Theorem strleun 12484

Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strleun.f	|- F Struct <. A , B >.
strleun.g	|- G Struct <. C , D >.
strleun.l	|- B < C

Assertion

Ref	Expression
strleun	|- ( F u. G ) Struct <. A , D >.

Proof of Theorem strleun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strleun.f	. . . . . 6 |- F Struct <. A , B >.
2		isstructim 12408	. . . . . 6 |- ( F Struct <. A , B >. -> ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( A ... B ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( A ... B ) )
4	3	simp1i 996	. . . 4 |- ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B )
5	4	simp1i 996	. . 3 |- A e. NN
6		strleun.g	. . . . . 6 |- G Struct <. C , D >.
7		isstructim 12408	. . . . . 6 |- ( G Struct <. C , D >. -> ( ( C e. NN /\ D e. NN /\ C <_ D ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( C ... D ) ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( C e. NN /\ D e. NN /\ C <_ D ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( C ... D ) )
9	8	simp1i 996	. . . 4 |- ( C e. NN /\ D e. NN /\ C <_ D )
10	9	simp2i 997	. . 3 |- D e. NN
11	4	simp3i 998	. . . . 5 |- A <_ B
12	4	simp2i 997	. . . . . . 7 |- B e. NN
13	12	nnrei 8866	. . . . . 6 |- B e. RR
14	9	simp1i 996	. . . . . . 7 |- C e. NN
15	14	nnrei 8866	. . . . . 6 |- C e. RR
16		strleun.l	. . . . . 6 |- B < C
17	13, 15, 16	ltleii 8001	. . . . 5 |- B <_ C
18	5	nnrei 8866	. . . . . 6 |- A e. RR
19	18, 13, 15	letri 8006	. . . . 5 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C )
20	11, 17, 19	mp2an 423	. . . 4 |- A <_ C
21	9	simp3i 998	. . . 4 |- C <_ D
22	10	nnrei 8866	. . . . 5 |- D e. RR
23	18, 15, 22	letri 8006	. . . 4 |- ( ( A <_ C /\ C <_ D ) -> A <_ D )
24	20, 21, 23	mp2an 423	. . 3 |- A <_ D
25	5, 10, 24	3pm3.2i 1165	. 2 |- ( A e. NN /\ D e. NN /\ A <_ D )
26	3	simp2i 997	. . . . . 6 |- Fun ( F \ { (/) } )
27	8	simp2i 997	. . . . . 6 |- Fun ( G \ { (/) } )
28	26, 27	pm3.2i 270	. . . . 5 |- ( Fun ( F \ { (/) } ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) )
29		difss 3248	. . . . . . . . 9 |- ( F \ { (/) } ) C_ F
30		dmss 4803	. . . . . . . . 9 |- ( ( F \ { (/) } ) C_ F -> dom ( F \ { (/) } ) C_ dom F )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- dom ( F \ { (/) } ) C_ dom F
32	3	simp3i 998	. . . . . . . 8 |- dom F C_ ( A ... B )
33	31, 32	sstri 3151	. . . . . . 7 |- dom ( F \ { (/) } ) C_ ( A ... B )
34		difss 3248	. . . . . . . . 9 |- ( G \ { (/) } ) C_ G
35		dmss 4803	. . . . . . . . 9 |- ( ( G \ { (/) } ) C_ G -> dom ( G \ { (/) } ) C_ dom G )
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- dom ( G \ { (/) } ) C_ dom G
37	8	simp3i 998	. . . . . . . 8 |- dom G C_ ( C ... D )
38	36, 37	sstri 3151	. . . . . . 7 |- dom ( G \ { (/) } ) C_ ( C ... D )
39		ss2in 3350	. . . . . . 7 |- ( ( dom ( F \ { (/) } ) C_ ( A ... B ) /\ dom ( G \ { (/) } ) C_ ( C ... D ) ) -> ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) C_ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) )
40	33, 38, 39	mp2an 423	. . . . . 6 |- ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) C_ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) )
41		fzdisj 9987	. . . . . . 7 |- ( B < C -> ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) = (/) )
42	16, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) = (/)
43		sseq0 3450	. . . . . 6 |- ( ( ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) C_ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) /\ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) = (/) ) -> ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) = (/) )
44	40, 42, 43	mp2an 423	. . . . 5 |- ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) = (/)
45		funun 5232	. . . . 5 |- ( ( ( Fun ( F \ { (/) } ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) = (/) ) -> Fun ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) ) )
46	28, 44, 45	mp2an 423	. . . 4 |- Fun ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) )
47		difundir 3375	. . . . 5 |- ( ( F u. G ) \ { (/) } ) = ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) )
48	47	funeqi 5209	. . . 4 |- ( Fun ( ( F u. G ) \ { (/) } ) <-> Fun ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) ) )
49	46, 48	mpbir 145	. . 3 |- Fun ( ( F u. G ) \ { (/) } )
50		structex 12406	. . . . 5 |- ( F Struct <. A , B >. -> F e. _V )
51	1, 50	ax-mp 5	. . . 4 |- F e. _V
52		structex 12406	. . . . 5 |- ( G Struct <. C , D >. -> G e. _V )
53	6, 52	ax-mp 5	. . . 4 |- G e. _V
54	51, 53	unex 4419	. . 3 |- ( F u. G ) e. _V
55		dmun 4811	. . . 4 |- dom ( F u. G ) = ( dom F u. dom G )
56	12	nnzi 9212	. . . . . . . 8 |- B e. ZZ
57	10	nnzi 9212	. . . . . . . 8 |- D e. ZZ
58	13, 15, 22	letri 8006	. . . . . . . . 9 |- ( ( B <_ C /\ C <_ D ) -> B <_ D )
59	17, 21, 58	mp2an 423	. . . . . . . 8 |- B <_ D
60		eluz2 9472	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( ZZ>= ` B ) <-> ( B e. ZZ /\ D e. ZZ /\ B <_ D ) )
61	56, 57, 59, 60	mpbir3an 1169	. . . . . . 7 |- D e. ( ZZ>= ` B )
62		fzss2 9999	. . . . . . 7 |- ( D e. ( ZZ>= ` B ) -> ( A ... B ) C_ ( A ... D ) )
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( A ... B ) C_ ( A ... D )
64	32, 63	sstri 3151	. . . . 5 |- dom F C_ ( A ... D )
65	5	nnzi 9212	. . . . . . . 8 |- A e. ZZ
66	14	nnzi 9212	. . . . . . . 8 |- C e. ZZ
67		eluz2 9472	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( ZZ>= ` A ) <-> ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) )
68	65, 66, 20, 67	mpbir3an 1169	. . . . . . 7 |- C e. ( ZZ>= ` A )
69		fzss1 9998	. . . . . . 7 |- ( C e. ( ZZ>= ` A ) -> ( C ... D ) C_ ( A ... D ) )
70	68, 69	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( C ... D ) C_ ( A ... D )
71	37, 70	sstri 3151	. . . . 5 |- dom G C_ ( A ... D )
72	64, 71	unssi 3297	. . . 4 |- ( dom F u. dom G ) C_ ( A ... D )
73	55, 72	eqsstri 3174	. . 3 |- dom ( F u. G ) C_ ( A ... D )
74	49, 54, 73	3pm3.2i 1165	. 2 |- ( Fun ( ( F u. G ) \ { (/) } ) /\ ( F u. G ) e. _V /\ dom ( F u. G ) C_ ( A ... D ) )
75		isstructr 12409	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ D e. NN /\ A <_ D ) /\ ( Fun ( ( F u. G ) \ { (/) } ) /\ ( F u. G ) e. _V /\ dom ( F u. G ) C_ ( A ... D ) ) ) -> ( F u. G ) Struct <. A , D >. )
76	25, 74, 75	mp2an 423	1 |- ( F u. G ) Struct <. A , D >.

Syntax hints:   /\ wa 103   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   \ cdif 3113   u. cun 3114   i^i cin 3115   C_ wss 3116   (/)c0 3409   {csn 3576   <.cop 3579   class class class wbr 3982   dom cdm 4604   Fun wfun 5182   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   < clt 7933   <_ cle 7934   NNcn 8857   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   ...cfz 9944   Struct cstr 12390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945  df-struct 12396

This theorem is referenced by: (None)