Theorem txcn 13069

Description: A map into the product of two topological spaces is continuous iff both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
txcn.1	|- X = U. R
txcn.2	|- Y = U. S
txcn.3	|- Z = ( X X. Y )
txcn.4	|- W = U. U
txcn.5	|- P = ( 1st |` Z )
txcn.6	|- Q = ( 2nd |` Z )

Assertion

Ref	Expression
txcn	|- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) -> ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) <-> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) )

Proof of Theorem txcn

Dummy variable h is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txcn.1	. . . . 5 |- X = U. R
2	1	toptopon 12810	. . . 4 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` X ) )
3		txcn.2	. . . . 5 |- Y = U. S
4	3	toptopon 12810	. . . 4 |- ( S e. Top <-> S e. (TopOn ` Y ) )
5		txcn.5	. . . . . . 7 |- P = ( 1st |` Z )
6		txcn.3	. . . . . . . 8 |- Z = ( X X. Y )
7	6	reseq2i 4888	. . . . . . 7 |- ( 1st |` Z ) = ( 1st |` ( X X. Y ) )
8	5, 7	eqtri 2191	. . . . . 6 |- P = ( 1st |` ( X X. Y ) )
9		tx1cn 13063	. . . . . 6 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( 1st |` ( X X. Y ) ) e. ( ( R tX S ) Cn R ) )
10	8, 9	eqeltrid 2257	. . . . 5 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> P e. ( ( R tX S ) Cn R ) )
11		txcn.6	. . . . . . 7 |- Q = ( 2nd |` Z )
12	6	reseq2i 4888	. . . . . . 7 |- ( 2nd |` Z ) = ( 2nd |` ( X X. Y ) )
13	11, 12	eqtri 2191	. . . . . 6 |- Q = ( 2nd |` ( X X. Y ) )
14		tx2cn 13064	. . . . . 6 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( 2nd |` ( X X. Y ) ) e. ( ( R tX S ) Cn S ) )
15	13, 14	eqeltrid 2257	. . . . 5 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> Q e. ( ( R tX S ) Cn S ) )
16		cnco 13015	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ P e. ( ( R tX S ) Cn R ) ) -> ( P o. F ) e. ( U Cn R ) )
17		cnco 13015	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ Q e. ( ( R tX S ) Cn S ) ) -> ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) )
18	16, 17	anim12dan 595	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( P e. ( ( R tX S ) Cn R ) /\ Q e. ( ( R tX S ) Cn S ) ) ) -> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) )
19	18	expcom 115	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ( R tX S ) Cn R ) /\ Q e. ( ( R tX S ) Cn S ) ) -> ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) -> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) )
20	10, 15, 19	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) -> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) )
21	2, 4, 20	syl2anb 289	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) -> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) )
22	21	3adant3 1012	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) -> ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) -> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) )
23		cntop1 12995	. . . . . . . 8 |- ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) -> U e. Top )
24	23	ad2antrl 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> U e. Top )
25		txcn.4	. . . . . . . 8 |- W = U. U
26	25	topopn 12800	. . . . . . 7 |- ( U e. Top -> W e. U )
27	24, 26	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> W e. U )
28	25, 1	cnf 12998	. . . . . . 7 |- ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) -> ( P o. F ) : W --> X )
29	28	ad2antrl 487	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( P o. F ) : W --> X )
30	25, 3	cnf 12998	. . . . . . 7 |- ( ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) -> ( Q o. F ) : W --> Y )
31	30	ad2antll 488	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( Q o. F ) : W --> Y )
32	8, 13	upxp 13066	. . . . . . 7 |- ( ( W e. U /\ ( P o. F ) : W --> X /\ ( Q o. F ) : W --> Y ) -> E! h ( h : W --> ( X X. Y ) /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
33		feq3 5332	. . . . . . . . . 10 |- ( Z = ( X X. Y ) -> ( h : W --> Z <-> h : W --> ( X X. Y ) ) )
34	6, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( h : W --> Z <-> h : W --> ( X X. Y ) )
35	34	3anbi1i 1185	. . . . . . . 8 |- ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) <-> ( h : W --> ( X X. Y ) /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
36	35	eubii 2028	. . . . . . 7 |- ( E! h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) <-> E! h ( h : W --> ( X X. Y ) /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
37	32, 36	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( ( W e. U /\ ( P o. F ) : W --> X /\ ( Q o. F ) : W --> Y ) -> E! h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
38	27, 29, 31, 37	syl3anc 1233	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> E! h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
39		euex 2049	. . . . 5 |- ( E! h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) -> E. h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
40	38, 39	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> E. h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
41		simpll3 1033	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> F : W --> Z )
42	27	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> W e. U )
43	1	topopn 12800	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Top -> X e. R )
44	3	topopn 12800	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. Top -> Y e. S )
45		xpexg 4725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. R /\ Y e. S ) -> ( X X. Y ) e. _V )
46	6, 45	eqeltrid 2257	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. R /\ Y e. S ) -> Z e. _V )
47	43, 44, 46	syl2an 287	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> Z e. _V )
48	47	3adant3 1012	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) -> Z e. _V )
49	48	ad2antrr 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> Z e. _V )
50		fex2 5366	. . . . . . 7 |- ( ( F : W --> Z /\ W e. U /\ Z e. _V ) -> F e. _V )
51	41, 42, 49, 50	syl3anc 1233	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> F e. _V )
52		eumo 2051	. . . . . . . 8 |- ( E! h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) -> E* h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
53	38, 52	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> E* h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
54	53	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> E* h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
55		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
56		3anass 977	. . . . . . . 8 |- ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) <-> ( h : W --> Z /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) )
57		coeq2 4769	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F = h -> ( P o. F ) = ( P o. h ) )
58		coeq2 4769	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F = h -> ( Q o. F ) = ( Q o. h ) )
59	57, 58	jca 304	. . . . . . . . . . 11 |- ( F = h -> ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
60	59	eqcoms 2173	. . . . . . . . . 10 |- ( h = F -> ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
61	60	biantrud 302	. . . . . . . . 9 |- ( h = F -> ( h : W --> Z <-> ( h : W --> Z /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) ) )
62		feq1 5330	. . . . . . . . 9 |- ( h = F -> ( h : W --> Z <-> F : W --> Z ) )
63	61, 62	bitr3d 189	. . . . . . . 8 |- ( h = F -> ( ( h : W --> Z /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) <-> F : W --> Z ) )
64	56, 63	syl5bb 191	. . . . . . 7 |- ( h = F -> ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) <-> F : W --> Z ) )
65	64	moi2 2911	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. _V /\ E* h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) /\ ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ F : W --> Z ) ) -> h = F )
66	51, 54, 55, 41, 65	syl22anc 1234	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> h = F )
67		eqid 2170	. . . . . . . . . 10 |- ( R tX S ) = ( R tX S )
68	67, 1, 3, 6, 5, 11	uptx 13068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) -> E! h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
69	68	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> E! h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
70		df-reu 2455	. . . . . . . . . 10 |- ( E! h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) <-> E! h ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) )
71		euex 2049	. . . . . . . . . 10 |- ( E! h ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> E. h ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) )
72	70, 71	sylbi 120	. . . . . . . . 9 |- ( E! h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) -> E. h ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) )
73		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. ( R tX S ) = U. ( R tX S )
74	25, 73	cnf 12998	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) -> h : W --> U. ( R tX S ) )
75	1, 3	txuni 13057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( X X. Y ) = U. ( R tX S ) )
76	6, 75	eqtrid 2215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> Z = U. ( R tX S ) )
77	76	3adant3 1012	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) -> Z = U. ( R tX S ) )
78	77	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> Z = U. ( R tX S ) )
79	78	feq3d 5336	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( h : W --> Z <-> h : W --> U. ( R tX S ) ) )
80	74, 79	syl5ibr 155	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) -> h : W --> Z ) )
81	80	anim1d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : W --> Z /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) ) )
82	81, 56	syl6ibr 161	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) )
83		simpl 108	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> h e. ( U Cn ( R tX S ) ) )
84	82, 83	jca2 306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) ) )
85	84	eximdv 1873	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( E. h ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> E. h ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) ) )
86	72, 85	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( E! h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) -> E. h ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) ) )
87	69, 86	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> E. h ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) )
88		eupick 2098	. . . . . . 7 |- ( ( E! h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ E. h ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) ) -> ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) -> h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) )
89	38, 87, 88	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) -> h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) )
90	89	imp 123	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> h e. ( U Cn ( R tX S ) ) )
91	66, 90	eqeltrrd 2248	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> F e. ( U Cn ( R tX S ) ) )
92	40, 91	exlimddv 1891	. . 3 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> F e. ( U Cn ( R tX S ) ) )
93	92	ex 114	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) -> ( ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) -> F e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) )
94	22, 93	impbid 128	1 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) -> ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) <-> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   E.wex 1485   E!weu 2019   E*wmo 2020   e. wcel 2141   E!wreu 2450   _Vcvv 2730   U.cuni 3796   X. cxp 4609   |` cres 4613   o. ccom 4615   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1stc1st 6117   2ndc2nd 6118   Topctop 12789  TopOnctopon 12802   Cn ccn 12979   tX ctx 13046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-topgen 12600  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-cn 12982  df-tx 13047

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