Theorem findcard2 6783

Description: Schema for induction on the cardinality of a finite set. The inductive step shows that the result is true if one more element is added to the set. The result is then proven to be true for all finite sets. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jul-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
findcard2.1	|- ( x = (/) -> ( ph <-> ps ) )
findcard2.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
findcard2.3	|- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ph <-> th ) )
findcard2.4	|- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
findcard2.5	|- ps
findcard2.6	|- ( y e. Fin -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
findcard2	|- ( A e. Fin -> ta )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   ps, x   ch, x   th, x   ta, x   ph, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y, z)   ch( y, z)   th( y, z)   ta( y, z)

Proof of Theorem findcard2

Dummy variables w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		findcard2.4	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
2		isfi 6655	. . 3 |- ( x e. Fin <-> E. w e. om x ~~ w )
3		breq2 3933	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( x ~~ w <-> x ~~ (/) ) )
4	3	imbi1d 230	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( ( x ~~ w -> ph ) <-> ( x ~~ (/) -> ph ) ) )
5	4	albidv 1796	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( A. x ( x ~~ w -> ph ) <-> A. x ( x ~~ (/) -> ph ) ) )
6		breq2 3933	. . . . . . . 8 |- ( w = v -> ( x ~~ w <-> x ~~ v ) )
7	6	imbi1d 230	. . . . . . 7 |- ( w = v -> ( ( x ~~ w -> ph ) <-> ( x ~~ v -> ph ) ) )
8	7	albidv 1796	. . . . . 6 |- ( w = v -> ( A. x ( x ~~ w -> ph ) <-> A. x ( x ~~ v -> ph ) ) )
9		breq2 3933	. . . . . . . 8 |- ( w = suc v -> ( x ~~ w <-> x ~~ suc v ) )
10	9	imbi1d 230	. . . . . . 7 |- ( w = suc v -> ( ( x ~~ w -> ph ) <-> ( x ~~ suc v -> ph ) ) )
11	10	albidv 1796	. . . . . 6 |- ( w = suc v -> ( A. x ( x ~~ w -> ph ) <-> A. x ( x ~~ suc v -> ph ) ) )
12		en0 6689	. . . . . . . 8 |- ( x ~~ (/) <-> x = (/) )
13		findcard2.5	. . . . . . . . 9 |- ps
14		findcard2.1	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( ph <-> ps ) )
15	13, 14	mpbiri 167	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ph )
16	12, 15	sylbi 120	. . . . . . 7 |- ( x ~~ (/) -> ph )
17	16	ax-gen 1425	. . . . . 6 |- A. x ( x ~~ (/) -> ph )
18		peano3 4510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. om -> suc v =/= (/) )
19	18	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> suc v =/= (/) )
20		breq1 3932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = (/) -> ( w ~~ suc v <-> (/) ~~ suc v ) )
21	20	anbi2d 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = (/) -> ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) <-> ( v e. om /\ (/) ~~ suc v ) ) )
22		peano1 4508	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (/) e. om
23		peano2 4509	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. om -> suc v e. om )
24		nneneq 6751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( (/) e. om /\ suc v e. om ) -> ( (/) ~~ suc v <-> (/) = suc v ) )
25	22, 23, 24	sylancr 410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v e. om -> ( (/) ~~ suc v <-> (/) = suc v ) )
26	25	biimpa 294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. om /\ (/) ~~ suc v ) -> (/) = suc v )
27	26	eqcomd 2145	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. om /\ (/) ~~ suc v ) -> suc v = (/) )
28	21, 27	syl6bi 162	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = (/) -> ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> suc v = (/) ) )
29	28	com12 30	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( w = (/) -> suc v = (/) ) )
30	29	necon3d 2352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( suc v =/= (/) -> w =/= (/) ) )
31	19, 30	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> w =/= (/) )
32	31	ex 114	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. om -> ( w ~~ suc v -> w =/= (/) ) )
33		nnfi 6766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( suc v e. om -> suc v e. Fin )
34	23, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. om -> suc v e. Fin )
35	34	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> suc v e. Fin )
36		enfi 6767	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w ~~ suc v -> ( w e. Fin <-> suc v e. Fin ) )
37	36	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( w e. Fin <-> suc v e. Fin ) )
38	35, 37	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> w e. Fin )
39		fin0 6779	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. Fin -> ( w =/= (/) <-> E. z z e. w ) )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( w =/= (/) <-> E. z z e. w ) )
41		simpll 518	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) /\ z e. w ) -> v e. om )
42		dif1en 6773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v /\ z e. w ) -> ( w \ { z } ) ~~ v )
43	42	3expa 1181	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) /\ z e. w ) -> ( w \ { z } ) ~~ v )
44		fidifsnid 6765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w e. Fin /\ z e. w ) -> ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w )
45	38, 44	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) /\ z e. w ) -> ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w )
46		vex 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- w e. _V
47		difexg 4069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. _V -> ( w \ { z } ) e. _V )
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w \ { z } ) e. _V
49		breq1 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( y ~~ v <-> ( w \ { z } ) ~~ v ) )
50	49	anbi2d 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( ( v e. om /\ y ~~ v ) <-> ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) ) )
51		uneq1 3223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( y u. { z } ) = ( ( w \ { z } ) u. { z } ) )
52	51	sbceq1d 2914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( [. ( y u. { z } ) / x ]. ph <-> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) )
53	52	imbi2d 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( y u. { z } ) / x ]. ph ) <-> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) ) )
54	50, 53	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( y u. { z } ) / x ]. ph ) ) <-> ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) ) ) )
55		breq1 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = y -> ( x ~~ v <-> y ~~ v ) )
56		findcard2.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
57	55, 56	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = y -> ( ( x ~~ v -> ph ) <-> ( y ~~ v -> ch ) ) )
58	57	spv 1832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> ( y ~~ v -> ch ) )
59		rspe 2481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> E. v e. om y ~~ v )
60		isfi 6655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. Fin <-> E. v e. om y ~~ v )
61	59, 60	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> y e. Fin )
62		pm2.27 40	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y ~~ v -> ( ( y ~~ v -> ch ) -> ch ) )
63	62	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( ( y ~~ v -> ch ) -> ch ) )
64		findcard2.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. Fin -> ( ch -> th ) )
65	61, 63, 64	sylsyld 58	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( ( y ~~ v -> ch ) -> th ) )
66	58, 65	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> th ) )
67		vex 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- y e. _V
68		vex 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- z e. _V
69	68	snex 4109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { z } e. _V
70	67, 69	unex 4362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y u. { z } ) e. _V
71		findcard2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ph <-> th ) )
72	70, 71	sbcie 2943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( [. ( y u. { z } ) / x ]. ph <-> th )
73	66, 72	syl6ibr 161	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( y u. { z } ) / x ]. ph ) )
74	48, 54, 73	vtocl 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) )
75		dfsbcq 2911	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w -> ( [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph <-> [. w / x ]. ph ) )
76	75	imbi2d 229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w -> ( ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) <-> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
77	74, 76	syl5ib 153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w -> ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
78	45, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) /\ z e. w ) -> ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
79	41, 43, 78	mp2and 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) /\ z e. w ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) )
80	79	ex 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( z e. w -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
81	80	exlimdv 1791	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( E. z z e. w -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
82	40, 81	sylbid 149	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( w =/= (/) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
83	82	ex 114	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. om -> ( w ~~ suc v -> ( w =/= (/) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) ) )
84	32, 83	mpdd 41	. . . . . . . . 9 |- ( v e. om -> ( w ~~ suc v -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
85	84	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( v e. om -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) ) )
86	85	alrimdv 1848	. . . . . . 7 |- ( v e. om -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> A. w ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) ) )
87		nfv 1508	. . . . . . . 8 |- F/ w ( x ~~ suc v -> ph )
88		nfv 1508	. . . . . . . . 9 |- F/ x w ~~ suc v
89		nfsbc1v 2927	. . . . . . . . 9 |- F/ x [. w / x ]. ph
90	88, 89	nfim 1551	. . . . . . . 8 |- F/ x ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph )
91		breq1 3932	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( x ~~ suc v <-> w ~~ suc v ) )
92		sbceq1a 2918	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( ph <-> [. w / x ]. ph ) )
93	91, 92	imbi12d 233	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( ( x ~~ suc v -> ph ) <-> ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) ) )
94	87, 90, 93	cbval 1727	. . . . . . 7 |- ( A. x ( x ~~ suc v -> ph ) <-> A. w ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) )
95	86, 94	syl6ibr 161	. . . . . 6 |- ( v e. om -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> A. x ( x ~~ suc v -> ph ) ) )
96	5, 8, 11, 17, 95	finds1 4516	. . . . 5 |- ( w e. om -> A. x ( x ~~ w -> ph ) )
97	96	19.21bi 1537	. . . 4 |- ( w e. om -> ( x ~~ w -> ph ) )
98	97	rexlimiv 2543	. . 3 |- ( E. w e. om x ~~ w -> ph )
99	2, 98	sylbi 120	. 2 |- ( x e. Fin -> ph )
100	1, 99	vtoclga 2752	1 |- ( A e. Fin -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1329   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   =/= wne 2308   E.wrex 2417   _Vcvv 2686   [.wsbc 2909   \ cdif 3068   u. cun 3069   (/)c0 3363   {csn 3527   class class class wbr 3929   suc csuc 4287   omcom 4504   ~~ cen 6632   Fincfn 6634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637

This theorem is referenced by:  finomni  7012  rexfiuz  10761  fimaxre2  10998