Theorem unex 4587

Description: The union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 1-Jul-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
unex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
unex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
unex	⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem unex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unex.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		unex.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	1, 2	unipr 3949	. 2 ⊢ ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵)
4		prexg 4349	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
5	1, 2, 4	mp2an 430	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
6	5	uniex 4583	. 2 ⊢ ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ V
7	3, 6	eqeltrri 2312	1 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218  {cpr 3710  ∪ cuni 3935

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936

This theorem is used by:  unexb  4588  rdg0  6658  unen  7105  findcard2  7193  findcard2s  7194  ac6sfi  7202  sbthlemi10  7283  finomni  7480  exmidfodomrlemim  7553  nn0ex  9571  xrex  10260  xnn0nnen  10876  hashfibclem  11284  nninfct  12820  exmidunben  13319  strleun  13460  fngzsum  13710  fnpsr  15053