Theorem unex 4472

Description: The union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 1-Jul-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
unex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
unex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
unex	⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem unex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unex.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		unex.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	1, 2	unipr 3849	. 2 ⊢ ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵)
4		prexg 4240	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
5	1, 2, 4	mp2an 426	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
6	5	uniex 4468	. 2 ⊢ ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ V
7	3, 6	eqeltrri 2267	1 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ∪ cun 3151  {cpr 3619  ∪ cuni 3835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836

This theorem is referenced by:  unexb  4473  rdg0  6440  unen  6870  findcard2  6945  findcard2s  6946  ac6sfi  6954  sbthlemi10  7025  finomni  7199  exmidfodomrlemim  7261  nn0ex  9246  xrex  9922  xnn0nnen  10508  nninfct  12178  exmidunben  12583  strleun  12722  fngsum  12971  fnpsr  14153