Theorem txcn 13326

Description: A map into the product of two topological spaces is continuous iff both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
txcn.1	|- X = U. R
txcn.2	|- Y = U. S
txcn.3	|- Z = ( X X. Y )
txcn.4	|- W = U. U
txcn.5	|- P = ( 1st |` Z )
txcn.6	|- Q = ( 2nd |` Z )

Assertion

Ref	Expression
txcn	|- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) -> ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) <-> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) )

Proof of Theorem txcn

Dummy variable h is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txcn.1	. . . . 5 |- X = U. R
2	1	toptopon 13067	. . . 4 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` X ) )
3		txcn.2	. . . . 5 |- Y = U. S
4	3	toptopon 13067	. . . 4 |- ( S e. Top <-> S e. (TopOn ` Y ) )
5		txcn.5	. . . . . . 7 |- P = ( 1st |` Z )
6		txcn.3	. . . . . . . 8 |- Z = ( X X. Y )
7	6	reseq2i 4897	. . . . . . 7 |- ( 1st |` Z ) = ( 1st |` ( X X. Y ) )
8	5, 7	eqtri 2196	. . . . . 6 |- P = ( 1st |` ( X X. Y ) )
9		tx1cn 13320	. . . . . 6 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( 1st |` ( X X. Y ) ) e. ( ( R tX S ) Cn R ) )
10	8, 9	eqeltrid 2262	. . . . 5 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> P e. ( ( R tX S ) Cn R ) )
11		txcn.6	. . . . . . 7 |- Q = ( 2nd |` Z )
12	6	reseq2i 4897	. . . . . . 7 |- ( 2nd |` Z ) = ( 2nd |` ( X X. Y ) )
13	11, 12	eqtri 2196	. . . . . 6 |- Q = ( 2nd |` ( X X. Y ) )
14		tx2cn 13321	. . . . . 6 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( 2nd |` ( X X. Y ) ) e. ( ( R tX S ) Cn S ) )
15	13, 14	eqeltrid 2262	. . . . 5 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> Q e. ( ( R tX S ) Cn S ) )
16		cnco 13272	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ P e. ( ( R tX S ) Cn R ) ) -> ( P o. F ) e. ( U Cn R ) )
17		cnco 13272	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ Q e. ( ( R tX S ) Cn S ) ) -> ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) )
18	16, 17	anim12dan 600	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( P e. ( ( R tX S ) Cn R ) /\ Q e. ( ( R tX S ) Cn S ) ) ) -> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) )
19	18	expcom 116	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ( R tX S ) Cn R ) /\ Q e. ( ( R tX S ) Cn S ) ) -> ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) -> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) )
20	10, 15, 19	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) -> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) )
21	2, 4, 20	syl2anb 291	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) -> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) )
22	21	3adant3 1017	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) -> ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) -> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) )
23		cntop1 13252	. . . . . . . 8 |- ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) -> U e. Top )
24	23	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> U e. Top )
25		txcn.4	. . . . . . . 8 |- W = U. U
26	25	topopn 13057	. . . . . . 7 |- ( U e. Top -> W e. U )
27	24, 26	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> W e. U )
28	25, 1	cnf 13255	. . . . . . 7 |- ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) -> ( P o. F ) : W --> X )
29	28	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( P o. F ) : W --> X )
30	25, 3	cnf 13255	. . . . . . 7 |- ( ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) -> ( Q o. F ) : W --> Y )
31	30	ad2antll 491	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( Q o. F ) : W --> Y )
32	8, 13	upxp 13323	. . . . . . 7 |- ( ( W e. U /\ ( P o. F ) : W --> X /\ ( Q o. F ) : W --> Y ) -> E! h ( h : W --> ( X X. Y ) /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
33		feq3 5342	. . . . . . . . . 10 |- ( Z = ( X X. Y ) -> ( h : W --> Z <-> h : W --> ( X X. Y ) ) )
34	6, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( h : W --> Z <-> h : W --> ( X X. Y ) )
35	34	3anbi1i 1190	. . . . . . . 8 |- ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) <-> ( h : W --> ( X X. Y ) /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
36	35	eubii 2033	. . . . . . 7 |- ( E! h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) <-> E! h ( h : W --> ( X X. Y ) /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
37	32, 36	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( W e. U /\ ( P o. F ) : W --> X /\ ( Q o. F ) : W --> Y ) -> E! h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
38	27, 29, 31, 37	syl3anc 1238	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> E! h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
39		euex 2054	. . . . 5 |- ( E! h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) -> E. h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
40	38, 39	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> E. h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
41		simpll3 1038	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> F : W --> Z )
42	27	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> W e. U )
43	1	topopn 13057	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Top -> X e. R )
44	3	topopn 13057	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. Top -> Y e. S )
45		xpexg 4734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. R /\ Y e. S ) -> ( X X. Y ) e. _V )
46	6, 45	eqeltrid 2262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. R /\ Y e. S ) -> Z e. _V )
47	43, 44, 46	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> Z e. _V )
48	47	3adant3 1017	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) -> Z e. _V )
49	48	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> Z e. _V )
50		fex2 5376	. . . . . . 7 |- ( ( F : W --> Z /\ W e. U /\ Z e. _V ) -> F e. _V )
51	41, 42, 49, 50	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> F e. _V )
52		eumo 2056	. . . . . . . 8 |- ( E! h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) -> E* h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
53	38, 52	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> E* h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
54	53	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> E* h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
55		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
56		3anass 982	. . . . . . . 8 |- ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) <-> ( h : W --> Z /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) )
57		coeq2 4778	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F = h -> ( P o. F ) = ( P o. h ) )
58		coeq2 4778	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F = h -> ( Q o. F ) = ( Q o. h ) )
59	57, 58	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( F = h -> ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
60	59	eqcoms 2178	. . . . . . . . . 10 |- ( h = F -> ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
61	60	biantrud 304	. . . . . . . . 9 |- ( h = F -> ( h : W --> Z <-> ( h : W --> Z /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) ) )
62		feq1 5340	. . . . . . . . 9 |- ( h = F -> ( h : W --> Z <-> F : W --> Z ) )
63	61, 62	bitr3d 190	. . . . . . . 8 |- ( h = F -> ( ( h : W --> Z /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) <-> F : W --> Z ) )
64	56, 63	bitrid 192	. . . . . . 7 |- ( h = F -> ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) <-> F : W --> Z ) )
65	64	moi2 2916	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. _V /\ E* h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) /\ ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ F : W --> Z ) ) -> h = F )
66	51, 54, 55, 41, 65	syl22anc 1239	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> h = F )
67		eqid 2175	. . . . . . . . . 10 |- ( R tX S ) = ( R tX S )
68	67, 1, 3, 6, 5, 11	uptx 13325	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) -> E! h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
69	68	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> E! h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
70		df-reu 2460	. . . . . . . . . 10 |- ( E! h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) <-> E! h ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) )
71		euex 2054	. . . . . . . . . 10 |- ( E! h ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> E. h ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) )
72	70, 71	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( E! h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) -> E. h ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) )
73		eqid 2175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. ( R tX S ) = U. ( R tX S )
74	25, 73	cnf 13255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) -> h : W --> U. ( R tX S ) )
75	1, 3	txuni 13314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( X X. Y ) = U. ( R tX S ) )
76	6, 75	eqtrid 2220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> Z = U. ( R tX S ) )
77	76	3adant3 1017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) -> Z = U. ( R tX S ) )
78	77	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> Z = U. ( R tX S ) )
79	78	feq3d 5346	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( h : W --> Z <-> h : W --> U. ( R tX S ) ) )
80	74, 79	syl5ibr 156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) -> h : W --> Z ) )
81	80	anim1d 336	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : W --> Z /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) ) )
82	81, 56	syl6ibr 162	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) )
83		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> h e. ( U Cn ( R tX S ) ) )
84	82, 83	jca2 308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) ) )
85	84	eximdv 1878	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( E. h ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> E. h ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) ) )
86	72, 85	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( E! h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) -> E. h ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) ) )
87	69, 86	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> E. h ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) )
88		eupick 2103	. . . . . . 7 |- ( ( E! h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ E. h ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) ) -> ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) -> h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) )
89	38, 87, 88	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) -> h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) )
90	89	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> h e. ( U Cn ( R tX S ) ) )
91	66, 90	eqeltrrd 2253	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> F e. ( U Cn ( R tX S ) ) )
92	40, 91	exlimddv 1896	. . 3 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> F e. ( U Cn ( R tX S ) ) )
93	92	ex 115	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) -> ( ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) -> F e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) )
94	22, 93	impbid 129	1 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) -> ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) <-> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1490   E!weu 2024   E*wmo 2025   e. wcel 2146   E!wreu 2455   _Vcvv 2735   U.cuni 3805   X. cxp 4618   |` cres 4622   o. ccom 4624   -->wf 5204   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   1stc1st 6129   2ndc2nd 6130   Topctop 13046  TopOnctopon 13059   Cn ccn 13236   tX ctx 13303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-map 6640  df-topgen 12629  df-top 13047  df-topon 13060  df-bases 13092  df-cn 13239  df-tx 13304

This theorem is referenced by: (None)