Theorem sstrd 3258

Description: Subclass transitivity deduction. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sstrd.1	|- ( ph -> A C_ B )
sstrd.2	|- ( ph -> B C_ C )

Assertion

Ref	Expression
sstrd	|- ( ph -> A C_ C )

Proof of Theorem sstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstrd.1	. 2 |- ( ph -> A C_ B )
2		sstrd.2	. 2 |- ( ph -> B C_ C )
3		sstr 3256	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ C ) -> A C_ C )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> A C_ C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   C_ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  sstrid  3259  sstrdi  3260  rabssrabd  3335  ssdif2d  3368  tfisi  4734  funss  5396  fssxp  5555  fvmptssdm  5790  suppssov1  6299  suppssfvg  6503  tposss  6517  tfrlem1  6579  tfrlemibfn  6599  tfr1onlembfn  6615  tfr1onlemubacc  6617  tfr1onlemres  6620  tfrcllembfn  6628  tfrcllemubacc  6630  tfrcllemres  6633  ecinxp  6884  undifdc  7231  sbthlem1  7274  seqsplitg  10939  iseqf1olemnab  10951  seqf1oglem2a  10968  fiubm  11285  swrdval2  11437  isumss  12174  prodssdc  12372  ennnfoneleminc  13351  strsetsid  13434  strleund  13506  strext  13508  imasaddvallemg  13685  subsubm  13839  subsubg  14049  subgintm  14050  subsubrng  14571  subsubrg  14602  lssintclm  14770  lspss  14785  lspun  14788  lsslsp  14815  aspss  15068  ntrss  15269  neiint  15295  neiss  15300  restopnb  15331  iscnp4  15368  blssps  15577  blss  15578  xmettx  15660  tgqioo  15705  rescncf  15731  suplociccreex  15774  suplociccex  15775  dvbss  15835  dvbsssg  15836  dvfgg  15838  dvidsslem  15843  dvconstss  15848  dvcnp2cntop  15849  dvcn  15850  dvaddxxbr  15851  dvmulxxbr  15852  dvcoapbr  15857