Theorem findcard2 6945

Description: Schema for induction on the cardinality of a finite set. The inductive step shows that the result is true if one more element is added to the set. The result is then proven to be true for all finite sets. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jul-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
findcard2.1	|- ( x = (/) -> ( ph <-> ps ) )
findcard2.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
findcard2.3	|- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ph <-> th ) )
findcard2.4	|- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
findcard2.5	|- ps
findcard2.6	|- ( y e. Fin -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
findcard2	|- ( A e. Fin -> ta )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   ps, x   ch, x   th, x   ta, x   ph, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y, z)   ch( y, z)   th( y, z)   ta( y, z)

Proof of Theorem findcard2

Dummy variables w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		findcard2.4	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
2		isfi 6815	. . 3 |- ( x e. Fin <-> E. w e. om x ~~ w )
3		breq2 4033	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( x ~~ w <-> x ~~ (/) ) )
4	3	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( ( x ~~ w -> ph ) <-> ( x ~~ (/) -> ph ) ) )
5	4	albidv 1835	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( A. x ( x ~~ w -> ph ) <-> A. x ( x ~~ (/) -> ph ) ) )
6		breq2 4033	. . . . . . . 8 |- ( w = v -> ( x ~~ w <-> x ~~ v ) )
7	6	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( w = v -> ( ( x ~~ w -> ph ) <-> ( x ~~ v -> ph ) ) )
8	7	albidv 1835	. . . . . 6 |- ( w = v -> ( A. x ( x ~~ w -> ph ) <-> A. x ( x ~~ v -> ph ) ) )
9		breq2 4033	. . . . . . . 8 |- ( w = suc v -> ( x ~~ w <-> x ~~ suc v ) )
10	9	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( w = suc v -> ( ( x ~~ w -> ph ) <-> ( x ~~ suc v -> ph ) ) )
11	10	albidv 1835	. . . . . 6 |- ( w = suc v -> ( A. x ( x ~~ w -> ph ) <-> A. x ( x ~~ suc v -> ph ) ) )
12		en0 6849	. . . . . . . 8 |- ( x ~~ (/) <-> x = (/) )
13		findcard2.5	. . . . . . . . 9 |- ps
14		findcard2.1	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( ph <-> ps ) )
15	13, 14	mpbiri 168	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ph )
16	12, 15	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( x ~~ (/) -> ph )
17	16	ax-gen 1460	. . . . . 6 |- A. x ( x ~~ (/) -> ph )
18		peano3 4628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. om -> suc v =/= (/) )
19	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> suc v =/= (/) )
20		breq1 4032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = (/) -> ( w ~~ suc v <-> (/) ~~ suc v ) )
21	20	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = (/) -> ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) <-> ( v e. om /\ (/) ~~ suc v ) ) )
22		peano1 4626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (/) e. om
23		peano2 4627	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. om -> suc v e. om )
24		nneneq 6913	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( (/) e. om /\ suc v e. om ) -> ( (/) ~~ suc v <-> (/) = suc v ) )
25	22, 23, 24	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v e. om -> ( (/) ~~ suc v <-> (/) = suc v ) )
26	25	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. om /\ (/) ~~ suc v ) -> (/) = suc v )
27	26	eqcomd 2199	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. om /\ (/) ~~ suc v ) -> suc v = (/) )
28	21, 27	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = (/) -> ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> suc v = (/) ) )
29	28	com12 30	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( w = (/) -> suc v = (/) ) )
30	29	necon3d 2408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( suc v =/= (/) -> w =/= (/) ) )
31	19, 30	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> w =/= (/) )
32	31	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. om -> ( w ~~ suc v -> w =/= (/) ) )
33		nnfi 6928	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( suc v e. om -> suc v e. Fin )
34	23, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. om -> suc v e. Fin )
35	34	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> suc v e. Fin )
36		enfi 6929	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w ~~ suc v -> ( w e. Fin <-> suc v e. Fin ) )
37	36	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( w e. Fin <-> suc v e. Fin ) )
38	35, 37	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> w e. Fin )
39		fin0 6941	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. Fin -> ( w =/= (/) <-> E. z z e. w ) )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( w =/= (/) <-> E. z z e. w ) )
41		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) /\ z e. w ) -> v e. om )
42		dif1en 6935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v /\ z e. w ) -> ( w \ { z } ) ~~ v )
43	42	3expa 1205	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) /\ z e. w ) -> ( w \ { z } ) ~~ v )
44		fidifsnid 6927	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w e. Fin /\ z e. w ) -> ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w )
45	38, 44	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) /\ z e. w ) -> ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w )
46		vex 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- w e. _V
47		difexg 4170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. _V -> ( w \ { z } ) e. _V )
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w \ { z } ) e. _V
49		breq1 4032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( y ~~ v <-> ( w \ { z } ) ~~ v ) )
50	49	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( ( v e. om /\ y ~~ v ) <-> ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) ) )
51		uneq1 3306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( y u. { z } ) = ( ( w \ { z } ) u. { z } ) )
52	51	sbceq1d 2990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( [. ( y u. { z } ) / x ]. ph <-> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) )
53	52	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( y u. { z } ) / x ]. ph ) <-> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) ) )
54	50, 53	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( y u. { z } ) / x ]. ph ) ) <-> ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) ) ) )
55		breq1 4032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = y -> ( x ~~ v <-> y ~~ v ) )
56		findcard2.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
57	55, 56	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = y -> ( ( x ~~ v -> ph ) <-> ( y ~~ v -> ch ) ) )
58	57	spv 1871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> ( y ~~ v -> ch ) )
59		rspe 2543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> E. v e. om y ~~ v )
60		isfi 6815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. Fin <-> E. v e. om y ~~ v )
61	59, 60	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> y e. Fin )
62		pm2.27 40	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y ~~ v -> ( ( y ~~ v -> ch ) -> ch ) )
63	62	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( ( y ~~ v -> ch ) -> ch ) )
64		findcard2.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. Fin -> ( ch -> th ) )
65	61, 63, 64	sylsyld 58	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( ( y ~~ v -> ch ) -> th ) )
66	58, 65	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> th ) )
67		vex 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- y e. _V
68		vex 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- z e. _V
69	68	snex 4214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { z } e. _V
70	67, 69	unex 4472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y u. { z } ) e. _V
71		findcard2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ph <-> th ) )
72	70, 71	sbcie 3020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( [. ( y u. { z } ) / x ]. ph <-> th )
73	66, 72	imbitrrdi 162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( y u. { z } ) / x ]. ph ) )
74	48, 54, 73	vtocl 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) )
75		dfsbcq 2987	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w -> ( [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph <-> [. w / x ]. ph ) )
76	75	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w -> ( ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) <-> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
77	74, 76	imbitrid 154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w -> ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
78	45, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) /\ z e. w ) -> ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
79	41, 43, 78	mp2and 433	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) /\ z e. w ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) )
80	79	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( z e. w -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
81	80	exlimdv 1830	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( E. z z e. w -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
82	40, 81	sylbid 150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( w =/= (/) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
83	82	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. om -> ( w ~~ suc v -> ( w =/= (/) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) ) )
84	32, 83	mpdd 41	. . . . . . . . 9 |- ( v e. om -> ( w ~~ suc v -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
85	84	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( v e. om -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) ) )
86	85	alrimdv 1887	. . . . . . 7 |- ( v e. om -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> A. w ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) ) )
87		nfv 1539	. . . . . . . 8 |- F/ w ( x ~~ suc v -> ph )
88		nfv 1539	. . . . . . . . 9 |- F/ x w ~~ suc v
89		nfsbc1v 3004	. . . . . . . . 9 |- F/ x [. w / x ]. ph
90	88, 89	nfim 1583	. . . . . . . 8 |- F/ x ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph )
91		breq1 4032	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( x ~~ suc v <-> w ~~ suc v ) )
92		sbceq1a 2995	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( ph <-> [. w / x ]. ph ) )
93	91, 92	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( ( x ~~ suc v -> ph ) <-> ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) ) )
94	87, 90, 93	cbval 1765	. . . . . . 7 |- ( A. x ( x ~~ suc v -> ph ) <-> A. w ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) )
95	86, 94	imbitrrdi 162	. . . . . 6 |- ( v e. om -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> A. x ( x ~~ suc v -> ph ) ) )
96	5, 8, 11, 17, 95	finds1 4634	. . . . 5 |- ( w e. om -> A. x ( x ~~ w -> ph ) )
97	96	19.21bi 1569	. . . 4 |- ( w e. om -> ( x ~~ w -> ph ) )
98	97	rexlimiv 2605	. . 3 |- ( E. w e. om x ~~ w -> ph )
99	2, 98	sylbi 121	. 2 |- ( x e. Fin -> ph )
100	1, 99	vtoclga 2826	1 |- ( A e. Fin -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   =/= wne 2364   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   [.wsbc 2985   \ cdif 3150   u. cun 3151   (/)c0 3446   {csn 3618   class class class wbr 4029   suc csuc 4396   omcom 4622   ~~ cen 6792   Fincfn 6794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797

This theorem is referenced by:  finomni  7199  rexfiuz  11133  fimaxre2  11370