Theorem clsfval 15092

Description: The closure function on the subsets of a topology's base set. (Contributed by NM, 3-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cldval.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
clsfval	|- ( J e. Top -> ( cls ` J ) = ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, X

Allowed substitution hint:   X( y)

Proof of Theorem clsfval

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldval.1	. . . 4 |- X = U. J
2	1	topopn 14999	. . 3 |- ( J e. Top -> X e. J )
3		pwexg 4298	. . 3 |- ( X e. J -> ~P X e. _V )
4		mptexg 5916	. . 3 |- ( ~P X e. _V -> ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) e. _V )
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 |- ( J e. Top -> ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) e. _V )
6		unieq 3928	. . . . . 6 |- ( j = J -> U. j = U. J )
7	6, 1	eqtr4di 2285	. . . . 5 |- ( j = J -> U. j = X )
8	7	pweqd 3679	. . . 4 |- ( j = J -> ~P U. j = ~P X )
9		fveq2 5675	. . . . . 6 |- ( j = J -> ( Clsd ` j ) = ( Clsd ` J ) )
10		rabeq 2807	. . . . . 6 |- ( ( Clsd ` j ) = ( Clsd ` J ) -> { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } = { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } )
11	9, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( j = J -> { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } = { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } )
12	11	inteqd 3959	. . . 4 |- ( j = J -> |^| { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } = |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } )
13	8, 12	mpteq12dv 4197	. . 3 |- ( j = J -> ( x e. ~P U. j |-> |^| { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } ) = ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) )
14		df-cls 15088	. . 3 |- cls = ( j e. Top |-> ( x e. ~P U. j |-> |^| { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } ) )
15	13, 14	fvmptg 5758	. 2 |- ( ( J e. Top /\ ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) e. _V ) -> ( cls ` J ) = ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) )
16	5, 15	mpdan 421	1 |- ( J e. Top -> ( cls ` J ) = ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   {crab 2526   _Vcvv 2815   C_ wss 3214   ~Pcpw 3674   U.cuni 3919   |^|cint 3954   |-> cmpt 4176   ` cfv 5357   Topctop 14988   Clsdccld 15083   clsccl 15085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-top 14989  df-cls 15088

This theorem is referenced by:  clsval  15102