Theorem sstrd 3234

Description: Subclass transitivity deduction. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sstrd.1	|- ( ph -> A C_ B )
sstrd.2	|- ( ph -> B C_ C )

Assertion

Ref	Expression
sstrd	|- ( ph -> A C_ C )

Proof of Theorem sstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstrd.1	. 2 |- ( ph -> A C_ B )
2		sstrd.2	. 2 |- ( ph -> B C_ C )
3		sstr 3232	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ C ) -> A C_ C )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> A C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   C_ wss 3197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-11 1552  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-in 3203  df-ss 3210

This theorem is referenced by:  sstrid  3235  sstrdi  3236  ssdif2d  3343  tfisi  4679  funss  5337  fssxp  5493  fvmptssdm  5721  suppssfv  6220  suppssov1  6221  tposss  6398  tfrlem1  6460  tfrlemibfn  6480  tfr1onlembfn  6496  tfr1onlemubacc  6498  tfr1onlemres  6501  tfrcllembfn  6509  tfrcllemubacc  6511  tfrcllemres  6514  ecinxp  6765  undifdc  7097  sbthlem1  7135  seqsplitg  10723  iseqf1olemnab  10735  seqf1oglem2a  10752  fiubm  11063  swrdval2  11198  isumss  11917  prodssdc  12115  ennnfoneleminc  12997  strsetsid  13080  strleund  13151  strext  13153  imasaddvallemg  13363  subsubm  13531  subsubg  13749  subgintm  13750  subsubrng  14193  subsubrg  14224  lssintclm  14363  lspss  14378  lspun  14381  lsslsp  14408  ntrss  14808  neiint  14834  neiss  14839  restopnb  14870  iscnp4  14907  blssps  15116  blss  15117  xmettx  15199  tgqioo  15244  rescncf  15270  suplociccreex  15313  suplociccex  15314  dvbss  15374  dvbsssg  15375  dvfgg  15377  dvidsslem  15382  dvconstss  15387  dvcnp2cntop  15388  dvcn  15389  dvaddxxbr  15390  dvmulxxbr  15391  dvcoapbr  15396