ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strleun Unicode version

Theorem strleun 11732
Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strleun.f  |-  F Struct  <. A ,  B >.
strleun.g  |-  G Struct  <. C ,  D >.
strleun.l  |-  B  < 
C
Assertion
Ref Expression
strleun  |-  ( F  u.  G ) Struct  <. A ,  D >.

Proof of Theorem strleun
StepHypRef Expression
1 strleun.f . . . . . 6  |-  F Struct  <. A ,  B >.
2 isstructim 11657 . . . . . 6  |-  ( F Struct  <. A ,  B >.  -> 
( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <_  B )  /\  Fun  ( F  \  { (/) } )  /\  dom  F  C_  ( A ... B
) ) )
31, 2ax-mp 7 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <_  B )  /\  Fun  ( F  \  { (/) } )  /\  dom  F  C_  ( A ... B
) )
43simp1i 955 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <_  B )
54simp1i 955 . . 3  |-  A  e.  NN
6 strleun.g . . . . . 6  |-  G Struct  <. C ,  D >.
7 isstructim 11657 . . . . . 6  |-  ( G Struct  <. C ,  D >.  -> 
( ( C  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  C  <_  D )  /\  Fun  ( G  \  { (/) } )  /\  dom  G  C_  ( C ... D
) ) )
86, 7ax-mp 7 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  C  <_  D )  /\  Fun  ( G  \  { (/) } )  /\  dom  G  C_  ( C ... D
) )
98simp1i 955 . . . 4  |-  ( C  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  C  <_  D )
109simp2i 956 . . 3  |-  D  e.  NN
114simp3i 957 . . . . 5  |-  A  <_  B
124simp2i 956 . . . . . . 7  |-  B  e.  NN
1312nnrei 8529 . . . . . 6  |-  B  e.  RR
149simp1i 955 . . . . . . 7  |-  C  e.  NN
1514nnrei 8529 . . . . . 6  |-  C  e.  RR
16 strleun.l . . . . . 6  |-  B  < 
C
1713, 15, 16ltleii 7684 . . . . 5  |-  B  <_  C
185nnrei 8529 . . . . . 6  |-  A  e.  RR
1918, 13, 15letri 7689 . . . . 5  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C )
2011, 17, 19mp2an 418 . . . 4  |-  A  <_  C
219simp3i 957 . . . 4  |-  C  <_  D
2210nnrei 8529 . . . . 5  |-  D  e.  RR
2318, 15, 22letri 7689 . . . 4  |-  ( ( A  <_  C  /\  C  <_  D )  ->  A  <_  D )
2420, 21, 23mp2an 418 . . 3  |-  A  <_  D
255, 10, 243pm3.2i 1124 . 2  |-  ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  A  <_  D )
263simp2i 956 . . . . . 6  |-  Fun  ( F  \  { (/) } )
278simp2i 956 . . . . . 6  |-  Fun  ( G  \  { (/) } )
2826, 27pm3.2i 267 . . . . 5  |-  ( Fun  ( F  \  { (/)
} )  /\  Fun  ( G  \  { (/) } ) )
29 difss 3141 . . . . . . . . 9  |-  ( F 
\  { (/) } ) 
C_  F
30 dmss 4666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  \  { (/) } )  C_  F  ->  dom  ( F  \  { (/)
} )  C_  dom  F )
3129, 30ax-mp 7 . . . . . . . 8  |-  dom  ( F  \  { (/) } ) 
C_  dom  F
323simp3i 957 . . . . . . . 8  |-  dom  F  C_  ( A ... B
)
3331, 32sstri 3048 . . . . . . 7  |-  dom  ( F  \  { (/) } ) 
C_  ( A ... B )
34 difss 3141 . . . . . . . . 9  |-  ( G 
\  { (/) } ) 
C_  G
35 dmss 4666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  \  { (/) } )  C_  G  ->  dom  ( G  \  { (/)
} )  C_  dom  G )
3634, 35ax-mp 7 . . . . . . . 8  |-  dom  ( G  \  { (/) } ) 
C_  dom  G
378simp3i 957 . . . . . . . 8  |-  dom  G  C_  ( C ... D
)
3836, 37sstri 3048 . . . . . . 7  |-  dom  ( G  \  { (/) } ) 
C_  ( C ... D )
39 ss2in 3243 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  ( F  \  { (/) } )  C_  ( A ... B )  /\  dom  ( G 
\  { (/) } ) 
C_  ( C ... D ) )  -> 
( dom  ( F  \  { (/) } )  i^i 
dom  ( G  \  { (/) } ) ) 
C_  ( ( A ... B )  i^i  ( C ... D
) ) )
4033, 38, 39mp2an 418 . . . . . 6  |-  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  C_  (
( A ... B
)  i^i  ( C ... D ) )
41 fzdisj 9615 . . . . . . 7  |-  ( B  <  C  ->  (
( A ... B
)  i^i  ( C ... D ) )  =  (/) )
4216, 41ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( ( A ... B )  i^i  ( C ... D ) )  =  (/)
43 sseq0 3343 . . . . . 6  |-  ( ( ( dom  ( F 
\  { (/) } )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) ) 
C_  ( ( A ... B )  i^i  ( C ... D
) )  /\  (
( A ... B
)  i^i  ( C ... D ) )  =  (/) )  ->  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  =  (/) )
4440, 42, 43mp2an 418 . . . . 5  |-  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  =  (/)
45 funun 5092 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  ( F 
\  { (/) } )  /\  Fun  ( G 
\  { (/) } ) )  /\  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  =  (/) )  ->  Fun  ( ( F  \  { (/) } )  u.  ( G  \  { (/) } ) ) )
4628, 44, 45mp2an 418 . . . 4  |-  Fun  (
( F  \  { (/)
} )  u.  ( G  \  { (/) } ) )
47 difundir 3268 . . . . 5  |-  ( ( F  u.  G ) 
\  { (/) } )  =  ( ( F 
\  { (/) } )  u.  ( G  \  { (/) } ) )
4847funeqi 5070 . . . 4  |-  ( Fun  ( ( F  u.  G )  \  { (/)
} )  <->  Fun  ( ( F  \  { (/) } )  u.  ( G 
\  { (/) } ) ) )
4946, 48mpbir 145 . . 3  |-  Fun  (
( F  u.  G
)  \  { (/) } )
50 structex 11655 . . . . 5  |-  ( F Struct  <. A ,  B >.  ->  F  e.  _V )
511, 50ax-mp 7 . . . 4  |-  F  e. 
_V
52 structex 11655 . . . . 5  |-  ( G Struct  <. C ,  D >.  ->  G  e.  _V )
536, 52ax-mp 7 . . . 4  |-  G  e. 
_V
5451, 53unex 4291 . . 3  |-  ( F  u.  G )  e. 
_V
55 dmun 4674 . . . 4  |-  dom  ( F  u.  G )  =  ( dom  F  u.  dom  G )
5612nnzi 8869 . . . . . . . 8  |-  B  e.  ZZ
5710nnzi 8869 . . . . . . . 8  |-  D  e.  ZZ
5813, 15, 22letri 7689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  <_  C  /\  C  <_  D )  ->  B  <_  D )
5917, 21, 58mp2an 418 . . . . . . . 8  |-  B  <_  D
60 eluz2 9124 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  B
)  <->  ( B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  B  <_  D ) )
6156, 57, 59, 60mpbir3an 1128 . . . . . . 7  |-  D  e.  ( ZZ>= `  B )
62 fzss2 9627 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  B
)  ->  ( A ... B )  C_  ( A ... D ) )
6361, 62ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( A ... B )  C_  ( A ... D )
6432, 63sstri 3048 . . . . 5  |-  dom  F  C_  ( A ... D
)
655nnzi 8869 . . . . . . . 8  |-  A  e.  ZZ
6614nnzi 8869 . . . . . . . 8  |-  C  e.  ZZ
67 eluz2 9124 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  <->  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )
6865, 66, 20, 67mpbir3an 1128 . . . . . . 7  |-  C  e.  ( ZZ>= `  A )
69 fzss1 9626 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( C ... D )  C_  ( A ... D ) )
7068, 69ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( C ... D )  C_  ( A ... D )
7137, 70sstri 3048 . . . . 5  |-  dom  G  C_  ( A ... D
)
7264, 71unssi 3190 . . . 4  |-  ( dom 
F  u.  dom  G
)  C_  ( A ... D )
7355, 72eqsstri 3071 . . 3  |-  dom  ( F  u.  G )  C_  ( A ... D
)
7449, 54, 733pm3.2i 1124 . 2  |-  ( Fun  ( ( F  u.  G )  \  { (/)
} )  /\  ( F  u.  G )  e.  _V  /\  dom  ( F  u.  G )  C_  ( A ... D
) )
75 isstructr 11658 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  A  <_  D )  /\  ( Fun  ( ( F  u.  G )  \  { (/) } )  /\  ( F  u.  G
)  e.  _V  /\  dom  ( F  u.  G
)  C_  ( A ... D ) ) )  ->  ( F  u.  G ) Struct  <. A ,  D >. )
7625, 74, 75mp2an 418 1  |-  ( F  u.  G ) Struct  <. A ,  D >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    /\ w3a 927    = wceq 1296    e. wcel 1445   _Vcvv 2633    \ cdif 3010    u. cun 3011    i^i cin 3012    C_ wss 3013   (/)c0 3302   {csn 3466   <.cop 3469   class class class wbr 3867   dom cdm 4467   Fun wfun 5043   ` cfv 5049  (class class class)co 5690    < clt 7619    <_ cle 7620   NNcn 8520   ZZcz 8848   ZZ>=cuz 9118   ...cfz 9573   Struct cstr 11639
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574  df-struct 11645
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator