Theorem finomni 7104

Description: A finite set is omniscient. Remark right after Definition 3.1 of [Pierik], p. 14. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
finomni	|- ( A e. Fin -> A e. Omni )

Proof of Theorem finomni

Dummy variables w y z f g x u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2229	. 2 |- ( w = (/) -> ( w e. Omni <-> (/) e. Omni ) )
2		eleq1 2229	. 2 |- ( w = y -> ( w e. Omni <-> y e. Omni ) )
3		eleq1 2229	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w e. Omni <-> ( y u. { z } ) e. Omni ) )
4		eleq1 2229	. 2 |- ( w = A -> ( w e. Omni <-> A e. Omni ) )
5		0ex 4109	. . . 4 |- (/) e. _V
6		isomni 7100	. . . 4 |- ( (/) e. _V -> ( (/) e. Omni <-> A. f ( f : (/) --> 2o -> ( E. x e. (/) ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. (/) ( f ` x ) = 1o ) ) ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 |- ( (/) e. Omni <-> A. f ( f : (/) --> 2o -> ( E. x e. (/) ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. (/) ( f ` x ) = 1o ) ) )
8		ral0 3510	. . . . 5 |- A. x e. (/) ( f ` x ) = 1o
9	8	olci 722	. . . 4 |- ( E. x e. (/) ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. (/) ( f ` x ) = 1o )
10	9	a1i 9	. . 3 |- ( f : (/) --> 2o -> ( E. x e. (/) ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. (/) ( f ` x ) = 1o ) )
11	7, 10	mpgbir 1441	. 2 |- (/) e. Omni
12		elun1 3289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. y -> x e. ( y u. { z } ) )
13	12	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ x e. y ) /\ ( ( g |` y ) ` x ) = (/) ) -> x e. ( y u. { z } ) )
14		fvres 5510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. y -> ( ( g |` y ) ` x ) = ( g ` x ) )
15	14	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ x e. y ) /\ ( ( g |` y ) ` x ) = (/) ) -> ( ( g |` y ) ` x ) = ( g ` x ) )
16		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ x e. y ) /\ ( ( g |` y ) ` x ) = (/) ) -> ( ( g |` y ) ` x ) = (/) )
17	15, 16	eqtr3d 2200	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ x e. y ) /\ ( ( g |` y ) ` x ) = (/) ) -> ( g ` x ) = (/) )
18		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = x -> ( g ` u ) = ( g ` x ) )
19	18	eqeq1d 2174	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = x -> ( ( g ` u ) = (/) <-> ( g ` x ) = (/) ) )
20	19	rspcev 2830	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( y u. { z } ) /\ ( g ` x ) = (/) ) -> E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) )
21	13, 17, 20	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ x e. y ) /\ ( ( g |` y ) ` x ) = (/) ) -> E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) )
22	21	orcd 723	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ x e. y ) /\ ( ( g |` y ) ` x ) = (/) ) -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) )
23	22	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ x e. y ) -> ( ( ( g |` y ) ` x ) = (/) -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) ) )
24	23	rexlimdva 2583	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) -> ( E. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = (/) -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) ) )
25		vsnid 3608	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. { z }
26		elun2 3290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. { z } -> z e. ( y u. { z } ) )
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. ( y u. { z } )
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) -> z e. ( y u. { z } ) )
29		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = z -> ( g ` u ) = ( g ` z ) )
30	29	eqeq1d 2174	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = z -> ( ( g ` u ) = (/) <-> ( g ` z ) = (/) ) )
31	30	rspcev 2830	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ( y u. { z } ) /\ ( g ` z ) = (/) ) -> E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) )
32	28, 31	sylan 281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = (/) ) -> E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) )
33	32	orcd 723	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = (/) ) -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) )
34	33	a1d 22	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = (/) ) -> ( A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) ) )
35		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = 1o ) /\ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) -> A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o )
36		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = u -> ( ( g |` y ) ` x ) = ( ( g |` y ) ` u ) )
37	36	eqeq1d 2174	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = u -> ( ( ( g |` y ) ` x ) = 1o <-> ( ( g |` y ) ` u ) = 1o ) )
38	37	cbvralv 2692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o <-> A. u e. y ( ( g |` y ) ` u ) = 1o )
39		fvres 5510	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. y -> ( ( g |` y ) ` u ) = ( g ` u ) )
40	39	eqeq1d 2174	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. y -> ( ( ( g |` y ) ` u ) = 1o <-> ( g ` u ) = 1o ) )
41	40	ralbiia 2480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. u e. y ( ( g |` y ) ` u ) = 1o <-> A. u e. y ( g ` u ) = 1o )
42	38, 41	bitri 183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o <-> A. u e. y ( g ` u ) = 1o )
43	35, 42	sylib 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = 1o ) /\ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) -> A. u e. y ( g ` u ) = 1o )
44		simplr 520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = 1o ) /\ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) -> ( g ` z ) = 1o )
45		vex 2729	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
46	29	eqeq1d 2174	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = z -> ( ( g ` u ) = 1o <-> ( g ` z ) = 1o ) )
47	45, 46	ralsn 3619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. u e. { z } ( g ` u ) = 1o <-> ( g ` z ) = 1o )
48	44, 47	sylibr 133	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = 1o ) /\ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) -> A. u e. { z } ( g ` u ) = 1o )
49		ralun 3304	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. u e. y ( g ` u ) = 1o /\ A. u e. { z } ( g ` u ) = 1o ) -> A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o )
50	43, 48, 49	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = 1o ) /\ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) -> A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o )
51	50	olcd 724	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = 1o ) /\ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) )
52	51	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = 1o ) -> ( A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) ) )
53		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) -> g : ( y u. { z } ) --> 2o )
54	53, 28	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) -> ( g ` z ) e. 2o )
55		df2o3 6398	. . . . . . . . . 10 |- 2o = { (/) , 1o }
56	54, 55	eleqtrdi 2259	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) -> ( g ` z ) e. { (/) , 1o } )
57		elpri 3599	. . . . . . . . 9 |- ( ( g ` z ) e. { (/) , 1o } -> ( ( g ` z ) = (/) \/ ( g ` z ) = 1o ) )
58	56, 57	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) -> ( ( g ` z ) = (/) \/ ( g ` z ) = 1o ) )
59	34, 52, 58	mpjaodan 788	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) -> ( A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) ) )
60		vex 2729	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
61		isomni 7100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. _V -> ( y e. Omni <-> A. f ( f : y --> 2o -> ( E. x e. y ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( f ` x ) = 1o ) ) ) )
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. Omni <-> A. f ( f : y --> 2o -> ( E. x e. y ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( f ` x ) = 1o ) ) )
63	62	biimpi 119	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. Omni -> A. f ( f : y --> 2o -> ( E. x e. y ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( f ` x ) = 1o ) ) )
64	63	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) -> A. f ( f : y --> 2o -> ( E. x e. y ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( f ` x ) = 1o ) ) )
65		vex 2729	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
66	65	resex 4925	. . . . . . . . . 10 |- ( g |` y ) e. _V
67		feq1 5320	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( g |` y ) -> ( f : y --> 2o <-> ( g |` y ) : y --> 2o ) )
68		fveq1 5485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( g |` y ) -> ( f ` x ) = ( ( g |` y ) ` x ) )
69	68	eqeq1d 2174	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( g |` y ) -> ( ( f ` x ) = (/) <-> ( ( g |` y ) ` x ) = (/) ) )
70	69	rexbidv 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( g |` y ) -> ( E. x e. y ( f ` x ) = (/) <-> E. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = (/) ) )
71	68	eqeq1d 2174	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( g |` y ) -> ( ( f ` x ) = 1o <-> ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) )
72	71	ralbidv 2466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( g |` y ) -> ( A. x e. y ( f ` x ) = 1o <-> A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) )
73	70, 72	orbi12d 783	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( g |` y ) -> ( ( E. x e. y ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( f ` x ) = 1o ) <-> ( E. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) ) )
74	67, 73	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( g |` y ) -> ( ( f : y --> 2o -> ( E. x e. y ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( f ` x ) = 1o ) ) <-> ( ( g |` y ) : y --> 2o -> ( E. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) ) ) )
75	66, 74	spcv 2820	. . . . . . . . 9 |- ( A. f ( f : y --> 2o -> ( E. x e. y ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( f ` x ) = 1o ) ) -> ( ( g |` y ) : y --> 2o -> ( E. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) ) )
76	64, 75	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) -> ( ( g |` y ) : y --> 2o -> ( E. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) ) )
77		ssun1 3285	. . . . . . . . 9 |- y C_ ( y u. { z } )
78		fssres 5363	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : ( y u. { z } ) --> 2o /\ y C_ ( y u. { z } ) ) -> ( g |` y ) : y --> 2o )
79	77, 78	mpan2 422	. . . . . . . 8 |- ( g : ( y u. { z } ) --> 2o -> ( g |` y ) : y --> 2o )
80	76, 79	impel 278	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) -> ( E. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) )
81	24, 59, 80	mpjaod 708	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) )
82	81	ex 114	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) -> ( g : ( y u. { z } ) --> 2o -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) ) )
83	82	alrimiv 1862	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) -> A. g ( g : ( y u. { z } ) --> 2o -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) ) )
84	45	snex 4164	. . . . . 6 |- { z } e. _V
85	60, 84	unex 4419	. . . . 5 |- ( y u. { z } ) e. _V
86		isomni 7100	. . . . 5 |- ( ( y u. { z } ) e. _V -> ( ( y u. { z } ) e. Omni <-> A. g ( g : ( y u. { z } ) --> 2o -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) ) ) )
87	85, 86	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( y u. { z } ) e. Omni <-> A. g ( g : ( y u. { z } ) --> 2o -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) ) )
88	83, 87	sylibr 133	. . 3 |- ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) -> ( y u. { z } ) e. Omni )
89	88	ex 114	. 2 |- ( y e. Fin -> ( y e. Omni -> ( y u. { z } ) e. Omni ) )
90	1, 2, 3, 4, 11, 89	findcard2 6855	1 |- ( A e. Fin -> A e. Omni )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   A.wal 1341   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   u. cun 3114   C_ wss 3116   (/)c0 3409   {csn 3576   {cpr 3577   |` cres 4606   -->wf 5184   ` cfv 5188   1oc1o 6377   2oc2o 6378   Fincfn 6706  Omnicomni 7098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1o 6384  df-2o 6385  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709  df-omni 7099

This theorem is referenced by:  trilpolemlt1  13920