Theorem resmpt 5114

Description: Restriction of the mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
resmpt	|- ( B C_ A -> ( ( x e. A |-> C ) |` B ) = ( x e. B |-> C ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem resmpt

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resopab2 5113	. 2 |- ( B C_ A -> ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = C ) } |` B ) = { <. x , y >. | ( x e. B /\ y = C ) } )
2		df-mpt 4195	. . 3 |- ( x e. A |-> C ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = C ) }
3	2	reseq1i 5061	. 2 |- ( ( x e. A |-> C ) |` B ) = ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = C ) } |` B )
4		df-mpt 4195	. 2 |- ( x e. B |-> C ) = { <. x , y >. | ( x e. B /\ y = C ) }
5	1, 3, 4	3eqtr4g 2296	1 |- ( B C_ A -> ( ( x e. A |-> C ) |` B ) = ( x e. B |-> C ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   {copab 4192   |-> cmpt 4193   |` cres 4778

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-xp 4782  df-rel 4783  df-res 4788

This theorem is used by:  resmpt3  5115  resmptf  5116  resmptd  5117  f1stres  6397  f2ndres  6398  tposss  6522  dftpos2  6537  dftpos4  6539  djuf1olemr  7400  fisumss  12183  isumclim3  12214  expcnv  12295  fprodssdc  12381  conjsubg  14138  gsummptfidmadd  14250  gsumconstcmn  14265  gsum2dfilem2  14271  psrass1filem  15186  tgrest  15412  cnmptid  15524  hovercncf  15889  dvidlemap  15934  dvidrelem  15935  dvidsslem  15936  dvcnp2cntop  15942  dvmulxxbr  15945  dvcoapbr  15950  dvrecap  15956