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Theorem findcard2 6867
Description: Schema for induction on the cardinality of a finite set. The inductive step shows that the result is true if one more element is added to the set. The result is then proven to be true for all finite sets. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jul-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard2.1  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) )
findcard2.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
findcard2.3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ph  <->  th )
)
findcard2.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
findcard2.5  |-  ps
findcard2.6  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
findcard2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, y, z, A    ps, x    ch, x    th, x    ta, x    ph, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y,
z)    ch( y, z)    th( y,
z)    ta( y, z)

Proof of Theorem findcard2
Dummy variables  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 findcard2.4 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
2 isfi 6739 . . 3  |-  ( x  e.  Fin  <->  E. w  e.  om  x  ~~  w
)
3 breq2 3993 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( x 
~~  w  <->  x  ~~  (/) ) )
43imbi1d 230 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( x  ~~  w  ->  ph )  <->  ( x  ~~  (/) 
->  ph ) ) )
54albidv 1817 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. x ( x  ~~  w  ->  ph )  <->  A. x
( x  ~~  (/)  ->  ph )
) )
6 breq2 3993 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  v  ->  (
x  ~~  w  <->  x  ~~  v ) )
76imbi1d 230 . . . . . . 7  |-  ( w  =  v  ->  (
( x  ~~  w  ->  ph )  <->  ( x  ~~  v  ->  ph )
) )
87albidv 1817 . . . . . 6  |-  ( w  =  v  ->  ( A. x ( x  ~~  w  ->  ph )  <->  A. x
( x  ~~  v  ->  ph ) ) )
9 breq2 3993 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  suc  v  -> 
( x  ~~  w  <->  x 
~~  suc  v )
)
109imbi1d 230 . . . . . . 7  |-  ( w  =  suc  v  -> 
( ( x  ~~  w  ->  ph )  <->  ( x  ~~  suc  v  ->  ph )
) )
1110albidv 1817 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  v  -> 
( A. x ( x  ~~  w  ->  ph )  <->  A. x ( x 
~~  suc  v  ->  ph ) ) )
12 en0 6773 . . . . . . . 8  |-  ( x 
~~  (/)  <->  x  =  (/) )
13 findcard2.5 . . . . . . . . 9  |-  ps
14 findcard2.1 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) )
1513, 14mpbiri 167 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ph )
1612, 15sylbi 120 . . . . . . 7  |-  ( x 
~~  (/)  ->  ph )
1716ax-gen 1442 . . . . . 6  |-  A. x
( x  ~~  (/)  ->  ph )
18 peano3 4580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  om  ->  suc  v  =/=  (/) )
1918adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  suc  v  =/=  (/) )
20 breq1 3992 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
~~  suc  v  <->  (/)  ~~  suc  v ) )
2120anbi2d 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  <-> 
( v  e.  om  /\  (/)  ~~  suc  v ) ) )
22 peano1 4578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (/)  e.  om
23 peano2 4579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  om  ->  suc  v  e.  om )
24 nneneq 6835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  suc  v  e.  om )  ->  ( (/)  ~~  suc  v  <->  (/)  =  suc  v ) )
2522, 23, 24sylancr 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  om  ->  ( (/)  ~~  suc  v  <->  (/)  =  suc  v ) )
2625biimpa 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  om  /\  (/)  ~~  suc  v )  ->  (/)  =  suc  v )
2726eqcomd 2176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  om  /\  (/)  ~~  suc  v )  ->  suc  v  =  (/) )
2821, 27syl6bi 162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  suc  v  =  (/) ) )
2928com12 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  ( w  =  (/)  ->  suc  v  =  (/) ) )
3029necon3d 2384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  ( suc  v  =/=  (/)  ->  w  =/=  (/) ) )
3119, 30mpd 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  w  =/=  (/) )
3231ex 114 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  om  ->  (
w  ~~  suc  v  ->  w  =/=  (/) ) )
33 nnfi 6850 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( suc  v  e.  om  ->  suc  v  e.  Fin )
3423, 33syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  om  ->  suc  v  e.  Fin )
3534adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  suc  v  e.  Fin )
36 enfi 6851 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w 
~~  suc  v  ->  ( w  e.  Fin  <->  suc  v  e. 
Fin ) )
3736adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  ( w  e. 
Fin 
<->  suc  v  e.  Fin ) )
3835, 37mpbird 166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  w  e.  Fin )
39 fin0 6863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  Fin  ->  (
w  =/=  (/)  <->  E. z 
z  e.  w ) )
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  ( w  =/=  (/) 
<->  E. z  z  e.  w ) )
41 simpll 524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v
)  /\  z  e.  w )  ->  v  e.  om )
42 dif1en 6857 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v  /\  z  e.  w )  ->  ( w  \  {
z } )  ~~  v )
43423expa 1198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v
)  /\  z  e.  w )  ->  (
w  \  { z } )  ~~  v
)
44 fidifsnid 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  z  e.  w )  ->  ( ( w  \  { z } )  u.  { z } )  =  w )
4538, 44sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v
)  /\  z  e.  w )  ->  (
( w  \  {
z } )  u. 
{ z } )  =  w )
46 vex 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  w  e. 
_V
47 difexg 4130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w  \  { z } )  e.  _V )
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w 
\  { z } )  e.  _V
49 breq1 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( w  \  { z } )  ->  ( y  ~~  v 
<->  ( w  \  {
z } )  ~~  v ) )
5049anbi2d 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( w  \  { z } )  ->  ( ( v  e.  om  /\  y  ~~  v )  <->  ( v  e.  om  /\  ( w 
\  { z } )  ~~  v ) ) )
51 uneq1 3274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( w  \  { z } )  ->  ( y  u. 
{ z } )  =  ( ( w 
\  { z } )  u.  { z } ) )
5251sbceq1d 2960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( w  \  { z } )  ->  ( [. (
y  u.  { z } )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w 
\  { z } )  u.  { z } )  /  x ]. ph ) )
5352imbi2d 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( w  \  { z } )  ->  ( ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. (
y  u.  { z } )  /  x ]. ph )  <->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. (
( w  \  {
z } )  u. 
{ z } )  /  x ]. ph )
) )
5450, 53imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( w  \  { z } )  ->  ( ( ( v  e.  om  /\  y  ~~  v )  -> 
( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. (
y  u.  { z } )  /  x ]. ph ) )  <->  ( (
v  e.  om  /\  ( w  \  { z } )  ~~  v
)  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. (
( w  \  {
z } )  u. 
{ z } )  /  x ]. ph )
) ) )
55 breq1 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  y  ->  (
x  ~~  v  <->  y  ~~  v ) )
56 findcard2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
5755, 56imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  ~~  v  ->  ph )  <->  ( y  ~~  v  ->  ch )
) )
5857spv 1853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  (
y  ~~  v  ->  ch ) )
59 rspe 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( v  e.  om  /\  y  ~~  v )  ->  E. v  e.  om  y  ~~  v )
60 isfi 6739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  Fin  <->  E. v  e.  om  y  ~~  v
)
6159, 60sylibr 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( v  e.  om  /\  y  ~~  v )  -> 
y  e.  Fin )
62 pm2.27 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y 
~~  v  ->  (
( y  ~~  v  ->  ch )  ->  ch ) )
6362adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( v  e.  om  /\  y  ~~  v )  -> 
( ( y  ~~  v  ->  ch )  ->  ch ) )
64 findcard2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( ch  ->  th ) )
6561, 63, 64sylsyld 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  e.  om  /\  y  ~~  v )  -> 
( ( y  ~~  v  ->  ch )  ->  th ) )
6658, 65syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  e.  om  /\  y  ~~  v )  -> 
( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  th )
)
67 vex 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  y  e. 
_V
68 vex 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  z  e. 
_V
6968snex 4171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { z }  e.  _V
7067, 69unex 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  u.  { z } )  e.  _V
71 findcard2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ph  <->  th )
)
7270, 71sbcie 2989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [. ( y  u.  {
z } )  /  x ]. ph  <->  th )
7366, 72syl6ibr 161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  e.  om  /\  y  ~~  v )  -> 
( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. (
y  u.  { z } )  /  x ]. ph ) )
7448, 54, 73vtocl 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  om  /\  ( w  \  { z } )  ~~  v
)  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. (
( w  \  {
z } )  u. 
{ z } )  /  x ]. ph )
)
75 dfsbcq 2957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  \  {
z } )  u. 
{ z } )  =  w  ->  ( [. ( ( w  \  { z } )  u.  { z } )  /  x ]. ph  <->  [. w  /  x ]. ph ) )
7675imbi2d 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  \  {
z } )  u. 
{ z } )  =  w  ->  (
( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. (
( w  \  {
z } )  u. 
{ z } )  /  x ]. ph )  <->  ( A. x ( x 
~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph ) ) )
7774, 76syl5ib 153 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  \  {
z } )  u. 
{ z } )  =  w  ->  (
( v  e.  om  /\  ( w  \  {
z } )  ~~  v )  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
) )
7845, 77syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v
)  /\  z  e.  w )  ->  (
( v  e.  om  /\  ( w  \  {
z } )  ~~  v )  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
) )
7941, 43, 78mp2and 431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v
)  /\  z  e.  w )  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
)
8079ex 114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  ( z  e.  w  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
) )
8180exlimdv 1812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  ( E. z 
z  e.  w  -> 
( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
) )
8240, 81sylbid 149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  ( w  =/=  (/)  ->  ( A. x
( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
) )
8382ex 114 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  om  ->  (
w  ~~  suc  v  -> 
( w  =/=  (/)  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
) ) )
8432, 83mpdd 41 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  om  ->  (
w  ~~  suc  v  -> 
( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
) )
8584com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  om  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  (
w  ~~  suc  v  ->  [. w  /  x ]. ph ) ) )
8685alrimdv 1869 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  om  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  A. w
( w  ~~  suc  v  ->  [. w  /  x ]. ph ) ) )
87 nfv 1521 . . . . . . . 8  |-  F/ w
( x  ~~  suc  v  ->  ph )
88 nfv 1521 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  w  ~~  suc  v
89 nfsbc1v 2973 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [. w  /  x ]. ph
9088, 89nfim 1565 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( w  ~~  suc  v  ->  [. w  /  x ]. ph )
91 breq1 3992 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
x  ~~  suc  v  <->  w  ~~  suc  v ) )
92 sbceq1a 2964 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  ( ph 
<-> 
[. w  /  x ]. ph ) )
9391, 92imbi12d 233 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
( x  ~~  suc  v  ->  ph )  <->  ( w  ~~  suc  v  ->  [. w  /  x ]. ph )
) )
9487, 90, 93cbval 1747 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( x  ~~  suc  v  ->  ph )  <->  A. w ( w  ~~  suc  v  ->  [. w  /  x ]. ph )
)
9586, 94syl6ibr 161 . . . . . 6  |-  ( v  e.  om  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  A. x
( x  ~~  suc  v  ->  ph ) ) )
965, 8, 11, 17, 95finds1 4586 . . . . 5  |-  ( w  e.  om  ->  A. x
( x  ~~  w  ->  ph ) )
979619.21bi 1551 . . . 4  |-  ( w  e.  om  ->  (
x  ~~  w  ->  ph ) )
9897rexlimiv 2581 . . 3  |-  ( E. w  e.  om  x  ~~  w  ->  ph )
992, 98sylbi 120 . 2  |-  ( x  e.  Fin  ->  ph )
1001, 99vtoclga 2796 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1346    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141    =/= wne 2340   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   [.wsbc 2955    \ cdif 3118    u. cun 3119   (/)c0 3414   {csn 3583   class class class wbr 3989   suc csuc 4350   omcom 4574    ~~ cen 6716   Fincfn 6718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721
This theorem is referenced by:  finomni  7116  rexfiuz  10953  fimaxre2  11190
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