1	topopn 14555	. . 3 |- ( J e. Top -> X e. J )
3		pwexg 4232	. . 3 |- ( X e. J -> ~P X e. _V )
4		mptexg 5822	. . 3 |- ( ~P X e. _V -> ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) e. _V )
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 |- ( J e. Top -> ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) e. _V )
6		unieq 3865	. . . . . 6 |- ( j = J -> U. j = U. J )
7	6, 1	eqtr4di 2257	. . . . 5 |- ( j = J -> U. j = X )
8	7	pweqd 3626	. . . 4 |- ( j = J -> ~P U. j = ~P X )
9		fveq2 5589	. . . . . 6 |- ( j = J -> ( Clsd ` j ) = ( Clsd ` J ) )
10		rabeq 2765	. . . . . 6 |- ( ( Clsd ` j ) = ( Clsd ` J ) -> { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } = { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } )
11	9, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( j = J -> { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } = { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } )
12	11	inteqd 3896	. . . 4 |- ( j = J -> |^| { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } = |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } )
13	8, 12	mpteq12dv 4134	. . 3 |- ( j = J -> ( x e. ~P U. j |-> |^| { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } ) = ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) )
14		df-cls 14644	. . 3 |- cls = ( j e. Top |-> ( x e. ~P U. j |-> |^| { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } ) )
15	13, 14	fvmptg 5668	. 2 |- ( ( J e. Top /\ ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) e. _V ) -> ( cls ` J ) = ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) )
16	5, 15	mpdan 421	1 |- ( J e. Top -> ( cls ` J ) = ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   {crab 2489   _Vcvv 2773   C_ wss 3170   ~Pcpw 3621   U.cuni 3856   |^|cint 3891   |-> cmpt 4113   ` cfv 5280   Topctop 14544   Clsdccld 14639   clsccl 14641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-top 14545  df-cls 14644

This theorem is referenced by:  clsval  14658