Theorem finomni 7382

Description: A finite set is omniscient. Remark right after Definition 3.1 of [Pierik], p. 14. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
finomni	|- ( A e. Fin -> A e. Omni )

Proof of Theorem finomni

Dummy variables w y z f g x u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2294	. 2 |- ( w = (/) -> ( w e. Omni <-> (/) e. Omni ) )
2		eleq1 2294	. 2 |- ( w = y -> ( w e. Omni <-> y e. Omni ) )
3		eleq1 2294	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w e. Omni <-> ( y u. { z } ) e. Omni ) )
4		eleq1 2294	. 2 |- ( w = A -> ( w e. Omni <-> A e. Omni ) )
5		0ex 4221	. . . 4 |- (/) e. _V
6		isomni 7378	. . . 4 |- ( (/) e. _V -> ( (/) e. Omni <-> A. f ( f : (/) --> 2o -> ( E. x e. (/) ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. (/) ( f ` x ) = 1o ) ) ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 |- ( (/) e. Omni <-> A. f ( f : (/) --> 2o -> ( E. x e. (/) ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. (/) ( f ` x ) = 1o ) ) )
8		ral0 3598	. . . . 5 |- A. x e. (/) ( f ` x ) = 1o
9	8	olci 740	. . . 4 |- ( E. x e. (/) ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. (/) ( f ` x ) = 1o )
10	9	a1i 9	. . 3 |- ( f : (/) --> 2o -> ( E. x e. (/) ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. (/) ( f ` x ) = 1o ) )
11	7, 10	mpgbir 1502	. 2 |- (/) e. Omni
12		elun1 3376	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. y -> x e. ( y u. { z } ) )
13	12	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ x e. y ) /\ ( ( g |` y ) ` x ) = (/) ) -> x e. ( y u. { z } ) )
14		fvres 5672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. y -> ( ( g |` y ) ` x ) = ( g ` x ) )
15	14	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ x e. y ) /\ ( ( g |` y ) ` x ) = (/) ) -> ( ( g |` y ) ` x ) = ( g ` x ) )
16		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ x e. y ) /\ ( ( g |` y ) ` x ) = (/) ) -> ( ( g |` y ) ` x ) = (/) )
17	15, 16	eqtr3d 2266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ x e. y ) /\ ( ( g |` y ) ` x ) = (/) ) -> ( g ` x ) = (/) )
18		fveq2 5648	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = x -> ( g ` u ) = ( g ` x ) )
19	18	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = x -> ( ( g ` u ) = (/) <-> ( g ` x ) = (/) ) )
20	19	rspcev 2911	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( y u. { z } ) /\ ( g ` x ) = (/) ) -> E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) )
21	13, 17, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ x e. y ) /\ ( ( g |` y ) ` x ) = (/) ) -> E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) )
22	21	orcd 741	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ x e. y ) /\ ( ( g |` y ) ` x ) = (/) ) -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) )
23	22	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ x e. y ) -> ( ( ( g |` y ) ` x ) = (/) -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) ) )
24	23	rexlimdva 2651	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) -> ( E. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = (/) -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) ) )
25		vsnid 3705	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. { z }
26		elun2 3377	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. { z } -> z e. ( y u. { z } ) )
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. ( y u. { z } )
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) -> z e. ( y u. { z } ) )
29		fveq2 5648	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = z -> ( g ` u ) = ( g ` z ) )
30	29	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = z -> ( ( g ` u ) = (/) <-> ( g ` z ) = (/) ) )
31	30	rspcev 2911	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ( y u. { z } ) /\ ( g ` z ) = (/) ) -> E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) )
32	28, 31	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = (/) ) -> E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) )
33	32	orcd 741	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = (/) ) -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) )
34	33	a1d 22	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = (/) ) -> ( A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) ) )
35		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = 1o ) /\ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) -> A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o )
36		fveq2 5648	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = u -> ( ( g |` y ) ` x ) = ( ( g |` y ) ` u ) )
37	36	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = u -> ( ( ( g |` y ) ` x ) = 1o <-> ( ( g |` y ) ` u ) = 1o ) )
38	37	cbvralv 2768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o <-> A. u e. y ( ( g |` y ) ` u ) = 1o )
39		fvres 5672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. y -> ( ( g |` y ) ` u ) = ( g ` u ) )
40	39	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. y -> ( ( ( g |` y ) ` u ) = 1o <-> ( g ` u ) = 1o ) )
41	40	ralbiia 2547	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. u e. y ( ( g |` y ) ` u ) = 1o <-> A. u e. y ( g ` u ) = 1o )
42	38, 41	bitri 184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o <-> A. u e. y ( g ` u ) = 1o )
43	35, 42	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = 1o ) /\ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) -> A. u e. y ( g ` u ) = 1o )
44		simplr 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = 1o ) /\ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) -> ( g ` z ) = 1o )
45		vex 2806	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
46	29	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = z -> ( ( g ` u ) = 1o <-> ( g ` z ) = 1o ) )
47	45, 46	ralsn 3716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. u e. { z } ( g ` u ) = 1o <-> ( g ` z ) = 1o )
48	44, 47	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = 1o ) /\ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) -> A. u e. { z } ( g ` u ) = 1o )
49		ralun 3391	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. u e. y ( g ` u ) = 1o /\ A. u e. { z } ( g ` u ) = 1o ) -> A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o )
50	43, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = 1o ) /\ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) -> A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o )
51	50	olcd 742	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = 1o ) /\ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) )
52	51	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = 1o ) -> ( A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) ) )
53		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) -> g : ( y u. { z } ) --> 2o )
54	53, 28	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) -> ( g ` z ) e. 2o )
55		df2o3 6640	. . . . . . . . . 10 |- 2o = { (/) , 1o }
56	54, 55	eleqtrdi 2324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) -> ( g ` z ) e. { (/) , 1o } )
57		elpri 3696	. . . . . . . . 9 |- ( ( g ` z ) e. { (/) , 1o } -> ( ( g ` z ) = (/) \/ ( g ` z ) = 1o ) )
58	56, 57	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) -> ( ( g ` z ) = (/) \/ ( g ` z ) = 1o ) )
59	34, 52, 58	mpjaodan 806	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) -> ( A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) ) )
60		vex 2806	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
61		isomni 7378	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. _V -> ( y e. Omni <-> A. f ( f : y --> 2o -> ( E. x e. y ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( f ` x ) = 1o ) ) ) )
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. Omni <-> A. f ( f : y --> 2o -> ( E. x e. y ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( f ` x ) = 1o ) ) )
63	62	biimpi 120	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. Omni -> A. f ( f : y --> 2o -> ( E. x e. y ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( f ` x ) = 1o ) ) )
64	63	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) -> A. f ( f : y --> 2o -> ( E. x e. y ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( f ` x ) = 1o ) ) )
65		vex 2806	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
66	65	resex 5060	. . . . . . . . . 10 |- ( g |` y ) e. _V
67		feq1 5472	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( g |` y ) -> ( f : y --> 2o <-> ( g |` y ) : y --> 2o ) )
68		fveq1 5647	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( g |` y ) -> ( f ` x ) = ( ( g |` y ) ` x ) )
69	68	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( g |` y ) -> ( ( f ` x ) = (/) <-> ( ( g |` y ) ` x ) = (/) ) )
70	69	rexbidv 2534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( g |` y ) -> ( E. x e. y ( f ` x ) = (/) <-> E. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = (/) ) )
71	68	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( g |` y ) -> ( ( f ` x ) = 1o <-> ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) )
72	71	ralbidv 2533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( g |` y ) -> ( A. x e. y ( f ` x ) = 1o <-> A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) )
73	70, 72	orbi12d 801	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( g |` y ) -> ( ( E. x e. y ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( f ` x ) = 1o ) <-> ( E. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) ) )
74	67, 73	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( g |` y ) -> ( ( f : y --> 2o -> ( E. x e. y ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( f ` x ) = 1o ) ) <-> ( ( g |` y ) : y --> 2o -> ( E. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) ) ) )
75	66, 74	spcv 2901	. . . . . . . . 9 |- ( A. f ( f : y --> 2o -> ( E. x e. y ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( f ` x ) = 1o ) ) -> ( ( g |` y ) : y --> 2o -> ( E. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) ) )
76	64, 75	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) -> ( ( g |` y ) : y --> 2o -> ( E. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) ) )
77		ssun1 3372	. . . . . . . . 9 |- y C_ ( y u. { z } )
78		fssres 5520	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : ( y u. { z } ) --> 2o /\ y C_ ( y u. { z } ) ) -> ( g |` y ) : y --> 2o )
79	77, 78	mpan2 425	. . . . . . . 8 |- ( g : ( y u. { z } ) --> 2o -> ( g |` y ) : y --> 2o )
80	76, 79	impel 280	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) -> ( E. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) )
81	24, 59, 80	mpjaod 726	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) )
82	81	ex 115	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) -> ( g : ( y u. { z } ) --> 2o -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) ) )
83	82	alrimiv 1922	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) -> A. g ( g : ( y u. { z } ) --> 2o -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) ) )
84	45	snex 4281	. . . . . 6 |- { z } e. _V
85	60, 84	unex 4544	. . . . 5 |- ( y u. { z } ) e. _V
86		isomni 7378	. . . . 5 |- ( ( y u. { z } ) e. _V -> ( ( y u. { z } ) e. Omni <-> A. g ( g : ( y u. { z } ) --> 2o -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) ) ) )
87	85, 86	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( y u. { z } ) e. Omni <-> A. g ( g : ( y u. { z } ) --> 2o -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) ) )
88	83, 87	sylibr 134	. . 3 |- ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) -> ( y u. { z } ) e. Omni )
89	88	ex 115	. 2 |- ( y e. Fin -> ( y e. Omni -> ( y u. { z } ) e. Omni ) )
90	1, 2, 3, 4, 11, 89	findcard2 7121	1 |- ( A e. Fin -> A e. Omni )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   u. cun 3199   C_ wss 3201   (/)c0 3496   {csn 3673   {cpr 3674   |` cres 4733   -->wf 5329   ` cfv 5333   1oc1o 6618   2oc2o 6619   Fincfn 6952  Omnicomni 7376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955  df-omni 7377

This theorem is referenced by:  trilpolemlt1  16756