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Theorem finomni 6960
Description: A finite set is omniscient. Remark right after Definition 3.1 of [Pierik], p. 14. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
finomni  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e. Omni )

Proof of Theorem finomni
Dummy variables  w  y  z  f  g  x  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2175 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w  e. Omni 
<->  (/)  e. Omni ) )
2 eleq1 2175 . 2  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e. Omni  <->  y  e. Omni )
)
3 eleq1 2175 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( w  e. Omni  <->  ( y  u.  { z } )  e. Omni )
)
4 eleq1 2175 . 2  |-  ( w  =  A  ->  (
w  e. Omni  <->  A  e. Omni ) )
5 0ex 4013 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
6 isomni 6956 . . . 4  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  e. Omni  <->  A. f
( f : (/) --> 2o 
->  ( E. x  e.  (/)  ( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  (/)  ( f `
 x )  =  1o ) ) ) )
75, 6ax-mp 7 . . 3  |-  ( (/)  e. Omni  <->  A. f ( f :
(/) --> 2o  ->  ( E. x  e.  (/)  ( f `
 x )  =  (/)  \/  A. x  e.  (/)  ( f `  x
)  =  1o ) ) )
8 ral0 3428 . . . . 5  |-  A. x  e.  (/)  ( f `  x )  =  1o
98olci 704 . . . 4  |-  ( E. x  e.  (/)  ( f `
 x )  =  (/)  \/  A. x  e.  (/)  ( f `  x
)  =  1o )
109a1i 9 . . 3  |-  ( f : (/) --> 2o  ->  ( E. x  e.  (/)  ( f `
 x )  =  (/)  \/  A. x  e.  (/)  ( f `  x
)  =  1o ) )
117, 10mpgbir 1410 . 2  |-  (/)  e. Omni
12 elun1 3207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  y  ->  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )
1312ad2antlr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  x  e.  y )  /\  (
( g  |`  y
) `  x )  =  (/) )  ->  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )
14 fvres 5397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  y  ->  (
( g  |`  y
) `  x )  =  ( g `  x ) )
1514ad2antlr 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  x  e.  y )  /\  (
( g  |`  y
) `  x )  =  (/) )  ->  (
( g  |`  y
) `  x )  =  ( g `  x ) )
16 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  x  e.  y )  /\  (
( g  |`  y
) `  x )  =  (/) )  ->  (
( g  |`  y
) `  x )  =  (/) )
1715, 16eqtr3d 2147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  x  e.  y )  /\  (
( g  |`  y
) `  x )  =  (/) )  ->  (
g `  x )  =  (/) )
18 fveq2 5373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  x  ->  (
g `  u )  =  ( g `  x ) )
1918eqeq1d 2121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  x  ->  (
( g `  u
)  =  (/)  <->  ( g `  x )  =  (/) ) )
2019rspcev 2758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( y  u.  { z } )  /\  ( g `
 x )  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  (/) )
2113, 17, 20syl2anc 406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  x  e.  y )  /\  (
( g  |`  y
) `  x )  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  (/) )
2221orcd 705 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  x  e.  y )  /\  (
( g  |`  y
) `  x )  =  (/) )  ->  ( E. u  e.  (
y  u.  { z } ) ( g `
 u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) )
2322ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  { z } ) --> 2o )  /\  x  e.  y )  ->  ( (
( g  |`  y
) `  x )  =  (/)  ->  ( E. u  e.  ( y  u.  { z } ) ( g `  u
)  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  { z } ) ( g `  u
)  =  1o ) ) )
2423rexlimdva 2521 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )  ->  ( E. x  e.  y 
( ( g  |`  y ) `  x
)  =  (/)  ->  ( E. u  e.  (
y  u.  { z } ) ( g `
 u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) ) )
25 vsnid 3521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
{ z }
26 elun2 3208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  { z }  ->  z  e.  ( y  u.  { z } ) )
2725, 26ax-mp 7 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e.  ( y  u.  {
z } )
2827a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )  ->  z  e.  ( y  u.  {
z } ) )
29 fveq2 5373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  z  ->  (
g `  u )  =  ( g `  z ) )
3029eqeq1d 2121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  z  ->  (
( g `  u
)  =  (/)  <->  ( g `  z )  =  (/) ) )
3130rspcev 2758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ( y  u.  { z } )  /\  ( g `
 z )  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  (/) )
3228, 31sylan 279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  { z } ) --> 2o )  /\  ( g `  z )  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( y  u.  { z } ) ( g `
 u )  =  (/) )
3332orcd 705 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  { z } ) --> 2o )  /\  ( g `  z )  =  (/) )  ->  ( E. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) )
3433a1d 22 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  { z } ) --> 2o )  /\  ( g `  z )  =  (/) )  ->  ( A. x  e.  y  ( (
g  |`  y ) `  x )  =  1o 
->  ( E. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) ) )
35 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  ( g `
 z )  =  1o )  /\  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o )  ->  A. x  e.  y  ( (
g  |`  y ) `  x )  =  1o )
36 fveq2 5373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  u  ->  (
( g  |`  y
) `  x )  =  ( ( g  |`  y ) `  u
) )
3736eqeq1d 2121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  (
( ( g  |`  y ) `  x
)  =  1o  <->  ( (
g  |`  y ) `  u )  =  1o ) )
3837cbvralv 2626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o  <->  A. u  e.  y  ( ( g  |`  y ) `  u
)  =  1o )
39 fvres 5397 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  y  ->  (
( g  |`  y
) `  u )  =  ( g `  u ) )
4039eqeq1d 2121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  y  ->  (
( ( g  |`  y ) `  u
)  =  1o  <->  ( g `  u )  =  1o ) )
4140ralbiia 2421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. u  e.  y  (
( g  |`  y
) `  u )  =  1o  <->  A. u  e.  y  ( g `  u
)  =  1o )
4238, 41bitri 183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o  <->  A. u  e.  y  ( g `  u
)  =  1o )
4335, 42sylib 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  ( g `
 z )  =  1o )  /\  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o )  ->  A. u  e.  y  ( g `  u )  =  1o )
44 simplr 502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  ( g `
 z )  =  1o )  /\  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o )  ->  (
g `  z )  =  1o )
45 vex 2658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
4629eqeq1d 2121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  z  ->  (
( g `  u
)  =  1o  <->  ( g `  z )  =  1o ) )
4745, 46ralsn 3531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. u  e.  { z }  ( g `  u )  =  1o  <->  ( g `  z )  =  1o )
4844, 47sylibr 133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  ( g `
 z )  =  1o )  /\  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o )  ->  A. u  e.  { z }  (
g `  u )  =  1o )
49 ralun 3222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. u  e.  y  ( g `  u
)  =  1o  /\  A. u  e.  { z }  ( g `  u )  =  1o )  ->  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o )
5043, 48, 49syl2anc 406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  ( g `
 z )  =  1o )  /\  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o )  ->  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o )
5150olcd 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  ( g `
 z )  =  1o )  /\  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o )  ->  ( E. u  e.  (
y  u.  { z } ) ( g `
 u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) )
5251ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  { z } ) --> 2o )  /\  ( g `  z )  =  1o )  ->  ( A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o  ->  ( E. u  e.  ( y  u.  { z } ) ( g `  u )  =  (/)  \/ 
A. u  e.  ( y  u.  { z } ) ( g `
 u )  =  1o ) ) )
53 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )  ->  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )
5453, 28ffvelrnd 5508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )  ->  (
g `  z )  e.  2o )
55 df2o3 6279 . . . . . . . . . 10  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
5654, 55syl6eleq 2205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )  ->  (
g `  z )  e.  { (/) ,  1o }
)
57 elpri 3514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g `  z )  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( ( g `
 z )  =  (/)  \/  ( g `  z )  =  1o ) )
5856, 57syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )  ->  (
( g `  z
)  =  (/)  \/  (
g `  z )  =  1o ) )
5934, 52, 58mpjaodan 770 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )  ->  ( A. x  e.  y 
( ( g  |`  y ) `  x
)  =  1o  ->  ( E. u  e.  ( y  u.  { z } ) ( g `
 u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) ) )
60 vex 2658 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
61 isomni 6956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e. Omni  <->  A. f ( f : y --> 2o  ->  ( E. x  e.  y  ( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  y  (
f `  x )  =  1o ) ) ) )
6260, 61ax-mp 7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e. Omni 
<-> 
A. f ( f : y --> 2o  ->  ( E. x  e.  y  ( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  y  (
f `  x )  =  1o ) ) )
6362biimpi 119 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e. Omni  ->  A. f ( f : y --> 2o  ->  ( E. x  e.  y  ( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  y  (
f `  x )  =  1o ) ) )
6463adantl 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  ->  A. f ( f : y --> 2o  ->  ( E. x  e.  y 
( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  y  (
f `  x )  =  1o ) ) )
65 vex 2658 . . . . . . . . . . 11  |-  g  e. 
_V
6665resex 4816 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  |`  y )  e.  _V
67 feq1 5211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( g  |`  y )  ->  (
f : y --> 2o  <->  ( g  |`  y ) : y --> 2o ) )
68 fveq1 5372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( g  |`  y )  ->  (
f `  x )  =  ( ( g  |`  y ) `  x
) )
6968eqeq1d 2121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( g  |`  y )  ->  (
( f `  x
)  =  (/)  <->  ( (
g  |`  y ) `  x )  =  (/) ) )
7069rexbidv 2410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( g  |`  y )  ->  ( E. x  e.  y 
( f `  x
)  =  (/)  <->  E. x  e.  y  ( (
g  |`  y ) `  x )  =  (/) ) )
7168eqeq1d 2121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( g  |`  y )  ->  (
( f `  x
)  =  1o  <->  ( (
g  |`  y ) `  x )  =  1o ) )
7271ralbidv 2409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( g  |`  y )  ->  ( A. x  e.  y 
( f `  x
)  =  1o  <->  A. x  e.  y  ( (
g  |`  y ) `  x )  =  1o ) )
7370, 72orbi12d 765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( g  |`  y )  ->  (
( E. x  e.  y  ( f `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  y  ( f `  x
)  =  1o )  <-> 
( E. x  e.  y  ( ( g  |`  y ) `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o ) ) )
7467, 73imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( g  |`  y )  ->  (
( f : y --> 2o  ->  ( E. x  e.  y  (
f `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  y  ( f `  x )  =  1o ) )  <->  ( (
g  |`  y ) : y --> 2o  ->  ( E. x  e.  y 
( ( g  |`  y ) `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o ) ) ) )
7566, 74spcv 2748 . . . . . . . . 9  |-  ( A. f ( f : y --> 2o  ->  ( E. x  e.  y 
( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  y  (
f `  x )  =  1o ) )  -> 
( ( g  |`  y ) : y --> 2o  ->  ( E. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  y  ( (
g  |`  y ) `  x )  =  1o ) ) )
7664, 75syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  ->  ( ( g  |`  y
) : y --> 2o 
->  ( E. x  e.  y  ( ( g  |`  y ) `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o ) ) )
77 ssun1 3203 . . . . . . . . 9  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
78 fssres 5254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g : ( y  u.  { z } ) --> 2o  /\  y  C_  ( y  u.  {
z } ) )  ->  ( g  |`  y ) : y --> 2o )
7977, 78mpan2 419 . . . . . . . 8  |-  ( g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o  ->  ( g  |`  y ) : y --> 2o )
8076, 79impel 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )  ->  ( E. x  e.  y 
( ( g  |`  y ) `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o ) )
8124, 59, 80mpjaod 690 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )  ->  ( E. u  e.  (
y  u.  { z } ) ( g `
 u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) )
8281ex 114 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  ->  ( g : ( y  u.  { z } ) --> 2o  ->  ( E. u  e.  (
y  u.  { z } ) ( g `
 u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) ) )
8382alrimiv 1826 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  ->  A. g ( g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o 
->  ( E. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) ) )
8445snex 4067 . . . . . 6  |-  { z }  e.  _V
8560, 84unex 4320 . . . . 5  |-  ( y  u.  { z } )  e.  _V
86 isomni 6956 . . . . 5  |-  ( ( y  u.  { z } )  e.  _V  ->  ( ( y  u. 
{ z } )  e. Omni 
<-> 
A. g ( g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o  ->  ( E. u  e.  ( y  u.  { z } ) ( g `  u
)  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  { z } ) ( g `  u
)  =  1o ) ) ) )
8785, 86ax-mp 7 . . . 4  |-  ( ( y  u.  { z } )  e. Omni  <->  A. g
( g : ( y  u.  { z } ) --> 2o  ->  ( E. u  e.  ( y  u.  { z } ) ( g `
 u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) ) )
8883, 87sylibr 133 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  ->  ( y  u.  { z } )  e. Omni )
8988ex 114 . 2  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
y  e. Omni  ->  ( y  u.  { z } )  e. Omni ) )
901, 2, 3, 4, 11, 89findcard2 6734 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e. Omni )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680   A.wal 1310    = wceq 1312    e. wcel 1461   A.wral 2388   E.wrex 2389   _Vcvv 2655    u. cun 3033    C_ wss 3035   (/)c0 3327   {csn 3491   {cpr 3492    |` cres 4499   -->wf 5075   ` cfv 5079   1oc1o 6258   2oc2o 6259   Fincfn 6586  Omnicomni 6952
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-iord 4246  df-on 4248  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-1o 6265  df-2o 6266  df-er 6381  df-en 6587  df-fin 6589  df-omni 6954
This theorem is referenced by:  trilpolemlt1  12915
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