Theorem sstrd 3211

Description: Subclass transitivity deduction. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sstrd.1	|- ( ph -> A C_ B )
sstrd.2	|- ( ph -> B C_ C )

Assertion

Ref	Expression
sstrd	|- ( ph -> A C_ C )

Proof of Theorem sstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstrd.1	. 2 |- ( ph -> A C_ B )
2		sstrd.2	. 2 |- ( ph -> B C_ C )
3		sstr 3209	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ C ) -> A C_ C )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> A C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   C_ wss 3174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-11 1530  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-in 3180  df-ss 3187

This theorem is referenced by:  sstrid  3212  sstrdi  3213  ssdif2d  3320  tfisi  4653  funss  5309  fssxp  5463  fvmptssdm  5687  suppssfv  6177  suppssov1  6178  tposss  6355  tfrlem1  6417  tfrlemibfn  6437  tfr1onlembfn  6453  tfr1onlemubacc  6455  tfr1onlemres  6458  tfrcllembfn  6466  tfrcllemubacc  6468  tfrcllemres  6471  ecinxp  6720  undifdc  7047  sbthlem1  7085  seqsplitg  10671  iseqf1olemnab  10683  seqf1oglem2a  10700  fiubm  11010  swrdval2  11142  isumss  11817  prodssdc  12015  ennnfoneleminc  12897  strsetsid  12980  strleund  13050  strext  13052  imasaddvallemg  13262  subsubm  13430  subsubg  13648  subgintm  13649  subsubrng  14091  subsubrg  14122  lssintclm  14261  lspss  14276  lspun  14279  lsslsp  14306  ntrss  14706  neiint  14732  neiss  14737  restopnb  14768  iscnp4  14805  blssps  15014  blss  15015  xmettx  15097  tgqioo  15142  rescncf  15168  suplociccreex  15211  suplociccex  15212  dvbss  15272  dvbsssg  15273  dvfgg  15275  dvidsslem  15280  dvconstss  15285  dvcnp2cntop  15286  dvcn  15287  dvaddxxbr  15288  dvmulxxbr  15289  dvcoapbr  15294