Theorem strleun 12782

Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strleun.f	|- F Struct <. A , B >.
strleun.g	|- G Struct <. C , D >.
strleun.l	|- B < C

Assertion

Ref	Expression
strleun	|- ( F u. G ) Struct <. A , D >.

Proof of Theorem strleun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strleun.f	. . . . . 6 |- F Struct <. A , B >.
2		isstructim 12692	. . . . . 6 |- ( F Struct <. A , B >. -> ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( A ... B ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( A ... B ) )
4	3	simp1i 1008	. . . 4 |- ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B )
5	4	simp1i 1008	. . 3 |- A e. NN
6		strleun.g	. . . . . 6 |- G Struct <. C , D >.
7		isstructim 12692	. . . . . 6 |- ( G Struct <. C , D >. -> ( ( C e. NN /\ D e. NN /\ C <_ D ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( C ... D ) ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( C e. NN /\ D e. NN /\ C <_ D ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( C ... D ) )
9	8	simp1i 1008	. . . 4 |- ( C e. NN /\ D e. NN /\ C <_ D )
10	9	simp2i 1009	. . 3 |- D e. NN
11	4	simp3i 1010	. . . . 5 |- A <_ B
12	4	simp2i 1009	. . . . . . 7 |- B e. NN
13	12	nnrei 8999	. . . . . 6 |- B e. RR
14	9	simp1i 1008	. . . . . . 7 |- C e. NN
15	14	nnrei 8999	. . . . . 6 |- C e. RR
16		strleun.l	. . . . . 6 |- B < C
17	13, 15, 16	ltleii 8129	. . . . 5 |- B <_ C
18	5	nnrei 8999	. . . . . 6 |- A e. RR
19	18, 13, 15	letri 8134	. . . . 5 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C )
20	11, 17, 19	mp2an 426	. . . 4 |- A <_ C
21	9	simp3i 1010	. . . 4 |- C <_ D
22	10	nnrei 8999	. . . . 5 |- D e. RR
23	18, 15, 22	letri 8134	. . . 4 |- ( ( A <_ C /\ C <_ D ) -> A <_ D )
24	20, 21, 23	mp2an 426	. . 3 |- A <_ D
25	5, 10, 24	3pm3.2i 1177	. 2 |- ( A e. NN /\ D e. NN /\ A <_ D )
26	3	simp2i 1009	. . . . . 6 |- Fun ( F \ { (/) } )
27	8	simp2i 1009	. . . . . 6 |- Fun ( G \ { (/) } )
28	26, 27	pm3.2i 272	. . . . 5 |- ( Fun ( F \ { (/) } ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) )
29		difss 3289	. . . . . . . . 9 |- ( F \ { (/) } ) C_ F
30		dmss 4865	. . . . . . . . 9 |- ( ( F \ { (/) } ) C_ F -> dom ( F \ { (/) } ) C_ dom F )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- dom ( F \ { (/) } ) C_ dom F
32	3	simp3i 1010	. . . . . . . 8 |- dom F C_ ( A ... B )
33	31, 32	sstri 3192	. . . . . . 7 |- dom ( F \ { (/) } ) C_ ( A ... B )
34		difss 3289	. . . . . . . . 9 |- ( G \ { (/) } ) C_ G
35		dmss 4865	. . . . . . . . 9 |- ( ( G \ { (/) } ) C_ G -> dom ( G \ { (/) } ) C_ dom G )
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- dom ( G \ { (/) } ) C_ dom G
37	8	simp3i 1010	. . . . . . . 8 |- dom G C_ ( C ... D )
38	36, 37	sstri 3192	. . . . . . 7 |- dom ( G \ { (/) } ) C_ ( C ... D )
39		ss2in 3391	. . . . . . 7 |- ( ( dom ( F \ { (/) } ) C_ ( A ... B ) /\ dom ( G \ { (/) } ) C_ ( C ... D ) ) -> ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) C_ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) )
40	33, 38, 39	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) C_ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) )
41		fzdisj 10127	. . . . . . 7 |- ( B < C -> ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) = (/) )
42	16, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) = (/)
43		sseq0 3492	. . . . . 6 |- ( ( ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) C_ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) /\ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) = (/) ) -> ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) = (/) )
44	40, 42, 43	mp2an 426	. . . . 5 |- ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) = (/)
45		funun 5302	. . . . 5 |- ( ( ( Fun ( F \ { (/) } ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) = (/) ) -> Fun ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) ) )
46	28, 44, 45	mp2an 426	. . . 4 |- Fun ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) )
47		difundir 3416	. . . . 5 |- ( ( F u. G ) \ { (/) } ) = ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) )
48	47	funeqi 5279	. . . 4 |- ( Fun ( ( F u. G ) \ { (/) } ) <-> Fun ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) ) )
49	46, 48	mpbir 146	. . 3 |- Fun ( ( F u. G ) \ { (/) } )
50		structex 12690	. . . . 5 |- ( F Struct <. A , B >. -> F e. _V )
51	1, 50	ax-mp 5	. . . 4 |- F e. _V
52		structex 12690	. . . . 5 |- ( G Struct <. C , D >. -> G e. _V )
53	6, 52	ax-mp 5	. . . 4 |- G e. _V
54	51, 53	unex 4476	. . 3 |- ( F u. G ) e. _V
55		dmun 4873	. . . 4 |- dom ( F u. G ) = ( dom F u. dom G )
56	12	nnzi 9347	. . . . . . . 8 |- B e. ZZ
57	10	nnzi 9347	. . . . . . . 8 |- D e. ZZ
58	13, 15, 22	letri 8134	. . . . . . . . 9 |- ( ( B <_ C /\ C <_ D ) -> B <_ D )
59	17, 21, 58	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- B <_ D
60		eluz2 9607	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( ZZ>= ` B ) <-> ( B e. ZZ /\ D e. ZZ /\ B <_ D ) )
61	56, 57, 59, 60	mpbir3an 1181	. . . . . . 7 |- D e. ( ZZ>= ` B )
62		fzss2 10139	. . . . . . 7 |- ( D e. ( ZZ>= ` B ) -> ( A ... B ) C_ ( A ... D ) )
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( A ... B ) C_ ( A ... D )
64	32, 63	sstri 3192	. . . . 5 |- dom F C_ ( A ... D )
65	5	nnzi 9347	. . . . . . . 8 |- A e. ZZ
66	14	nnzi 9347	. . . . . . . 8 |- C e. ZZ
67		eluz2 9607	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( ZZ>= ` A ) <-> ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) )
68	65, 66, 20, 67	mpbir3an 1181	. . . . . . 7 |- C e. ( ZZ>= ` A )
69		fzss1 10138	. . . . . . 7 |- ( C e. ( ZZ>= ` A ) -> ( C ... D ) C_ ( A ... D ) )
70	68, 69	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( C ... D ) C_ ( A ... D )
71	37, 70	sstri 3192	. . . . 5 |- dom G C_ ( A ... D )
72	64, 71	unssi 3338	. . . 4 |- ( dom F u. dom G ) C_ ( A ... D )
73	55, 72	eqsstri 3215	. . 3 |- dom ( F u. G ) C_ ( A ... D )
74	49, 54, 73	3pm3.2i 1177	. 2 |- ( Fun ( ( F u. G ) \ { (/) } ) /\ ( F u. G ) e. _V /\ dom ( F u. G ) C_ ( A ... D ) )
75		isstructr 12693	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ D e. NN /\ A <_ D ) /\ ( Fun ( ( F u. G ) \ { (/) } ) /\ ( F u. G ) e. _V /\ dom ( F u. G ) C_ ( A ... D ) ) ) -> ( F u. G ) Struct <. A , D >. )
76	25, 74, 75	mp2an 426	1 |- ( F u. G ) Struct <. A , D >.

Syntax hints:   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   \ cdif 3154   u. cun 3155   i^i cin 3156   C_ wss 3157   (/)c0 3450   {csn 3622   <.cop 3625   class class class wbr 4033   dom cdm 4663   Fun wfun 5252   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   < clt 8061   <_ cle 8062   NNcn 8990   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   ...cfz 10083   Struct cstr 12674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-struct 12680

This theorem is referenced by:  cnfldstr  14114