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Theorem finomni 7169
Description: A finite set is omniscient. Remark right after Definition 3.1 of [Pierik], p. 14. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
finomni  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e. Omni )

Proof of Theorem finomni
Dummy variables  w  y  z  f  g  x  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2252 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w  e. Omni 
<->  (/)  e. Omni ) )
2 eleq1 2252 . 2  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e. Omni  <->  y  e. Omni )
)
3 eleq1 2252 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( w  e. Omni  <->  ( y  u.  { z } )  e. Omni )
)
4 eleq1 2252 . 2  |-  ( w  =  A  ->  (
w  e. Omni  <->  A  e. Omni ) )
5 0ex 4145 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
6 isomni 7165 . . . 4  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  e. Omni  <->  A. f
( f : (/) --> 2o 
->  ( E. x  e.  (/)  ( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  (/)  ( f `
 x )  =  1o ) ) ) )
75, 6ax-mp 5 . . 3  |-  ( (/)  e. Omni  <->  A. f ( f :
(/) --> 2o  ->  ( E. x  e.  (/)  ( f `
 x )  =  (/)  \/  A. x  e.  (/)  ( f `  x
)  =  1o ) ) )
8 ral0 3539 . . . . 5  |-  A. x  e.  (/)  ( f `  x )  =  1o
98olci 733 . . . 4  |-  ( E. x  e.  (/)  ( f `
 x )  =  (/)  \/  A. x  e.  (/)  ( f `  x
)  =  1o )
109a1i 9 . . 3  |-  ( f : (/) --> 2o  ->  ( E. x  e.  (/)  ( f `
 x )  =  (/)  \/  A. x  e.  (/)  ( f `  x
)  =  1o ) )
117, 10mpgbir 1464 . 2  |-  (/)  e. Omni
12 elun1 3317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  y  ->  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )
1312ad2antlr 489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  x  e.  y )  /\  (
( g  |`  y
) `  x )  =  (/) )  ->  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )
14 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  y  ->  (
( g  |`  y
) `  x )  =  ( g `  x ) )
1514ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  x  e.  y )  /\  (
( g  |`  y
) `  x )  =  (/) )  ->  (
( g  |`  y
) `  x )  =  ( g `  x ) )
16 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  x  e.  y )  /\  (
( g  |`  y
) `  x )  =  (/) )  ->  (
( g  |`  y
) `  x )  =  (/) )
1715, 16eqtr3d 2224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  x  e.  y )  /\  (
( g  |`  y
) `  x )  =  (/) )  ->  (
g `  x )  =  (/) )
18 fveq2 5534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  x  ->  (
g `  u )  =  ( g `  x ) )
1918eqeq1d 2198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  x  ->  (
( g `  u
)  =  (/)  <->  ( g `  x )  =  (/) ) )
2019rspcev 2856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( y  u.  { z } )  /\  ( g `
 x )  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  (/) )
2113, 17, 20syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  x  e.  y )  /\  (
( g  |`  y
) `  x )  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  (/) )
2221orcd 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  x  e.  y )  /\  (
( g  |`  y
) `  x )  =  (/) )  ->  ( E. u  e.  (
y  u.  { z } ) ( g `
 u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) )
2322ex 115 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  { z } ) --> 2o )  /\  x  e.  y )  ->  ( (
( g  |`  y
) `  x )  =  (/)  ->  ( E. u  e.  ( y  u.  { z } ) ( g `  u
)  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  { z } ) ( g `  u
)  =  1o ) ) )
2423rexlimdva 2607 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )  ->  ( E. x  e.  y 
( ( g  |`  y ) `  x
)  =  (/)  ->  ( E. u  e.  (
y  u.  { z } ) ( g `
 u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) ) )
25 vsnid 3639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
{ z }
26 elun2 3318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  { z }  ->  z  e.  ( y  u.  { z } ) )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e.  ( y  u.  {
z } )
2827a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )  ->  z  e.  ( y  u.  {
z } ) )
29 fveq2 5534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  z  ->  (
g `  u )  =  ( g `  z ) )
3029eqeq1d 2198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  z  ->  (
( g `  u
)  =  (/)  <->  ( g `  z )  =  (/) ) )
3130rspcev 2856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ( y  u.  { z } )  /\  ( g `
 z )  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  (/) )
3228, 31sylan 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  { z } ) --> 2o )  /\  ( g `  z )  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( y  u.  { z } ) ( g `
 u )  =  (/) )
3332orcd 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  { z } ) --> 2o )  /\  ( g `  z )  =  (/) )  ->  ( E. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) )
3433a1d 22 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  { z } ) --> 2o )  /\  ( g `  z )  =  (/) )  ->  ( A. x  e.  y  ( (
g  |`  y ) `  x )  =  1o 
->  ( E. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) ) )
35 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  ( g `
 z )  =  1o )  /\  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o )  ->  A. x  e.  y  ( (
g  |`  y ) `  x )  =  1o )
36 fveq2 5534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  u  ->  (
( g  |`  y
) `  x )  =  ( ( g  |`  y ) `  u
) )
3736eqeq1d 2198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  (
( ( g  |`  y ) `  x
)  =  1o  <->  ( (
g  |`  y ) `  u )  =  1o ) )
3837cbvralv 2718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o  <->  A. u  e.  y  ( ( g  |`  y ) `  u
)  =  1o )
39 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  y  ->  (
( g  |`  y
) `  u )  =  ( g `  u ) )
4039eqeq1d 2198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  y  ->  (
( ( g  |`  y ) `  u
)  =  1o  <->  ( g `  u )  =  1o ) )
4140ralbiia 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. u  e.  y  (
( g  |`  y
) `  u )  =  1o  <->  A. u  e.  y  ( g `  u
)  =  1o )
4238, 41bitri 184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o  <->  A. u  e.  y  ( g `  u
)  =  1o )
4335, 42sylib 122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  ( g `
 z )  =  1o )  /\  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o )  ->  A. u  e.  y  ( g `  u )  =  1o )
44 simplr 528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  ( g `
 z )  =  1o )  /\  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o )  ->  (
g `  z )  =  1o )
45 vex 2755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
4629eqeq1d 2198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  z  ->  (
( g `  u
)  =  1o  <->  ( g `  z )  =  1o ) )
4745, 46ralsn 3650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. u  e.  { z }  ( g `  u )  =  1o  <->  ( g `  z )  =  1o )
4844, 47sylibr 134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  ( g `
 z )  =  1o )  /\  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o )  ->  A. u  e.  { z }  (
g `  u )  =  1o )
49 ralun 3332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. u  e.  y  ( g `  u
)  =  1o  /\  A. u  e.  { z }  ( g `  u )  =  1o )  ->  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o )
5043, 48, 49syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  ( g `
 z )  =  1o )  /\  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o )  ->  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o )
5150olcd 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  ( g `
 z )  =  1o )  /\  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o )  ->  ( E. u  e.  (
y  u.  { z } ) ( g `
 u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) )
5251ex 115 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  { z } ) --> 2o )  /\  ( g `  z )  =  1o )  ->  ( A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o  ->  ( E. u  e.  ( y  u.  { z } ) ( g `  u )  =  (/)  \/ 
A. u  e.  ( y  u.  { z } ) ( g `
 u )  =  1o ) ) )
53 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )  ->  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )
5453, 28ffvelcdmd 5673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )  ->  (
g `  z )  e.  2o )
55 df2o3 6456 . . . . . . . . . 10  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
5654, 55eleqtrdi 2282 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )  ->  (
g `  z )  e.  { (/) ,  1o }
)
57 elpri 3630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g `  z )  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( ( g `
 z )  =  (/)  \/  ( g `  z )  =  1o ) )
5856, 57syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )  ->  (
( g `  z
)  =  (/)  \/  (
g `  z )  =  1o ) )
5934, 52, 58mpjaodan 799 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )  ->  ( A. x  e.  y 
( ( g  |`  y ) `  x
)  =  1o  ->  ( E. u  e.  ( y  u.  { z } ) ( g `
 u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) ) )
60 vex 2755 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
61 isomni 7165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e. Omni  <->  A. f ( f : y --> 2o  ->  ( E. x  e.  y  ( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  y  (
f `  x )  =  1o ) ) ) )
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e. Omni 
<-> 
A. f ( f : y --> 2o  ->  ( E. x  e.  y  ( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  y  (
f `  x )  =  1o ) ) )
6362biimpi 120 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e. Omni  ->  A. f ( f : y --> 2o  ->  ( E. x  e.  y  ( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  y  (
f `  x )  =  1o ) ) )
6463adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  ->  A. f ( f : y --> 2o  ->  ( E. x  e.  y 
( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  y  (
f `  x )  =  1o ) ) )
65 vex 2755 . . . . . . . . . . 11  |-  g  e. 
_V
6665resex 4966 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  |`  y )  e.  _V
67 feq1 5367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( g  |`  y )  ->  (
f : y --> 2o  <->  ( g  |`  y ) : y --> 2o ) )
68 fveq1 5533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( g  |`  y )  ->  (
f `  x )  =  ( ( g  |`  y ) `  x
) )
6968eqeq1d 2198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( g  |`  y )  ->  (
( f `  x
)  =  (/)  <->  ( (
g  |`  y ) `  x )  =  (/) ) )
7069rexbidv 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( g  |`  y )  ->  ( E. x  e.  y 
( f `  x
)  =  (/)  <->  E. x  e.  y  ( (
g  |`  y ) `  x )  =  (/) ) )
7168eqeq1d 2198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( g  |`  y )  ->  (
( f `  x
)  =  1o  <->  ( (
g  |`  y ) `  x )  =  1o ) )
7271ralbidv 2490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( g  |`  y )  ->  ( A. x  e.  y 
( f `  x
)  =  1o  <->  A. x  e.  y  ( (
g  |`  y ) `  x )  =  1o ) )
7370, 72orbi12d 794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( g  |`  y )  ->  (
( E. x  e.  y  ( f `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  y  ( f `  x
)  =  1o )  <-> 
( E. x  e.  y  ( ( g  |`  y ) `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o ) ) )
7467, 73imbi12d 234 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( g  |`  y )  ->  (
( f : y --> 2o  ->  ( E. x  e.  y  (
f `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  y  ( f `  x )  =  1o ) )  <->  ( (
g  |`  y ) : y --> 2o  ->  ( E. x  e.  y 
( ( g  |`  y ) `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o ) ) ) )
7566, 74spcv 2846 . . . . . . . . 9  |-  ( A. f ( f : y --> 2o  ->  ( E. x  e.  y 
( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  y  (
f `  x )  =  1o ) )  -> 
( ( g  |`  y ) : y --> 2o  ->  ( E. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  y  ( (
g  |`  y ) `  x )  =  1o ) ) )
7664, 75syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  ->  ( ( g  |`  y
) : y --> 2o 
->  ( E. x  e.  y  ( ( g  |`  y ) `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o ) ) )
77 ssun1 3313 . . . . . . . . 9  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
78 fssres 5410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g : ( y  u.  { z } ) --> 2o  /\  y  C_  ( y  u.  {
z } ) )  ->  ( g  |`  y ) : y --> 2o )
7977, 78mpan2 425 . . . . . . . 8  |-  ( g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o  ->  ( g  |`  y ) : y --> 2o )
8076, 79impel 280 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )  ->  ( E. x  e.  y 
( ( g  |`  y ) `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o ) )
8124, 59, 80mpjaod 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )  ->  ( E. u  e.  (
y  u.  { z } ) ( g `
 u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) )
8281ex 115 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  ->  ( g : ( y  u.  { z } ) --> 2o  ->  ( E. u  e.  (
y  u.  { z } ) ( g `
 u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) ) )
8382alrimiv 1885 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  ->  A. g ( g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o 
->  ( E. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) ) )
8445snex 4203 . . . . . 6  |-  { z }  e.  _V
8560, 84unex 4459 . . . . 5  |-  ( y  u.  { z } )  e.  _V
86 isomni 7165 . . . . 5  |-  ( ( y  u.  { z } )  e.  _V  ->  ( ( y  u. 
{ z } )  e. Omni 
<-> 
A. g ( g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o  ->  ( E. u  e.  ( y  u.  { z } ) ( g `  u
)  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  { z } ) ( g `  u
)  =  1o ) ) ) )
8785, 86ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( y  u.  { z } )  e. Omni  <->  A. g
( g : ( y  u.  { z } ) --> 2o  ->  ( E. u  e.  ( y  u.  { z } ) ( g `
 u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) ) )
8883, 87sylibr 134 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  ->  ( y  u.  { z } )  e. Omni )
8988ex 115 . 2  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
y  e. Omni  ->  ( y  u.  { z } )  e. Omni ) )
901, 2, 3, 4, 11, 89findcard2 6918 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e. Omni )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709   A.wal 1362    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   _Vcvv 2752    u. cun 3142    C_ wss 3144   (/)c0 3437   {csn 3607   {cpr 3608    |` cres 4646   -->wf 5231   ` cfv 5235   1oc1o 6435   2oc2o 6436   Fincfn 6767  Omnicomni 7163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-1o 6442  df-2o 6443  df-er 6560  df-en 6768  df-fin 6770  df-omni 7164
This theorem is referenced by:  trilpolemlt1  15268
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