Theorem strleun 12087

Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strleun.f	|- F Struct <. A , B >.
strleun.g	|- G Struct <. C , D >.
strleun.l	|- B < C

Assertion

Ref	Expression
strleun	|- ( F u. G ) Struct <. A , D >.

Proof of Theorem strleun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strleun.f	. . . . . 6 |- F Struct <. A , B >.
2		isstructim 12012	. . . . . 6 |- ( F Struct <. A , B >. -> ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( A ... B ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( A ... B ) )
4	3	simp1i 991	. . . 4 |- ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B )
5	4	simp1i 991	. . 3 |- A e. NN
6		strleun.g	. . . . . 6 |- G Struct <. C , D >.
7		isstructim 12012	. . . . . 6 |- ( G Struct <. C , D >. -> ( ( C e. NN /\ D e. NN /\ C <_ D ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( C ... D ) ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( C e. NN /\ D e. NN /\ C <_ D ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( C ... D ) )
9	8	simp1i 991	. . . 4 |- ( C e. NN /\ D e. NN /\ C <_ D )
10	9	simp2i 992	. . 3 |- D e. NN
11	4	simp3i 993	. . . . 5 |- A <_ B
12	4	simp2i 992	. . . . . . 7 |- B e. NN
13	12	nnrei 8753	. . . . . 6 |- B e. RR
14	9	simp1i 991	. . . . . . 7 |- C e. NN
15	14	nnrei 8753	. . . . . 6 |- C e. RR
16		strleun.l	. . . . . 6 |- B < C
17	13, 15, 16	ltleii 7890	. . . . 5 |- B <_ C
18	5	nnrei 8753	. . . . . 6 |- A e. RR
19	18, 13, 15	letri 7895	. . . . 5 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C )
20	11, 17, 19	mp2an 423	. . . 4 |- A <_ C
21	9	simp3i 993	. . . 4 |- C <_ D
22	10	nnrei 8753	. . . . 5 |- D e. RR
23	18, 15, 22	letri 7895	. . . 4 |- ( ( A <_ C /\ C <_ D ) -> A <_ D )
24	20, 21, 23	mp2an 423	. . 3 |- A <_ D
25	5, 10, 24	3pm3.2i 1160	. 2 |- ( A e. NN /\ D e. NN /\ A <_ D )
26	3	simp2i 992	. . . . . 6 |- Fun ( F \ { (/) } )
27	8	simp2i 992	. . . . . 6 |- Fun ( G \ { (/) } )
28	26, 27	pm3.2i 270	. . . . 5 |- ( Fun ( F \ { (/) } ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) )
29		difss 3207	. . . . . . . . 9 |- ( F \ { (/) } ) C_ F
30		dmss 4746	. . . . . . . . 9 |- ( ( F \ { (/) } ) C_ F -> dom ( F \ { (/) } ) C_ dom F )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- dom ( F \ { (/) } ) C_ dom F
32	3	simp3i 993	. . . . . . . 8 |- dom F C_ ( A ... B )
33	31, 32	sstri 3111	. . . . . . 7 |- dom ( F \ { (/) } ) C_ ( A ... B )
34		difss 3207	. . . . . . . . 9 |- ( G \ { (/) } ) C_ G
35		dmss 4746	. . . . . . . . 9 |- ( ( G \ { (/) } ) C_ G -> dom ( G \ { (/) } ) C_ dom G )
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- dom ( G \ { (/) } ) C_ dom G
37	8	simp3i 993	. . . . . . . 8 |- dom G C_ ( C ... D )
38	36, 37	sstri 3111	. . . . . . 7 |- dom ( G \ { (/) } ) C_ ( C ... D )
39		ss2in 3309	. . . . . . 7 |- ( ( dom ( F \ { (/) } ) C_ ( A ... B ) /\ dom ( G \ { (/) } ) C_ ( C ... D ) ) -> ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) C_ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) )
40	33, 38, 39	mp2an 423	. . . . . 6 |- ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) C_ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) )
41		fzdisj 9863	. . . . . . 7 |- ( B < C -> ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) = (/) )
42	16, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) = (/)
43		sseq0 3409	. . . . . 6 |- ( ( ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) C_ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) /\ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) = (/) ) -> ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) = (/) )
44	40, 42, 43	mp2an 423	. . . . 5 |- ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) = (/)
45		funun 5175	. . . . 5 |- ( ( ( Fun ( F \ { (/) } ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) = (/) ) -> Fun ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) ) )
46	28, 44, 45	mp2an 423	. . . 4 |- Fun ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) )
47		difundir 3334	. . . . 5 |- ( ( F u. G ) \ { (/) } ) = ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) )
48	47	funeqi 5152	. . . 4 |- ( Fun ( ( F u. G ) \ { (/) } ) <-> Fun ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) ) )
49	46, 48	mpbir 145	. . 3 |- Fun ( ( F u. G ) \ { (/) } )
50		structex 12010	. . . . 5 |- ( F Struct <. A , B >. -> F e. _V )
51	1, 50	ax-mp 5	. . . 4 |- F e. _V
52		structex 12010	. . . . 5 |- ( G Struct <. C , D >. -> G e. _V )
53	6, 52	ax-mp 5	. . . 4 |- G e. _V
54	51, 53	unex 4370	. . 3 |- ( F u. G ) e. _V
55		dmun 4754	. . . 4 |- dom ( F u. G ) = ( dom F u. dom G )
56	12	nnzi 9099	. . . . . . . 8 |- B e. ZZ
57	10	nnzi 9099	. . . . . . . 8 |- D e. ZZ
58	13, 15, 22	letri 7895	. . . . . . . . 9 |- ( ( B <_ C /\ C <_ D ) -> B <_ D )
59	17, 21, 58	mp2an 423	. . . . . . . 8 |- B <_ D
60		eluz2 9356	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( ZZ>= ` B ) <-> ( B e. ZZ /\ D e. ZZ /\ B <_ D ) )
61	56, 57, 59, 60	mpbir3an 1164	. . . . . . 7 |- D e. ( ZZ>= ` B )
62		fzss2 9875	. . . . . . 7 |- ( D e. ( ZZ>= ` B ) -> ( A ... B ) C_ ( A ... D ) )
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( A ... B ) C_ ( A ... D )
64	32, 63	sstri 3111	. . . . 5 |- dom F C_ ( A ... D )
65	5	nnzi 9099	. . . . . . . 8 |- A e. ZZ
66	14	nnzi 9099	. . . . . . . 8 |- C e. ZZ
67		eluz2 9356	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( ZZ>= ` A ) <-> ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) )
68	65, 66, 20, 67	mpbir3an 1164	. . . . . . 7 |- C e. ( ZZ>= ` A )
69		fzss1 9874	. . . . . . 7 |- ( C e. ( ZZ>= ` A ) -> ( C ... D ) C_ ( A ... D ) )
70	68, 69	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( C ... D ) C_ ( A ... D )
71	37, 70	sstri 3111	. . . . 5 |- dom G C_ ( A ... D )
72	64, 71	unssi 3256	. . . 4 |- ( dom F u. dom G ) C_ ( A ... D )
73	55, 72	eqsstri 3134	. . 3 |- dom ( F u. G ) C_ ( A ... D )
74	49, 54, 73	3pm3.2i 1160	. 2 |- ( Fun ( ( F u. G ) \ { (/) } ) /\ ( F u. G ) e. _V /\ dom ( F u. G ) C_ ( A ... D ) )
75		isstructr 12013	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ D e. NN /\ A <_ D ) /\ ( Fun ( ( F u. G ) \ { (/) } ) /\ ( F u. G ) e. _V /\ dom ( F u. G ) C_ ( A ... D ) ) ) -> ( F u. G ) Struct <. A , D >. )
76	25, 74, 75	mp2an 423	1 |- ( F u. G ) Struct <. A , D >.

Syntax hints:   /\ wa 103   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   \ cdif 3073   u. cun 3074   i^i cin 3075   C_ wss 3076   (/)c0 3368   {csn 3532   <.cop 3535   class class class wbr 3937   dom cdm 4547   Fun wfun 5125   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   < clt 7824   <_ cle 7825   NNcn 8744   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   ...cfz 9821   Struct cstr 11994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822  df-struct 12000

This theorem is referenced by: (None)