Theorem sstrd 3258

Description: Subclass transitivity deduction. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sstrd.1	|- ( ph -> A C_ B )
sstrd.2	|- ( ph -> B C_ C )

Assertion

Ref	Expression
sstrd	|- ( ph -> A C_ C )

Proof of Theorem sstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstrd.1	. 2 |- ( ph -> A C_ B )
2		sstrd.2	. 2 |- ( ph -> B C_ C )
3		sstr 3256	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ C ) -> A C_ C )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> A C_ C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   C_ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  sstrid  3259  sstrdi  3260  rabssrabd  3335  ssdif2d  3368  tfisi  4734  funss  5396  fssxp  5555  fvmptssdm  5790  suppssov1  6299  suppssfvg  6503  tposss  6517  tfrlem1  6579  tfrlemibfn  6599  tfr1onlembfn  6615  tfr1onlemubacc  6617  tfr1onlemres  6620  tfrcllembfn  6628  tfrcllemubacc  6630  tfrcllemres  6633  ecinxp  6884  undifdc  7231  sbthlem1  7274  seqsplitg  10941  iseqf1olemnab  10953  seqf1oglem2a  10970  fiubm  11287  swrdval2  11439  isumss  12177  prodssdc  12375  ennnfoneleminc  13354  strsetsid  13437  strleund  13510  strext  13512  imasaddvallemg  13689  subsubm  13843  subsubg  14053  subgintm  14054  cntzidss  14166  subsubrng  14606  subsubrg  14637  lssintclm  14805  lspss  14820  lspun  14823  lsslsp  14850  aspss  15103  ntrss  15311  neiint  15337  neiss  15342  restopnb  15373  iscnp4  15410  blssps  15619  blss  15620  xmettx  15702  tgqioo  15747  rescncf  15773  suplociccreex  15816  suplociccex  15817  dvbss  15877  dvbsssg  15878  dvfgg  15880  dvidsslem  15885  dvconstss  15890  dvcnp2cntop  15891  dvcn  15892  dvaddxxbr  15893  dvmulxxbr  15894  dvcoapbr  15899  chtublem  16256