Theorem txcn 15086

Description: A map into the product of two topological spaces is continuous iff both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
txcn.1	|- X = U. R
txcn.2	|- Y = U. S
txcn.3	|- Z = ( X X. Y )
txcn.4	|- W = U. U
txcn.5	|- P = ( 1st |` Z )
txcn.6	|- Q = ( 2nd |` Z )

Assertion

Ref	Expression
txcn	|- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) -> ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) <-> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) )

Proof of Theorem txcn

Dummy variable h is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txcn.1	. . . . 5 |- X = U. R
2	1	toptopon 14829	. . . 4 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` X ) )
3		txcn.2	. . . . 5 |- Y = U. S
4	3	toptopon 14829	. . . 4 |- ( S e. Top <-> S e. (TopOn ` Y ) )
5		txcn.5	. . . . . . 7 |- P = ( 1st |` Z )
6		txcn.3	. . . . . . . 8 |- Z = ( X X. Y )
7	6	reseq2i 5016	. . . . . . 7 |- ( 1st |` Z ) = ( 1st |` ( X X. Y ) )
8	5, 7	eqtri 2252	. . . . . 6 |- P = ( 1st |` ( X X. Y ) )
9		tx1cn 15080	. . . . . 6 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( 1st |` ( X X. Y ) ) e. ( ( R tX S ) Cn R ) )
10	8, 9	eqeltrid 2318	. . . . 5 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> P e. ( ( R tX S ) Cn R ) )
11		txcn.6	. . . . . . 7 |- Q = ( 2nd |` Z )
12	6	reseq2i 5016	. . . . . . 7 |- ( 2nd |` Z ) = ( 2nd |` ( X X. Y ) )
13	11, 12	eqtri 2252	. . . . . 6 |- Q = ( 2nd |` ( X X. Y ) )
14		tx2cn 15081	. . . . . 6 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( 2nd |` ( X X. Y ) ) e. ( ( R tX S ) Cn S ) )
15	13, 14	eqeltrid 2318	. . . . 5 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> Q e. ( ( R tX S ) Cn S ) )
16		cnco 15032	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ P e. ( ( R tX S ) Cn R ) ) -> ( P o. F ) e. ( U Cn R ) )
17		cnco 15032	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ Q e. ( ( R tX S ) Cn S ) ) -> ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) )
18	16, 17	anim12dan 604	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( P e. ( ( R tX S ) Cn R ) /\ Q e. ( ( R tX S ) Cn S ) ) ) -> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) )
19	18	expcom 116	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ( R tX S ) Cn R ) /\ Q e. ( ( R tX S ) Cn S ) ) -> ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) -> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) )
20	10, 15, 19	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) -> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) )
21	2, 4, 20	syl2anb 291	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) -> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) )
22	21	3adant3 1044	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) -> ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) -> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) )
23		cntop1 15012	. . . . . . . 8 |- ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) -> U e. Top )
24	23	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> U e. Top )
25		txcn.4	. . . . . . . 8 |- W = U. U
26	25	topopn 14819	. . . . . . 7 |- ( U e. Top -> W e. U )
27	24, 26	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> W e. U )
28	25, 1	cnf 15015	. . . . . . 7 |- ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) -> ( P o. F ) : W --> X )
29	28	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( P o. F ) : W --> X )
30	25, 3	cnf 15015	. . . . . . 7 |- ( ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) -> ( Q o. F ) : W --> Y )
31	30	ad2antll 491	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( Q o. F ) : W --> Y )
32	8, 13	upxp 15083	. . . . . . 7 |- ( ( W e. U /\ ( P o. F ) : W --> X /\ ( Q o. F ) : W --> Y ) -> E! h ( h : W --> ( X X. Y ) /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
33		feq3 5474	. . . . . . . . . 10 |- ( Z = ( X X. Y ) -> ( h : W --> Z <-> h : W --> ( X X. Y ) ) )
34	6, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( h : W --> Z <-> h : W --> ( X X. Y ) )
35	34	3anbi1i 1217	. . . . . . . 8 |- ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) <-> ( h : W --> ( X X. Y ) /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
36	35	eubii 2088	. . . . . . 7 |- ( E! h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) <-> E! h ( h : W --> ( X X. Y ) /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
37	32, 36	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( W e. U /\ ( P o. F ) : W --> X /\ ( Q o. F ) : W --> Y ) -> E! h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
38	27, 29, 31, 37	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> E! h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
39		euex 2109	. . . . 5 |- ( E! h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) -> E. h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
40	38, 39	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> E. h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
41		simpll3 1065	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> F : W --> Z )
42	27	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> W e. U )
43	1	topopn 14819	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Top -> X e. R )
44	3	topopn 14819	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. Top -> Y e. S )
45		xpexg 4846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. R /\ Y e. S ) -> ( X X. Y ) e. _V )
46	6, 45	eqeltrid 2318	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. R /\ Y e. S ) -> Z e. _V )
47	43, 44, 46	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> Z e. _V )
48	47	3adant3 1044	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) -> Z e. _V )
49	48	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> Z e. _V )
50		fex2 5511	. . . . . . 7 |- ( ( F : W --> Z /\ W e. U /\ Z e. _V ) -> F e. _V )
51	41, 42, 49, 50	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> F e. _V )
52		eumo 2111	. . . . . . . 8 |- ( E! h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) -> E* h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
53	38, 52	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> E* h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
54	53	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> E* h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
55		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
56		3anass 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) <-> ( h : W --> Z /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) )
57		coeq2 4894	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F = h -> ( P o. F ) = ( P o. h ) )
58		coeq2 4894	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F = h -> ( Q o. F ) = ( Q o. h ) )
59	57, 58	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( F = h -> ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
60	59	eqcoms 2234	. . . . . . . . . 10 |- ( h = F -> ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
61	60	biantrud 304	. . . . . . . . 9 |- ( h = F -> ( h : W --> Z <-> ( h : W --> Z /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) ) )
62		feq1 5472	. . . . . . . . 9 |- ( h = F -> ( h : W --> Z <-> F : W --> Z ) )
63	61, 62	bitr3d 190	. . . . . . . 8 |- ( h = F -> ( ( h : W --> Z /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) <-> F : W --> Z ) )
64	56, 63	bitrid 192	. . . . . . 7 |- ( h = F -> ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) <-> F : W --> Z ) )
65	64	moi2 2988	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. _V /\ E* h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) /\ ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ F : W --> Z ) ) -> h = F )
66	51, 54, 55, 41, 65	syl22anc 1275	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> h = F )
67		eqid 2231	. . . . . . . . . 10 |- ( R tX S ) = ( R tX S )
68	67, 1, 3, 6, 5, 11	uptx 15085	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) -> E! h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
69	68	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> E! h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
70		df-reu 2518	. . . . . . . . . 10 |- ( E! h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) <-> E! h ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) )
71		euex 2109	. . . . . . . . . 10 |- ( E! h ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> E. h ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) )
72	70, 71	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( E! h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) -> E. h ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) )
73		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. ( R tX S ) = U. ( R tX S )
74	25, 73	cnf 15015	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) -> h : W --> U. ( R tX S ) )
75	1, 3	txuni 15074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( X X. Y ) = U. ( R tX S ) )
76	6, 75	eqtrid 2276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> Z = U. ( R tX S ) )
77	76	3adant3 1044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) -> Z = U. ( R tX S ) )
78	77	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> Z = U. ( R tX S ) )
79	78	feq3d 5478	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( h : W --> Z <-> h : W --> U. ( R tX S ) ) )
80	74, 79	imbitrrid 156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) -> h : W --> Z ) )
81	80	anim1d 336	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : W --> Z /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) ) )
82	81, 56	imbitrrdi 162	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) )
83		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> h e. ( U Cn ( R tX S ) ) )
84	82, 83	jca2 308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) ) )
85	84	eximdv 1928	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( E. h ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> E. h ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) ) )
86	72, 85	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( E! h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) -> E. h ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) ) )
87	69, 86	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> E. h ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) )
88		eupick 2159	. . . . . . 7 |- ( ( E! h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ E. h ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) ) -> ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) -> h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) )
89	38, 87, 88	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) -> h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) )
90	89	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> h e. ( U Cn ( R tX S ) ) )
91	66, 90	eqeltrrd 2309	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> F e. ( U Cn ( R tX S ) ) )
92	40, 91	exlimddv 1947	. . 3 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> F e. ( U Cn ( R tX S ) ) )
93	92	ex 115	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) -> ( ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) -> F e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) )
94	22, 93	impbid 129	1 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) -> ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) <-> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   E!weu 2079   E*wmo 2080   e. wcel 2202   E!wreu 2513   _Vcvv 2803   U.cuni 3898   X. cxp 4729   |` cres 4733   o. ccom 4735   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   1stc1st 6310   2ndc2nd 6311   Topctop 14808  TopOnctopon 14821   Cn ccn 14996   tX ctx 15063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-map 6862  df-topgen 13423  df-top 14809  df-topon 14822  df-bases 14854  df-cn 14999  df-tx 15064

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