Theorem finomni 6743

Description: A finite set is omniscient. Remark right after Definition 3.1 of [Pierik], p. 14. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
finomni	|- ( A e. Fin -> A e. Omni )

Proof of Theorem finomni

Dummy variables w y z f g x u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2147	. 2 |- ( w = (/) -> ( w e. Omni <-> (/) e. Omni ) )
2		eleq1 2147	. 2 |- ( w = y -> ( w e. Omni <-> y e. Omni ) )
3		eleq1 2147	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w e. Omni <-> ( y u. { z } ) e. Omni ) )
4		eleq1 2147	. 2 |- ( w = A -> ( w e. Omni <-> A e. Omni ) )
5		0ex 3943	. . . 4 |- (/) e. _V
6		isomni 6739	. . . 4 |- ( (/) e. _V -> ( (/) e. Omni <-> A. f ( f : (/) --> 2o -> ( E. x e. (/) ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. (/) ( f ` x ) = 1o ) ) ) )
7	5, 6	ax-mp 7	. . 3 |- ( (/) e. Omni <-> A. f ( f : (/) --> 2o -> ( E. x e. (/) ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. (/) ( f ` x ) = 1o ) ) )
8		ral0 3370	. . . . 5 |- A. x e. (/) ( f ` x ) = 1o
9	8	olci 684	. . . 4 |- ( E. x e. (/) ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. (/) ( f ` x ) = 1o )
10	9	a1i 9	. . 3 |- ( f : (/) --> 2o -> ( E. x e. (/) ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. (/) ( f ` x ) = 1o ) )
11	7, 10	mpgbir 1385	. 2 |- (/) e. Omni
12		elun1 3156	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. y -> x e. ( y u. { z } ) )
13	12	ad2antlr 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ x e. y ) /\ ( ( g |` y ) ` x ) = (/) ) -> x e. ( y u. { z } ) )
14		fvres 5294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. y -> ( ( g |` y ) ` x ) = ( g ` x ) )
15	14	ad2antlr 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ x e. y ) /\ ( ( g |` y ) ` x ) = (/) ) -> ( ( g |` y ) ` x ) = ( g ` x ) )
16		simpr 108	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ x e. y ) /\ ( ( g |` y ) ` x ) = (/) ) -> ( ( g |` y ) ` x ) = (/) )
17	15, 16	eqtr3d 2119	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ x e. y ) /\ ( ( g |` y ) ` x ) = (/) ) -> ( g ` x ) = (/) )
18		fveq2 5270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = x -> ( g ` u ) = ( g ` x ) )
19	18	eqeq1d 2093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = x -> ( ( g ` u ) = (/) <-> ( g ` x ) = (/) ) )
20	19	rspcev 2715	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( y u. { z } ) /\ ( g ` x ) = (/) ) -> E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) )
21	13, 17, 20	syl2anc 403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ x e. y ) /\ ( ( g |` y ) ` x ) = (/) ) -> E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) )
22	21	orcd 685	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ x e. y ) /\ ( ( g |` y ) ` x ) = (/) ) -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) )
23	22	ex 113	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ x e. y ) -> ( ( ( g |` y ) ` x ) = (/) -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) ) )
24	23	rexlimdva 2485	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) -> ( E. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = (/) -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) ) )
25		vsnid 3461	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. { z }
26		elun2 3157	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. { z } -> z e. ( y u. { z } ) )
27	25, 26	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. ( y u. { z } )
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) -> z e. ( y u. { z } ) )
29		fveq2 5270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = z -> ( g ` u ) = ( g ` z ) )
30	29	eqeq1d 2093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = z -> ( ( g ` u ) = (/) <-> ( g ` z ) = (/) ) )
31	30	rspcev 2715	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ( y u. { z } ) /\ ( g ` z ) = (/) ) -> E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) )
32	28, 31	sylan 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = (/) ) -> E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) )
33	32	orcd 685	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = (/) ) -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) )
34	33	a1d 22	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = (/) ) -> ( A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) ) )
35		simpr 108	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = 1o ) /\ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) -> A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o )
36		fveq2 5270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = u -> ( ( g |` y ) ` x ) = ( ( g |` y ) ` u ) )
37	36	eqeq1d 2093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = u -> ( ( ( g |` y ) ` x ) = 1o <-> ( ( g |` y ) ` u ) = 1o ) )
38	37	cbvralv 2586	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o <-> A. u e. y ( ( g |` y ) ` u ) = 1o )
39		fvres 5294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. y -> ( ( g |` y ) ` u ) = ( g ` u ) )
40	39	eqeq1d 2093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. y -> ( ( ( g |` y ) ` u ) = 1o <-> ( g ` u ) = 1o ) )
41	40	ralbiia 2388	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. u e. y ( ( g |` y ) ` u ) = 1o <-> A. u e. y ( g ` u ) = 1o )
42	38, 41	bitri 182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o <-> A. u e. y ( g ` u ) = 1o )
43	35, 42	sylib 120	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = 1o ) /\ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) -> A. u e. y ( g ` u ) = 1o )
44		simplr 497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = 1o ) /\ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) -> ( g ` z ) = 1o )
45		vex 2618	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
46	29	eqeq1d 2093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = z -> ( ( g ` u ) = 1o <-> ( g ` z ) = 1o ) )
47	45, 46	ralsn 3471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. u e. { z } ( g ` u ) = 1o <-> ( g ` z ) = 1o )
48	44, 47	sylibr 132	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = 1o ) /\ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) -> A. u e. { z } ( g ` u ) = 1o )
49		ralun 3171	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. u e. y ( g ` u ) = 1o /\ A. u e. { z } ( g ` u ) = 1o ) -> A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o )
50	43, 48, 49	syl2anc 403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = 1o ) /\ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) -> A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o )
51	50	olcd 686	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = 1o ) /\ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) )
52	51	ex 113	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) /\ ( g ` z ) = 1o ) -> ( A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) ) )
53		simpr 108	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) -> g : ( y u. { z } ) --> 2o )
54	53, 28	ffvelrnd 5400	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) -> ( g ` z ) e. 2o )
55		df2o3 6151	. . . . . . . . . 10 |- 2o = { (/) , 1o }
56	54, 55	syl6eleq 2177	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) -> ( g ` z ) e. { (/) , 1o } )
57		elpri 3454	. . . . . . . . 9 |- ( ( g ` z ) e. { (/) , 1o } -> ( ( g ` z ) = (/) \/ ( g ` z ) = 1o ) )
58	56, 57	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) -> ( ( g ` z ) = (/) \/ ( g ` z ) = 1o ) )
59	34, 52, 58	mpjaodan 745	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) -> ( A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) ) )
60		vex 2618	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
61		isomni 6739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. _V -> ( y e. Omni <-> A. f ( f : y --> 2o -> ( E. x e. y ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( f ` x ) = 1o ) ) ) )
62	60, 61	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. Omni <-> A. f ( f : y --> 2o -> ( E. x e. y ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( f ` x ) = 1o ) ) )
63	62	biimpi 118	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. Omni -> A. f ( f : y --> 2o -> ( E. x e. y ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( f ` x ) = 1o ) ) )
64	63	adantl 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) -> A. f ( f : y --> 2o -> ( E. x e. y ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( f ` x ) = 1o ) ) )
65		vex 2618	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
66	65	resex 4722	. . . . . . . . . 10 |- ( g |` y ) e. _V
67		feq1 5112	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( g |` y ) -> ( f : y --> 2o <-> ( g |` y ) : y --> 2o ) )
68		fveq1 5269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( g |` y ) -> ( f ` x ) = ( ( g |` y ) ` x ) )
69	68	eqeq1d 2093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( g |` y ) -> ( ( f ` x ) = (/) <-> ( ( g |` y ) ` x ) = (/) ) )
70	69	rexbidv 2377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( g |` y ) -> ( E. x e. y ( f ` x ) = (/) <-> E. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = (/) ) )
71	68	eqeq1d 2093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( g |` y ) -> ( ( f ` x ) = 1o <-> ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) )
72	71	ralbidv 2376	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( g |` y ) -> ( A. x e. y ( f ` x ) = 1o <-> A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) )
73	70, 72	orbi12d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( g |` y ) -> ( ( E. x e. y ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( f ` x ) = 1o ) <-> ( E. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) ) )
74	67, 73	imbi12d 232	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( g |` y ) -> ( ( f : y --> 2o -> ( E. x e. y ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( f ` x ) = 1o ) ) <-> ( ( g |` y ) : y --> 2o -> ( E. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) ) ) )
75	66, 74	spcv 2705	. . . . . . . . 9 |- ( A. f ( f : y --> 2o -> ( E. x e. y ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( f ` x ) = 1o ) ) -> ( ( g |` y ) : y --> 2o -> ( E. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) ) )
76	64, 75	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) -> ( ( g |` y ) : y --> 2o -> ( E. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) ) )
77		ssun1 3152	. . . . . . . . 9 |- y C_ ( y u. { z } )
78		fssres 5152	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : ( y u. { z } ) --> 2o /\ y C_ ( y u. { z } ) ) -> ( g |` y ) : y --> 2o )
79	77, 78	mpan2 416	. . . . . . . 8 |- ( g : ( y u. { z } ) --> 2o -> ( g |` y ) : y --> 2o )
80	76, 79	impel 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) -> ( E. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = (/) \/ A. x e. y ( ( g |` y ) ` x ) = 1o ) )
81	24, 59, 80	mpjaod 671	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) /\ g : ( y u. { z } ) --> 2o ) -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) )
82	81	ex 113	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) -> ( g : ( y u. { z } ) --> 2o -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) ) )
83	82	alrimiv 1799	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) -> A. g ( g : ( y u. { z } ) --> 2o -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) ) )
84	45	snex 3996	. . . . . 6 |- { z } e. _V
85	60, 84	unex 4242	. . . . 5 |- ( y u. { z } ) e. _V
86		isomni 6739	. . . . 5 |- ( ( y u. { z } ) e. _V -> ( ( y u. { z } ) e. Omni <-> A. g ( g : ( y u. { z } ) --> 2o -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) ) ) )
87	85, 86	ax-mp 7	. . . 4 |- ( ( y u. { z } ) e. Omni <-> A. g ( g : ( y u. { z } ) --> 2o -> ( E. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = (/) \/ A. u e. ( y u. { z } ) ( g ` u ) = 1o ) ) )
88	83, 87	sylibr 132	. . 3 |- ( ( y e. Fin /\ y e. Omni ) -> ( y u. { z } ) e. Omni )
89	88	ex 113	. 2 |- ( y e. Fin -> ( y e. Omni -> ( y u. { z } ) e. Omni ) )
90	1, 2, 3, 4, 11, 89	findcard2 6559	1 |- ( A e. Fin -> A e. Omni )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 662   A.wal 1285   = wceq 1287   e. wcel 1436   A.wral 2355   E.wrex 2356   _Vcvv 2615   u. cun 2986   C_ wss 2988   (/)c0 3275   {csn 3431   {cpr 3432   |` cres 4415   -->wf 4979   ` cfv 4983   1oc1o 6130   2oc2o 6131   Fincfn 6411  Omnicomni 6735

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-iord 4169  df-on 4171  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-1o 6137  df-2o 6138  df-er 6246  df-en 6412  df-fin 6414  df-omni 6737

This theorem is referenced by: (None)