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Theorem finomni 6743
Description: A finite set is omniscient. Remark right after Definition 3.1 of [Pierik], p. 14. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
finomni  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e. Omni )

Proof of Theorem finomni
Dummy variables  w  y  z  f  g  x  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2147 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w  e. Omni 
<->  (/)  e. Omni ) )
2 eleq1 2147 . 2  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e. Omni  <->  y  e. Omni )
)
3 eleq1 2147 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( w  e. Omni  <->  ( y  u.  { z } )  e. Omni )
)
4 eleq1 2147 . 2  |-  ( w  =  A  ->  (
w  e. Omni  <->  A  e. Omni ) )
5 0ex 3943 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
6 isomni 6739 . . . 4  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  e. Omni  <->  A. f
( f : (/) --> 2o 
->  ( E. x  e.  (/)  ( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  (/)  ( f `
 x )  =  1o ) ) ) )
75, 6ax-mp 7 . . 3  |-  ( (/)  e. Omni  <->  A. f ( f :
(/) --> 2o  ->  ( E. x  e.  (/)  ( f `
 x )  =  (/)  \/  A. x  e.  (/)  ( f `  x
)  =  1o ) ) )
8 ral0 3370 . . . . 5  |-  A. x  e.  (/)  ( f `  x )  =  1o
98olci 684 . . . 4  |-  ( E. x  e.  (/)  ( f `
 x )  =  (/)  \/  A. x  e.  (/)  ( f `  x
)  =  1o )
109a1i 9 . . 3  |-  ( f : (/) --> 2o  ->  ( E. x  e.  (/)  ( f `
 x )  =  (/)  \/  A. x  e.  (/)  ( f `  x
)  =  1o ) )
117, 10mpgbir 1385 . 2  |-  (/)  e. Omni
12 elun1 3156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  y  ->  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )
1312ad2antlr 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  x  e.  y )  /\  (
( g  |`  y
) `  x )  =  (/) )  ->  x  e.  ( y  u.  {
z } ) )
14 fvres 5294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  y  ->  (
( g  |`  y
) `  x )  =  ( g `  x ) )
1514ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  x  e.  y )  /\  (
( g  |`  y
) `  x )  =  (/) )  ->  (
( g  |`  y
) `  x )  =  ( g `  x ) )
16 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  x  e.  y )  /\  (
( g  |`  y
) `  x )  =  (/) )  ->  (
( g  |`  y
) `  x )  =  (/) )
1715, 16eqtr3d 2119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  x  e.  y )  /\  (
( g  |`  y
) `  x )  =  (/) )  ->  (
g `  x )  =  (/) )
18 fveq2 5270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  x  ->  (
g `  u )  =  ( g `  x ) )
1918eqeq1d 2093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  x  ->  (
( g `  u
)  =  (/)  <->  ( g `  x )  =  (/) ) )
2019rspcev 2715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( y  u.  { z } )  /\  ( g `
 x )  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  (/) )
2113, 17, 20syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  x  e.  y )  /\  (
( g  |`  y
) `  x )  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  (/) )
2221orcd 685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  x  e.  y )  /\  (
( g  |`  y
) `  x )  =  (/) )  ->  ( E. u  e.  (
y  u.  { z } ) ( g `
 u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) )
2322ex 113 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  { z } ) --> 2o )  /\  x  e.  y )  ->  ( (
( g  |`  y
) `  x )  =  (/)  ->  ( E. u  e.  ( y  u.  { z } ) ( g `  u
)  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  { z } ) ( g `  u
)  =  1o ) ) )
2423rexlimdva 2485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )  ->  ( E. x  e.  y 
( ( g  |`  y ) `  x
)  =  (/)  ->  ( E. u  e.  (
y  u.  { z } ) ( g `
 u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) ) )
25 vsnid 3461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
{ z }
26 elun2 3157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  { z }  ->  z  e.  ( y  u.  { z } ) )
2725, 26ax-mp 7 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e.  ( y  u.  {
z } )
2827a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )  ->  z  e.  ( y  u.  {
z } ) )
29 fveq2 5270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  z  ->  (
g `  u )  =  ( g `  z ) )
3029eqeq1d 2093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  z  ->  (
( g `  u
)  =  (/)  <->  ( g `  z )  =  (/) ) )
3130rspcev 2715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ( y  u.  { z } )  /\  ( g `
 z )  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  (/) )
3228, 31sylan 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  { z } ) --> 2o )  /\  ( g `  z )  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( y  u.  { z } ) ( g `
 u )  =  (/) )
3332orcd 685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  { z } ) --> 2o )  /\  ( g `  z )  =  (/) )  ->  ( E. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) )
3433a1d 22 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  { z } ) --> 2o )  /\  ( g `  z )  =  (/) )  ->  ( A. x  e.  y  ( (
g  |`  y ) `  x )  =  1o 
->  ( E. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) ) )
35 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  ( g `
 z )  =  1o )  /\  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o )  ->  A. x  e.  y  ( (
g  |`  y ) `  x )  =  1o )
36 fveq2 5270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  u  ->  (
( g  |`  y
) `  x )  =  ( ( g  |`  y ) `  u
) )
3736eqeq1d 2093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  (
( ( g  |`  y ) `  x
)  =  1o  <->  ( (
g  |`  y ) `  u )  =  1o ) )
3837cbvralv 2586 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o  <->  A. u  e.  y  ( ( g  |`  y ) `  u
)  =  1o )
39 fvres 5294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  y  ->  (
( g  |`  y
) `  u )  =  ( g `  u ) )
4039eqeq1d 2093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  y  ->  (
( ( g  |`  y ) `  u
)  =  1o  <->  ( g `  u )  =  1o ) )
4140ralbiia 2388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. u  e.  y  (
( g  |`  y
) `  u )  =  1o  <->  A. u  e.  y  ( g `  u
)  =  1o )
4238, 41bitri 182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o  <->  A. u  e.  y  ( g `  u
)  =  1o )
4335, 42sylib 120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  ( g `
 z )  =  1o )  /\  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o )  ->  A. u  e.  y  ( g `  u )  =  1o )
44 simplr 497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  ( g `
 z )  =  1o )  /\  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o )  ->  (
g `  z )  =  1o )
45 vex 2618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
4629eqeq1d 2093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  z  ->  (
( g `  u
)  =  1o  <->  ( g `  z )  =  1o ) )
4745, 46ralsn 3471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. u  e.  { z }  ( g `  u )  =  1o  <->  ( g `  z )  =  1o )
4844, 47sylibr 132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  ( g `
 z )  =  1o )  /\  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o )  ->  A. u  e.  { z }  (
g `  u )  =  1o )
49 ralun 3171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. u  e.  y  ( g `  u
)  =  1o  /\  A. u  e.  { z }  ( g `  u )  =  1o )  ->  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o )
5043, 48, 49syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  ( g `
 z )  =  1o )  /\  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o )  ->  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o )
5150olcd 686 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o )  /\  ( g `
 z )  =  1o )  /\  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o )  ->  ( E. u  e.  (
y  u.  { z } ) ( g `
 u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) )
5251ex 113 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u.  { z } ) --> 2o )  /\  ( g `  z )  =  1o )  ->  ( A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o  ->  ( E. u  e.  ( y  u.  { z } ) ( g `  u )  =  (/)  \/ 
A. u  e.  ( y  u.  { z } ) ( g `
 u )  =  1o ) ) )
53 simpr 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )  ->  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )
5453, 28ffvelrnd 5400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )  ->  (
g `  z )  e.  2o )
55 df2o3 6151 . . . . . . . . . 10  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
5654, 55syl6eleq 2177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )  ->  (
g `  z )  e.  { (/) ,  1o }
)
57 elpri 3454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g `  z )  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( ( g `
 z )  =  (/)  \/  ( g `  z )  =  1o ) )
5856, 57syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )  ->  (
( g `  z
)  =  (/)  \/  (
g `  z )  =  1o ) )
5934, 52, 58mpjaodan 745 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )  ->  ( A. x  e.  y 
( ( g  |`  y ) `  x
)  =  1o  ->  ( E. u  e.  ( y  u.  { z } ) ( g `
 u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) ) )
60 vex 2618 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
61 isomni 6739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e. Omni  <->  A. f ( f : y --> 2o  ->  ( E. x  e.  y  ( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  y  (
f `  x )  =  1o ) ) ) )
6260, 61ax-mp 7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e. Omni 
<-> 
A. f ( f : y --> 2o  ->  ( E. x  e.  y  ( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  y  (
f `  x )  =  1o ) ) )
6362biimpi 118 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e. Omni  ->  A. f ( f : y --> 2o  ->  ( E. x  e.  y  ( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  y  (
f `  x )  =  1o ) ) )
6463adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  ->  A. f ( f : y --> 2o  ->  ( E. x  e.  y 
( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  y  (
f `  x )  =  1o ) ) )
65 vex 2618 . . . . . . . . . . 11  |-  g  e. 
_V
6665resex 4722 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  |`  y )  e.  _V
67 feq1 5112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( g  |`  y )  ->  (
f : y --> 2o  <->  ( g  |`  y ) : y --> 2o ) )
68 fveq1 5269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( g  |`  y )  ->  (
f `  x )  =  ( ( g  |`  y ) `  x
) )
6968eqeq1d 2093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( g  |`  y )  ->  (
( f `  x
)  =  (/)  <->  ( (
g  |`  y ) `  x )  =  (/) ) )
7069rexbidv 2377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( g  |`  y )  ->  ( E. x  e.  y 
( f `  x
)  =  (/)  <->  E. x  e.  y  ( (
g  |`  y ) `  x )  =  (/) ) )
7168eqeq1d 2093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( g  |`  y )  ->  (
( f `  x
)  =  1o  <->  ( (
g  |`  y ) `  x )  =  1o ) )
7271ralbidv 2376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( g  |`  y )  ->  ( A. x  e.  y 
( f `  x
)  =  1o  <->  A. x  e.  y  ( (
g  |`  y ) `  x )  =  1o ) )
7370, 72orbi12d 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( g  |`  y )  ->  (
( E. x  e.  y  ( f `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  y  ( f `  x
)  =  1o )  <-> 
( E. x  e.  y  ( ( g  |`  y ) `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o ) ) )
7467, 73imbi12d 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( g  |`  y )  ->  (
( f : y --> 2o  ->  ( E. x  e.  y  (
f `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  y  ( f `  x )  =  1o ) )  <->  ( (
g  |`  y ) : y --> 2o  ->  ( E. x  e.  y 
( ( g  |`  y ) `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o ) ) ) )
7566, 74spcv 2705 . . . . . . . . 9  |-  ( A. f ( f : y --> 2o  ->  ( E. x  e.  y 
( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  y  (
f `  x )  =  1o ) )  -> 
( ( g  |`  y ) : y --> 2o  ->  ( E. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  y  ( (
g  |`  y ) `  x )  =  1o ) ) )
7664, 75syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  ->  ( ( g  |`  y
) : y --> 2o 
->  ( E. x  e.  y  ( ( g  |`  y ) `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o ) ) )
77 ssun1 3152 . . . . . . . . 9  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
78 fssres 5152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g : ( y  u.  { z } ) --> 2o  /\  y  C_  ( y  u.  {
z } ) )  ->  ( g  |`  y ) : y --> 2o )
7977, 78mpan2 416 . . . . . . . 8  |-  ( g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o  ->  ( g  |`  y ) : y --> 2o )
8076, 79impel 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )  ->  ( E. x  e.  y 
( ( g  |`  y ) `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  y  (
( g  |`  y
) `  x )  =  1o ) )
8124, 59, 80mpjaod 671 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  /\  g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o )  ->  ( E. u  e.  (
y  u.  { z } ) ( g `
 u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) )
8281ex 113 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  ->  ( g : ( y  u.  { z } ) --> 2o  ->  ( E. u  e.  (
y  u.  { z } ) ( g `
 u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) ) )
8382alrimiv 1799 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  ->  A. g ( g : ( y  u.  {
z } ) --> 2o 
->  ( E. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) ) )
8445snex 3996 . . . . . 6  |-  { z }  e.  _V
8560, 84unex 4242 . . . . 5  |-  ( y  u.  { z } )  e.  _V
86 isomni 6739 . . . . 5  |-  ( ( y  u.  { z } )  e.  _V  ->  ( ( y  u. 
{ z } )  e. Omni 
<-> 
A. g ( g : ( y  u. 
{ z } ) --> 2o  ->  ( E. u  e.  ( y  u.  { z } ) ( g `  u
)  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  { z } ) ( g `  u
)  =  1o ) ) ) )
8785, 86ax-mp 7 . . . 4  |-  ( ( y  u.  { z } )  e. Omni  <->  A. g
( g : ( y  u.  { z } ) --> 2o  ->  ( E. u  e.  ( y  u.  { z } ) ( g `
 u )  =  (/)  \/  A. u  e.  ( y  u.  {
z } ) ( g `  u )  =  1o ) ) )
8883, 87sylibr 132 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  e. Omni )  ->  ( y  u.  { z } )  e. Omni )
8988ex 113 . 2  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
y  e. Omni  ->  ( y  u.  { z } )  e. Omni ) )
901, 2, 3, 4, 11, 89findcard2 6559 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e. Omni )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662   A.wal 1285    = wceq 1287    e. wcel 1436   A.wral 2355   E.wrex 2356   _Vcvv 2615    u. cun 2986    C_ wss 2988   (/)c0 3275   {csn 3431   {cpr 3432    |` cres 4415   -->wf 4979   ` cfv 4983   1oc1o 6130   2oc2o 6131   Fincfn 6411  Omnicomni 6735
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-iord 4169  df-on 4171  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-1o 6137  df-2o 6138  df-er 6246  df-en 6412  df-fin 6414  df-omni 6737
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