Theorem resmpt 5114

Description: Restriction of the mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
resmpt	|- ( B C_ A -> ( ( x e. A |-> C ) |` B ) = ( x e. B |-> C ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem resmpt

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resopab2 5113	. 2 |- ( B C_ A -> ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = C ) } |` B ) = { <. x , y >. | ( x e. B /\ y = C ) } )
2		df-mpt 4195	. . 3 |- ( x e. A |-> C ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = C ) }
3	2	reseq1i 5061	. 2 |- ( ( x e. A |-> C ) |` B ) = ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = C ) } |` B )
4		df-mpt 4195	. 2 |- ( x e. B |-> C ) = { <. x , y >. | ( x e. B /\ y = C ) }
5	1, 3, 4	3eqtr4g 2296	1 |- ( B C_ A -> ( ( x e. A |-> C ) |` B ) = ( x e. B |-> C ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   {copab 4192   |-> cmpt 4193   |` cres 4778

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-xp 4782  df-rel 4783  df-res 4788

This theorem is used by:  resmpt3  5115  resmptf  5116  resmptd  5117  f1stres  6397  f2ndres  6398  tposss  6521  dftpos2  6536  dftpos4  6538  djuf1olemr  7400  fisumss  12184  isumclim3  12215  expcnv  12296  fprodssdc  12382  conjsubg  14139  gsummptfidmadd  14251  gsumconstcmn  14266  gsum2dfilem2  14272  psrass1filem  15177  tgrest  15395  cnmptid  15507  hovercncf  15872  dvidlemap  15917  dvidrelem  15918  dvidsslem  15919  dvcnp2cntop  15925  dvmulxxbr  15928  dvcoapbr  15933  dvrecap  15939