Theorem unex 4459

Description: The union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 1-Jul-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
unex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
unex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
unex	⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem unex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unex.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		unex.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	1, 2	unipr 3838	. 2 ⊢ ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵)
4		prexg 4229	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
5	1, 2, 4	mp2an 426	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
6	5	uniex 4455	. 2 ⊢ ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ V
7	3, 6	eqeltrri 2263	1 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752   ∪ cun 3142  {cpr 3608  ∪ cuni 3824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pr 4227  ax-un 4451

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-sn 3613  df-pr 3614  df-uni 3825

This theorem is referenced by:  unexb  4460  rdg0  6411  unen  6841  findcard2  6916  findcard2s  6917  ac6sfi  6925  sbthlemi10  6994  finomni  7167  exmidfodomrlemim  7229  nn0ex  9211  xrex  9885  exmidunben  12476  strleun  12613