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Theorem findcard2s 6784
 Description: Variation of findcard2 6783 requiring that the element added in the induction step not be a member of the original set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard2s.1
findcard2s.2
findcard2s.3
findcard2s.4
findcard2s.5
findcard2s.6
Assertion
Ref Expression
findcard2s
Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem findcard2s
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 findcard2s.4 . 2
2 isfi 6655 . . 3
3 breq2 3933 . . . . . . . 8
43imbi1d 230 . . . . . . 7
54albidv 1796 . . . . . 6
6 breq2 3933 . . . . . . . 8
76imbi1d 230 . . . . . . 7
87albidv 1796 . . . . . 6
9 breq2 3933 . . . . . . . 8
109imbi1d 230 . . . . . . 7
1110albidv 1796 . . . . . 6
12 en0 6689 . . . . . . . 8
13 findcard2s.5 . . . . . . . . 9
14 findcard2s.1 . . . . . . . . 9
1513, 14mpbiri 167 . . . . . . . 8
1612, 15sylbi 120 . . . . . . 7
1716ax-gen 1425 . . . . . 6
18 peano3 4510 . . . . . . . . . . . . 13
1918adantr 274 . . . . . . . . . . . 12
20 breq1 3932 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2120anbi2d 459 . . . . . . . . . . . . . . 15
22 peano1 4508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
23 peano2 4509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
24 nneneq 6751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2522, 23, 24sylancr 410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2625biimpa 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2726eqcomd 2145 . . . . . . . . . . . . . . 15
2821, 27syl6bi 162 . . . . . . . . . . . . . 14
2928com12 30 . . . . . . . . . . . . 13
3029necon3d 2352 . . . . . . . . . . . 12
3119, 30mpd 13 . . . . . . . . . . 11
3231ex 114 . . . . . . . . . 10
33 nnfi 6766 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3423, 33syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15
3534adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14
36 enfi 6767 . . . . . . . . . . . . . . 15
3736adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14
3835, 37mpbird 166 . . . . . . . . . . . . 13
39 fin0 6779 . . . . . . . . . . . . 13
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . . . 12
41 simpll 518 . . . . . . . . . . . . . . 15
42 dif1en 6773 . . . . . . . . . . . . . . . 16
43423expa 1181 . . . . . . . . . . . . . . 15
44 fidifsnid 6765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4538, 44sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . . 16
46 neldifsn 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
47 vex 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
48 difexg 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50 breq1 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5150anbi2d 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
52 eleq2 2203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5352notbid 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5451, 53anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
55 uneq1 3223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5655sbceq1d 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5756imbi2d 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5854, 57imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
59 breq1 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
60 findcard2s.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6159, 60imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6261spv 1832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
63 pm2.27 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6463adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6564adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
66 rspe 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
67 isfi 6655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6866, 67sylibr 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
69 findcard2s.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7068, 69sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7165, 70syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7262, 71syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
73 vex 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
74 vex 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7574snex 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7673, 75unex 4362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
77 findcard2s.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7876, 77sbcie 2943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7972, 78syl6ibr 161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8049, 58, 79vtocl 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8146, 80mpan2 421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
82 dfsbcq 2911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8382imbi2d 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8481, 83syl5ib 153 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8545, 84syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15
8641, 43, 85mp2and 429 . . . . . . . . . . . . . 14
8786ex 114 . . . . . . . . . . . . 13
8887exlimdv 1791 . . . . . . . . . . . 12
8940, 88sylbid 149 . . . . . . . . . . 11
9089ex 114 . . . . . . . . . 10
9132, 90mpdd 41 . . . . . . . . 9
9291com23 78 . . . . . . . 8
9392alrimdv 1848 . . . . . . 7
94 nfv 1508 . . . . . . . 8
95 nfv 1508 . . . . . . . . 9
96 nfsbc1v 2927 . . . . . . . . 9
9795, 96nfim 1551 . . . . . . . 8
98 breq1 3932 . . . . . . . . 9
99 sbceq1a 2918 . . . . . . . . 9
10098, 99imbi12d 233 . . . . . . . 8
10194, 97, 100cbval 1727 . . . . . . 7
10293, 101syl6ibr 161 . . . . . 6
1035, 8, 11, 17, 102finds1 4516 . . . . 5
10410319.21bi 1537 . . . 4
105104rexlimiv 2543 . . 3
1062, 105sylbi 120 . 2
1071, 106vtoclga 2752 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104  wal 1329   wceq 1331  wex 1468   wcel 1480   wne 2308  wrex 2417  cvv 2686  wsbc 2909   cdif 3068   cun 3069  c0 3363  csn 3527   class class class wbr 3929   csuc 4287  com 4504   cen 6632  cfn 6634 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637 This theorem is referenced by:  findcard2d  6785  findcard2sd  6786  diffifi  6788  ac6sfi  6792  fisseneq  6820  fsum2d  11216  modfsummod  11239  fsumabs  11246  fsumiun  11258
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