Theorem strleun 13180

Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strleun.f	|- F Struct <. A , B >.
strleun.g	|- G Struct <. C , D >.
strleun.l	|- B < C

Assertion

Ref	Expression
strleun	|- ( F u. G ) Struct <. A , D >.

Proof of Theorem strleun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strleun.f	. . . . . 6 |- F Struct <. A , B >.
2		isstructim 13089	. . . . . 6 |- ( F Struct <. A , B >. -> ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( A ... B ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( A ... B ) )
4	3	simp1i 1030	. . . 4 |- ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B )
5	4	simp1i 1030	. . 3 |- A e. NN
6		strleun.g	. . . . . 6 |- G Struct <. C , D >.
7		isstructim 13089	. . . . . 6 |- ( G Struct <. C , D >. -> ( ( C e. NN /\ D e. NN /\ C <_ D ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( C ... D ) ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( C e. NN /\ D e. NN /\ C <_ D ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( C ... D ) )
9	8	simp1i 1030	. . . 4 |- ( C e. NN /\ D e. NN /\ C <_ D )
10	9	simp2i 1031	. . 3 |- D e. NN
11	4	simp3i 1032	. . . . 5 |- A <_ B
12	4	simp2i 1031	. . . . . . 7 |- B e. NN
13	12	nnrei 9145	. . . . . 6 |- B e. RR
14	9	simp1i 1030	. . . . . . 7 |- C e. NN
15	14	nnrei 9145	. . . . . 6 |- C e. RR
16		strleun.l	. . . . . 6 |- B < C
17	13, 15, 16	ltleii 8275	. . . . 5 |- B <_ C
18	5	nnrei 9145	. . . . . 6 |- A e. RR
19	18, 13, 15	letri 8280	. . . . 5 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C )
20	11, 17, 19	mp2an 426	. . . 4 |- A <_ C
21	9	simp3i 1032	. . . 4 |- C <_ D
22	10	nnrei 9145	. . . . 5 |- D e. RR
23	18, 15, 22	letri 8280	. . . 4 |- ( ( A <_ C /\ C <_ D ) -> A <_ D )
24	20, 21, 23	mp2an 426	. . 3 |- A <_ D
25	5, 10, 24	3pm3.2i 1199	. 2 |- ( A e. NN /\ D e. NN /\ A <_ D )
26	3	simp2i 1031	. . . . . 6 |- Fun ( F \ { (/) } )
27	8	simp2i 1031	. . . . . 6 |- Fun ( G \ { (/) } )
28	26, 27	pm3.2i 272	. . . . 5 |- ( Fun ( F \ { (/) } ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) )
29		difss 3331	. . . . . . . . 9 |- ( F \ { (/) } ) C_ F
30		dmss 4928	. . . . . . . . 9 |- ( ( F \ { (/) } ) C_ F -> dom ( F \ { (/) } ) C_ dom F )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- dom ( F \ { (/) } ) C_ dom F
32	3	simp3i 1032	. . . . . . . 8 |- dom F C_ ( A ... B )
33	31, 32	sstri 3234	. . . . . . 7 |- dom ( F \ { (/) } ) C_ ( A ... B )
34		difss 3331	. . . . . . . . 9 |- ( G \ { (/) } ) C_ G
35		dmss 4928	. . . . . . . . 9 |- ( ( G \ { (/) } ) C_ G -> dom ( G \ { (/) } ) C_ dom G )
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- dom ( G \ { (/) } ) C_ dom G
37	8	simp3i 1032	. . . . . . . 8 |- dom G C_ ( C ... D )
38	36, 37	sstri 3234	. . . . . . 7 |- dom ( G \ { (/) } ) C_ ( C ... D )
39		ss2in 3433	. . . . . . 7 |- ( ( dom ( F \ { (/) } ) C_ ( A ... B ) /\ dom ( G \ { (/) } ) C_ ( C ... D ) ) -> ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) C_ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) )
40	33, 38, 39	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) C_ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) )
41		fzdisj 10280	. . . . . . 7 |- ( B < C -> ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) = (/) )
42	16, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) = (/)
43		sseq0 3534	. . . . . 6 |- ( ( ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) C_ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) /\ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) = (/) ) -> ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) = (/) )
44	40, 42, 43	mp2an 426	. . . . 5 |- ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) = (/)
45		funun 5368	. . . . 5 |- ( ( ( Fun ( F \ { (/) } ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) = (/) ) -> Fun ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) ) )
46	28, 44, 45	mp2an 426	. . . 4 |- Fun ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) )
47		difundir 3458	. . . . 5 |- ( ( F u. G ) \ { (/) } ) = ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) )
48	47	funeqi 5345	. . . 4 |- ( Fun ( ( F u. G ) \ { (/) } ) <-> Fun ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) ) )
49	46, 48	mpbir 146	. . 3 |- Fun ( ( F u. G ) \ { (/) } )
50		structex 13087	. . . . 5 |- ( F Struct <. A , B >. -> F e. _V )
51	1, 50	ax-mp 5	. . . 4 |- F e. _V
52		structex 13087	. . . . 5 |- ( G Struct <. C , D >. -> G e. _V )
53	6, 52	ax-mp 5	. . . 4 |- G e. _V
54	51, 53	unex 4536	. . 3 |- ( F u. G ) e. _V
55		dmun 4936	. . . 4 |- dom ( F u. G ) = ( dom F u. dom G )
56	12	nnzi 9493	. . . . . . . 8 |- B e. ZZ
57	10	nnzi 9493	. . . . . . . 8 |- D e. ZZ
58	13, 15, 22	letri 8280	. . . . . . . . 9 |- ( ( B <_ C /\ C <_ D ) -> B <_ D )
59	17, 21, 58	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- B <_ D
60		eluz2 9754	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( ZZ>= ` B ) <-> ( B e. ZZ /\ D e. ZZ /\ B <_ D ) )
61	56, 57, 59, 60	mpbir3an 1203	. . . . . . 7 |- D e. ( ZZ>= ` B )
62		fzss2 10292	. . . . . . 7 |- ( D e. ( ZZ>= ` B ) -> ( A ... B ) C_ ( A ... D ) )
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( A ... B ) C_ ( A ... D )
64	32, 63	sstri 3234	. . . . 5 |- dom F C_ ( A ... D )
65	5	nnzi 9493	. . . . . . . 8 |- A e. ZZ
66	14	nnzi 9493	. . . . . . . 8 |- C e. ZZ
67		eluz2 9754	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( ZZ>= ` A ) <-> ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) )
68	65, 66, 20, 67	mpbir3an 1203	. . . . . . 7 |- C e. ( ZZ>= ` A )
69		fzss1 10291	. . . . . . 7 |- ( C e. ( ZZ>= ` A ) -> ( C ... D ) C_ ( A ... D ) )
70	68, 69	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( C ... D ) C_ ( A ... D )
71	37, 70	sstri 3234	. . . . 5 |- dom G C_ ( A ... D )
72	64, 71	unssi 3380	. . . 4 |- ( dom F u. dom G ) C_ ( A ... D )
73	55, 72	eqsstri 3257	. . 3 |- dom ( F u. G ) C_ ( A ... D )
74	49, 54, 73	3pm3.2i 1199	. 2 |- ( Fun ( ( F u. G ) \ { (/) } ) /\ ( F u. G ) e. _V /\ dom ( F u. G ) C_ ( A ... D ) )
75		isstructr 13090	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ D e. NN /\ A <_ D ) /\ ( Fun ( ( F u. G ) \ { (/) } ) /\ ( F u. G ) e. _V /\ dom ( F u. G ) C_ ( A ... D ) ) ) -> ( F u. G ) Struct <. A , D >. )
76	25, 74, 75	mp2an 426	1 |- ( F u. G ) Struct <. A , D >.

Syntax hints:   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   \ cdif 3195   u. cun 3196   i^i cin 3197   C_ wss 3198   (/)c0 3492   {csn 3667   <.cop 3670   class class class wbr 4086   dom cdm 4723   Fun wfun 5318   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   < clt 8207   <_ cle 8208   NNcn 9136   ZZcz 9472   ZZ>=cuz 9748   ...cfz 10236   Struct cstr 13071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-inn 9137  df-z 9473  df-uz 9749  df-fz 10237  df-struct 13077

This theorem is referenced by:  cnfldstr  14565