Theorem strleun 12037

Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strleun.f	|- F Struct <. A , B >.
strleun.g	|- G Struct <. C , D >.
strleun.l	|- B < C

Assertion

Ref	Expression
strleun	|- ( F u. G ) Struct <. A , D >.

Proof of Theorem strleun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strleun.f	. . . . . 6 |- F Struct <. A , B >.
2		isstructim 11962	. . . . . 6 |- ( F Struct <. A , B >. -> ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( A ... B ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( A ... B ) )
4	3	simp1i 990	. . . 4 |- ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B )
5	4	simp1i 990	. . 3 |- A e. NN
6		strleun.g	. . . . . 6 |- G Struct <. C , D >.
7		isstructim 11962	. . . . . 6 |- ( G Struct <. C , D >. -> ( ( C e. NN /\ D e. NN /\ C <_ D ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( C ... D ) ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( C e. NN /\ D e. NN /\ C <_ D ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( C ... D ) )
9	8	simp1i 990	. . . 4 |- ( C e. NN /\ D e. NN /\ C <_ D )
10	9	simp2i 991	. . 3 |- D e. NN
11	4	simp3i 992	. . . . 5 |- A <_ B
12	4	simp2i 991	. . . . . . 7 |- B e. NN
13	12	nnrei 8722	. . . . . 6 |- B e. RR
14	9	simp1i 990	. . . . . . 7 |- C e. NN
15	14	nnrei 8722	. . . . . 6 |- C e. RR
16		strleun.l	. . . . . 6 |- B < C
17	13, 15, 16	ltleii 7859	. . . . 5 |- B <_ C
18	5	nnrei 8722	. . . . . 6 |- A e. RR
19	18, 13, 15	letri 7864	. . . . 5 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C )
20	11, 17, 19	mp2an 422	. . . 4 |- A <_ C
21	9	simp3i 992	. . . 4 |- C <_ D
22	10	nnrei 8722	. . . . 5 |- D e. RR
23	18, 15, 22	letri 7864	. . . 4 |- ( ( A <_ C /\ C <_ D ) -> A <_ D )
24	20, 21, 23	mp2an 422	. . 3 |- A <_ D
25	5, 10, 24	3pm3.2i 1159	. 2 |- ( A e. NN /\ D e. NN /\ A <_ D )
26	3	simp2i 991	. . . . . 6 |- Fun ( F \ { (/) } )
27	8	simp2i 991	. . . . . 6 |- Fun ( G \ { (/) } )
28	26, 27	pm3.2i 270	. . . . 5 |- ( Fun ( F \ { (/) } ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) )
29		difss 3197	. . . . . . . . 9 |- ( F \ { (/) } ) C_ F
30		dmss 4733	. . . . . . . . 9 |- ( ( F \ { (/) } ) C_ F -> dom ( F \ { (/) } ) C_ dom F )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- dom ( F \ { (/) } ) C_ dom F
32	3	simp3i 992	. . . . . . . 8 |- dom F C_ ( A ... B )
33	31, 32	sstri 3101	. . . . . . 7 |- dom ( F \ { (/) } ) C_ ( A ... B )
34		difss 3197	. . . . . . . . 9 |- ( G \ { (/) } ) C_ G
35		dmss 4733	. . . . . . . . 9 |- ( ( G \ { (/) } ) C_ G -> dom ( G \ { (/) } ) C_ dom G )
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- dom ( G \ { (/) } ) C_ dom G
37	8	simp3i 992	. . . . . . . 8 |- dom G C_ ( C ... D )
38	36, 37	sstri 3101	. . . . . . 7 |- dom ( G \ { (/) } ) C_ ( C ... D )
39		ss2in 3299	. . . . . . 7 |- ( ( dom ( F \ { (/) } ) C_ ( A ... B ) /\ dom ( G \ { (/) } ) C_ ( C ... D ) ) -> ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) C_ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) )
40	33, 38, 39	mp2an 422	. . . . . 6 |- ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) C_ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) )
41		fzdisj 9825	. . . . . . 7 |- ( B < C -> ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) = (/) )
42	16, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) = (/)
43		sseq0 3399	. . . . . 6 |- ( ( ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) C_ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) /\ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) = (/) ) -> ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) = (/) )
44	40, 42, 43	mp2an 422	. . . . 5 |- ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) = (/)
45		funun 5162	. . . . 5 |- ( ( ( Fun ( F \ { (/) } ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) = (/) ) -> Fun ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) ) )
46	28, 44, 45	mp2an 422	. . . 4 |- Fun ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) )
47		difundir 3324	. . . . 5 |- ( ( F u. G ) \ { (/) } ) = ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) )
48	47	funeqi 5139	. . . 4 |- ( Fun ( ( F u. G ) \ { (/) } ) <-> Fun ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) ) )
49	46, 48	mpbir 145	. . 3 |- Fun ( ( F u. G ) \ { (/) } )
50		structex 11960	. . . . 5 |- ( F Struct <. A , B >. -> F e. _V )
51	1, 50	ax-mp 5	. . . 4 |- F e. _V
52		structex 11960	. . . . 5 |- ( G Struct <. C , D >. -> G e. _V )
53	6, 52	ax-mp 5	. . . 4 |- G e. _V
54	51, 53	unex 4357	. . 3 |- ( F u. G ) e. _V
55		dmun 4741	. . . 4 |- dom ( F u. G ) = ( dom F u. dom G )
56	12	nnzi 9068	. . . . . . . 8 |- B e. ZZ
57	10	nnzi 9068	. . . . . . . 8 |- D e. ZZ
58	13, 15, 22	letri 7864	. . . . . . . . 9 |- ( ( B <_ C /\ C <_ D ) -> B <_ D )
59	17, 21, 58	mp2an 422	. . . . . . . 8 |- B <_ D
60		eluz2 9325	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( ZZ>= ` B ) <-> ( B e. ZZ /\ D e. ZZ /\ B <_ D ) )
61	56, 57, 59, 60	mpbir3an 1163	. . . . . . 7 |- D e. ( ZZ>= ` B )
62		fzss2 9837	. . . . . . 7 |- ( D e. ( ZZ>= ` B ) -> ( A ... B ) C_ ( A ... D ) )
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( A ... B ) C_ ( A ... D )
64	32, 63	sstri 3101	. . . . 5 |- dom F C_ ( A ... D )
65	5	nnzi 9068	. . . . . . . 8 |- A e. ZZ
66	14	nnzi 9068	. . . . . . . 8 |- C e. ZZ
67		eluz2 9325	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( ZZ>= ` A ) <-> ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) )
68	65, 66, 20, 67	mpbir3an 1163	. . . . . . 7 |- C e. ( ZZ>= ` A )
69		fzss1 9836	. . . . . . 7 |- ( C e. ( ZZ>= ` A ) -> ( C ... D ) C_ ( A ... D ) )
70	68, 69	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( C ... D ) C_ ( A ... D )
71	37, 70	sstri 3101	. . . . 5 |- dom G C_ ( A ... D )
72	64, 71	unssi 3246	. . . 4 |- ( dom F u. dom G ) C_ ( A ... D )
73	55, 72	eqsstri 3124	. . 3 |- dom ( F u. G ) C_ ( A ... D )
74	49, 54, 73	3pm3.2i 1159	. 2 |- ( Fun ( ( F u. G ) \ { (/) } ) /\ ( F u. G ) e. _V /\ dom ( F u. G ) C_ ( A ... D ) )
75		isstructr 11963	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ D e. NN /\ A <_ D ) /\ ( Fun ( ( F u. G ) \ { (/) } ) /\ ( F u. G ) e. _V /\ dom ( F u. G ) C_ ( A ... D ) ) ) -> ( F u. G ) Struct <. A , D >. )
76	25, 74, 75	mp2an 422	1 |- ( F u. G ) Struct <. A , D >.

Syntax hints:   /\ wa 103   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   \ cdif 3063   u. cun 3064   i^i cin 3065   C_ wss 3066   (/)c0 3358   {csn 3522   <.cop 3525   class class class wbr 3924   dom cdm 4534   Fun wfun 5112   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   < clt 7793   <_ cle 7794   NNcn 8713   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319   ...cfz 9783   Struct cstr 11944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784  df-struct 11950

This theorem is referenced by: (None)