Theorem findcard2 6855

Description: Schema for induction on the cardinality of a finite set. The inductive step shows that the result is true if one more element is added to the set. The result is then proven to be true for all finite sets. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jul-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
findcard2.1	|- ( x = (/) -> ( ph <-> ps ) )
findcard2.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
findcard2.3	|- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ph <-> th ) )
findcard2.4	|- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
findcard2.5	|- ps
findcard2.6	|- ( y e. Fin -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
findcard2	|- ( A e. Fin -> ta )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   ps, x   ch, x   th, x   ta, x   ph, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y, z)   ch( y, z)   th( y, z)   ta( y, z)

Proof of Theorem findcard2

Dummy variables w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		findcard2.4	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
2		isfi 6727	. . 3 |- ( x e. Fin <-> E. w e. om x ~~ w )
3		breq2 3986	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( x ~~ w <-> x ~~ (/) ) )
4	3	imbi1d 230	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( ( x ~~ w -> ph ) <-> ( x ~~ (/) -> ph ) ) )
5	4	albidv 1812	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( A. x ( x ~~ w -> ph ) <-> A. x ( x ~~ (/) -> ph ) ) )
6		breq2 3986	. . . . . . . 8 |- ( w = v -> ( x ~~ w <-> x ~~ v ) )
7	6	imbi1d 230	. . . . . . 7 |- ( w = v -> ( ( x ~~ w -> ph ) <-> ( x ~~ v -> ph ) ) )
8	7	albidv 1812	. . . . . 6 |- ( w = v -> ( A. x ( x ~~ w -> ph ) <-> A. x ( x ~~ v -> ph ) ) )
9		breq2 3986	. . . . . . . 8 |- ( w = suc v -> ( x ~~ w <-> x ~~ suc v ) )
10	9	imbi1d 230	. . . . . . 7 |- ( w = suc v -> ( ( x ~~ w -> ph ) <-> ( x ~~ suc v -> ph ) ) )
11	10	albidv 1812	. . . . . 6 |- ( w = suc v -> ( A. x ( x ~~ w -> ph ) <-> A. x ( x ~~ suc v -> ph ) ) )
12		en0 6761	. . . . . . . 8 |- ( x ~~ (/) <-> x = (/) )
13		findcard2.5	. . . . . . . . 9 |- ps
14		findcard2.1	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( ph <-> ps ) )
15	13, 14	mpbiri 167	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ph )
16	12, 15	sylbi 120	. . . . . . 7 |- ( x ~~ (/) -> ph )
17	16	ax-gen 1437	. . . . . 6 |- A. x ( x ~~ (/) -> ph )
18		peano3 4573	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. om -> suc v =/= (/) )
19	18	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> suc v =/= (/) )
20		breq1 3985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = (/) -> ( w ~~ suc v <-> (/) ~~ suc v ) )
21	20	anbi2d 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = (/) -> ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) <-> ( v e. om /\ (/) ~~ suc v ) ) )
22		peano1 4571	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (/) e. om
23		peano2 4572	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. om -> suc v e. om )
24		nneneq 6823	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( (/) e. om /\ suc v e. om ) -> ( (/) ~~ suc v <-> (/) = suc v ) )
25	22, 23, 24	sylancr 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v e. om -> ( (/) ~~ suc v <-> (/) = suc v ) )
26	25	biimpa 294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. om /\ (/) ~~ suc v ) -> (/) = suc v )
27	26	eqcomd 2171	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. om /\ (/) ~~ suc v ) -> suc v = (/) )
28	21, 27	syl6bi 162	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = (/) -> ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> suc v = (/) ) )
29	28	com12 30	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( w = (/) -> suc v = (/) ) )
30	29	necon3d 2380	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( suc v =/= (/) -> w =/= (/) ) )
31	19, 30	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> w =/= (/) )
32	31	ex 114	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. om -> ( w ~~ suc v -> w =/= (/) ) )
33		nnfi 6838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( suc v e. om -> suc v e. Fin )
34	23, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. om -> suc v e. Fin )
35	34	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> suc v e. Fin )
36		enfi 6839	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w ~~ suc v -> ( w e. Fin <-> suc v e. Fin ) )
37	36	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( w e. Fin <-> suc v e. Fin ) )
38	35, 37	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> w e. Fin )
39		fin0 6851	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. Fin -> ( w =/= (/) <-> E. z z e. w ) )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( w =/= (/) <-> E. z z e. w ) )
41		simpll 519	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) /\ z e. w ) -> v e. om )
42		dif1en 6845	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v /\ z e. w ) -> ( w \ { z } ) ~~ v )
43	42	3expa 1193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) /\ z e. w ) -> ( w \ { z } ) ~~ v )
44		fidifsnid 6837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w e. Fin /\ z e. w ) -> ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w )
45	38, 44	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) /\ z e. w ) -> ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w )
46		vex 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- w e. _V
47		difexg 4123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. _V -> ( w \ { z } ) e. _V )
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w \ { z } ) e. _V
49		breq1 3985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( y ~~ v <-> ( w \ { z } ) ~~ v ) )
50	49	anbi2d 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( ( v e. om /\ y ~~ v ) <-> ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) ) )
51		uneq1 3269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( y u. { z } ) = ( ( w \ { z } ) u. { z } ) )
52	51	sbceq1d 2956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( [. ( y u. { z } ) / x ]. ph <-> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) )
53	52	imbi2d 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( y u. { z } ) / x ]. ph ) <-> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) ) )
54	50, 53	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( y u. { z } ) / x ]. ph ) ) <-> ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) ) ) )
55		breq1 3985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = y -> ( x ~~ v <-> y ~~ v ) )
56		findcard2.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
57	55, 56	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = y -> ( ( x ~~ v -> ph ) <-> ( y ~~ v -> ch ) ) )
58	57	spv 1848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> ( y ~~ v -> ch ) )
59		rspe 2515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> E. v e. om y ~~ v )
60		isfi 6727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. Fin <-> E. v e. om y ~~ v )
61	59, 60	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> y e. Fin )
62		pm2.27 40	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y ~~ v -> ( ( y ~~ v -> ch ) -> ch ) )
63	62	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( ( y ~~ v -> ch ) -> ch ) )
64		findcard2.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. Fin -> ( ch -> th ) )
65	61, 63, 64	sylsyld 58	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( ( y ~~ v -> ch ) -> th ) )
66	58, 65	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> th ) )
67		vex 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- y e. _V
68		vex 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- z e. _V
69	68	snex 4164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { z } e. _V
70	67, 69	unex 4419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y u. { z } ) e. _V
71		findcard2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ph <-> th ) )
72	70, 71	sbcie 2985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( [. ( y u. { z } ) / x ]. ph <-> th )
73	66, 72	syl6ibr 161	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( y u. { z } ) / x ]. ph ) )
74	48, 54, 73	vtocl 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) )
75		dfsbcq 2953	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w -> ( [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph <-> [. w / x ]. ph ) )
76	75	imbi2d 229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w -> ( ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) <-> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
77	74, 76	syl5ib 153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w -> ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
78	45, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) /\ z e. w ) -> ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
79	41, 43, 78	mp2and 430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) /\ z e. w ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) )
80	79	ex 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( z e. w -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
81	80	exlimdv 1807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( E. z z e. w -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
82	40, 81	sylbid 149	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( w =/= (/) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
83	82	ex 114	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. om -> ( w ~~ suc v -> ( w =/= (/) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) ) )
84	32, 83	mpdd 41	. . . . . . . . 9 |- ( v e. om -> ( w ~~ suc v -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
85	84	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( v e. om -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) ) )
86	85	alrimdv 1864	. . . . . . 7 |- ( v e. om -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> A. w ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) ) )
87		nfv 1516	. . . . . . . 8 |- F/ w ( x ~~ suc v -> ph )
88		nfv 1516	. . . . . . . . 9 |- F/ x w ~~ suc v
89		nfsbc1v 2969	. . . . . . . . 9 |- F/ x [. w / x ]. ph
90	88, 89	nfim 1560	. . . . . . . 8 |- F/ x ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph )
91		breq1 3985	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( x ~~ suc v <-> w ~~ suc v ) )
92		sbceq1a 2960	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( ph <-> [. w / x ]. ph ) )
93	91, 92	imbi12d 233	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( ( x ~~ suc v -> ph ) <-> ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) ) )
94	87, 90, 93	cbval 1742	. . . . . . 7 |- ( A. x ( x ~~ suc v -> ph ) <-> A. w ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) )
95	86, 94	syl6ibr 161	. . . . . 6 |- ( v e. om -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> A. x ( x ~~ suc v -> ph ) ) )
96	5, 8, 11, 17, 95	finds1 4579	. . . . 5 |- ( w e. om -> A. x ( x ~~ w -> ph ) )
97	96	19.21bi 1546	. . . 4 |- ( w e. om -> ( x ~~ w -> ph ) )
98	97	rexlimiv 2577	. . 3 |- ( E. w e. om x ~~ w -> ph )
99	2, 98	sylbi 120	. 2 |- ( x e. Fin -> ph )
100	1, 99	vtoclga 2792	1 |- ( A e. Fin -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1341   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   =/= wne 2336   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   [.wsbc 2951   \ cdif 3113   u. cun 3114   (/)c0 3409   {csn 3576   class class class wbr 3982   suc csuc 4343   omcom 4567   ~~ cen 6704   Fincfn 6706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709

This theorem is referenced by:  finomni  7104  rexfiuz  10931  fimaxre2  11168