Theorem strleun 11732

Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strleun.f	|- F Struct <. A , B >.
strleun.g	|- G Struct <. C , D >.
strleun.l	|- B < C

Assertion

Ref	Expression
strleun	|- ( F u. G ) Struct <. A , D >.

Proof of Theorem strleun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strleun.f	. . . . . 6 |- F Struct <. A , B >.
2		isstructim 11657	. . . . . 6 |- ( F Struct <. A , B >. -> ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( A ... B ) ) )
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( A ... B ) )
4	3	simp1i 955	. . . 4 |- ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B )
5	4	simp1i 955	. . 3 |- A e. NN
6		strleun.g	. . . . . 6 |- G Struct <. C , D >.
7		isstructim 11657	. . . . . 6 |- ( G Struct <. C , D >. -> ( ( C e. NN /\ D e. NN /\ C <_ D ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( C ... D ) ) )
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( ( C e. NN /\ D e. NN /\ C <_ D ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( C ... D ) )
9	8	simp1i 955	. . . 4 |- ( C e. NN /\ D e. NN /\ C <_ D )
10	9	simp2i 956	. . 3 |- D e. NN
11	4	simp3i 957	. . . . 5 |- A <_ B
12	4	simp2i 956	. . . . . . 7 |- B e. NN
13	12	nnrei 8529	. . . . . 6 |- B e. RR
14	9	simp1i 955	. . . . . . 7 |- C e. NN
15	14	nnrei 8529	. . . . . 6 |- C e. RR
16		strleun.l	. . . . . 6 |- B < C
17	13, 15, 16	ltleii 7684	. . . . 5 |- B <_ C
18	5	nnrei 8529	. . . . . 6 |- A e. RR
19	18, 13, 15	letri 7689	. . . . 5 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C )
20	11, 17, 19	mp2an 418	. . . 4 |- A <_ C
21	9	simp3i 957	. . . 4 |- C <_ D
22	10	nnrei 8529	. . . . 5 |- D e. RR
23	18, 15, 22	letri 7689	. . . 4 |- ( ( A <_ C /\ C <_ D ) -> A <_ D )
24	20, 21, 23	mp2an 418	. . 3 |- A <_ D
25	5, 10, 24	3pm3.2i 1124	. 2 |- ( A e. NN /\ D e. NN /\ A <_ D )
26	3	simp2i 956	. . . . . 6 |- Fun ( F \ { (/) } )
27	8	simp2i 956	. . . . . 6 |- Fun ( G \ { (/) } )
28	26, 27	pm3.2i 267	. . . . 5 |- ( Fun ( F \ { (/) } ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) )
29		difss 3141	. . . . . . . . 9 |- ( F \ { (/) } ) C_ F
30		dmss 4666	. . . . . . . . 9 |- ( ( F \ { (/) } ) C_ F -> dom ( F \ { (/) } ) C_ dom F )
31	29, 30	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- dom ( F \ { (/) } ) C_ dom F
32	3	simp3i 957	. . . . . . . 8 |- dom F C_ ( A ... B )
33	31, 32	sstri 3048	. . . . . . 7 |- dom ( F \ { (/) } ) C_ ( A ... B )
34		difss 3141	. . . . . . . . 9 |- ( G \ { (/) } ) C_ G
35		dmss 4666	. . . . . . . . 9 |- ( ( G \ { (/) } ) C_ G -> dom ( G \ { (/) } ) C_ dom G )
36	34, 35	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- dom ( G \ { (/) } ) C_ dom G
37	8	simp3i 957	. . . . . . . 8 |- dom G C_ ( C ... D )
38	36, 37	sstri 3048	. . . . . . 7 |- dom ( G \ { (/) } ) C_ ( C ... D )
39		ss2in 3243	. . . . . . 7 |- ( ( dom ( F \ { (/) } ) C_ ( A ... B ) /\ dom ( G \ { (/) } ) C_ ( C ... D ) ) -> ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) C_ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) )
40	33, 38, 39	mp2an 418	. . . . . 6 |- ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) C_ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) )
41		fzdisj 9615	. . . . . . 7 |- ( B < C -> ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) = (/) )
42	16, 41	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) = (/)
43		sseq0 3343	. . . . . 6 |- ( ( ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) C_ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) /\ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) = (/) ) -> ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) = (/) )
44	40, 42, 43	mp2an 418	. . . . 5 |- ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) = (/)
45		funun 5092	. . . . 5 |- ( ( ( Fun ( F \ { (/) } ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) = (/) ) -> Fun ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) ) )
46	28, 44, 45	mp2an 418	. . . 4 |- Fun ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) )
47		difundir 3268	. . . . 5 |- ( ( F u. G ) \ { (/) } ) = ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) )
48	47	funeqi 5070	. . . 4 |- ( Fun ( ( F u. G ) \ { (/) } ) <-> Fun ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) ) )
49	46, 48	mpbir 145	. . 3 |- Fun ( ( F u. G ) \ { (/) } )
50		structex 11655	. . . . 5 |- ( F Struct <. A , B >. -> F e. _V )
51	1, 50	ax-mp 7	. . . 4 |- F e. _V
52		structex 11655	. . . . 5 |- ( G Struct <. C , D >. -> G e. _V )
53	6, 52	ax-mp 7	. . . 4 |- G e. _V
54	51, 53	unex 4291	. . 3 |- ( F u. G ) e. _V
55		dmun 4674	. . . 4 |- dom ( F u. G ) = ( dom F u. dom G )
56	12	nnzi 8869	. . . . . . . 8 |- B e. ZZ
57	10	nnzi 8869	. . . . . . . 8 |- D e. ZZ
58	13, 15, 22	letri 7689	. . . . . . . . 9 |- ( ( B <_ C /\ C <_ D ) -> B <_ D )
59	17, 21, 58	mp2an 418	. . . . . . . 8 |- B <_ D
60		eluz2 9124	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( ZZ>= ` B ) <-> ( B e. ZZ /\ D e. ZZ /\ B <_ D ) )
61	56, 57, 59, 60	mpbir3an 1128	. . . . . . 7 |- D e. ( ZZ>= ` B )
62		fzss2 9627	. . . . . . 7 |- ( D e. ( ZZ>= ` B ) -> ( A ... B ) C_ ( A ... D ) )
63	61, 62	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ( A ... B ) C_ ( A ... D )
64	32, 63	sstri 3048	. . . . 5 |- dom F C_ ( A ... D )
65	5	nnzi 8869	. . . . . . . 8 |- A e. ZZ
66	14	nnzi 8869	. . . . . . . 8 |- C e. ZZ
67		eluz2 9124	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( ZZ>= ` A ) <-> ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) )
68	65, 66, 20, 67	mpbir3an 1128	. . . . . . 7 |- C e. ( ZZ>= ` A )
69		fzss1 9626	. . . . . . 7 |- ( C e. ( ZZ>= ` A ) -> ( C ... D ) C_ ( A ... D ) )
70	68, 69	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ( C ... D ) C_ ( A ... D )
71	37, 70	sstri 3048	. . . . 5 |- dom G C_ ( A ... D )
72	64, 71	unssi 3190	. . . 4 |- ( dom F u. dom G ) C_ ( A ... D )
73	55, 72	eqsstri 3071	. . 3 |- dom ( F u. G ) C_ ( A ... D )
74	49, 54, 73	3pm3.2i 1124	. 2 |- ( Fun ( ( F u. G ) \ { (/) } ) /\ ( F u. G ) e. _V /\ dom ( F u. G ) C_ ( A ... D ) )
75		isstructr 11658	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ D e. NN /\ A <_ D ) /\ ( Fun ( ( F u. G ) \ { (/) } ) /\ ( F u. G ) e. _V /\ dom ( F u. G ) C_ ( A ... D ) ) ) -> ( F u. G ) Struct <. A , D >. )
76	25, 74, 75	mp2an 418	1 |- ( F u. G ) Struct <. A , D >.

Syntax hints:   /\ wa 103   /\ w3a 927   = wceq 1296   e. wcel 1445   _Vcvv 2633   \ cdif 3010   u. cun 3011   i^i cin 3012   C_ wss 3013   (/)c0 3302   {csn 3466   <.cop 3469   class class class wbr 3867   dom cdm 4467   Fun wfun 5043   ` cfv 5049  (class class class)co 5690   < clt 7619   <_ cle 7620   NNcn 8520   ZZcz 8848   ZZ>=cuz 9118   ...cfz 9573   Struct cstr 11639

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574  df-struct 11645

This theorem is referenced by: (None)