Theorem findcard2 6886

Description: Schema for induction on the cardinality of a finite set. The inductive step shows that the result is true if one more element is added to the set. The result is then proven to be true for all finite sets. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jul-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
findcard2.1	|- ( x = (/) -> ( ph <-> ps ) )
findcard2.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
findcard2.3	|- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ph <-> th ) )
findcard2.4	|- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
findcard2.5	|- ps
findcard2.6	|- ( y e. Fin -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
findcard2	|- ( A e. Fin -> ta )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   ps, x   ch, x   th, x   ta, x   ph, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y, z)   ch( y, z)   th( y, z)   ta( y, z)

Proof of Theorem findcard2

Dummy variables w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		findcard2.4	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
2		isfi 6758	. . 3 |- ( x e. Fin <-> E. w e. om x ~~ w )
3		breq2 4006	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( x ~~ w <-> x ~~ (/) ) )
4	3	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( ( x ~~ w -> ph ) <-> ( x ~~ (/) -> ph ) ) )
5	4	albidv 1824	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( A. x ( x ~~ w -> ph ) <-> A. x ( x ~~ (/) -> ph ) ) )
6		breq2 4006	. . . . . . . 8 |- ( w = v -> ( x ~~ w <-> x ~~ v ) )
7	6	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( w = v -> ( ( x ~~ w -> ph ) <-> ( x ~~ v -> ph ) ) )
8	7	albidv 1824	. . . . . 6 |- ( w = v -> ( A. x ( x ~~ w -> ph ) <-> A. x ( x ~~ v -> ph ) ) )
9		breq2 4006	. . . . . . . 8 |- ( w = suc v -> ( x ~~ w <-> x ~~ suc v ) )
10	9	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( w = suc v -> ( ( x ~~ w -> ph ) <-> ( x ~~ suc v -> ph ) ) )
11	10	albidv 1824	. . . . . 6 |- ( w = suc v -> ( A. x ( x ~~ w -> ph ) <-> A. x ( x ~~ suc v -> ph ) ) )
12		en0 6792	. . . . . . . 8 |- ( x ~~ (/) <-> x = (/) )
13		findcard2.5	. . . . . . . . 9 |- ps
14		findcard2.1	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( ph <-> ps ) )
15	13, 14	mpbiri 168	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ph )
16	12, 15	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( x ~~ (/) -> ph )
17	16	ax-gen 1449	. . . . . 6 |- A. x ( x ~~ (/) -> ph )
18		peano3 4594	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. om -> suc v =/= (/) )
19	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> suc v =/= (/) )
20		breq1 4005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = (/) -> ( w ~~ suc v <-> (/) ~~ suc v ) )
21	20	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = (/) -> ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) <-> ( v e. om /\ (/) ~~ suc v ) ) )
22		peano1 4592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (/) e. om
23		peano2 4593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. om -> suc v e. om )
24		nneneq 6854	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( (/) e. om /\ suc v e. om ) -> ( (/) ~~ suc v <-> (/) = suc v ) )
25	22, 23, 24	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v e. om -> ( (/) ~~ suc v <-> (/) = suc v ) )
26	25	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. om /\ (/) ~~ suc v ) -> (/) = suc v )
27	26	eqcomd 2183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. om /\ (/) ~~ suc v ) -> suc v = (/) )
28	21, 27	syl6bi 163	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = (/) -> ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> suc v = (/) ) )
29	28	com12 30	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( w = (/) -> suc v = (/) ) )
30	29	necon3d 2391	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( suc v =/= (/) -> w =/= (/) ) )
31	19, 30	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> w =/= (/) )
32	31	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. om -> ( w ~~ suc v -> w =/= (/) ) )
33		nnfi 6869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( suc v e. om -> suc v e. Fin )
34	23, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. om -> suc v e. Fin )
35	34	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> suc v e. Fin )
36		enfi 6870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w ~~ suc v -> ( w e. Fin <-> suc v e. Fin ) )
37	36	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( w e. Fin <-> suc v e. Fin ) )
38	35, 37	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> w e. Fin )
39		fin0 6882	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. Fin -> ( w =/= (/) <-> E. z z e. w ) )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( w =/= (/) <-> E. z z e. w ) )
41		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) /\ z e. w ) -> v e. om )
42		dif1en 6876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v /\ z e. w ) -> ( w \ { z } ) ~~ v )
43	42	3expa 1203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) /\ z e. w ) -> ( w \ { z } ) ~~ v )
44		fidifsnid 6868	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w e. Fin /\ z e. w ) -> ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w )
45	38, 44	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) /\ z e. w ) -> ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w )
46		vex 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- w e. _V
47		difexg 4143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. _V -> ( w \ { z } ) e. _V )
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w \ { z } ) e. _V
49		breq1 4005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( y ~~ v <-> ( w \ { z } ) ~~ v ) )
50	49	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( ( v e. om /\ y ~~ v ) <-> ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) ) )
51		uneq1 3282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( y u. { z } ) = ( ( w \ { z } ) u. { z } ) )
52	51	sbceq1d 2967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( [. ( y u. { z } ) / x ]. ph <-> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) )
53	52	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( y u. { z } ) / x ]. ph ) <-> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) ) )
54	50, 53	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( y u. { z } ) / x ]. ph ) ) <-> ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) ) ) )
55		breq1 4005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = y -> ( x ~~ v <-> y ~~ v ) )
56		findcard2.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
57	55, 56	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = y -> ( ( x ~~ v -> ph ) <-> ( y ~~ v -> ch ) ) )
58	57	spv 1860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> ( y ~~ v -> ch ) )
59		rspe 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> E. v e. om y ~~ v )
60		isfi 6758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. Fin <-> E. v e. om y ~~ v )
61	59, 60	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> y e. Fin )
62		pm2.27 40	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y ~~ v -> ( ( y ~~ v -> ch ) -> ch ) )
63	62	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( ( y ~~ v -> ch ) -> ch ) )
64		findcard2.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. Fin -> ( ch -> th ) )
65	61, 63, 64	sylsyld 58	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( ( y ~~ v -> ch ) -> th ) )
66	58, 65	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> th ) )
67		vex 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- y e. _V
68		vex 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- z e. _V
69	68	snex 4184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { z } e. _V
70	67, 69	unex 4440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y u. { z } ) e. _V
71		findcard2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ph <-> th ) )
72	70, 71	sbcie 2997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( [. ( y u. { z } ) / x ]. ph <-> th )
73	66, 72	syl6ibr 162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( y u. { z } ) / x ]. ph ) )
74	48, 54, 73	vtocl 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) )
75		dfsbcq 2964	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w -> ( [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph <-> [. w / x ]. ph ) )
76	75	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w -> ( ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) <-> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
77	74, 76	imbitrid 154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w -> ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
78	45, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) /\ z e. w ) -> ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
79	41, 43, 78	mp2and 433	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) /\ z e. w ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) )
80	79	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( z e. w -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
81	80	exlimdv 1819	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( E. z z e. w -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
82	40, 81	sylbid 150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( w =/= (/) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
83	82	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. om -> ( w ~~ suc v -> ( w =/= (/) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) ) )
84	32, 83	mpdd 41	. . . . . . . . 9 |- ( v e. om -> ( w ~~ suc v -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
85	84	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( v e. om -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) ) )
86	85	alrimdv 1876	. . . . . . 7 |- ( v e. om -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> A. w ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) ) )
87		nfv 1528	. . . . . . . 8 |- F/ w ( x ~~ suc v -> ph )
88		nfv 1528	. . . . . . . . 9 |- F/ x w ~~ suc v
89		nfsbc1v 2981	. . . . . . . . 9 |- F/ x [. w / x ]. ph
90	88, 89	nfim 1572	. . . . . . . 8 |- F/ x ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph )
91		breq1 4005	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( x ~~ suc v <-> w ~~ suc v ) )
92		sbceq1a 2972	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( ph <-> [. w / x ]. ph ) )
93	91, 92	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( ( x ~~ suc v -> ph ) <-> ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) ) )
94	87, 90, 93	cbval 1754	. . . . . . 7 |- ( A. x ( x ~~ suc v -> ph ) <-> A. w ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) )
95	86, 94	syl6ibr 162	. . . . . 6 |- ( v e. om -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> A. x ( x ~~ suc v -> ph ) ) )
96	5, 8, 11, 17, 95	finds1 4600	. . . . 5 |- ( w e. om -> A. x ( x ~~ w -> ph ) )
97	96	19.21bi 1558	. . . 4 |- ( w e. om -> ( x ~~ w -> ph ) )
98	97	rexlimiv 2588	. . 3 |- ( E. w e. om x ~~ w -> ph )
99	2, 98	sylbi 121	. 2 |- ( x e. Fin -> ph )
100	1, 99	vtoclga 2803	1 |- ( A e. Fin -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1351   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   =/= wne 2347   E.wrex 2456   _Vcvv 2737   [.wsbc 2962   \ cdif 3126   u. cun 3127   (/)c0 3422   {csn 3592   class class class wbr 4002   suc csuc 4364   omcom 4588   ~~ cen 6735   Fincfn 6737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-er 6532  df-en 6738  df-fin 6740

This theorem is referenced by:  finomni  7135  rexfiuz  10991  fimaxre2  11228