ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strleun Unicode version

Theorem strleun 12064
Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strleun.f  |-  F Struct  <. A ,  B >.
strleun.g  |-  G Struct  <. C ,  D >.
strleun.l  |-  B  < 
C
Assertion
Ref Expression
strleun  |-  ( F  u.  G ) Struct  <. A ,  D >.

Proof of Theorem strleun
StepHypRef Expression
1 strleun.f . . . . . 6  |-  F Struct  <. A ,  B >.
2 isstructim 11989 . . . . . 6  |-  ( F Struct  <. A ,  B >.  -> 
( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <_  B )  /\  Fun  ( F  \  { (/) } )  /\  dom  F  C_  ( A ... B
) ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <_  B )  /\  Fun  ( F  \  { (/) } )  /\  dom  F  C_  ( A ... B
) )
43simp1i 990 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <_  B )
54simp1i 990 . . 3  |-  A  e.  NN
6 strleun.g . . . . . 6  |-  G Struct  <. C ,  D >.
7 isstructim 11989 . . . . . 6  |-  ( G Struct  <. C ,  D >.  -> 
( ( C  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  C  <_  D )  /\  Fun  ( G  \  { (/) } )  /\  dom  G  C_  ( C ... D
) ) )
86, 7ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  C  <_  D )  /\  Fun  ( G  \  { (/) } )  /\  dom  G  C_  ( C ... D
) )
98simp1i 990 . . . 4  |-  ( C  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  C  <_  D )
109simp2i 991 . . 3  |-  D  e.  NN
114simp3i 992 . . . . 5  |-  A  <_  B
124simp2i 991 . . . . . . 7  |-  B  e.  NN
1312nnrei 8743 . . . . . 6  |-  B  e.  RR
149simp1i 990 . . . . . . 7  |-  C  e.  NN
1514nnrei 8743 . . . . . 6  |-  C  e.  RR
16 strleun.l . . . . . 6  |-  B  < 
C
1713, 15, 16ltleii 7880 . . . . 5  |-  B  <_  C
185nnrei 8743 . . . . . 6  |-  A  e.  RR
1918, 13, 15letri 7885 . . . . 5  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C )
2011, 17, 19mp2an 422 . . . 4  |-  A  <_  C
219simp3i 992 . . . 4  |-  C  <_  D
2210nnrei 8743 . . . . 5  |-  D  e.  RR
2318, 15, 22letri 7885 . . . 4  |-  ( ( A  <_  C  /\  C  <_  D )  ->  A  <_  D )
2420, 21, 23mp2an 422 . . 3  |-  A  <_  D
255, 10, 243pm3.2i 1159 . 2  |-  ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  A  <_  D )
263simp2i 991 . . . . . 6  |-  Fun  ( F  \  { (/) } )
278simp2i 991 . . . . . 6  |-  Fun  ( G  \  { (/) } )
2826, 27pm3.2i 270 . . . . 5  |-  ( Fun  ( F  \  { (/)
} )  /\  Fun  ( G  \  { (/) } ) )
29 difss 3202 . . . . . . . . 9  |-  ( F 
\  { (/) } ) 
C_  F
30 dmss 4738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  \  { (/) } )  C_  F  ->  dom  ( F  \  { (/)
} )  C_  dom  F )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  dom  ( F  \  { (/) } ) 
C_  dom  F
323simp3i 992 . . . . . . . 8  |-  dom  F  C_  ( A ... B
)
3331, 32sstri 3106 . . . . . . 7  |-  dom  ( F  \  { (/) } ) 
C_  ( A ... B )
34 difss 3202 . . . . . . . . 9  |-  ( G 
\  { (/) } ) 
C_  G
35 dmss 4738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  \  { (/) } )  C_  G  ->  dom  ( G  \  { (/)
} )  C_  dom  G )
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  dom  ( G  \  { (/) } ) 
C_  dom  G
378simp3i 992 . . . . . . . 8  |-  dom  G  C_  ( C ... D
)
3836, 37sstri 3106 . . . . . . 7  |-  dom  ( G  \  { (/) } ) 
C_  ( C ... D )
39 ss2in 3304 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  ( F  \  { (/) } )  C_  ( A ... B )  /\  dom  ( G 
\  { (/) } ) 
C_  ( C ... D ) )  -> 
( dom  ( F  \  { (/) } )  i^i 
dom  ( G  \  { (/) } ) ) 
C_  ( ( A ... B )  i^i  ( C ... D
) ) )
4033, 38, 39mp2an 422 . . . . . 6  |-  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  C_  (
( A ... B
)  i^i  ( C ... D ) )
41 fzdisj 9846 . . . . . . 7  |-  ( B  <  C  ->  (
( A ... B
)  i^i  ( C ... D ) )  =  (/) )
4216, 41ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( A ... B )  i^i  ( C ... D ) )  =  (/)
43 sseq0 3404 . . . . . 6  |-  ( ( ( dom  ( F 
\  { (/) } )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) ) 
C_  ( ( A ... B )  i^i  ( C ... D
) )  /\  (
( A ... B
)  i^i  ( C ... D ) )  =  (/) )  ->  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  =  (/) )
4440, 42, 43mp2an 422 . . . . 5  |-  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  =  (/)
45 funun 5167 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  ( F 
\  { (/) } )  /\  Fun  ( G 
\  { (/) } ) )  /\  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  =  (/) )  ->  Fun  ( ( F  \  { (/) } )  u.  ( G  \  { (/) } ) ) )
4628, 44, 45mp2an 422 . . . 4  |-  Fun  (
( F  \  { (/)
} )  u.  ( G  \  { (/) } ) )
47 difundir 3329 . . . . 5  |-  ( ( F  u.  G ) 
\  { (/) } )  =  ( ( F 
\  { (/) } )  u.  ( G  \  { (/) } ) )
4847funeqi 5144 . . . 4  |-  ( Fun  ( ( F  u.  G )  \  { (/)
} )  <->  Fun  ( ( F  \  { (/) } )  u.  ( G 
\  { (/) } ) ) )
4946, 48mpbir 145 . . 3  |-  Fun  (
( F  u.  G
)  \  { (/) } )
50 structex 11987 . . . . 5  |-  ( F Struct  <. A ,  B >.  ->  F  e.  _V )
511, 50ax-mp 5 . . . 4  |-  F  e. 
_V
52 structex 11987 . . . . 5  |-  ( G Struct  <. C ,  D >.  ->  G  e.  _V )
536, 52ax-mp 5 . . . 4  |-  G  e. 
_V
5451, 53unex 4362 . . 3  |-  ( F  u.  G )  e. 
_V
55 dmun 4746 . . . 4  |-  dom  ( F  u.  G )  =  ( dom  F  u.  dom  G )
5612nnzi 9089 . . . . . . . 8  |-  B  e.  ZZ
5710nnzi 9089 . . . . . . . 8  |-  D  e.  ZZ
5813, 15, 22letri 7885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  <_  C  /\  C  <_  D )  ->  B  <_  D )
5917, 21, 58mp2an 422 . . . . . . . 8  |-  B  <_  D
60 eluz2 9346 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  B
)  <->  ( B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  B  <_  D ) )
6156, 57, 59, 60mpbir3an 1163 . . . . . . 7  |-  D  e.  ( ZZ>= `  B )
62 fzss2 9858 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  B
)  ->  ( A ... B )  C_  ( A ... D ) )
6361, 62ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A ... B )  C_  ( A ... D )
6432, 63sstri 3106 . . . . 5  |-  dom  F  C_  ( A ... D
)
655nnzi 9089 . . . . . . . 8  |-  A  e.  ZZ
6614nnzi 9089 . . . . . . . 8  |-  C  e.  ZZ
67 eluz2 9346 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  <->  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )
6865, 66, 20, 67mpbir3an 1163 . . . . . . 7  |-  C  e.  ( ZZ>= `  A )
69 fzss1 9857 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( C ... D )  C_  ( A ... D ) )
7068, 69ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( C ... D )  C_  ( A ... D )
7137, 70sstri 3106 . . . . 5  |-  dom  G  C_  ( A ... D
)
7264, 71unssi 3251 . . . 4  |-  ( dom 
F  u.  dom  G
)  C_  ( A ... D )
7355, 72eqsstri 3129 . . 3  |-  dom  ( F  u.  G )  C_  ( A ... D
)
7449, 54, 733pm3.2i 1159 . 2  |-  ( Fun  ( ( F  u.  G )  \  { (/)
} )  /\  ( F  u.  G )  e.  _V  /\  dom  ( F  u.  G )  C_  ( A ... D
) )
75 isstructr 11990 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  A  <_  D )  /\  ( Fun  ( ( F  u.  G )  \  { (/) } )  /\  ( F  u.  G
)  e.  _V  /\  dom  ( F  u.  G
)  C_  ( A ... D ) ) )  ->  ( F  u.  G ) Struct  <. A ,  D >. )
7625, 74, 75mp2an 422 1  |-  ( F  u.  G ) Struct  <. A ,  D >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   _Vcvv 2686    \ cdif 3068    u. cun 3069    i^i cin 3070    C_ wss 3071   (/)c0 3363   {csn 3527   <.cop 3530   class class class wbr 3929   dom cdm 4539   Fun wfun 5117   ` cfv 5123  (class class class)co 5774    < clt 7814    <_ cle 7815   NNcn 8734   ZZcz 9068   ZZ>=cuz 9340   ...cfz 9804   Struct cstr 11971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-addcom 7734  ax-addass 7736  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-ltadd 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-inn 8735  df-z 9069  df-uz 9341  df-fz 9805  df-struct 11977
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator